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(共43张PPT)
第23讲　万有引力定律及其应用
基础 满分练
课前 自检自测·夯基固本
知识点一　开普勒定律
3个高考关键点
关键点1　开普勒第一定律的理解
1.(多选)如图所示,火星和地球都在围绕着太阳旋转,
其运行轨道是椭圆。根据开普勒行星运动定律可知(　　)
A.太阳位于火星运行轨道的几何中心
B.在相同时间内,火星和地球与太阳的连线扫过的面积相等[命题点 ]
C.火星绕太阳运行一周的时间比地球的长[命题点 ]
D.火星和地球轨道半长轴的立方与公转周期的平方的比值大小相等
[命题点 ]
CD
解析 根据开普勒第一定律可知,地球绕太阳运行的轨道是椭圆,太阳位于椭圆的焦点处,故A错误;根据开普勒第二定律可知,在相同时间内,火星与太阳的连线扫过的面积相等;地球与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等,但是火星和地球与太阳的连线扫过的面积并不相等,故B错误;根据开普勒第三定律可知,火星绕太阳运行的半长轴大于地球绕太阳运行的半长轴,可知火星绕太阳运行一周的时间比地球的长,故C正确;根据开普勒第三定律可知,火星和地球轨道半长轴的立方与公转周期的平方的比值大小相等,故D正确。
关键点2　开普勒第二定律的应用
2.(原创+教材改编)开普勒行星运动定律不仅
适用于行星绕太阳的运动,也适用于卫星绕行
星的运动。如果一颗人造地球卫星沿椭圆轨
道运动,请回答下面问题。
(1)卫星在近地点(离地球最近的位置)和远地点(离地球最远的位置)比较,
　　　　的速度比较大;[命题点 ]
(2)若近地点A到地球的距离为L,远地点B到地球的距离为s,如图所示,则卫星在A点和B点的速度之比为　　　　。[命题点 ]
近地点
s∶L
解析 设卫星在近地点A时的速度为vA,在远地点B时的速度为vB,在A点、B点附近分别截取两小段曲线l1与l2,可以将这两小段曲线看成两小段圆弧,半径分别为L与s;若卫星通过这两小段曲线的时间相等且很短,由开普勒第二定律可知Ll1=sl2,则LvAt=svBt,得出LvA=svB,所以vA∶vB=s∶L。由于s>L,所以vA>vB,故卫星在近地点的速度大于在远地点的速度。
关键点3　开普勒第三定律的应用
3.(多选)(2025山西太原模拟)如图,编号为“381323号”的小行星——“樊锦诗星”,公转轨道的长轴约为6.4 AU,远日点到太阳中心的距离约为4.7 AU,公转轨道与地球轨道平面间的夹角约为20°。将地球轨道视为半径为1 AU的圆,只考虑太阳对行星的引力,
则可估算出“樊锦诗星”(　　)[命题点 ]
A.与地球的公转周期之比约为∶1
B.与地球的公转周期之比约为∶1
C.在远日点受到太阳的引力大于地球受到太阳的引力
D.在近日点的向心加速度小于地球的向心加速度
AD
解析 据开普勒第三定律得,解得,A正确,B错误;根
据F=G ,因小行星的质量小于地球的质量,小行星在远日点到太阳中心的距离大于地球到太阳中心的距离,所以小行星在远日点受到太阳的引力小于地球受到太阳的引力,C错误;据牛顿第二定律得a==G,小行星在近日点到太阳中心的距离为r星=6.4 AU-4.7 AU=1.7 AU,地球到太阳中心的距离为r地=1 AU,所以a星回归基础·考教衔接
一、开普勒第一定律(轨道定律)
内容 示意图
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上
二、开普勒第二定律(面积定律)
内容 示意图
对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
[ ]开普勒第二定律只适用于同一行星,不同行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积是不相等的。
内容 公式
所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等 =k [ ]定性分析:公转轨道的半长轴大的行星其公转周期也大;k值只与中心天体的质量有关,不同的中心天体k值不同。
[ ]定量计算:月球与地球为各自模型的中心天体,其k值不一样,月球与地球的质量之比等于它们的k值之比。
三、开普勒第三定律(周期定律)
特别提示　椭圆没有半径的概念,但有长轴和短轴,开普勒第三定律涉及半长轴,即长轴的一半。
知识点二　万有引力定律
3个高考关键点
关键点1　万有引力定律的理解
4.(2025山东济南模拟)质量相等的物体A、B静止在地
球表面,它们所在的纬度分别为北纬30°和60°。如图
所示,其中OO'为地轴,则关于A、B两个物体的角速度大
小ωA、ωB,线速度大小vA、vB,向心力大小FA、FB,万有
引力大小FA'、FB'的关系正确的是(　　)[命题点 ]
A.vA=vB　 B.ωA=ωB
C.FA=FB D.3FA'=FB'
A
解析 A、B两个物体共同绕地轴转动,故角速度相同,即ωA=ωB,根据v=ωr,可知,即vA=vB,A正确,B错误;
二者向心力之比为,可得FA=FB,C错误;
二者万有引力大小之比为,故D错误。故选A。
关键点2　万有引力定律的适用条件
5.(多选)(原创+教材改编)课外小组的同学对人造地球卫星所需的向心力和卫星运行的速率发生了争论。如果人造地球卫星的质量不变,当轨道半径增大到原来2倍时,下列说法正确的是(　　)[命题点 ]
A.甲同学根据向心力公式F=m说,向心力减小为原来的
B.乙同学根据万有引力F=G说,向心力变为原来的
C.丙同学根据公式v=ωr说,卫星运行的速率变为原来的2倍
D.丁同学根据公式v=说,卫星运行的速率变为原来的
BD
解析 卫星绕地球做匀速圆周运动,根据万有引力提供向心力有F==m,可得v=,可知如果人造地球卫星的质量不变,当轨道半径增大到原来的2倍时,向心力变为原来的,卫星运行的速率变为原来的,故B、D正确;根据向心力公式F=m,当轨道半径增大到原来的2倍时,由于线速度发生变化,所以向心力未变为原来的,故A错误;根据公式v=ωr,当轨道半径增大到原来的2倍时,由于角速度发生变化,所以卫星运行的速率未变为原来的2倍,故C错误。
关键点3　天体运动问题的分析思路
6.宇宙中存在质量相等的四颗星组成的四星系统,这些系统一般离其他恒星较远,通常可忽略其他星体对它们的引力作用。四颗星稳定地分布在正方形的四个顶点上运动,它们都绕正方形中心做圆周运动,如图所示,若每个星体的质量均为m,引力常量为G,正方形的边长为a,则每个星体所受万有引力为多大 [命题点 ]
答案
解析 每一个星体均受到三个力的作用,相邻两个星体的作用力F1=,对角线上星体对它的作用力F2=,这两个力在同一直线上,所以合力应该为F=。
回归基础·考教衔接
四、万有引力定律
1.内容:自然界中任何两个物体都相互吸引,引力的方向在它们的连线上,引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。
2.表达式:F=G,G是比例系数,叫作引力常量,G=6.67×10-11 N·m2/kg2。
3.适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时,物体可视为质点。
(2)质量分布均匀的球体可视为质点,r是两球心间的距离。
[ ]两星体之间的万有引力、物体与天体之间的万有引力、人造卫星与地球之间用此公式分析与计算。
五、天体运动问题分析
1.将天体的运动看成匀速圆周运动,其所需向心力由万有引力提供。[ ]
2.基本关系式
G
[ ]当人造地球卫星的轨道半径r变化时,其线速度、角速度、周期的大小也变化。
考点一　万有引力与重力
能力 高分练
课中 关键能力·可视思维
角度一　考虑天体自转时万有引力与重力的关系
例1 (2025四川成都模拟)如图所示,P、Q是质量均为m的两个质点,分别置于地球表面不同纬度上,假设把地球看成是一个质量分布均匀的球体,P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运动,
则下列说法正确的是(　　)
A.Q质点受地球的万有引力小于P质点受地球的万有引力
B.P、Q做匀速圆周运动的向心加速度大小相等
C.P质点所受重力小于Q质点所受重力
D.P、Q质点所受重力的方向均指向地心
C
解析 根据万有引力公式F=G,由于P、Q两个质点的质量相等,离地心的距离都为地球的半径,故Q质点受地球的万有引力等于P质点受地球的万有引力,A错误;P、Q两个质点为同轴转动,角速度相等,根据a=ω2r,由于P、Q两个质点做圆周运动的半径r不同,则P、Q做匀速圆周运动的向心加速度大小不相等,B错误;根据题意可知,若考虑地球的自转,则有G=mg+mω2r,由于P质点做圆周运动的半径较大,则P质点做圆周运动所需向心力较大,可得P质点的重力小于Q质点的重力,C正确;P质点所受重力方向指向地心,Q质点所受重力方向竖直向下,不指向地心,D错误。故选C。
破题思维链
解题精要
考虑天体自转的分析
(1)在赤道上:G=mg1+mω2R。
(2)在两极上:G=mg2。
角度二　天体表面下方的重力加速度
例2 (2025河北石家庄模拟)已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零,设地球是一个质量分布均匀的球体,其质量为M,半径为R,设想以地心为圆心,r(r下列说法正确的是(　　)
A.轨道处重力加速度大小为g=
B.小球线速度大小为v=
C.小球角速度大小为ω=
D.若设想沿地球直径挖一条隧道,将小球从此隧道一端由静止释放,小球到达O点的速度大小为
A
解析 设地球的密度为ρ,则有M=ρ·πR3,轨道处有=mg',M'=ρ·πr3,联立解得轨道处重力加速度大小为g'=,A正确;给小球一合适的速度v,使小球恰好在隧道内做圆周运动,且不与隧道壁接触,根据牛顿第二定律可得=m=mω2r,可得v=,ω=,B、C错误;
若设想沿地球直径挖一条隧道,将小球从此隧道一端由静止释放,当小球离O点距离为x时,所受引力大小为F引=πGρmx∝x,则小球从此隧道一端由静止释放,小球到达O点时,引力做功为W=·R=,根据动能定理可得W=mv2-0,解得小球到达O点的速度大小为v=,D错误。故选A。
破题思维链
解题精要
星体内部万有引力的两个推论
推论1:在匀质球壳空腔内的任意位置处,质点受到球壳的万有引力的合力为零,即F引合=0。
推论2:在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M)对它的万有引力,即F=G。
角度三　天体表面上空的重力加速度
例3 (2025河南郑州期末)有一半径为R的匀质球体,距离球心2R处有一质点P。现从球体中心挖去半径为R的球体,如图所示。则挖去前后质点P受到万有引力的比值为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
C
解析 令匀质球体总质量为M0,则球体中心挖去后剩余部分的质量M1=M0-π·,挖去前后质点P受到万有引力F0=G,F1=G,解得,故选C。
破题思维链
解题精要
不考虑天体自转的分析
(1)在天体表面附近:g=。
(2)在天体上空距离地心r=R+h处:g'=。
考点二　天体质量和密度的估算
角度一　“重力加速度法”计算天体自身的质量和密度
例4 (2025广东广州模拟)由中国科学院云南天文台牵头的国际研究团队,在一颗类似太阳的恒星周围发现了一颗位于宜居带的“超级地球”Kepler-725c。假设未来人类移居该星球,为测量该星球的质量,某人从倾角为θ的斜面上方某处以大小为v0的水平速度抛出小球,小球在空中运动时间t后恰好垂直击中斜面。已知引力常量为G,该星球的半径为R,不计空气阻力和该星球的自转影响,则该星球的质量为(　　)
A. B.
C. D.
D
解析 设该星球表面的重力加速度大小为g,小球垂直击中斜面,则有tan θ =,质量为m的物体在该星球表面时有G=mg,解得M=。故选D。
破题思维链
解题精要
1.区别天体半径R和卫星轨道半径r,只有在天体表面附近的卫星,才有r≈R;计算天体密度时,V=πR3中的“R”只能是中心天体的半径。
2.天体质量估算中常有隐含条件,如地球的自转周期为24 h,公转周期为365天等。
3.注意黄金代换式GM=gR2的应用。
角度二　“环绕法”计算中心天体的质量和密度
例5 (跨学科融通)“北斗”是我国自主研制、独立运行的全球卫星导航系统,某同步卫星的对地张角为2θ,运行轨道如图中圆形虚线所示。已知地球半径为R、自转周期为T、地球表面重力加速度为g,引力常量为G。由此可知地球的质量为(　　)
A. B.
C. D.
C
解析 设卫星的轨道半径为r,由题意可知sin θ=,解得r=,对卫星绕地球做圆周运动G=mr,可得地球的质量M=。故选C。
破题思维链
解题精要
看到 “卫星”、“绕行”、“周期T”、“轨道半径r” 等关键词,优先选用环绕法;看到 “重力加速度g”、“表面”、“半径R”,优先选用表面重力法。第23讲万有引力定律及其应用
基础·满分练
命题角度一　考虑天体自转时万有引力与重力的关系
1.(2025安徽合肥八中模拟)地球上,在赤道上的一物体A和在台州的一物体B随地球自转而做匀速圆周运动,如图,它们的线速度大小分别为vA、vB,角速度分别为ωA、ωB,重力加速度分别为gA、gB,则(　　)
A.vA=vB,ωA=ωB,gA>gB
B.vAgB
C.vA>vB,ωA=ωB,gA>gB
D.vA>vB,ωA=ωB,gA2.(2025四川成都模拟)如图所示,由于地球自转和离心运动,地球并不是一个绝对的球形(图中虚线为圆形),而是赤道部分凸起、两极凹下的椭球形(图中实线为椭圆),A点为地表上地理纬度为θ的一点,在A点有一静止放在水平地面上的物体,该物体质量为m,设地球对物体的万有引力仍然可看作是质量全部集中于地心O处的质点对物体的引力,地球质量为M,地球自转周期为T,地心O到A点距离为R,水平虚线为椭圆上过A的切线,则下列关于水平地面对该物体的支持力的说法正确的是(　　)
A.支持力沿OA方向向上
B.物体由所受的万有引力和支持力的合力提供向心力
C.支持力大小等于G
D.支持力大小等于G-mRcos θ
命题角度二　天体表面上空的重力加速度
3.(多选)(2024广东卷)如图所示,探测器及其保护背罩通过弹性轻绳连接降落伞。在接近某行星表面时以60 m/s的速度竖直匀速下落。此时启动“背罩分离”,探测器与背罩断开连接,背罩与降落伞保持连接。已知探测器质量为1 000 kg,背罩质量为50 kg,该行星的质量和半径分别为地球的,地球表面重力加速度大小g取10 m/s2,忽略大气对探测器和背罩的阻力。下列说法正确的有(　　)
A.该行星表面的重力加速度大小为4 m/s2
B.该行星的第一宇宙速度为7.9 km/s
C.“背罩分离”后瞬间,背罩的加速度大小为80 m/s2
D.“背罩分离”后瞬间,探测器所受重力对其做功的功率为30 kW
4.(2025湖北武汉模拟)2024年4月26日,神舟十八号载人飞船与天和核心舱成功进行对接。飞船运行与交会对接过程示意图如图所示,椭圆轨道1为飞船对接前的运行轨道,Q点是轨道1的近地点,离地高度可忽略不计。圆形轨道2距地面高度为H,是天和核心舱的运行轨道,P点是轨道1、2的切点,也是交会点。已知地球半径为R,地球表面重力加速度为g,忽略地球自转,则交会对接前天和核心舱的向心加速度大小为(　　)
A.g B.g
C.g D.g
命题角度三　“环绕法”计算中心天体的质量和密度
5.下表为几个卫星的轨道半长轴和周期的数据,根据这些数据可估算木星与地球的质量之比为(　　)
卫星 木卫一 地球同步卫星 土卫一
半长轴/km 421 700 42 240 185 520
周期/d 1.77 1 0.94
A.31 B.110
C.310 D.1 100
6.(2025江西省上饶市测试)2024年6月25号,嫦娥六号携带月壤成功返回地球,返回地球前,嫦娥六号要先进入环月圆轨道,在该轨道上的运行周期为T。若环月圆轨道到月球表面的高度为h,月球的半径为R,引力常量为G,月球看成匀质球体,则月球的密度为(　　)
A. B.
C. D.
命题角度四　“重力加速度法”计算天体自身的质量和密度
7.(2025河南鹤壁测试)我国一直努力进行火星生命迹象的探索。如图所示,某火星探测器先在椭圆轨道Ⅰ上绕火星运动,周期为2T,后从A点进入圆轨道Ⅱ绕火星做匀速圆周运动,周期为T。当探测器即将着陆前悬停在距离火星表面附近h的高度时,以v0的初速度水平弹出一个小球,测得小球弹出点到落地点之间的直线距离为2h。已知火星的半径为R,引力常量为G,下列判断正确的是(　　)
A.火星表面的重力加速度大小为
B.火星的质量为
C.椭圆轨道Ⅰ的半长轴为圆轨道Ⅱ半径的2倍
D.探测器从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ,需要在A处点火加速
能力·高分练
8.(2024广西卷)潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中A、B和C处单位质量的海水受月球引力大小在(　　)
A.A处最大
B.B处最大
C.C处最大
D.A、C处相等,B处最小
9.(2023辽宁卷)在地球上观察,月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等,如图所示。若月球绕地球运动的周期为T1,地球绕太阳运动的周期为T2,地球半径是月球半径的k倍,则地球与太阳的平均密度之比约为(　 　)
A.k3 B.k3
C. D.
10.(2025浙江宁波模拟)如图所示,A为置于地球赤道上待发射的卫星,B为绕地球沿椭圆轨道运行的卫星,C为地球静止同步卫星。已知C的线速度大小为v,运行周期为T,轨道半径为地球半径的X倍,B的轨道半长轴为地球半径的Y倍。下列说法正确的是(　　)
A.A的线速度大小为Xv
B.B的运行周期为T
C.B经过轨道上Q点时的加速度大小为
D.欲使A进入地球同步轨道,其发射速度至少为11.2 km/s
素养·提升练
11.(14分)(2025江苏宿迁测试)人类的征途是星辰大海。假如将来的你成为了一名优秀的航天员,并成功登上了火星。当你乘宇宙飞船绕火星做匀速圆周运动时,火星在视野内两边界的夹角θ为74°,并测得宇宙飞船的周期为T;已知引力常量为G,火星半径为R,忽略火星的自转。求:
(1)火星的质量;
(2)火星表面的重力加速度。
答案：
1.D　解析 地球上的点除两极外,相同时间内绕各自圆心转过角度相同,所以角速度相同,有ωA=ωB,根据v=ωr可知,角速度相同时,做圆周运动的半径越大,线速度越大,则有vA>vB,地球上随纬度增加,重力加速度增大,赤道重力加速度最小,两极重力加速度最大,则gA2.B　解析 物体随地球自转而做匀速圆周运动需要向心力,其大小为Fn=mRcos θ,由万有引力的一个分力提供,而另一个分力为重力,而物体所受支持力与重力等大反向,并不是沿OA方向向上,物体的受力情况如图所示。其中F万和Fn、mg为等效替代关系。故FN=mg3.AC　解析 本题考查万有引力与航天。在星球表面,根据G=mg,可得g=,行星的质量和半径分别为地球的,地球表面重力加速度大小g取10 m/s2,可得该行星表面的重力加速度大小g'=4 m/s2,故A正确;在星球表面上空,根据万有引力提供向心力得G=m,解得星球的第一宇宙速度v=,行星的质量和半径分别为地球的,可得该行星的第一宇宙速度v行=v地,地球的第一宇宙速度为7.9 km/s,所以该行星的第一宇宙速度v行=×7.9 km/s,故B错误;“背罩分离”前,探测器及其背罩和降落伞整体做匀速直线运动,对探测器受力分析,可知探测器与背罩之间的作用力F=mg'=4 000 N,“背罩分离”后,背罩所受的合力大小为4 000 N,对背罩根据牛顿第二定律得F=m'a,解得a=80 m/s2,故C正确;“背罩分离”后瞬间,探测器所受重力对其做功的功率P=mg'v=1 000×4×60 W=240 kW,故D错误。
4.C　解析 设对接前天和核心舱的向心加速度大小为a,根据牛顿第二定律有G=ma,因为G=m0g,解得a=g。故选C。
5.C　解析 卫星绕行星运行时,根据万有引力提供向心力有G=mr,整理得,则≈318,故选C。
6.D　解析 嫦娥六号在环月圆轨道上做匀速圆周运动,万有引力提供向心力=m(R+h),再根据M=πR3ρ,解得ρ=。故选D。
7.B　解析 设火星表面的重力加速度为g,根据平抛运动的规律,有h=gt2,水平方向=v0t,联立可得g=,根据火星表面物体受到的万有引力等于重力,有G=mg,可得M=,选项A错误,B正确;根据开普勒第三定律得,可得半长轴a=r,选项C错误;从高轨道向低轨道变轨,需要点火减速,选项D错误。
8.A　解析 根据F引=得,距月球越近,受到月球吸引力越大,选项A正确。
9.D　解析 设月球绕地球运动的半径为r1,地球绕太阳运动的半径为r2,根据万有引力定律,月球绕地球运动时有G=m月r1,解得m地=,设地球的半径为R地,太阳的半径为R太,则地球的体积V=,解得ρ地=,同理可得ρ太=,故,由题图可得,由题中条件可知R地=kR月,解得,选项D正确。
10.C　解析 由题意可知,地球静止同步卫星的角速度ω=,设地球的半径为R,则有v=,则待发射卫星A的线速度大小vA=ωR=,A错误;由开普勒第三定律得,解得TB=T,B错误;B经过轨道上Q点时的加速度大小等于C的向心加速度,故有aB=aC=ω2r=ω·ωr=ω·v=,C正确;11.2 km/s是脱离地球引力的最小发射速度,而地球静止卫星依然没有脱离地球的引力,D错误。
11.(1)　(2)
解析 (1)设宇宙飞船的轨道半径为r,根据题意由几何关系可得rsin=R,
解得r=R,
根据万有引力提供向心力有G=mr,
解得火星的质量为M火=。
(2)忽略火星的自转时,对火星表面的物体有G=mg火,
所以火星表面的重力加速度为g火=。
1

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