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第29讲 机械能守恒定律中的连接体问题
基础·满分练
命题角度一　两物体速度大小相同
1.如图所示,可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接,跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱,A的质量为B的2倍。当B位于地面上时,A恰与圆柱轴心等高,将A由静止释放,B上升的最大高度是(　　)
A.2R B.
C. D.
命题角度二　两物体角速度相同
2.(2025江苏苏州测试)质量分别为m和2m的两个小球P和Q,中间用轻质杆固定连接,杆长为l,在离P球处有一个光滑固定转轴O,如图所示。现在把杆置于水平位置后自由释放,Q球顺时针摆动到最低位置,则(　　)
A.小球P在最高位置的速度大小为
B.小球Q在最低位置的速度大小为
C.小球P在此过程中机械能增加量为mgl
D.小球Q在此过程中机械能减少mgl
命题角度三　两物体沿绳或杆分速度相同
3.(多选)如图所示,不可伸长的轻绳一端系一质量为m的重物,另一端绕过光滑定滑轮系一质量也为m的环,环套在竖直固定的光滑直杆上,定滑轮与直杆的距离为d,定滑轮的大小不计。杆上的A点与定滑轮等高,AB的距离为d,现将环从A点由静止释放,不计一切摩擦,重力加速度为g,当环下落至B点时,以下说法正确的是(　　)
A.环与重物的速度大小之比为5∶4
B.环的速度为
C.环从A到B的过程,克服绳的拉力做的功等于此过程中环减少的机械能
D.环从A到B的过程,重物的机械能守恒
4.(2025河北廊坊测试)如图所示,倾角为30°的光滑斜面固定在水平地面上,在斜面体左侧的适当位置固定一光滑竖直硬杆,质量均为m的两小球(均视为质点)用长为L的轻质硬杆连接,甲套在竖直硬杆上,乙放置在斜面上,甲、乙由静止释放时,轻质硬杆与竖直硬杆的夹角为30°,当轻质硬杆与斜面刚好平行时,乙的动能为(　　)
A.mgL B.mgL
C.mgL D.mgL
能力·高分练
5.如图所示,在倾角θ=30°的光滑固定斜面上,放有两个质量分别为1 kg和2 kg的可视为质点的小球A和B,两球之间用一根长L=0.2 m的轻杆相连,小球B距水平地面的高度h=0.1 m。两球从静止开始下滑到光滑水平地面上,不计球与地面碰撞时的机械能损失,g取10 m/s2,则下列说法正确的是(　　)
A.下滑的整个过程中,A球机械能守恒
B.下滑的整个过程中,B球机械能守恒
C.两球在光滑水平地面上运动时的速度大小为1 m/s
D.系统下滑的整个过程中,B球机械能的增加量为 J
6.(2025湖北武汉模拟)如图所示,可视为质点的光滑定滑轮P与竖直墙面上的Q点等高,O为PQ的中点,PQ距离为2d。一根轻质不可伸长的细绳一端系在Q点,穿过质量为m的光滑圆环A再绕过定滑轮P,另一端吊着质量也为m的重物B。将圆环A由O点静止释放,设QA与水平方向夹角为θ。已知重力加速度为g,整个过程中B未与滑轮P相撞,不计空气阻力和一切摩擦。下列说法正确的是(　　)
A.A和B的速度关系为vB=vAsin θ
B.A可以下降的最大高度为d
C.A和B总动能最大时,θ=60°
D.A和B总动能最大时,B的动能为mgd
7.(12分)如图所示,跨过同一高度处两光滑轻质定滑轮的细线连接着质量相同的物体A和B,A套在光滑水平杆上,定滑轮离水平杆的高度为h=0.2 m,开始时让连着A的细线与水平杆的夹角为θ1=37°,由静止释放B,当细线与水平杆的夹角为θ2=53°时,A的速度为多大 在以后的运动过程中,A所获得的最大速度为多大 (设B不会碰到水平杆,sin 37°=0.6,sin 53°=0.8,g取10 m/s2,结果均保留1位小数)
素养·提升练
8.(14分)(2026山东日照开学考)如图所示,质量不计的硬直杆可以绕光滑转轴O在竖直面内自由转动,杆两端分别固定质量m=1 kg的小球A和质量M=4 kg的小球B。已知小球A到O点的距离为2 m,小球B到O点的距离为1 m。现将杆从水平位置由静止释放,在杆转动到竖直位置时,小球A脱离杆水平飞出,恰能从a点无碰撞地进入与杆在同一竖直平面内的光滑圆弧轨道abc,到达圆弧轨道上c点之前的d点(图中未画出)脱离轨道。已知b为圆弧轨道的最低点,c为圆弧轨道的最高点,O'为圆弧轨道的圆心,aO'与竖直方向的夹角α=60°,不计空气阻力,g取10 m/s2。
(1)杆转到竖直位置时,求杆对小球B的作用力;
(2)杆从水平位置转到竖直位置的过程中,求杆对小球A做的功;
(3)若dO'与竖直方向的夹角用θ表示,写出cos θ与圆弧轨道半径R的关系式,并判断R的取值范围。
答案：
1.C　解析 设B球质量为m,则A球质量为2m,A球刚落地时,B球上升的高度为R,两球速度大小都为v,根据机械能守恒定律得2mgR=mgR+(2m+m)v2,得v2=gR,所以B球继续上升的高度h=,则B球上升的最大高度为h+R=R,故选C。
2.C　解析 Q球顺时针摆动到最低位置时的速度为v1,此时P运动到最高点速度为v2,对整个系统由机械能守恒定律有2mg×l-mg××2m,又由于两球都绕O点转动,角速度相同,因此v1=2v2,解得v1=,v2=,故A、B错误;在此过程中,小球P机械能增加量ΔE=mg×mgl,由于整个系统机械能守恒,因此小球Q机械能减少量也为mgl,故C正确,D错误。
3.AC　解析 环下落距离为d时,由几何关系可知此时绳子与竖直方向的夹角为37°,设此时环的速度为v,则重物的速度为v·cos 37°=v,故环与重物的速度之比为5∶4,故A正确;对系统,由机械能守恒定律可得mg·d=mv2++mgd,解得v=,故B错误;环从A到B的过程,由功能关系可知,环克服绳的拉力做的功等于此过程中环减少的机械能,故C正确;环从A到B的过程,重物的动能和势能都增加,机械能增加,故D错误。
4.B　解析 甲下降的高度为h甲==L,乙下降的高度为h乙=sin 30°=,当轻质硬杆与斜面刚好平行时,把甲的速度v甲分别沿着轻质硬杆和垂直轻质硬杆分解,沿着轻质硬杆方向的分速度v∥=v甲sin 30°,小球乙的速度v乙沿着斜面,轻质硬杆与斜面平行,则v乙沿着轻质硬杆,有v乙=v∥,甲、乙两球组成的系统由机械能守恒定律可得mgh甲+mgh乙=,乙的动能为Ek乙=,联立解得Ek乙=mgL,故B正确。
5.D　解析 A、B与轻杆组成的系统在下滑的整个过程中,只有重力做功,系统的机械能守恒,但当B在水平地面滑行,而A仍在斜面上滑行时,杆的弹力对A、B球做功,所以A、B两球的机械能均不守恒,故A、B错误;根据A、B与轻杆组成的系统机械能守恒得,mAg(h+Lsin 30°)+mBgh=(mA+mB)v2,代入数据解得系统在地面上运动时的速度大小v= m/s,故C错误;系统下滑的整个过程中,B球机械能的增加量ΔE=mBv2-mBgh= J,故D正确。
6.D　解析 B上升的速度等于左侧绳伸长的速度,A沿QA方向的速度分量为vAsin θ,沿PA方向的速度分量也为vAsin θ,故有vB=2vAsin θ,故选项A错误;由机械能守恒定律有mgH=mg×2(-d),解得A可以下降的最大高度为H=d,故选项B错误;A、B总动能最大时,即总重力势能最小,此刻重力势能变化率为0,即mgvA=mgvB,结合关联速度可知sin θ=,即θ=30°,由机械能守恒定律有Ek=(2-)mgd,EkA=EkB,解得B的动能为EkB=mgd,故选项C错误,D正确。
7.1.1 m/s　1.6 m/s
解析 A、B两物体组成的系统,只有动能和重力势能的转化,机械能守恒。
设θ2=53°时,A、B两物体的速度分别为vA、vB,B下降的高度为h1,有mgh1=
其中h1=,
vAcos θ2=vB
解得vA=1.1 m/s
由于细线的拉力对A做正功,使A加速,因此A至左滑轮正下方时速度最大,此时B的速度为零,设此过程B下降高度设为h2,由机械能守恒定律有mgh2=
其中h2=-h
解得vAm=1.6 m/s。
8.(1)60 N,方向竖直向上　(2)30 J　(3)cos θ=　2 m解析 (1)杆从水平位置由静止释放转动到竖直位置的过程,根据系统机械能守恒定律有Mgl=mg·2l+
由于两球具有相同的角速度,则=2
解得vA=2 m/s,vB= m/s
对小球B,根据牛顿第二定律有F-Mg=M
解得 F=60 N,方向竖直向上。
(2)杆从水平位置转到竖直位置的过程中,对小球A,根据动能定理可得W-mg·2l=
解得W=30 J。
(3)小球A脱离杆水平飞出,做平抛运动,到达a点时有va==4 m/s
小球到达圆弧轨道上c点之前的d点脱离轨道,根据机械能守恒定律有-mgR(cos α+cos θ)=
脱离轨道时,根据牛顿第二定律有mgcos θ=m
解得 cos θ=
当小球恰好到达圆心等高处,根据机械能守恒定律有-mgR1cos α=0-
解得R1=8 m
当小球恰好到达c点,根据机械能守恒定律有-mgR2(1+cos α)=
小球在c点,根据牛顿第二定律有mg=m
解得R2=2 m
所以要使得小球脱离轨道,则R的取值范围为2 m7(共18张PPT)
第29讲机械能守恒定律中的连接体问题
考点一　速率相同的连接体
能力 高分练
课中 关键能力·可视思维
例1 (2025江西南昌模拟)如图所示,质量分别为2m和m的物体A和B,通过轻绳跨过滑轮相连。斜面光滑且足够长,不计轻绳和滑轮之间的摩擦。开始时A物体离地的高度为h,B物体位于斜面的底端,用手托住A物体,A、B两物体均静止,撤去手后,此后B物体一直未离开斜面,求:
(1)A物体将要落地时的速度多大
(2)A物体落地后,则B物体在斜面上的最远点离地的高度多大
答案 (1)　(2)h(1+sin θ)
解析 (1)A、B两物体构成的整体(系统)只有重力做功,故整体的机械能守恒,则 2mgh-mghsin θ=(2m+m)v2。
整理得v=。
(2)当A物体落地后,B物体由于惯性将继续上升,此时绳子松了,对B物体而言,只有重力做功,故B物体的机械能守恒,设其上升的最远点离地高度为H,根据机械能守恒定律得mv2=mg(H-hsin θ)
整理得H=h(1+sin θ)。
破题思维链
解题精要
1.两物体的速率相等。
2.两物体沿绳方向运动的距离相等,但竖直变化的高度不一定相等。要仔细分析各物体的位移大小与竖直高度变化的关系。
考点二　角速度相同的连接体
例2 如图所示,质量分别为2m、3m的两个小球分别固定在由轻质杆构成的直角尺的A端和B端,直角尺的定点O处有光滑的固定转动轴,AO、BO的长分别为2L和L。开始时直角尺的AO杆部分处于水平位置而B端在O的正下方,让该系统由静止开始自由转动,求:
(1)当A端小球到达最低点时,A端小球的速度大小
和A端小球对AO杆作用力的大小;
(2)A端小球由初始位置到达最低点的过程中,杆AO
和杆BO分别对A端小球和B端小球所做的功;
(3)B端小球能上升的最大高度h。
答案 (1)　(2)-　(3)
解析 (1)由机械能守恒定律有2mg×2L=3mg·L+×2mv2+×3m
解得v=
对A端小球,由牛顿第二定律有F-2mg=
解得F=
由牛顿第三定律得A端小球对AO杆的作用力大小为F'=F=。
(2)设杆AO和杆BO对A端小球和B端小球所做的功分别为WAO和WBO,
则2mg×2L+WAO=×2mv2,WBO-3mg·L=×3m
解得WAO=-,WBO=。
(3)设B端小球上升到最高点时,AO与竖直方向的夹角为θ,
由机械能守恒定律有2mg×2Lcos θ=3mg·L(1+sin θ)
解得sin θ=
则B端小球上升的最大高度为h=L(1+sin θ)=。
破题思维链
解题精要
1.杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向。
2.杆能对物体做功,单个物体机械能不守恒。
3.对于杆和球组成的系统,忽略各种阻力且没有其他力对系统做功,系统机械能守恒。
考点三　关联速度的连接体
例3 如图所示,物块A的质量m=5 kg,一根轻绳跨过物块A上方的定滑轮,一端与物块A相连,另一端与质量为M的小环B相连,小环B穿在竖直固定的均匀细杆上。将小环B置于杆的Q点时,物块A、小环B均处于静止状态,此时连接小环B的轻绳与水平面的夹角θ=37°。当小环B在杆上的O点时,小环B和定滑轮之间的轻绳处于水平。定滑轮到杆的距离为d=0.8 m,不计一切摩擦和定滑轮的大小,现将小环B由P点静止释放,P、Q关于O点对称。重力加速度g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。
求:
(1)小环B的质量M;
(2)小环B运动到Q点速度的大小;
(3)小环B从P点运动到O点过程中,轻绳对小环B做的功。
答案 (1)3 kg　(2) m/s　(3)10 J
解析 (1)小环静止在Q点时,由平衡条件,轻绳的拉力FT=mg
对小环进行受力分析,由平衡条件有FTsin θ=Mg
得出小环的质量M=3 kg。
(2)小环从P点运动到Q点,物体A的位置不变,
由机械能守恒定律有MghPQ=
小环运动到Q点时,小环与物体A的速度关系为vQsin θ=vA
P、Q两点之间的高度为hPQ=2dtan θ
得出小环运动到Q点的速度大小为vQ= m/s。
(3)小环从P点运动到O点,物体A下降的高度h=-d
小环下降高度hPO=dtan θ
小环下降到O点时,物体A的速度为零,由机械能守恒定律有MghPO+mgh=
对小环,由动能定理有MghPO+W=
解得W=10 J。
破题思维链
解题精要
1.应用平行四边形定则分别将两物体的速度沿绳(或沿杆)方向与垂直绳(或垂直杆)方向分解。
2.寻找两物体间的速度关系和位移关系。

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