资源简介

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第二十三章 一次函数
数学活动：
水龙头的滴水量与纸杯的高度
1．经历“实验—记录—描点—建模—估算”的一次函数建模过程．
2．能用一次函数描述现实中的均匀变化现象（滴水、叠杯）．
3．提升数据处理、图象分析与数学表达能力．
同学们，前面我们用一次函数解决了费用、方案、最值等实际问题，那这些函数模型是怎么从真实生活中得到的呢？今天我们就一起走进实验室，通过“水龙头滴水”和“纸杯叠放”两个小活动，亲手体验从实验数据到一次函数模型的全过程，看看数学是怎么帮我们发现生活里的规律的！
活动1：水龙头的滴水量
水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，可进行以下的实验与研究．
（1）在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每5min记录一次容器中的水量，并填写下表．
时间t/min 0 5 10 15 20 25 30
水量V/mL
（2）建立平面直角坐标系，以横轴表示时间t，纵轴表示水量V，描出以上述实验所得数据为坐标的各点，并观察它们的分布规律．
（3）试写出V关于t的函数解析式，并据此估算这种漏水状态下一天的漏水量．
活动过程：
（1）实验准备与分工：
①明确变量：自变量为时间t（单位：min），因变量为水量V（单位：mL）．
②统一规则：每5分钟记录一次数据，记录时视线与液面平齐，避免读数误差．
③小组分工：一人控制滴水，一人计时，一人读数，一人记录．
（2）数据收集
①学生分组实验，填写表格（时间0、5、10、15、20、25、30min对应的水量）．
②注意排除异常数据，必要时重复测量．
（3）数据分析与建模
①整理数据：小组内核对数据，讨论水量随时间的变化趋势（均匀增加）．
②描点画图：在坐标系中描出(t，V)各点，观察是否近似一条直线．
③拟合函数：选取两个点，用待定系数法求出一次函数解析式V=kt+b．
④模型验证：代入其他时间点验证，讨论数据偏差的原因（操作误差、读数误差）．
（4）应用估算
用求出的解析式，计算一天（1440分钟）的漏水量，讨论结果的合理性，说一说节约用水的重要性．
活动2：纸杯的高度
如图所示，是1个纸杯和6个叠放在一起的纸杯的示意图．请你自行定义变量和常量来建立一个函数模型，探究叠放在一起的杯子的总高度与杯子数量之间的关系．
当一定数量的纸杯叠放在一起时，
你能根据探究得到的数量关系预估纸
杯的高度吗？
活动过程：
（1）变量定义与猜想
①定义变量：设纸杯数量为x（个），总高度为y（cm）．
②分析常量：单个纸杯的高度、每增加一个纸杯增加的高度（杯口重叠部分）．
③猜想：总高度与纸杯数量是否成一次函数关系？
（2）数据收集
①分组测量：分别测量1个、2个、3个……6个纸杯叠放的总高度，记录数据．
②注意：测量时刻度尺要垂直，纸杯要对齐，避免倾斜误差．
（3）数据分析与建模
①整理数据：观察总高度随纸杯数量的变化规律（均匀增加）．
②描点画图：在坐标系中描出(x,y)各点，观察是否近似一条直线．
③拟合函数：用待定系数法求出一次函数解析式y=kx+b，解释k和b的实际意义：
b：单个纸杯的高度；
k：每增加一个纸杯，总高度增加的量（杯口重叠高度）．
④模型验证：代入其他纸杯数量验证，讨论偏差原因（纸杯规格误差、测量误差）．
（4）预测应用
想一想：10个纸杯叠放总高度大约是多少？20个呢？
一次函数在均匀变化现象中的建模与应用
1.适用场景：适用于描述均匀变化的实际现象，此类现象中，因变量随自变量呈线性变化，可通过一次函数(y=kx+b(k≠0)建模．
2.建模核心：明确自变量与因变量，结合实际情境写出函数解析式．
3.建模流程：先通过实验或情境收集数据，再整理数据、描点分析，拟合一次函数模型，最后验证模型合理性，利用模型进行估算、预测等实际应用．
4.关键注意：需准确区分变量，规范收集数据、排除异常值；结合实际情境验证模型，理解测量、操作等误差带来的偏差，确保应用贴合实际．
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】选做题：
【综合拓展类练习】
数学活动
活动2：纸杯的高度
活动1：水龙头的滴水量
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】选做题：
【综合拓展类作业】中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第九课时《数学活动：水龙头的滴水量与纸杯的高度》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课是一次函数单元知识的实践拓展课，也是函数建模思想的综合应用课．本课以“水龙头滴水量”“纸杯叠放高度”两个数学活动为载体，让学生完整经历“实验记录—数据整理—图象分析—建立模型—解决问题”的一次函数建模全过程，是对单元所学函数概念、图象性质、建模方法的系统巩固与深化．它将抽象的函数知识与真实的生活情境结合，既是一次函数从理论到实践的落地应用，也为后续统计与概率、函数建模类问题奠定了实践基础，对提升学生的数据处理、探究与应用能力具有重要作用．
学习者分析 学生已掌握一次函数的图象、性质与建模方法，具备基本的数据整理与描点能力，对生活中的均匀变化现象有一定的感性认知．但学生缺乏完整的实验探究与建模经验，难以从实验数据中抽象出变量关系，对如何通过描点观察数据规律、拟合一次函数模型存在困难，也容易忽略自变量的实际意义与取值范围．需要通过动手实验、合作探究的方式，引导学生完整经历建模流程，提升数据处理与数学表达能力．
教学目标 1．经历“实验—记录—描点—建模—估算”的一次函数建模过程． 2．能用一次函数描述现实中的均匀变化现象（滴水、叠杯）． 3．提升数据处理、图象分析与数学表达能力．
教学重点 完整经历“实验—记录—描点—建模—估算”的一次函数建模过程，能用一次函数描述均匀变化现象．
教学难点 从实验数据中抽象出变量间的一次函数关系，理解建模过程中数据拟合的合理性，并用模型解决实际估算问题．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．经历“实验—记录—描点—建模—估算”的一次函数建模过程． 2．能用一次函数描述现实中的均匀变化现象（滴水、叠杯）． 3．提升数据处理、图象分析与数学表达能力．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 导言：同学们，前面我们用一次函数解决了费用、方案、最值等实际问题，那这些函数模型是怎么从真实生活中得到的呢？今天我们就一起走进实验室，通过“水龙头滴水”和“纸杯叠放”两个小活动，亲手体验从实验数据到一次函数模型的全过程，看看数学是怎么帮我们发现生活里的规律的！学生活动2： 学生认真听讲活动意图说明： 通过回顾一次函数的应用，自然衔接从理论建模到实践探究的过渡，点明本课“实验建模”的核心任务；以“水龙头滴水”“纸杯叠放”的生活化活动激发学生兴趣，引导学生带着探究欲进入实验环节，为完整经历“数据收集—分析建模”的过程做好铺垫，同时强化数学与生活的联系．环节三：新知讲解教师活动3： 活动1：水龙头的滴水量 水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，可进行以下的实验与研究． （1）在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每5min记录一次容器中的水量，并填写下表． 时间t/min051015202530水量V/mL
（2）建立平面直角坐标系，以横轴表示时间t，纵轴表示水量V，描出以上述实验所得数据为坐标的各点，并观察它们的分布规律． （3）试写出V关于t的函数解析式，并据此估算这种漏水状态下一天的漏水量． 活动过程： （1）实验准备与分工： ①明确变量：自变量为时间t（单位：min），因变量为水量V（单位：mL）． ②统一规则：每5分钟记录一次数据，记录时视线与液面平齐，避免读数误差． ③小组分工：一人控制滴水，一人计时，一人读数，一人记录． （2）数据收集 ①学生分组实验，填写表格（时间0、5、10、15、20、25、30min对应的水量）． ②教师巡视指导，提醒学生排除异常数据，必要时重复测量． （3）数据分析与建模 ①整理数据：小组内核对数据，讨论水量随时间的变化趋势（均匀增加）． ②描点画图：在坐标系中描出(t，V)各点，观察是否近似一条直线． ③拟合函数：选取两个点，用待定系数法求出一次函数解析式V=kt+b． ④模型验证：代入其他时间点验证，讨论数据偏差的原因（操作误差、读数误差）． （4）应用估算 用求出的解析式，计算一天（1440分钟）的漏水量，讨论结果的合理性，感受节约用水的重要性． （5）活动小结 ①梳理流程：实验记录→数据描点→拟合函数→估算应用． ②强调：均匀变化的现象，可以用一次函数模型来描述． 活动2：纸杯的高度 如图所示，是1个纸杯和6个叠放在一起的纸杯的示意图．请你自行定义变量和常量来建立一个函数模型，探究叠放在一起的杯子的总高度与杯子数量之间的关系． 当一定数量的纸杯叠放在一起时，你能根据探究得到的数量关系预估纸杯的高度吗？ 活动过程： （1）变量定义与猜想 ①定义变量：设纸杯数量为x（个），总高度为y（cm）． ②分析常量：单个纸杯的高度、每增加一个纸杯增加的高度（杯口重叠部分）． ③猜想：总高度与纸杯数量是否成一次函数关系？ （2）数据收集 ①学生分组测量：分别测量1个、2个、3个……6个纸杯叠放的总高度，记录数据． ②教师指导：测量时刻度尺要垂直，纸杯要对齐，避免倾斜误差． （3）数据分析与建模 ①整理数据：观察总高度随纸杯数量的变化规律（均匀增加）． ②描点画图：在坐标系中描出(x，y)各点，观察是否近似一条直线． ③拟合函数：用待定系数法求出一次函数解析式y=kx+b，解释k和b的实际意义： b：单个纸杯的高度； k：每增加一个纸杯，总高度增加的量（杯口重叠高度）． ④模型验证：代入其他纸杯数量验证，讨论偏差原因（纸杯规格误差、测量误差）． （4）预测应用 问题：“10个纸杯叠放总高度大约是多少？20个呢？”学生用模型进行预测，讨论预测结果的合理性． （5）活动小结 ①梳理流程：观察猜想→实验测量→数据建模→预测应用． ②强调：找到变量间的均匀变化规律，就能用一次函数解决实际预测问题． 归纳：一次函数在均匀变化现象中的建模与应用 1.适用场景：适用于描述均匀变化的实际现象，此类现象中，因变量随自变量呈线性变化，可通过一次函数(y=kx+b(k≠0)建模． 2.建模核心：明确自变量与因变量，结合实际情境写出函数解析式． 3.建模流程：先通过实验或情境收集数据，再整理数据、描点分析，拟合一次函数模型，最后验证模型合理性，利用模型进行估算、预测等实际应用． 4.关键注意：需准确区分变量，规范收集数据、排除异常值；结合实际情境验证模型，理解测量、操作等误差带来的偏差，确保应用贴合实际．学生活动3： 学生分组活动后班内汇报并认真听老师的点评与讲解活动意图说明： 结合生活化实验场景，引导学生经历完整的建模过程，掌握含约束条件的一次函数应用方法，强化数据处理与模型构建能力．通过实践操作与探究，让学生理解函数在实际问题中的应用价值，培养严谨的逻辑思维和科学的探究习惯，实现知识的综合运用与能力提升．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：数学活动：水龙头的滴水量与纸杯的高度活动1：水龙头的滴水量 活动2：纸杯的高度教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．子轩在用描点法画某个一次函数的图象时列得如下表格，已知其中有一组数据是错误的，则这组错误的数据是（ ） x…01…y…1411853…
A． B． C． D． 答案：A 2．鞋码代表鞋子的大小，中国鞋码与脚长之间呈现一定的规律．在网购时，人们可以根据自己的脚长对照中国鞋码，从而选择合脚的鞋子．脚长（单位：）与中国鞋码的部分对照如下表： 脚长…2323.52424.5…中国鞋码…36373839…
小陈的脚长为，则他在网购时选择的中国鞋码为________（用含的代数式表示）． 答案： 3．某公交公司的16路公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数（人与这趟公交车每月的利润（利润收入费用支出费用）（元的变化关系如表所示（每位乘客乘一次公交的票价是固定不变的） （人50010001500200025003000（元010002000
请回答下列问题： (1)自变量为　　，因变量为　　； (2)与之间的关系式是 　　； (3)当每月乘车人数为4000人时，每月利润为多少元？ 解：（1）由题意可知： 自变量是：每月的乘车人数，因变量是：公交车每月的利润． 故答案为∶ 每月的乘车人数，公交车每月的利润． （2）从表格中数据变化可知，每月乘车人数每增加500人，其每月的利润就增加1000元， 每位乘客坐一次车需要（元， 即函数关系式为： ． （3）当时， （元． 答：当每月乘车人数为4000人时，每月利润为4000元． 选做题： 4．将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设张白纸粘合后的总长度为，则与之间的函数关系式为________． 答案： 【综合拓展类练习】 5．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为________． 答案：
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．在探究水的吸热能力的实验中，使用恒定功率的热源对水进行加热．实验发现，在加热过程中，水的温度升高值与加热时间满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据（水的质量恒定），根据表中数据，与之间的函数关系式为（ ） 加热时间水温升高值
A． B． C． D． 答案：B 2．在直角坐标系中，点，，在同一条直线上，则的值为______． 答案：11 3．某电影院的观众席的座位按下表的方式设置： 排数（x）1234…座位数（y）50535659
(1)直接写出第5排的座位数； (2)求出座位数y与排数x之间的关系式； (3)按照如表所示的规律，某一排可能有90个座位吗？说说你的理由． 解：（1）由表格可知，排数每增加1排，其座位数就增加3个， 则第5排的座位数为； （2）设座位数y与排数x之间的关系式为， 则，解得：， 则座位数y与排数x之间的关系式为 （3）当时，即， 解得， ∵不是整数， ∴某一排的座位数不可能是90个座位． 选做题： 4．小明同学利用“描点法”画某个一次函数的图象时，列出的部分数据如表： 自变量…因变量…
经过认真检查，发现其中有一个函数值计算错误，这个错误的函数值是______． 答案： 【综合拓展类作业】 5．如图，直线与直线分别与轴交于点．一动点从点出发，先沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处；再沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处…照此规律运动，动点依次经过点…则的长度为______． 答案：
教学反思 本课通过两个数学活动，学生基本体验了一次函数建模的完整流程，能从数据中描点并拟合简单的一次函数模型．但部分学生在数据记录、描点绘图时不够规范，对模型拟合的合理性理解不足，估算结果与实际存在偏差．后续需加强对实验过程的指导，增加数据处理与模型验证的环节，引导学生结合实际意义分析模型，提升探究的严谨性与数学表达能力．
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同步探究学案
课题 数学活动： 水龙头的滴水量与纸杯的高度 单元 第二十三章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．经历“实验—记录—描点—建模—估算”的一次函数建模过程． 2．能用一次函数描述现实中的均匀变化现象（滴水、叠杯）． 3．提升数据处理、图象分析与数学表达能力．
重点 完整经历“实验—记录—描点—建模—估算”的一次函数建模过程，能用一次函数描述均匀变化现象．
难点 从实验数据中抽象出变量间的一次函数关系，理解建模过程中数据拟合的合理性，并用模型解决实际估算问题．
探究过程
导入新课 【引入思考】 同学们，前面我们用一次函数解决了费用、方案、最值等实际问题，那这些函数模型是怎么从真实生活中得到的呢？今天我们就一起走进实验室，通过“水龙头滴水”和“纸杯叠放”两个小活动，亲手体验从实验数据到一次函数模型的全过程，看看数学是怎么帮我们发现生活里的规律的！
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助“水龙头滴水”和“纸杯叠放”两个小活动，体验从实验数据到一次函数模型的全过程。 活动1：水龙头的滴水量 水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，可进行以下的实验与研究． （1）在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每5min记录一次容器中的水量，并填写下表． 时间t/min051015202530水量V/mL
（2）建立平面直角坐标系，以横轴表示时间t，纵轴表示水量V，描出以上述实验所得数据为坐标的各点，并观察它们的分布规律． （3）试写出V关于t的函数解析式，并据此估算这种漏水状态下一天的漏水量． 活动2：纸杯的高度 如图所示，是1个纸杯和6个叠放在一起的纸杯的示意图．请你自行定义变量和常量来建立一个函数模型，探究叠放在一起的杯子的总高度与杯子数量之间的关系． 当一定数量的纸杯叠放在一起时，你能根据探究得到的数量关系预估纸杯的高度吗？ 归纳：一次函数在均匀变化现象中的建模与应用 1.适用场景：适用于描述均匀变化的实际现象，此类现象中，因变量随自变量呈线性变化，可通过一次函数(y=kx+b(k≠0)建模． 2.建模核心：明确自变量与因变量，结合实际情境写出函数解析式． 3.建模流程：先通过实验或情境收集数据，再整理数据、描点分析，拟合一次函数模型，最后验证模型合理性，利用模型进行估算、预测等实际应用． 4.关键注意：需准确区分变量，规范收集数据、排除异常值；结合实际情境验证模型，理解测量、操作等误差带来的偏差，确保应用贴合实际．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．子轩在用描点法画某个一次函数的图象时列得如下表格，已知其中有一组数据是错误的，则这组错误的数据是（ ） x…01…y…1411853…
A． B． C． D． 2．鞋码代表鞋子的大小，中国鞋码与脚长之间呈现一定的规律．在网购时，人们可以根据自己的脚长对照中国鞋码，从而选择合脚的鞋子．脚长（单位：）与中国鞋码的部分对照如下表： 脚长…2323.52424.5…中国鞋码…36373839…
小陈的脚长为，则他在网购时选择的中国鞋码为________（用含的代数式表示）． 3．某公交公司的16路公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数（人与这趟公交车每月的利润（利润收入费用支出费用）（元的变化关系如表所示（每位乘客乘一次公交的票价是固定不变的） （人50010001500200025003000（元010002000
请回答下列问题： (1)自变量为　　，因变量为　　； (2)与之间的关系式是 　　； (3)当每月乘车人数为4000人时，每月利润为多少元？ 选做题： 4．将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设张白纸粘合后的总长度为，则与之间的函数关系式为________． 【综合拓展类练习】 5．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为________．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．在探究水的吸热能力的实验中，使用恒定功率的热源对水进行加热．实验发现，在加热过程中，水的温度升高值与加热时间满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据（水的质量恒定），根据表中数据，与之间的函数关系式为（ ） 加热时间水温升高值
A． B． C． D． 2．在直角坐标系中，点，，在同一条直线上，则的值为______． 3．某电影院的观众席的座位按下表的方式设置： 排数（x）1234…座位数（y）50535659
(1)直接写出第5排的座位数； (2)求出座位数y与排数x之间的关系式； (3)按照如表所示的规律，某一排可能有90个座位吗？说说你的理由． 选做题： 4．小明同学利用“描点法”画某个一次函数的图象时，列出的部分数据如表： 自变量…因变量…
经过认真检查，发现其中有一个函数值计算错误，这个错误的函数值是______． 【综合拓展类作业】 5．如图，直线与直线分别与轴交于点．一动点从点出发，先沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处；再沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处…照此规律运动，动点依次经过点…则的长度为______．
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