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2026年陕西省榆林市神木市第四中学高考数学适应性演练试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则的真子集个数为( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.若，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.如图某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图设阴离子圆的直径均为，且相邻的圆都相切，，，，是其中四个圆的圆心，则( )
A. B. C. D.
5.若函数有且只有一个零点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.设抛物线：的焦点为，不经过的直线与交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为，且与的面积之比是：，则为( )
A. B. C. D.
7.已知函数若对任意，，且，都有成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则的周长的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的图象关于点中心对称则( )
A. 的最小正周期为
B. 直线是曲线的对称轴
C. 将的图象向右平移个单位可得到函数的图象
D. 在区间上单调递增
10.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件，存在如下关系：张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为则张同学( )
A. 第二天去室内健身的概率为
B. 第二天去户外运动的概率为
C. 若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为
D. 若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为
11.如图，在长方体中，，，点是棱上的动点不含端点，过点，，作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为，，则( )
A. 截面是平行四边形 B. 若，则
C. 存在点，使得截面为长方形 D. 截面的面积存在最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，的系数为 ．
13.是等腰三角形，，以、为焦点且过点的双曲线离心率为______．
14.若函数在上有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的差为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从，两个科室的志愿者中随机抽调人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知，两个科室中的志愿者分布如下：
类别科室 志愿者
医生 护士
科室
科室
求抽到的人中，恰好有名医生，且这名医生恰好来自同一科室的概率；
设为选出的人中医生的人数，求随机变量的分布列和数学期望．
16.本小题分
已知椭圆：的离心率，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为．
求椭圆的方程；
设为椭圆的上顶点，为椭圆上任意一点，求的最大值及此时点的坐标．
17.本小题分
已知数列满足
求的通项公式；
在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和．
18.本小题分
把一副三角板按如图所示的方式拼接，，，将沿翻折至，使得二面角为直二面角．
证明：平面；
若，，，在同一个球面上，求该球的半径；
求平面与平面的夹角的正弦值．
19.本小题分
已知函数，其中．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若，恒成立，求的取值范围；
当，且时，证明：函数有且仅有两个零点．
参考答案
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14.
15.由已知，恰好有名医生的情况包含这名医生都来自科室和都来自科室，有种情况，
所以所求的概率为；
由题意可知，的所有可能取值为、、、、，
，，
，，，
所以的分布列为：
所以．
16.解：以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为，即．
由，得，
则，即，代入，解得，，
所以椭圆的方程为．
由题可设，且满足，
即，，而上顶点，
则，．
所以当时，，
所以的最大值为．
此时，，
所以点坐标为或．
17.解：已知数列满足，
当时，，
两式相减得，所以，
当时，，满足，
故的通项公式为；
在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，
所以，即，，
所以，
，
得：，
所以数列的前项和．
18.解：证明：二面角为直二面角，即平面平面，
又由于，平面，平面平面，
因此平面．
又由于平面，因此．
根据题意，，，平面，
因此平面．
取中点，中点，连接，，
那么，，
由于平面，平面，因此，所以，
在三角形中，，为中点，所以．
以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系，
那么．
设球心，那么
，
解得．
因此该球的半径为．
平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，那么，那么
取，那么可得平面的一个法向量为．
，
设平面与平面所成角为，
那么，
因此所求正弦值为．
19.解：，，即切点为，
，，可得切线方程为．
解：由恒成立，得，
化简得：，即，即，
设，，
令，解得，所以时，单调递增，时，单调递减，
所以在处取极大值，，
故的取值范围是．
证明：设，当时，，，
则，，，
令，则，
当时，，所以在上单调递减，
又因为，，
所以存在唯一的使得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，，且在处取得极大值，
因为，所以，；
因此，在和各有一个零点，
所以函数在有且只有两个零点．
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