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2026年河南省青桐鸣大联考高考数学二模试卷（焦作二模）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.复数的虚部是( )
A. B. C. D.
3.已知向量满足，，且的夹角为，则．
A. B. C. D.
4.曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
5.已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.记椭圆的上顶点为，右焦点为，则以为圆心，为半径的圆与的交点个数为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若恒成立，则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知球的半径为，其表面上有，，三点，满足，，则四面体的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，，，，则( )
A. B. C. D.
10.已知三棱台的上、下底面相似比为：在中，，侧棱，且与下底面所成的角为则( )
A. 直线与直线相互垂直 B. 直线与直线相互垂直
C. 侧面与底面相互垂直 D. 侧面与侧面相互垂直
11.已知随机变量且，设函数，记，则( )
A. 对任意，，恒成立
B. 对任意，，恒成立
C. 存在，，使得方程在区间内有解
D. 存在，，使得函数在区间内单调
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.记抛物线，为坐标原点，直线与抛物线交于、两点，且，，则 ．
13.若，，则 ．
14.将标有，，，，的五张数字牌摆放成一排，则前三张牌上的数字按顺序构成等差数列的排法总数为 用数字回答
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记为数列的前项和，．
求数列的前项和；
求．
16.本小题分
如图所示，在直四棱柱中，，，．
证明：平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
某商场对商品售卖的情况进行统计，已知该商场共六层．
当各楼层的商品种类相近时，得到该商场各楼层的销售额单位：万元的值：
楼层
销售额
记销售额与楼层之间的经验回归方程为．
求用分数表示；
求用分数表示．
由于网络热点的影响，销售利润单位：万元近似服从正态分布，求销售利润在的概率．
附：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．
若，则，．
参考数据：．
18.本小题分
已知双曲线上有两点，．
求的方程；
过点的直线与交于，两点．
(ⅰ)证明：直线与的斜率之积为定值；
(ⅱ)若，求的外接圆方程，并判断点是否在该圆上．
19.本小题分
设函数，其中．
当时，证明：．
设为等腰三角形，其中为底边，顶角若存在满足条件的的三个顶点，，均在曲线上，且顶点的纵坐标为．
证明：点，关于定直线对称；
记的面积为，证明：是关于的单调递减函数．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.．
14.．
15.解：由为数列的前项和，，可得，
两式相减，可得，即，
所以，
令，可得，即，解得，
再令，可得，即，解得，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列，
则数列的前项和为．
由知：，可得，且，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，可得，
所以数列的通项公式为，
则，
可得
两式相减，可得
，所以．
16.证明：由，，得为的垂直平分线，即，
在直四棱柱中，平面，
因为平面，所以，
又，平面，且，
所以平面C.
解：记，
以为坐标原点，以的方向分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，则，
取，可得，，所以，
因为平面，
所以平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
17.解：由表格数据可知，，，
，
所以，
由可知，，
所以；
注意到，
所以．
18.解：由双曲线过点，，得，解得，
所以双曲线的方程为．
证明：依题意，直线不垂直于轴，设其方程为，点，，
由消去得，，
，直线的斜率，直线的斜率，
因此，
所以直线与的斜率之积为定值．
(ⅱ)直线的斜率，由及(ⅰ)，得，直线方程为，
由，得，点，
显然点，关于轴对称，即的外接圆圆心在轴上，而弦中点为，
弦中垂线方程为，令，得，
因此的外接圆圆心为，半径，
所以的外接圆的方程为，由，得点在该圆内．
19.解：证明：因为函数，所以，
要证，即证，
设，其中，
可得．
当时，，，
所以，
所以在上单调递增，
因为，
所以当时，，
即，
所以，
即成立；
证明：由点在曲线上，且纵坐标为，
又因为，所以，
设，，其中，，且，
由是等腰三角形且为底边，可知，
即，
设，
则有，
且，
当时，且，，
所以，
所以，
即在上单调递减，
同理可证在上单调递增，
又，
所以，
即函数图象关于直线对称，
综上所述，若且，
则与必然关于对称，
因此，点，关于定直线对称．
(ⅱ)由可知，可设点的横坐标为，点的横坐标为，其中，
此时，的纵坐标均为，，
点到的距离，也即三角形的高，为，
则由几何关系可得，
令，则．
先证明是关于的函数，
设，其中，
可得，
由可知，
即在上单调递减，
故，
对于任意，取，
当时，设，
因为，
令，可得，
所以单调递增，
则，可得单调递增，
所以，即，
所以，
综上可得，函数的值域为．
由于存在，所以必有，
由于单调递减，且值域覆盖该范围，
方程在内有唯一解，
则是关于的函数，
再证明该函数单调递减，
因为，
令，
则，其中，
因为，，
所以，
即单调递增，
则当增大时，增大，增大．
由于，且是关于的单调递减函数，
所以增大时，减小．
又由是关于的单调递增函数，
当减小时，随之减小．
综上，是关于的单调递减函数．
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