资源简介

2026年山东省青岛市第九中学高考数学二模试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，且，则( )
A. B. C. D.
3.若一个等比数列的前项和等于，前项和等于，则该等比数列的第项等于( )
A. B. C. D.
4.如图，网格纸上小正方形的边长为，向量，的起点和终点均在格点上，则( )
A.
B.
C.
D.
5.曲线在其与轴的交点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
6.已知，且，则( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交于，两点，且，则( )
A. B. C. D.
8.若函数有且仅有个零点，则的取值范围是( )
A. B. ，
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，，则( )
A. B.
C. D.
10.如图，在多面体中，四边形是矩形，，平面，为的中点，，，，则( )
A.
B. 平面
C. 平面平面
D. 四棱锥与的体积之比为：
11.箱子中有个大小相同的球，编号分别为，，，按如下方式从箱子中不放回地取球：第一次随机取出一个球，若该球的编号为，则第二次随机一次取出个球记完成上述两次取球后编号为的球被取出的概率为，设，则( )
A. B. 为定值
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数是定义域为的奇函数设，若在的最小值为，则在的最大值为 ．
13.已知抛物线：，：的焦点分别为，，点，分别在，上，且线段平行于轴若是等腰三角形，则 ．
14.已知等边的三个顶点都在平面的同一侧，且三条边在上的射影长分别为，，则平面与所成二面角锐角的余弦值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，的面积为，求．
16.本小题分
如图，直三棱柱的高为，，，，分别为，的中点，为上一点，且．
证明：平面：
求直线与平面所成角的正切值．
17.本小题分
已知双曲线：的右顶点到的一条渐近线的距离为．
求的方程；
设过点的直线交于，两点，过且垂直于轴的直线与直线交于点，证明：以线段的中点为圆心且过坐标原点的圆还过其他定点．
18.本小题分
已知函数，．
求的单调区间；
当时，，求的取值范围；
设，，且，证明：．
19.本小题分
光明中学举行校乒乓球比赛，共有人报名参加男子单打比赛，参赛选手的编号记为，，，，并将所有选手分成，两组，每组各人，其中为不小于的整数．
若，求编号为和的选手都在组的概率；
若编号为和的选手都在组，证明：在组选手中总能找出人，使得他们的编号之和等于；
组选手与组选手一对一比赛后共有人晋级已知在晋级的选手中有不超过的选手退赛，证明：在晋级且没有退赛的选手中总能找出人，使得在这人中有人的编号之和等于另外人的编号之和．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.．
13.
14.
15.解：（1）因为．
所以，
因为，所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，因为，
所以，所以，解得；
由可知，
因为，的面积，解得，
由余弦定理可得，
所以．
16.解：如图，延长，交于点，连接交于点，连接，
因为为的中点，且，故C为的中点，
过作，交于点，
因为为的中点，故，
因为，故，
又因为，故，
故，，
因为平面，平面，
所以平面．
以为坐标原点，直线为轴，直线为轴，直线为轴建立坐标系，
则，，，，
故，记，
设平面的法向量为，
则，则，
不妨取，则，
所以，
设直线与平面所成角为，
则，
可得，，
所以直线与平面所成角的正切值为．
17.解：由于是右顶点，故，
而到渐近线的距离均为，
故由已知有，
所以，
解得，
故C的方程为．
证明：记，，并设的中点为，
由于的中点为，的斜率，
故的垂直平分线为，即，
设，由于，假设的斜率不存在，
那么的方程是，该直线与只有一个公共点，矛盾；
所以的斜率存在，故可设其方程为，
将该直线与联立，得，
即，
所以该方程的两根之和为，
但，故此方程已有一根，
从而另一根为，
设，则，，
此时，由，知直线的方程为，
而过且垂直于轴的直线为，故，
这就得到的中点的坐标为
由于
，
所以点在直线上，即在的垂直平分线上，从而，
故，关于对称，
则，
故以线段的中点为圆心且过坐标原点的圆一定经过．
18.解：，
当时，，当时，，
所以的单调递减区间是，单调递增区间是．
设，则，
令，则．
当时，，故存在，使得当时，，单调递增，
故当时，，即，不合题意．
当时，，且当时，，
设，则当时，，
故当时，单调递减，此时，
所以当时，，单调递减，
当时，，即，
综上，的取值范围是．
证明：设，则，，
故，
由可知，当，时，，故．
由，得，
又，，且由可知在区间单调递减，
故，即，．
设，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
故当时，，故．
当时，，，故，均单调递增．
所以．
当时，设，
则，
故单调递增，，
又单调递增，，故．
综上，．
19.解：由题意，编号为和的选手都在组的概率；
证明：设组选手的编号分别为，，，，
因为编号为和的选手都在组，
故，，，，，，，这个数的值只能取，，，这个值，
故它们中必有两个数相等，
因为，，，互不相等，所以，，，也互不相等，
故一定存在，其中，，
又因为，，故存在，使得，
即在组选手中总能找出人，使得他们的编号之和等于；
证明：设晋级且没有退赛的选手共有人，他们组成集合，
其中表示选手的编号，，，，，且，，
假设中不存在个元素满足其中个元素之差等于另个元素之差；
当为奇数时，考虑两组差：和，
根据假设可知每组的差数都是互不相同的正整数，
故，
，
两式相加有；
(ⅱ)当为偶数时，考虑两组差：和，
根据假设可知每组的差数都是互不相同的正整数，
故，
，
两式相加有，
故若，即时，
中一定存在个元素满足其中个元素之差等于另个元素之差，
也等价于其中个元素之和等于另个元素之和，
又因为当时，，故，
所以在晋级且没有退赛的选手中总能找出人，使得其中人的编号之和等于另外人的编号之和．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑