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第26讲　功和功率
基础·满分练
命题角度一　恒力的功
1.如图所示,升降机内斜面的倾角θ=30°,质量为2 kg的物体置于斜面上始终不发生相对滑动,在升降机以5 m/s2的加速度从静止开始匀加速上升4 s的过程中。g取10 m/s2,则(　　)
A.斜面对物体的支持力做功-900 J
B.斜面对物体的摩擦力做功-300 J
C.物体克服重力做功-800 J
D.合力对物体做功400 J
命题角度二　变力的功
2.(2025北京昌平二模)如图所示,重物M放在长木板OP上,将长木板绕O端缓慢转过一个小角度的过程中,重物M相对长木板始终保持静止。关于长木板对重物M的支持力和摩擦力,下列说法正确的是(　　)
A.支持力和摩擦力均逐渐增大
B.支持力和摩擦力的合力逐渐增大
C.支持力和摩擦力均对重物做正功
D.支持力对重物做正功,摩擦力不做功
3.(2026江苏南京开学考)类比是一种常用的研究方法,教科书利用微元思想由v-t图像推导出匀变速直线运动的位移公式。借鉴此方法,判断下列关于图线和横轴围成的面积(图中阴影部分)的说法,其中不正确的是(　　)
A.若纵坐标表示力F,横坐标表示位移x,则图像面积表示力做的功W
B.若纵坐标表示机器的功率P,横坐标表示时间t,则图像面积表示机器做的功W
C.若纵坐标表示加速度a,横坐标表示时间t,则图像面积表示速度变化量Δv
D.若纵坐标表示力F,横坐标表示速度v,则图像面积表示此力的功率P
命题角度三　功率的理解和应用
4.(2026黑龙江大庆检测)仰卧起坐是体育测试项目之一。一个高三学生质量约为60 kg,上半身质量为总质量的60%,某次测试中,该学生一分钟内连续做了50个仰卧起坐,仰卧起坐时其下半身重心位置不变,上半身重心升高约为0.35 m,每次仰卧起坐时间近似相等。已知重力加速度g=10 m/s2,在这段时间内,下列说法正确的是(　 　)
A.重力做功约为6 300 J
B.重力做功平均功率约为105 W
C.克服重力做功平均功率为零
D.克服重力做功的平均功率约为105 W
命题角度四　机车的启动问题
5.(2025江苏镇江模拟)一辆汽车以不同的恒定功率在平直路面上启动,前后两次v-t图像如图所示,设汽车行驶时所受阻力与速度的大小成正比,则汽车第一次与第二次启动时功率之比为(　　)
A.4∶9 B.9∶4
C.2∶3 D.3∶2
6.(多选)智慧充电技术的日益成熟,极大促进了电动汽车销量的增长。若一辆电动汽车的质量为m,额定功率为P。汽车由静止启动后做匀加速直线运动,汽车的速度大小为v时恰好达到其额定功率,之后汽车维持额定功率行驶,达到最大速度3v,已知汽车行驶时受到的阻力恒定。下列说法正确的是(　　)
A.电动汽车受到的阻力大小为
B.电动汽车做匀加速直线运动的加速度大小为
C.电动汽车做匀加速直线运动的位移为
D.电动汽车做匀加速直线运动的过程中阻力做功为
能力·高分练
7.如图所示,在光滑的水平面上,物块在恒力F=50 N作用下从A点运动到B点,不计滑轮的大小,不计绳、滑轮的质量及绳与滑轮间的摩擦,H=1.2 m,α=37°,β=53°,sin 37°=0.6,sin 53°=0.8。则绳子对物块的拉力做的功为(　　)
A.20 J B.25 J
C.37.5 J D.60 J
8.(2023辽宁卷)如图(a)所示,从高处M点到地面N点有Ⅰ、Ⅱ两条光滑轨道。两相同小物块甲、乙同时从M点由静止释放,沿不同轨道滑到N点,其速率v与时间t的关系如图(b)所示。由图可知,两物块在离开M点后、到达N点前的下滑过程中(　 　)
A.甲沿Ⅰ下滑且同一时刻甲的动能比乙的大
B.甲沿Ⅱ下滑且同一时刻甲的动能比乙的小
C.乙沿Ⅰ下滑且乙的重力功率一直不变
D.乙沿Ⅱ下滑且乙的重力功率一直增大
9.(10分)某款自主品牌纯电动汽车自重1 500 kg,续航里程为430 km。全系标配磷酸铁锂电池组的总电动势为500 V,最大输出功率为150 kW,电池组总能量为50 kW·h。行驶中电能转化为机械能的效率为90%,重力加速度g取10 m/s2。
(1)由理论推导可知,汽车正常行驶中,电池组内外电压相等时,其输出功率最大,求汽车电池组的内阻。
(2)若在场地内检测时,汽车载质量300 kg,所受阻力大小恒为450 N,电池组输出功率恒为40 kW,车从静止加速到12 m/s的时间为4 s,求汽车的加速距离。
(3)为了提高电池的使用寿命,在实际行驶中,电池组的最大使用量为其容量的95%。若载质量100 kg的汽车,以45 km/h的恒定速率行驶,行驶中汽车的阻力系数(阻力与车总重力的比值)恒为0.025,忽略汽车启动阶段消耗的电能,求该情形下汽车匀速行驶的最大路程。(结果保留3位有效数字)
素养·提升练
10.(14分)(跨模块融通)下面是某品牌新能源汽车介绍中的一段文字:
“将近6 m的超长车身设计,使得整车车顶集成的太阳能芯片面积达到了6 m2左右。极富流线型的整车造型,隐藏式的轮毂设计,纤细的摄像头式后视镜,使整车风阻大幅下降。全车采用铝合金框架并结合碳纤维车身,整车质量仅700 kg,这一轻量化设计使整车能耗极低。”
(1)设上述新能源汽车采用混合动力设计,发动机最大输出功率为30 kW,在厂区内的实验路段上行驶时所受总阻力约为车和驾驶员总重的。试估算50 kg的工程师驾驶这种汽车在实验路段上行驶的最高车速。
(2)汽车牵引力F与车速倒数v-1间的关系图线ABC,如图2所示,请根据图线ABC判断汽车做什么运动,并求B点时发动机的输出功率。
(3)已知太阳辐射的总功率P0=4×1026 W,太阳到地球的距离r=1.5×1011 m,太阳光传播到达地面的过程中大约有34%的能量损失。目前,制作太阳能电池的最好的材料为砷化镓,其将光能转化为电能的效率可达到31.6%。试通过计算分析,这种汽车只采用纯太阳能驱动,且能保持最大输出功率30 kW不变的可行性。
答案：
1.D　解析 物体置于升降机内随升降机一起匀加速运动过程中,受力分析如图所示,由牛顿第二定律得Ffcos θ-FNsin θ=0,Ffsin θ+FNcos θ-mg=ma,解得Ff=15 N,FN=15 N,又x=at2=40 m,斜面对物体的支持力所做的功WN=FNxcos θ=900 J,故A错误;斜面对物体的摩擦力所做的功Wf=Ffxsin θ=300 J,故B错误;物体所受重力做的功WG=-mgx=-800 J,则物体克服重力做功800 J,故C错误;合力对物体做的功W合=WN+Wf+WG=400 J,故D正确。
2.D　解析 设长木板的倾角为θ,重物的质量为m,以重物为对象,根据平衡条件可得FN=mgcos θ,Ff=mgsin θ,由于θ逐渐增大,可知支持力逐渐减小,摩擦力逐渐增大,故A错误;根据受力平衡可知,支持力和摩擦力的合力与重物的重力等大反向,则支持力和摩擦力的合力保持不变,故B错误;由于摩擦力与重物的运动方向总是垂直,所以摩擦力对重物不做功;由于支持力与重物的运动方向相同,则支持力对重物做正功,故C错误,D正确。
3.D　解析 若纵坐标表示力F,横坐标表示位移x,则根据式子W=FΔx,结合微元法可知,F-x图像面积表示力做的功W,A正确,不符合题意;若纵坐标表示机器的功率P,横坐标表示时间t,则根据式子W=PΔt,结合微元法可知,P-t图像面积表示力做的功W,B正确,不符合题意;若纵坐标表示加速度a,横坐标表示时间t,则根据式子Δv=aΔt,结合微元法可知,a-t图像面积表示速度变化量Δv,C正确,不符合题意;若纵坐标表示力F,横坐标表示速度v,则根据式子P=Fv,可知瞬时功率是坐标点到横纵坐标围成的矩形面积,不是图像面积,D错误,符合题意。故选D。
4.D　解析 上去下来,重力做功为0 J,故A错误;重力做功平均功率约为0 W,故B错误;克服重力做功的平均功率为P==105 W,故C错误,D正确。
5.A　解析 汽车行驶时所受阻力与速度的大小成正比,则Ff=kv,当汽车匀速运动时,牵引力大小等于阻力,则F=Ff=kv,汽车的恒定功率为P=Fv=kv2,则汽车第一次与第二次启动时功率之比为。故选A。
6.AC　解析 汽车速度达到最大时,牵引力等于阻力,则有P=Ff·3v,解得阻力大小为Ff=,故A正确;汽车恰好达到其额定功率时有P=Fv,根据牛顿第二定律可得F-Ff=ma,联立解得电动汽车做匀加速直线运动的加速度大小为a=,故B错误;电动汽车做匀加速直线运动的时间为t=,电动汽车做匀加速直线运动的位移为x=t=,故C正确;电动汽车做匀加速直线运动的过程中阻力做功为Wf=-Ffx=-=-,故D错误。
7.B　解析 根据几何关系可得沿力F方向上的位移x=,绳子对物块的拉力做功等于拉力F所做的功W=Fx,解得W=25 J,故B正确。
8.B　解析 甲下滑过程中加速度不变,沿轨道Ⅱ下滑,乙下滑过程中加速度减小,沿轨道Ⅰ下滑,同一时刻,甲的速度总是比乙的小,故甲的动能比乙的小,选项A错误,B正确;开始时乙的重力功率为0,到达底部时,乙的重力功率仍然为0,故乙的重力功率先增大后减小,选项C、D错误。
9.(1) Ω　(2)32 m　(3)385 km
解析 (1)由P=UI和I=,可得,当U=时,Pm=
解得r= Ω。
(2)以40 kW恒定功率启动加速过程中,输出的机械功率为P1=90%P=36 000 W
由动能定理有P1t-Ffx=mv2
解得x=32 m。
(3)行驶时的平均阻力为Ff'=0.025G总=400 N
电池组的输出功率为P2=Fv=Ff'v=5 kW
匀速行驶的时间为t==8.55 h
行驶的路程为s=vt=385 km。
10.(1)40 m/s　(2)见解析　(3)见解析
解析 (1)当汽车的牵引力与阻力相等时,汽车的行驶速度最大,则F=Ff=0.1(m+m')g=750 N
解得vm= m/s=40 m/s。
(2)图中AB段F不变,可知汽车受合力不变,汽车做匀加速直线运动;图中BC段F与v-1成正比例关系,即Fv为定值,根据P=Fv可知,汽车在恒定功率下做加速运动,也就是做加速度逐渐减小的加速运动,则
PB=PC=FCvC= W=3×104 W。
(3)设能够使汽车保持输出功率30 kW的太阳能芯片面积为S,则P=×0.66×0.316
解得S≈102 m2
由于S的值远大于车顶太阳能芯片的面积,不符合实际情况,可见这种汽车采用纯太阳能驱动保持输出功率30 kW是不可行的。
1(共37张PPT)
第26讲功和功率
基础 满分练
课前 自检自测·夯基固本
知识点一　功
3个高考关键点
关键点1　正功与负功
1.(2024海南卷)“神舟十七号”载人飞船返回舱于2024年4月30日在东风着陆场成功着陆。在飞船返回至离地面十几千米时打开主伞,飞船快速减速,返回舱速度大大减小,在减速过程中(　　)[命题点 ]
A.返回舱处于超重状态　　 B.返回舱处于失重状态
C.主伞的拉力不做功 D.重力对返回舱做负功
A
解析 返回舱在减速过程中,加速度竖直向上,处于超重状态,故A正确,B错误;主伞的拉力与返回舱运动方向相反,对返回舱做负功,故C错误;返回舱所受的重力与返回舱运动方向相同,重力对返回舱做正功,故D错误。
关键点2　功的定义式的理解与应用
2.(2025江苏扬州测试)如图所示,一质量为m的小球,用长为L的轻绳悬挂于O点的正下方P点。已知重力加速度为g,小球在水平恒力F的作用下,从P点运动到Q点,该过程中F对小球做的功为W,下列表达式正确的是(　　)
[命题点 ]
A.W=FL　　　　 B.W=FLsin θ
C.W=FLcos θ D.W=F(L-Lcos θ)
B
解析 因F为水平恒力,
则F的功为W=FLsin θ,
故选B。
关键点3　恒力做功的分析与计算
3.(多选)(原创+教材改编)如图所示,一位质量m=60 kg的滑雪运动员从高h=10 m的斜坡自由下滑。如果运动员在下滑过程中受到的阻力F=50 N,斜坡的倾角θ=30°,重力加速度g取10 m/s2,运动员滑至坡底的过程中,关于各力做功的情况,下列说法正确的是(　　)
A.重力做功为6 000 J
B.阻力做功为1 000 J[命题点 ]
C.支持力不做功[命题点 ]
D.各力做的总功为零[命题点 ]
AC
解析 重力做功为WG=mgh=600×10 J=6 000 J,A正确;阻力做功为WF=-Fx =-50×20 J=-1 000 J,B错误;支持力的方向与位移方向垂直,则WN=0,即支持力不做功,C正确;各力做的总功W=WG+WF+WN=5 000 J,D错误。
回归基础·考教衔接
一、功
1.功的定义:力对物体所做的功,等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积。
2.功的公式:W=Flcos α。
[ ]应用该公式时,先确定力与位移方向之间的夹角α的值、物体的位移l;要注意的是,该公式只适用于恒力做功。
3.是否做功及做功正负的判断
(1)当0≤α<时,W>0,力对物体做正功。[ ]
(2)当α=时,W=0,力对物体不做功。
[ ]当力与位移方向(或运动方向)垂直时,力对物体不做功。
(3)当<α≤π时,W<0,力对物体做负功,也就是物体克服这个力做功。
[ ]先分析力与位移方向(或运动方向)之间的夹角α,若cos α为负值,则力做负功。
温馨提示　功的正、负不表示方向,也不表示大小。
4.总功(合力做功)的计算方法
方法一:应用W总=F合lcos α求总功。
[ ]先求合力F合,再求总功。
方法二:应用W总=W1+W2+W3+…求总功。
[ ]先求各个力做的功W1、W2、W3、…,再求总功,要代入“+”“-”求和。
方法三:利用动能定理W合=Ek2-Ek1,合力做的功等于物体动能的变化量。
知识点二　功率
3个高考关键点
关键点1　功率推导式的理解
4.(2025江苏苏州模拟)一架飞机从水平平飞经一段圆弧转入竖直向上爬升,如图所示,假设飞机沿圆弧运动时速度大小不变,发动机推力方向沿轨迹切线,飞机所受升力垂直于机身,空气阻力大小不变,
则飞机沿圆弧运动时(　　)[命题点 ]
A.飞机发动机推力做功的功率逐渐增大
B.飞机发动机推力大小保持不变
C.飞机克服重力做功的功率保持不变
D.空气对飞机的作用力不变
A
解析 飞机发动机推力等于空气阻力与重力在切向的分力之和,重力在切向的分力逐渐增大,所以飞机发动机的推力逐渐增大,故B错误;飞机推力与速度方向相同,飞机推力逐渐增大,根据P=Fv可知,飞机推力做功的功率逐渐增大,故A正确;设飞机的速率为v,运动方向与竖直方向的夹角为θ,则竖直方向分速度为vy=vcos θ,飞机克服重力做功的功率为PG=mgvy=mgvcos θ, θ角逐渐减小,所以功率逐渐增大,故C错误;飞机做匀速圆周运动,空气阻力大小不变,方向时刻与运动方向相反,发生改变,故D错误。
关键点2　功率推导式的应用
5.汽车发动机通过变速箱将动力传输给运动系统,若赛车的变速箱有1挡到7挡共7个逐次增高的前进挡位,在发动机输出功率不变时,挡位越高车速越快,加大油门可以增大发动机的输出功率。如图所示是赛车越野比赛时正在爬坡的情形,为了能够顺利爬上陡坡,司机应该(　　)[命题点 ]
A.拨1挡,减小油门　　　 B.拨1挡,加大油门
C.拨7挡,减小油门 D.拨7挡,加大油门
B
解析 赛车爬坡时要克服重力做功,因此需要较大的牵引力,由功率P=Fv得牵引力为F=,增大发动机的输出功率P,同时减小速度v,才能获得更大的牵引力F,因此应将变速箱拨至低速挡,并加大油门,选B。
关键点3　平均功率与瞬时功率
6.(2025福建厦门二模)福建舰是我国完全自主设计建造的弹射型航空母舰。在始终静止的福建舰上进行的电磁驱动弹射测试中,配重小车自甲板前端水平射出,落至海面上。简化模型如图所示,两辆质量相同的配重小车1和小车2先后进行弹射测试,轨迹分别为曲线1和曲线2,M、N为两次弹射的落水点。忽略空气阻力,配重小车可视为质点。
则配重小车1和小车2(　　)[命题点 ]
A.落水瞬间速度大小vM=vN
B.在空中运动过程中速度变化量Δv1<Δv2
C.在空中运动过程中重力的平均功率P1D.落水瞬间重力的瞬时功率PM=PN
D
解析 配重小车离开甲板后做平抛运动,下落高度相等,根据h=gt2可知下落时间相等;由于竖直方向的分速度为vy=gt,所以vNy=vMy;根据x=v0t可知水平初速度大小关系为vNx>vMx,落入海平面瞬间的速度为v=,可得vM回归基础·考教衔接
二、功率
1.定义:功与完成这些功所用时间之比。
2.公式
(1)定义式:P=,P为时间t内的平均功率。
(2)推导式:P=Fvcos α(α为F与v的夹角)
[ ]增加功率、减小车速都能使车获得更大的牵引力。
3.额定功率:动力机械正常工作时输出的最大功率。
4.实际功率:动力机械实际工作时输出的功率,要求小于或等于额定功率。
5.发动机功率:机车发动机的功率P=Fv,F为牵引力,并非机车所受的合力。
三、平均功率的计算方法
1.利用。
2.利用的夹角α不变。
[ ]在力F与夹角α相同的情况下,平均速度较小的平均功率就小。
四、瞬时功率的计算方法
利用公式P=Fvcos α,其中F、v为某一时刻的瞬时值,α为该时刻F与v的夹角。
[ ]牵引力F、速度v及夹角α都不变,则机车的输出功率(瞬时功率)不变;若速度v及夹角α都不变,牵引力F较小,则机车的输出功率(瞬时功率)就小。
温馨提示　求功率时应分清是瞬时功率还是平均功率,求平均功率时应明确是哪段时间或哪个过程的平均功率。
考点一　变力做功
能力 高分练
课中 关键能力·可视思维
角度一　微元法计算变力做功
例1 如图所示,在水平桌面上,长R=5 m的轻绳一端固定于O点(俯视图),另一端系一质量m=2.0 kg的小球,现对小球施加一个大小不变的力F=10 N,方向始终与小球在该点的切线成37°角,F拉着物体从M点运动到N点。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ=0.2,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2, sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,则拉力F做的功与克服摩擦力做的功之比为
(　　)
A.　　　 B.2　　　
C.　　　 D.4
B
解析 将圆弧分成很多小段l1、l2、…、ln,拉力F在每小段上做的功为W1、W2、…、Wn,因拉力F大小不变,方向始终与小球在该点的切线成37°角,所以W1=Fl1cos 37°,W2=Fl2cos 37°,…,Wn=Flncos 37°, W=W1+W2+…+Wn=Fcos 37°(l1+l2+…+ln)=Fcos 37°·R=π J,同理可得克服摩擦力做功Wf=μmg·R=π J,拉力F做的功与克服摩擦力做的功之比为2,故选B。
破题思维链
微元法 质点在圆周上运动一周,克服摩擦力的功Wf=FfΔx1+FfΔx2+FfΔx3+…
=Ff(Δx1+Δx2+Δx3+…)
=Ff·2πR
解题精要
角度二　图像法计算变力做功
例2 (2026辽宁大连高三月考)如图甲所示,质量为5 kg的物体在斜向下、与水平方向成37°角的力F作用下,沿水平面开始运动,推力大小F随位移大小x变化的情况如图乙所示,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,则力F所做的功为
(　 　)
A.240 J B.150 J C.120 J D.90 J
C
解析 解法一(平均力法):位移为0时力为60 N,位移为5 m时,力为0,故平均力为30 N,由W=xcos 37°=30×5×0.8 J=120 J,故选C。
解法二(图像法):由F-x图像与坐标轴围成的面积表示功,可知力F所做的功为W=Fxcos 37°=120 J,故选C。
破题思维链
解题精要
图像“面积”法
图像“面积”法 在F-x图像中,图线与x轴所围“面积”的代数和表示力F在这段位移上所做的功
考点二　机车启动问题
角度一　以恒定功率启动
例3 (2025江苏南京统测)如图甲所示,在水平路段AB上有一质量为2×103 kg的汽车(可视为质点),正以10 m/s的速度向右匀速运动,汽车前方的水平路段BC较粗糙,汽车通过整个ABC路段的v-t图像如图乙所示(在t=15 s处水平虚线与曲线相切),运动过程中汽车发动机的输出功率保持20 kW不变,假设汽车在两个路段上受到的阻力(含地面摩擦力和空气阻力等)各自有恒定的大小,求:
(1)汽车在AB路段上运动时所受阻力Ff1
的大小;
(2)汽车刚好开过B点时加速度a的大小;
(3)BC路段的长度。
答案 (1)2 000 N　(2)1 m/s2　(3)68.75 m
解析 (1)汽车在AB路段做匀速直线运动,根据平衡条件有F1=Ff1,且P=F1v1,
解得Ff1=2 000 N。
(2)t=15 s时汽车处于平衡状态,有F2=Ff2,且P=F2v2,
解得Ff2=4 000 N;
刚好开过B点时汽车的牵引力仍为F1,根据牛顿第二定律有Ff2-F1=ma,
解得a=1 m/s2。
(3)对于汽车在BC路段运动,由动能定理得Pt-Ff2s=,
解得s=68.75 m。
破题思维链
解题精要
1.机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度,即vm=。
2.以恒定功率启动
图像
OA段 v↑ F=↓ a=↓
AB段 F=F阻 a=0 vm=
3.机车以恒定功率启动时,由动能定理有Pt-F阻x=ΔEk,可求解机车以恒定功率启动过程的位移大小和时间。
角度二　以恒定加速度启动
例4 某汽车质量m=2 000 kg,发动机的额定功率为P,当汽车在路面上行驶时受到的阻力为车对路面压力的。若汽车从静止开始以a=1 m/s2的加速度在水平路面上匀加速启动,t1=20 s时,达到额定功率。此后汽车以额定功率运动,t2=100 s时速度达到最大值,
汽车的v-t图像如图所示,g取10 m/s2。求:
(1)该汽车的额定功率;
(2)当速度为25 m/s时,汽车加速度大小;
(3)汽车在0~t2时间内的位移大小。
答案 (1)80 kW　(2)0.6 m/s2　(3)2 800 m
解析 (1)汽车的最大速度为vm=40 m/s,
汽车达到最大速度时满足F=Ff=mg。
汽车的额定功率为P=Fvm=8×104 W=80 kW。
(2)当速度为v=25 m/s时,汽车牵引力为F==3 200 N
由牛顿第二定律得F-Ff=ma',解得a'=0.6 m/s2。
(3)0~t1时间内汽车通过的位移为x1=t1=200 m
汽车在t1~t2时,根据动能定理得P(t2-t1)-Ffx2=
代入数据解得x2=2 600 m
所以0~t2时间内汽车通过的总位移大小为x=x1+x2=2 800 m。
方法指导
1.以恒定加速度启动
图像
OA段 a=不变 F不变 P=Fv↑直到P=P额=Fv1
AB段 v↑ F=↓ a=↓
BC段 F=F阻 a=0 以vm=匀速运动
2.机车以恒定加速度启动的过程中,匀加速过程结束时,功率最大,但速度不是最大,v=。

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