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(共29张PPT)
第25讲 　卫星运动中的三类典型问题
考点一　天体运动中的追及与相遇问题
能力 高分练
课中 关键能力·可视思维
角度一　两运行天体相距最近——“冲日”模型
例1 (2025重庆模拟)2025年1月16日凌晨,“火星冲日”天象上演。当火星、地球、太阳三者依次排成一条直线时,称为火星冲日,如图所示。地球、火星绕太阳的运动均可看成匀速圆周运动且公转方向相同,已知地球公转半径为r1=1.5×1011 m,火星的公转半径为r2=2.3×1011 m,=1.24,下列说法正确的是(　　)
A.火星的公转周期约为1.5年
B.火星冲日后,火星相对于地球将往前运动
C.火星冲日后,再经半年的时间,火星与地球相距最远
D.下一次火星冲日将发生于2027年
D
解析 地球的公转周期T1= 1年,由开普勒第三定律,得火星的公转周期为T2=1.9年,A错误;由于地球公转的轨道半径比火星的小,根据开普勒第三定律可知,地球公转的周期比火星的小,则地球公转的角速度比火星的大,则火星冲日后,以地球为参考系,火星相对于地球往后运动,二者之间的距离越来越大,当ω1t-ω2t=π时,火星和地球之间的距离最大,解得t==1.05年,B、C错误;当ω1t'-ω2t'=2π时,解得t'=2.11年,由于2025年1月16日发生了火星冲日,则在2027年会再次出现火星冲日现象,D正确。故选D。
破题思维链
解题精要
A、B绕中心天体同向运行,在某时刻相距最近,则:
当(ωB-ωA)t=2nπ(n=1,2,3,…)时,A、B再次相距最近
当(ωB-ωA)t=(2n-1)π(n=1,2,3,…)时,A、B再次相距最远
角度二　两运行天体相距最远模型
例2 (多选)如图所示,在万有引力作用下,A、B两卫星在同一平面内绕某一行星C沿逆时针方向做匀速圆周运动。已知轨道半径之比为rA∶rB=1∶4,则下列说法正确的有(　　)
A.A、B运动的周期之比为TA∶TB=1∶8
B.A、B运动的周期之比为TA∶TB=1∶4
C.从图示位置开始,在B转动一周的过程中,
A、B、C共线12次
D.从图示位置开始,在B转动一周的过程中,
A、B、C共线14次
AD
解析 根据开普勒第三定律可知,轨道半径的三次方与周期的二次方成正比,则A、B运动的周期之比为1∶8,A正确,B错误。设题图所示位置AC连线与BC连线的夹角为θ<,B转动一周(圆心角为2π)的时间为TB,则A、B相距最远时有TB>(π-θ)+n·2π(n=0,1,2,3,…),可知n=0,1,2,…,6,n可取7个值;A、B相距最近时有TB>(2π-θ)+m·2π(m=0,1,2,3,…),可知m=0,1,2,…,6,m可取7个值,故在B转动一周的过程中,A、B、C共线14次,C错误,D正确。
破题思维链
考点二　卫星的变轨和对接问题
角度一　卫星变轨问题中各运行参量的比较
例3 (2024安徽卷)2024年3月20日,我国探月工程四期“鹊桥二号”中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时,“鹊桥二号”开始进行近月制动,并顺利进入捕获轨道运行,如图所示,轨道的半长轴约为51 900 km。后经多次轨道调整,进入冻结轨道运行,轨道的半长轴约为9 900 km,周期约为24 h。则“鹊桥二号”在捕获轨道运行时(　　)
A.周期约为144 h
B.近月点的速度大于远月点的速度
C.近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
D.近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
B
解析 本题考查万有引力与航天。冻结轨道和捕获轨道的中心天体都是月球,根据开普勒第三定律得,整理得T2=T1=288 h,A错误;根据开普勒第二定律可知,近月点的速度大于远月点的速度,B正确;在近月点从捕获轨道到冻结轨道,“鹊桥二号”要进行近月制动,在捕获轨道运行时近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度,C错误;“鹊桥二号”在两轨道的近月点所受的万有引力相同,根据牛顿第二定律可知,“鹊桥二号”在捕获轨道运行时近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度,D错误。
破题思维链
解题精要
卫星变轨问题分析
类型 离心变轨 近心变轨
前因 突然加速 突然减速
本质 GFn
后果 变为大的椭圆或圆轨道 变为小的椭圆或圆轨道
角度二　飞船的对接问题的处理方法
例4 (2025河北秦皇岛模拟)2024年10月30日,神舟十九号载人飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接,对接于天和核心舱前向端口,形成三舱三船组合体,3名航天员随后从神舟十九号载人飞船进入空间站天和核心舱。飞船与空间站交会对接后距地面的高度小于地球同步卫星距地面的高度。下列说法正确的是(　　)
A.航天员在天和核心舱中处于失重状态,不受地球吸引力
B.飞船与空间站组合体对接后的向心加速度大小相等
C.飞船先在比空间站运行半径小的轨道上减速,减速后飞船逐渐靠近空间站,两者速度接近时实现对接
D.飞船与空间站组合体的运行速度小于地球同步卫星的速度
B
解析 航天员在天和核心舱中处于失重状态,并不是不受地球吸引力,而是地球吸引力全部用来充当向心力,A错误;在对接后,飞船与空间站组合体所受万有引力提供向心力,有G=ma,解得a=G,故飞船与空间站组合体对接后的向心加速度大小相等,B正确;当飞船在比空间站运行半径小的轨道上减速时,飞船将做近心运动,逐渐远离空间站,不可能实现对接,飞船对接需从低轨道变轨到高轨道,应加速,而不是减速,C错误;根据万有引力提供向心力有G=m,解得v=,飞船与空间站组合体的轨道半径小于同步卫星的轨道半径,运行速度比地球同步卫星的速度大,D错误。故选B。
破题思维链
解题精要
飞船的对接问题
(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接:
如图甲,低轨道上运行的飞船在适当位置加速会沿椭圆轨道运行,通过控制使飞船的椭圆轨道与空间站的轨道相切,两者在切点实现对接。
(2)同一轨道飞船与空间站对接:
如图乙,后面的飞船先减速降低轨道,再加速提升轨道,通过适当控制,使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度。
考点三　双星和多星模型
角度一　双星模型的处理方法
例5 如图所示,“食双星”是两颗相距为d的恒星A、B,只在相互引力作用下绕连线上O点做匀速圆周运动,彼此掩食(像月亮挡住太阳)而造成亮度发生周期性变化的两颗恒星。观察者在地球上通过望远镜观察“食双星”,视线与双星轨道共面。观测发现每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次,已知引力常量为G,地球距A、B很远,可认为地球保持静止,则(　　)
A.恒星A、B运动的周期为T
B.恒星A的质量小于B的质量
C.恒星A、B的总质量为
D.恒星A的线速度大于B的线速度
C
解析 每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次,则两恒星的运动周期为T'=2T,故A错误;根据万有引力提供向心力有G=mArA=mBrB,由题图知rAmB,故B错误;由B选项得,两恒星总质量为M=mA+mB=,故C正确;根据v=ωr,两恒星角速度相等,则vA破题思维链
解题精要
双星系统的向心力分析
由图可知向心力方程:
r2。
角度二　多星模型的处理方法
例6 (2025山东日照模拟)科学家观测到有三颗星A、B、C保持相对静止,相互之间的距离均为l,且一起绕着某点做周期为T的匀速圆周运动。已知mA=m,mB=mC=(+1)m,不计其他星体对它们的影响。关于这个三星系统,下列说法正确的是(　　)
A.三颗星A、B、C的半径之比为1∶1∶1
B.三颗星A、B、C的线速度大小之比为∶1∶1
C.若距离l均不变,A、B、C的质量均变为原来的2倍,
则周期变为T
D.若A、B、C的质量不变,距离均变为2l,则周期变为T
B
解析 由于三颗星保持相对静止,一起绕着某点做圆周运动,三星角速度与周期相等,根据对称性,B、C轨道半径相等,作出三星运动轨迹,如图所示,对A星有2Gcos 30°=mω2RA,对B、C星,两星各自所受引力的合力大小相等,设为F,根据余弦定理有F2=-2G·Gcos 120°,对B、C星,两星各自做圆周运动,B、C轨道半径相等,设为RB=RC=R0,则有F=(+1)mω2R0,解得,可知三颗星A、B、C的半径大小之比为∶1∶1,故A错误;
根据线速度与角速度的关系v=ωR,三颗星A、B、C的角速度相等,线速度之比等于半径之比,结合上述可知,三颗星A、B、C的线速度大小之比为∶1∶1,故B正确;
距离l均不变,对A星有2Gcos 30°=mRA,若A、B、C的质量均变为原来的2倍,根据对称性可知,三颗星圆周运动的圆心不变,即轨道半径不变,则有2Gcos 30°=2mRA,解得T1=,即若距离l均不变,A、B、C的质量均变为原来的2倍,则周期变为T,故C错误;
若A、B、C的质量不变,距离均变为2l,根据对称性可知,三颗星圆周运动的圆心不变,即轨道半径均变为先前的2倍,则对A星有2Gcos 30°= m·2RA,解得T2=2T,即若A、B、C的质量不变,距离均变为2l,则周期变为2T,故D错误。
破题思维链
解题精要
特殊三星系统的向心力分析
情形一:三颗星在同一直线上。
向心力方程:=ma
情形二:三颗星构成等边三角形。
向心力方程:2×cos 30°=ma,且L=2Rcos 30°第25讲卫星运动中的三类典型问题
基础·满分练
命题角度一　两运行天体相距最近——“冲日”模型
1.(2025山东潍坊模拟)海王星是仅有的利用数学预测发现的行星,是牛顿力学的辉煌标志之一。在未发现海王星之前,天文学家发现天王星实际运动的轨道与万有引力理论计算的值总存在一些偏离,且周期性地每隔时间t发生一次最大的偏离。天文学家认为形成这种现象的原因是天王星外侧还存在着一颗未知行星绕太阳运行,其运行轨道与天王星在同一平面内,且与天王星的绕行方向相同,每当未知行星与天王星距离最近时,它对天王星的万有引力引起天王星轨道的最大偏离,该未知行星即海王星。已知天王星的公转周期为T,则海王星的公转周期为(　　)
A. B.
C. D.
命题角度二　两运行天体相距最远模型
2.(2024河南洛阳模拟)我国农历一个月用月亮的朔望月周期来划分,即从一次满月到下一次满月的时间间隔。右图为满月时月球、地球和太阳之间的位置,它们的中心位于同一直线上,设月球绕地球做圆周运动的周期为T月,地球绕太阳做圆周运动的周期为T地,月球绕地球做圆周运动的平面与地球绕太阳做圆周运动的平面共面,地球围绕太阳公转和月球围绕地球公转的方向相同,我国农历一个月的时间是(　　)
A.T月 B.
C. D.
命题角度三　卫星变轨与对接问题
3.(多选)(2025四川巴中期末)下列说法正确的是(　　)
A.根据开普勒第三定律,地球围绕太阳运行时,其周期的三次方与半长轴的二次方的比值为常量
B.中国天宫空间站在距地面约400 km处的圆轨道上的运行速度一定小于7.9 km/s
C.地球同步轨道卫星运行周期为24 h
D.载人飞船要对接在同一圆轨道上的空间站,直接加速追上空间站即可完成对接
4.(2024天津河西区一模)我国成功发射“神舟七号”载人飞船,随后航天员圆满完成了太空出舱任务并释放了“伴飞”小卫星。载人飞船在固定的轨道上做匀速圆周运动,“伴飞”小卫星与载人飞船相对静止,“伴飞”小卫星有多种伴飞模式,图甲和图乙是其中的两种伴飞模式。下列说法正确的是(　　)
A.载人飞船的发射速度大小介于7.9 km/s到11.2 km/s之间
B.图甲的伴飞模式下,“伴飞”小卫星的线速度大于载人飞船的线速度
C.图乙模式下“伴飞”小卫星只需向后喷出气体加速,就可以和载人飞船对接
D.图甲和图乙两种伴飞模式下,图甲“伴飞”小卫星的角速度大
命题角度四　双星模型的处理方法
5.(2025黑龙江哈尔滨模拟)研究人员使用“天眼”望远镜FAST,在武仙座球状星团中发现了一个脉冲双星系统。如图所示,在这个双星系统中,主星是一颗毫秒脉冲星,伴星的物质会被主星的星风加热并吸走一部分,从而使两星之间的距离逐渐增大。已知某时刻主星的质量为m1,伴星的质量为m2,且m1=4m2,两星运动的周期为T,引力常量为G,则下列说法正确的是(　　)
A.主星与伴星的轨迹半径之比为4∶1
B.主星与伴星的向心加速度之比为4∶1
C.主星与伴星的运动速率之和为
D.主星与伴星的间距为
命题角度五　多星模型的处理方法
6.(2025辽宁朝阳高三期末)三颗质量均为m的恒星组成等边三角形,边长为L,质心为O,绕共同中心做圆周运动。引力常量为G,每颗恒星的角速度为(　 　)
A. B.
C. D.
能力·高分练
7.(多选)(2025吉林长春模拟)2025年2月至3月间,天文爱好都在热议太阳系中的“七星连珠”,是指由于各行星绕太阳的周期不同,会每隔一段时间出现七颗行星在一直线上。如图所示,A、B、C三颗星体绕一中心天体O在同一平面内、半径不同的圆周轨道顺时针做匀速圆周运动,已知A、B、C运动的线速度之比为1∶,A运动的周期为T,某时刻O、A、B、C四者共线且A、B、C在O点同侧,则从此时开始(　　)
A.A、B间距离相邻两次最短的时间小于B、C间距离相邻两次最短的时间
B.A、B间距离相邻两次最短的时间大于B、C间距离相邻两次最短的时间
C.再次出现O、A、B、C四者共线且A、B、C在O点同侧的最短时间为15T
D.再次出现O、A、B、C四者共线且A、B、C在O点同侧的最短时间为7.5T
8.(多选)在宇宙中当一颗恒星靠近黑洞时,黑洞和恒星可以相互绕行,从而组成双星系统。在相互绕行的过程中,质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入质量较小的黑洞中,从而被吞噬掉,黑洞吞噬恒星的过程也被称为“潮汐瓦解事件”。天鹅座X-1就是一个由黑洞和恒星组成的双星系统,它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动。在刚开始吞噬的较短时间内,恒星和黑洞的距离不变,则在这段时间内,下列说法正确的是(　　)
A.两者之间的万有引力变大
B.黑洞的角速度变大
C.恒星的线速度变大
D.黑洞的线速度变大
9.(多选)用于提供地球和月球背面通信的“鹊桥二号”中继卫星成功发射。如图所示,其轨道的圆心在地月连线外的L2点上,则关于该卫星的发射和运行说法正确的是(　　)
A.其发射速度大于第二宇宙速度
B.其发射速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
C.其运行时只受地球的万有引力
D.其运行时需要较小的动力做微调才能维持在该轨道上
素养·提升练
10.(12分)(2026河南郑州模拟)宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统和四星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用,现观测到某三星系统是三颗星位于同一直线上,两颗相距为2d,质量均为m的星围绕质量为2m的中央母星做圆周运动,如图甲所示;某四星系统中三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点上,质量为2m的母星在三角形的中心,三角形边长为d,三颗星沿外接于等边三角形的圆形轨道运行,如图乙所示,已知引力常量为G,求:
(1)三星系统和四星系统中,外侧星体所受其母星的万有引力的大小;
(2)三星系统和四星系统中,外侧星体的向心加速度大小。
答案：
1.A　解析 设海王星的公转周期为T海,由题知,每隔时间t海王星与天王星距离最近,则有t=2π,解得T海=,故选A。
2.D　解析 月球比地球多转2π弧度,再次满月t-t=2π,解得t=,故选D。
3.BC　解析 根据开普勒第三定律可知周期的二次方与半长轴的三次方的比值为常量,A错误;第一宇宙速度7.9 km/s是近地卫星的环绕速度,也是卫星最大的圆周运动的环绕速度,故中国天宫空间站在距地面约400 km处的圆轨道上的运行速度一定小于7.9 km/s,B正确;地球同步轨道卫星运行周期等于地球自转周期均为24 h ,C正确;载人飞船直接加速会做离心运动,离开原轨道,不能在同一圆轨道上追上空间站完成对接,需先在低轨道加速做离心运动,再在高轨道调整完成对接,D错误。故选BC。
4.A　解析 第一宇宙速度7.9 km/s是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大线速度,也是最小发射速度,第二宇宙速度11.2 km/s是脱离地球引力束缚的最小发射速度,所以载人飞船的发射速度大小介于7.9 km/s到11.2 km/s之间,故A正确;“伴飞”小卫星与载人飞船相对静止,可知图甲和图乙两种伴飞模式下“伴飞”小卫星的角速度大小是相等的,且都与载人飞船的角速度大小相等,根据v=ωr可知,图甲的伴飞模式下,由于“伴飞”小卫星的轨道半径小于载人飞船的轨道半径,则“伴飞”小卫星的线速度小于载人飞船的线速度,故B、D错误;图乙模式下“伴飞”小卫星向后喷出气体,加速后将做离心运动,变轨到更高的轨道,不可能与载人飞船对接,故C错误。故选A。
5.C　解析 双星系统中周期相同,角速度ω也相同。主星有G=m1r1,伴星有G=m2r2,联立有m1r1=m2r2,主星与伴星的轨迹半径之比,A错误;主星与伴星的向心加速度之比为,B错误;G=m1r1, G=m2r2,r1+r2=L,联立得L=,主星速率v1=r1,伴星的运动速率v2=r2,主星与伴星的运动速率之和为v1+v2=r1+r2=L=,C正确,D错误。故选C。
6.C　解析 以其中一颗恒星为研究对象,根据牛顿第二定律可得2Gcos 30°=mω2R,其中每颗恒星运动的轨道半径为R=L,解得每颗恒星的角速度为ω=,故选C。
7.AD　解析 根据万有引力提供向心力G=m,解得v=,可知rA∶rB∶rC=1∶,根据开普勒第三定律=k,可得TA∶TB∶TC=1∶3∶5,则A、B、C运动的周期分别为T、3T、5T,设A、B间距离相邻两次最短的时间为tAB,则有×tAB=2π,解得tAB=1.5T,设B、C间距离相邻两次最短的时间为tBC,则有×tBC=2π,解得tBC=7.5T,A、B间距离相邻两次最短的时间小于B、C间距离相邻两次最短的时间,A正确,B错误;由于tBC=5tAB,即当B、C第一次距离相
邻时,A、B第五次相邻,此时O、A、B、C四者共线,所以最短时间为7.5T,C错误,D正确。故选AD。
8.AC　解析 假设恒星和黑洞的质量分别为M、m,环绕半径分别为R、r,且m9.BD　解析 “鹊桥二号”中继卫星仍然处于地球引力的束缚之内,因此“鹊桥二号”中继卫星发射速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间,A错误,B正确。“鹊桥二号”中继卫星除了受到地球的万有引力之外,还受到月球的万有引力作用,C错误。由于“鹊桥二号”中继卫星围绕L2点做匀速圆周运动,由所受外力的合力提供向心力,则合力方向指向圆心;“鹊桥二号”中继卫星所受地球与月球万有引力的合力方向偏向地月连线,为了确保合力方向指向圆心,其运行时需要较小的动力做微调才能使合力方向指向圆心,维持在该轨道上的匀速圆周运动,D正确。故选BD。
10.(1)　(2)
解析 (1)三星系统中外侧两星所受母星引力大小相同F引1=,同理四星系统中F引2=。
(2)三星系统中外侧星所受引力大小为F引=,F引=ma向,a向=,同理四星系统中F引'=,F引'=ma向',a向'=。
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