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(共30张PPT)
第六章 平面向量
初步
6.1 平面向量及其线
性运算
6.1.1 向量的概念
「学习目标」
1.通过向量及有关概念的学习，理解向量的概念，掌握向量的表示方法、记法,培养数学
抽象、直观想象及逻辑推理的核心素养.
2.阅读课本，了解零向量及单位向量，理解向量的相等与平行，提升分析问题与解决问
题的核心素养.
知识梳理
自主探究
「情境导入」
如图所示，小船由地向东南方向航行到达地（速度为 ）.
探究：
（1）如果仅仅给出指令“由地航行”，小船能否到达 地？
[答案] 不一定.
（2）给出指令“向东南方向航行”呢？
[答案] 不一定.因为位移和速度是既有大小，又有方向的量.
「知识探究」
1.向量的概念
（1）向量：既有______又有______的量称为向量（也称为矢量），向量的大小也称为
向量的____（或长度）.
（2）标量：只有______的量称为标量.
大小
方向
模
大小
［思考1］ 两个标量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？两个向量的模能比较
大小吗？
提示：不能.因为向量是有方向的,但两个向量的模能比较大小.
2.向量的几何表示
（1）向量可以用__________表示，其中有向线段的长度表示向量的______，有向线段
箭头所指的方向表示向量的______.
（2）向量可以用有向线段始点和终点的字母表示，始点为终点为 的有向线段表示的
向量，可以用符号简记为____，此时向量的模用_____表示；向量还可用小写字母表示，
如，，， ，此时向量 的模用____表示.
（3）始点和终点相同的向量称为________，即；零向量的模为___，即 ；零向
量的方向是__________.
（4）单位向量：模等于___的向量称为单位向量； 是单位向量的充要条件是________.
有向线段
大小
方向
零向量
0
不确定的
1
［思考2］ 若将平面内所有的单位向量的始点放在同一点，那么它们的终点构成的图形
是什么形状
提示：它们的终点构成了以始点为圆心，1为半径的圆.
3.向量的相等与平行
（1）一般地，把大小______、方向______的向量称为相等的向量；向量和 相等，记
作_______.
（2）如果两个______向量的方向______________，则称这两个向量平行；规定零向量与
______向量平行；向量和 平行，记作______；两个向量平行也称为两个向量______.
相等
相同
非零
相同或者相反
任意
共线
［思考3］ 向量共线与向量相等有什么关系
提示：两个向量相等，则这两个向量一定共线，反之不一定成立.
拓展总结
（1）向量的平行不具有传递性，若，，则未必有 .因为零向量平行于任
意向量，当时，,可以是任意向量，所以与不一定平行．但若 ，则必有
， .因此，解答问题时，要看清题目中是任意向量还是任意非零向量．
（2）用相等向量或平行向量推导点共线问题
已知，， 均为非零向量．
①若，则，， 三点共线．
②若，则或，，， 四点共线．
③若，则，， 三点共线．
课堂探究
素养培育
探究点一 向量的有关概念
［例1］ 判断下列命题是否正确，请说明理由.
（1）若向量与同向，且，则 ；
解：不正确.因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小.
（2）若向量，则与 的长度相等且方向相同或相反；
解：不正确.由 只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系.
（3）对于任意向量，若与的方向相同，则 ；
解：正确.因为，且与同向，由两向量相等的条件，可得 .
（4）由于方向不确定，故 不与任意向量平行；
解：不正确.依据规定： 与任意向量平行.
（5）向量与向量平行，则向量与 方向相同或相反.
解：不正确.因为向量与向量 若有一个是零向量，则其方向不定.
方法总结
对于命题判断正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，对错误命
题的判断只需举一反例即可.
（1）零向量、单位向量的定义都只限制了大小，它们的方向是任意的，所以在解题过
程中要特别注意它们方向的不确定性.
（2）注意0与 的含义与书写的区别，前一个表示实数，后一个表示向量.
（3）平行向量不一定方向相同或相反，因为与任一向量平行， 的方向是任意的.
［针对训练］ 下列说法不正确的是( )
D
A.向量的模是一个非负实数
B.任何一个非零向量都可以平行移动
C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D.两个有共同起点,且共线的向量,终点也必相同
[解析] 显然，选项A，B，C说法正确，由共线向量知两个有共同起点，且共线的向量
其终点不一定相同，所以选项D不正确.故选D.
探究点二 相等向量与共线向量
［例2］ 如图，是正方形 对角线的交点，四边形
， 都是正方形，在图中所示的向量中：
（1）写出与 相等的向量；
解：与 相等的向量为 .
（2）写出与 共线的向量；
解：与共线的向量为 ， ， .
（3）写出与 的模相等的向量；
解：与的模相等的向量为，，，，，， .
（4）判断向量 与 是否相等；
解：向量与 不相等.因为它们的方向不相同.
（5）写出与 相等的向量；
解：与 相等的向量为 .
（6）写出与 共线的向量.
解：与 共线的向量为，， .
方法总结
在图形中寻找共线向量、相等向量的方法
（1）在平面图形中寻找共线向量时，应逐个列举，做到不重不漏，可先找在同一条直
线上的共线向量，然后找平行直线上的共线向量，要注意一条线段对应两个共线向量，
方向相同但长度不相等的有向线段是不同的共线向量.
（2）相等向量一定是共线向量，因此在找相等向量时，可以从共线向量中筛选，找出
长度相等,且方向相同的共线向量即可.
［针对训练］ 关于向量， ，下列命题正确的是( )
C
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
[解析] 时，方向未知， 不成立，A错误；向量不能比较大小，B错误；
表示向量大小相等，方向相同，所以，C正确； 表示向量方向相同或相
反，不能得到 ，D错误.故选C.
探究点三 向量在平面几何中的应用
［例3］ 如图，在四边形中，，分别是， 的中点，
且，求证： .
证明：因为,所以,且 ，
所以四边形 是平行四边形，
所以，且 .
因为,分别是, 的中点，
所以,,所以 .
由可知 ，
所以四边形 是平行四边形，
所以， .
又因为与的方向相同，所以 .
方法总结
（1）利用向量相等可以证明线段相等或直线与直线平行，但证明直线与直线平行时，
需说明两向量所在的直线无公共点．
（2）利用向量平行或共线可证明（判定）直线平行，但证明（判定）直线平行时，除
说明向量平行或共线外还需说明向量所在的直线无公共点．
［针对训练］ 如图所示，在平行四边形中，，分别是， 的中点.
（1）写出与向量 共线的向量；
解:因为在平行四边形中，，分别是，的中点，， ，
所以四边形为平行四边形，所以.所以与向量共线的向量为， ，
.
（2）求证： .
证明：在平行四边形中，，.因为，分别是， 的中点，
所以且，所以四边形是平行四边形，所以， ，
故 .
「学海拾贝」
核心素养——逻辑推理
［典例探究］ 在四边形中，已知，求与 分别满足什么条件时，四
边形 满足下列情况.
（1）四边形 是等腰梯形；
解：，且与 不平行.
因为 ，
所以四边形 为梯形或平行四边形.
若四边形 为等腰梯形，
则 ，同时两向量不平行.
（2）四边形 是平行四边形.
解：（或 ）.
若，即四边形的一组对边平行且相等，此时四边形 为平行四边形
（或若在四边形中， ，即四边形的两组对边分别平行，此时四边形
为平行四边形）.
素养提升
本例主要通过共线向量得出一组对边平行，然后考虑共线向量的模是否相等，主要考查
逻辑推理的核心素养.
［应用探究］ 若,且，则四边形 的形状为( )
C
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形
[解析] 因为，所以四边形为平行四边形，又因为 ，所以平行
四边形 为菱形.故选C.
「当堂检测」
1.①加速度是向量；②若且，则；③若，则直线与直线 平
行.上述说法中正确的个数为( )
B
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 由向量的定义知，加速度是向量，所以①正确；当时，满足且 ，
但,不一定平行，所以②不正确；若，则直线与直线 平行或重合，所以
③不正确.
2.设是正方形的中心，则向量，，， 是( )
D
A.相等的向量 B.平行的向量 C.有相同起点的向量 D.模相等的向量
[解析] 由正方形的性质知 .
3.是 的( )
A
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 因为，所以 ，反之不成立.
4.如图，四边形是平行四边形，四边形 是矩形．
（1）找出与向量 相等的向量；
解：由四边形是平行四边形，四边形是矩形，知，与 的大小相等,
且方向相同，所以与向量相等的向量为和 .
（2）找出与向量 共线的向量．
解：由题图可得，，与方向相同，，，，与 方向相反，所以
与向量共线的向量有，，，，,, .6.1　平面向量及其线性运算
6.1.1　向量的概念
学习目标
1.通过向量及有关概念的学习,理解向量的概念,掌握向量的表示方法、记法,培养数学抽象、直观想象及逻辑推理的核心素养.
2.阅读课本,了解零向量及单位向量,理解向量的相等与平行,提升分析问题与解决问题的核心素养.
情境导入
　　　如图所示,小船由A地向东南方向航行15 km到达B地(速度为10 km).
探究: (1)如果仅仅给出指令“由A地航行15 km”,小船能否到达B地
(2)给出指令“向东南方向航行”呢
答案: (1)不一定.
(2)不一定.因为位移和速度是既有大小,又有方向的量.
知识探究
1.向量的概念
(1)向量:既有大小又有方向的量称为向量(也称为矢量),向量的大小也称为向量的模(或长度).
(2)标量:只有大小的量称为标量.
[思考1] 两个标量可以比较大小,那么两个向量能比较大小吗 两个向量的模能比较大小吗
提示:不能.因为向量是有方向的,但两个向量的模能比较大小.
2.向量的几何表示
(1)向量可以用有向线段表示,其中有向线段的长度表示向量的大小,有向线段箭头所指的方向表示向量的方向.
(2)向量可以用有向线段始点和终点的字母表示,始点为A终点为B的有向线段表示的向量,可以用符号简记为,此时向量的模用||表示;向量还可用小写字母表示,如a,b,c,…,此时向量a的模用|a|表示.
(3)始点和终点相同的向量称为零向量,即0;零向量的模为0,即|0|=0;零向量的方向是不确定的.
(4)单位向量:模等于1的向量称为单位向量;e是单位向量的充要条件是|e|=1.
[思考2] 若将平面内所有的单位向量的始点放在同一点,那么它们的终点构成的图形是什么形状
提示:它们的终点构成了以始点为圆心,1为半径的圆.
3.向量的相等与平行
(1)一般地,把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量;向量a和b相等,记作a=b.
(2)如果两个非零向量的方向相同或者相反,则称这两个向量平行;规定零向量与任意向量平行;向量a和b平行,记作a∥b;两个向量平行也称为两个向量共线.
[思考3] 向量共线与向量相等有什么关系
提示:两个向量相等,则这两个向量一定共线,反之不一定成立.
(1)向量的平行不具有传递性,若a∥b,b∥c,则未必有a∥c.因为零向量平行于任意向量,当b=0时,a,c可以是任意向量,所以a与c不一定平行.但若b≠0,则必有a∥b,b∥c a∥c.因此,解答问题时,要看清题目中是任意向量还是任意非零向量.
(2)用相等向量或平行向量推导点共线问题
已知,,均为非零向量.
①若=,则A,B,C三点共线.
②若∥,则AB∥CD或A,B,C,D四点共线.
③若∥,则A,B,C三点共线.
探究点一　向量的有关概念
[例1] 判断下列命题是否正确,请说明理由.
(1)若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b;
(2)若向量|a|=|b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反;
(3)对于任意向量|a|=|b|,若a与b的方向相同,则a=b;
(4)由于0方向不确定,故0不与任意向量平行;
(5)向量a与向量b平行,则向量a与b方向相同或相反.
解:(1)不正确.因为向量由两个因素来确定,即大小和方向,所以两个向量不能比较大小.
(2)不正确.由|a|=|b|只能判断两向量长度相等,不能确定它们的方向关系.
(3)正确.因为|a|=|b|,且a与b同向,由两向量相等的条件,可得a=b.
(4)不正确.依据规定:0与任意向量平行.
(5)不正确.因为向量a与向量b若有一个是零向量,则其方向不定.
对于命题判断正误题,应熟记有关概念,看清、理解各命题,逐一进行判断,对错误命题的判断只需举一反例即可.
(1)零向量、单位向量的定义都只限制了大小,它们的方向是任意的,所以在解题过程中要特别注意它们方向的不确定性.
(2)注意0与0的含义与书写的区别,前一个表示实数,后一个表示向量.
(3)平行向量不一定方向相同或相反,因为0与任一向量平行,0的方向是任意的.
[针对训练] 下列说法不正确的是(　　)
A.向量的模是一个非负实数
B.任何一个非零向量都可以平行移动
C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D.两个有共同起点,且共线的向量,终点也必相同
解析:显然,选项A,B,C说法正确,由共线向量知两个有共同起点,且共线的向量其终点不一定相同,所以选项D不正确.故选D.
探究点二　相等向量与共线向量
[例2] 如图,O是正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形,在图中所示的向量中:
(1)写出与相等的向量;
(2)写出与共线的向量;
(3)写出与的模相等的向量;
(4)判断向量 与是否相等;
(5)写出与相等的向量;
(6)写出与共线的向量.
解:(1)与相等的向量为.
(2)与共线的向量为,,.
(3)与的模相等的向量为,,,,,,.
(4)向量与不相等.因为它们的方向不相同.
(5)与相等的向量为 .
(6)与共线的向量为 ,,.
在图形中寻找共线向量、相等向量的方法
(1)在平面图形中寻找共线向量时,应逐个列举,做到不重不漏,可先找在同一条直线上的共线向量,然后找平行直线上的共线向量,要注意一条线段对应两个共线向量,方向相同但长度不相等的有向线段是不同的共线向量.
(2)相等向量一定是共线向量,因此在找相等向量时,可以从共线向量中筛选,找出长度相等,且方向相同的共线向量即可.
[针对训练] 关于向量a,b,下列命题正确的是(　　)
A.若|a|=|b|,则a=b
B.若|a|>|b|,则a>b
C.若a=b,则a∥b
D.若a∥b,则a=b
解析:|a|=|b|时,方向未知,a=b不成立,A错误;向量不能比较大小,B错误;a=b表示向量大小相等,方向相同,所以a∥b,C正确;a∥b表示向量方向相同或相反,不能得到a=b,D错误.故选C.
探究点三　向量在平面几何中的应用
[例3] 如图,在四边形ABCD中,M,N分别是BC,AD的中点,且=,求证:=.
证明:因为=,所以AB=CD,且AB∥CD,
所以四边形ABCD是平行四边形,
所以AD=BC,且AD∥BC.
因为M,N分别是BC,AD的中点,
所以AN=AD,MC=BC,所以AN=MC.
由AD∥BC可知AN∥MC,
所以四边形AMCN是平行四边形,
所以AM∥NC,AM=NC.
又因为与的方向相同,所以=.
(1)利用向量相等可以证明线段相等或直线与直线平行,但证明直线与直线平行时,需说明两向量所在的直线无公共点.
(2)利用向量平行或共线可证明(判定)直线平行,但证明(判定)直线平行时,除说明向量平行或共线外还需说明向量所在的直线无公共点.
[针对训练]
如图所示,在平行四边形ABCD中,E,F分别是CD,AB的中点.
(1)写出与向量共线的向量;
(2)求证:=.
(1)解:因为在平行四边形ABCD中,E,F分别是CD,AB的中点,CE∥AF,CE=AF,
所以四边形AFCE为平行四边形,所以CF∥AE.所以与向量共线的向量为,,.
(2)证明:在平行四边形ABCD中,AB∥DC,AB=DC.因为E,F分别是DC,AB的中点,所以ED∥BF且ED=BF,所以四边形BFDE是平行四边形,所以BE=FD,BE∥FD,故=.
学海拾贝
核心素养——逻辑推理
[典例探究] 在四边形ABCD中,已知∥,求与分别满足什么条件时,四边形ABCD满足下列情况.
(1)四边形ABCD是等腰梯形;
(2)四边形ABCD是平行四边形.
解:(1)||=||,且与不平行.
因为∥,
所以四边形ABCD为梯形或平行四边形.
若四边形ABCD为等腰梯形,
则||=||,同时两向量不平行.
(2)=(或∥).
若=,即四边形的一组对边平行且相等,此时四边形ABCD为平行四边形(或若在四边形中∥,∥,即四边形的两组对边分别平行,此时四边形ABCD为平行四边形).
本例主要通过共线向量得出一组对边平行,然后考虑共线向量的模是否相等,主要考查逻辑推理的核心素养.
[应用探究] 若||=||,且=,则四边形ABCD的形状为(　　)
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.等腰梯形
解析:因为=,所以四边形ABCD为平行四边形,又因为||=||,所以平行四边形ABCD为菱形.故选C.
当堂检测
1.①加速度是向量;②若a∥b且b∥c,则a∥c;③若=,则直线AB与直线CD平行.上述说法中正确的个数为(　B　)
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:由向量的定义知,加速度是向量,所以①正确;当b=0时,满足a∥b且b∥c,但a,c不一定平行,所以②不正确;若=,则直线AB与直线CD平行或重合,所以③不正确.
2.设O是正方形ABCD的中心,则向量,,,是(　D　)
A.相等的向量 B.平行的向量
C.有相同起点的向量 D.模相等的向量
解析:由正方形的性质知||=||=||=||.
3.=是||=||的(　A　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:因为=,所以||=||,反之不成立.
4.如图,四边形ABCD是平行四边形,四边形ABDE是矩形.
(1)找出与向量相等的向量;
(2)找出与向量共线的向量.
解:(1)由四边形ABCD是平行四边形,四边形ABDE是矩形,知,与的大小相等,且方向相同,所以与向量相等的向量为和.
(2)由题图可得,,与方向相同,,,,与方向相反,所以与向量共线的向量有,,,,,,.
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
向量的概念 1,6,7
共线向量、相等向量 2,4,5,8,9,11,12,13
向量在几何中的应用 3,10,14,15
基础巩固
1.给出下列物理量:①密度;②温度;③速度;④质量;⑤功;⑥位移.其中正确的是(　D　)
A.①②③是数量,④⑤⑥是向量
B.②④⑥是数量,①③⑤是向量
C.①④是数量,②③⑤⑥是向量
D.①②④⑤是数量,③⑥是向量
解析:密度、温度、质量、功只有大小没有方向,是数量;速度、位移既有大小又有方向,是向量.
2.下列说法正确的是(　B　)
A.若|a|=|b|,则a=±b
B.零向量的长度是0
C.长度相等的向量称为相等向量
D.共线向量是在同一条直线上的向量
解析:|a|=|b|仅表示a与b的大小相等,但是方向不确定,故a=±b未必成立,所以A错误;根据零向量的定义可判断B正确;长度相等的向量方向不一定相同,故C错误;共线向量不一定在同一条直线上,也可平行,故D错误.
3.已知平面四边形ABCD满足=,则四边形ABCD是(　B　)
A.正方形
B.平行四边形
C.菱形
D.梯形
解析:在四边形ABCD中, =,所以AB=DC,且AB∥DC,所以四边形ABCD为平行四边形.
4.下列说法正确的是(　C　)
A.单位向量都相等
B.若a,b满足|a|>|b|且a与b同向,则a>b
C.若a与b不平行,则a与b都是非零向量
D.平行向量不一定是共线向量
解析:选项A,方向相同,模相等的向量为相等向量,单位向量的方向不一定相同,故A错误;选项B,向量模能比较大小,向量不能比较大小,故B错误;选项C,由于零向量与任意向量平行,所以当a与b不平行时,则必有a与b都是非零向量,故C正确;选项D,平行向量也是共线向量,故D错误.
5.(多选题)下列命题是真命题的是(　AD　)
A.若A,B,C,D在一条直线上,则与是共线向量
B.若A,B,C,D不在一条直线上,则与不是共线向量
C.若向量与是共线向量,则A,B,C,D四点必在一条直线上
D.若向量与是共线向量,则A,B,C三点必在一条直线上
解析:A选项为真命题,A,B,C,D在一条直线上,则向量,的方向相同或相反,因此与是共线向量;B选项为假命题,A,B,C,D不在一条直线上,则,的方向不确定,不能判断与是否共线;C选项为假命题,因为,两个向量所在的直线可能没有公共点,所以A,B,C,D四点不一定在一条直线上;D选项为真命题,因为,两个向量所在的直线有公共点A,且与是共线向量,所以A,B,C三点共线.
6.若a为任一非零向量,b为单位向量,给出下列说法:①|a|>|b|; ②a∥b;③|a|>0; ④|b|=±1;⑤若a0是与a同向的单位向量,则a0=b.
其中正确的说法是　　　　.(填序号)
解析:由题意知,|a|≠0,|b|=1,当|a|=时,
|a|<|b|,不一定有|a|>|b|,故①错误;a与b方向不一定相同或相反,所以a与b不一定平行,故②错误;非零向量的模必大于0,即|a|>0,故③正确;向量的模非负,故④错误;a与b方向不一定相同,所以a0与b方向不一定相同,故⑤错误.综上可知,只有③正确.
答案:③
7.如图所示,已知AD=3,B,C是线段AD的两个三等分点,分别以图中各点为起点和终点,所有模长度大于1的向量为　　　　　　　.
解析:满足条件的向量有以下两类:
模长为2的向量有,,,;模长为3的向量有,.
答案:,,,,,
8.如图所示,在 ABCD中,E,F分别为边AD,BC的中点.
写出一个与向量共线的向量　　　　.
解析:由共线向量满足的条件,得与向量共线的向量有,,,,,,,,,,.
答案:(答案不唯一)
能力提升
9.(多选题)下列关于向量的描述中,不正确的有(　ABC　)
A.有向线段就是向量
B.若向量与向量共线,则A,B,C,D四点共线
C.零向量没有方向
D.若a=b,则|a|=|b|
解析:有向线段是固定的,向量是可以平行移动的,二者不是相等关系,A错误;若与是平行四边形的一组对边,此时向量与向量共线,但A,B,C,D四点不共线,B错误;零向量方向任意,C错误;若a=b,则a,b大小相等,方向相同,D正确.
10.(多选题)设点O是平行四边形ABCD的对角线的交点,则下列结论正确的是(　AD　)
A.= B.||=||
C.= D.与共线
解析:由点O是平行四边形ABCD的对角线的交点,则O是AC的中点,即有=,A正确;平行四边形对角线长不一定相等,则||与||不一定相等,B不正确;点A,O,B不共线,C不正确;平行四边形ABCD中,AB∥CD,即有与共线,D正确.
11.给出以下四个条件:①a=b;②|a|=|b|;③a与b的方向相反;
④|a|=0或|b|=0.
其中能使a∥b成立的是　　　　.(填序号)
解析:共线向量指的是方向相同或相反的向量,它只涉及方向,不涉及大小,很明显符合要求的有①③④.
答案:①③④
12.如图,点O为正六边形ABCDEF的中心,以A,B,C,D,E,F,O七点中的任一点为起点,以与起点不同的另一点为终点的所有向量中,设与向量相等的向量个数为m,与向量的模相等的向量个数为n,则m=　　　　,n=　　　　.
解析:与方向相同的向量仅有,,,,又||≠||,
||=||=||=||,故m=3;与向量的模相等的向量有两类:以O为起点,以正六边形的顶点为终点或以正六边形顶点为起点,以O为终点的向量,有2×6-1=11 (个);正六边形的六条边上的向量,有2×6=12 (个),故n=23.
答案:3　23
13.如图,在方格纸中,取两个格子的格点(A,B,C,D,E,F)为起点和终点作向量,写出满足下列条件的向量:
(1)与相等的向量;
(2)与的模相等的向量.
解:(1)方向相同且模长相等的向量为相等向量,故与相等的向量为,.
(2)与的模相等的向量为,,.
14.设在平面内给定一个四边形ABCD,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,求证:=.
证明:如图所示,连接AC.
在△ABC中,因为E,F分别为AB,BC的中点,
由三角形中位线定理知,EF=AC,EF∥AC,同理HG=AC,HG∥AC,
所以||=||,
且 和 所在的直线没有交点,和同向,所以=.
应用创新
15.如图所示的方格纸中每个小方格的边长为1,方格纸中有两个定点A,B,点C为小正方形的顶点,且||=.
(1)画出所有的向量;
(2)求||的最大值与最小值.
解:(1)画出所有的向量,
如图中,,,,,,,所示.
(2)由(1)中的图知,①当点C位于点C1或C2时,||取得最小值,为=;②当点C位于点C5或C6时,||取得最大值,为=.故||的最大值为,最小值为.6.1　平面向量及其线性运算
6.1.1　向量的概念
学习目标
1.通过向量及有关概念的学习,理解向量的概念,掌握向量的表示方法、记法,培养数学抽象、直观想象及逻辑推理的核心素养.
2.阅读课本,了解零向量及单位向量,理解向量的相等与平行,提升分析问题与解决问题的核心素养.
情境导入
　　　如图所示,小船由A地向东南方向航行15 km到达B地(速度为10 km).
探究: (1)如果仅仅给出指令“由A地航行15 km”,小船能否到达B地
(2)给出指令“向东南方向航行”呢
知识探究
1.向量的概念
(1)向量:既有 又有 的量称为向量(也称为矢量),向量的大小也称为向量的 (或长度).
(2)标量:只有 的量称为标量.
[思考1] 两个标量可以比较大小,那么两个向量能比较大小吗 两个向量的模能比较大小吗
2.向量的几何表示
(1)向量可以用 表示,其中有向线段的长度表示向量的 ,有向线段箭头所指的方向表示向量的 .
(2)向量可以用有向线段始点和终点的字母表示,始点为A终点为B的有向线段表示的向量,可以用符号简记为,此时向量的模用 表示;向量还可用小写字母表示,如a,b,c,…,此时向量a的模用 表示.
(3)始点和终点相同的向量称为 ,即0;零向量的模为 ,即|0|=0;零向量的方向是 .
(4)单位向量:模等于 的向量称为单位向量;e是单位向量的充要条件是 .
[思考2] 若将平面内所有的单位向量的始点放在同一点,那么它们的终点构成的图形是什么形状
3.向量的相等与平行
(1)一般地,把大小 、方向 的向量称为相等的向量;向量a和b相等,记作 .
(2)如果两个 向量的方向 ,则称这两个向量平行;规定零向量与 向量平行;向量a和b平行,记作 ;两个向量平行也称为两个向量 .
[思考3] 向量共线与向量相等有什么关系
(1)向量的平行不具有传递性,若a∥b,b∥c,则未必有a∥c.因为零向量平行于任意向量,当b=0时,a,c可以是任意向量,所以a与c不一定平行.但若b≠0,则必有a∥b,b∥c a∥c.因此,解答问题时,要看清题目中是任意向量还是任意非零向量.
(2)用相等向量或平行向量推导点共线问题
已知,,均为非零向量.
①若=,则A,B,C三点共线.
②若∥,则AB∥CD或A,B,C,D四点共线.
③若∥,则A,B,C三点共线.
探究点一　向量的有关概念
[例1] 判断下列命题是否正确,请说明理由.
(1)若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b;
(2)若向量|a|=|b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反;
(3)对于任意向量|a|=|b|,若a与b的方向相同,则a=b;
(4)由于0方向不确定,故0不与任意向量平行;
(5)向量a与向量b平行,则向量a与b方向相同或相反.
对于命题判断正误题,应熟记有关概念,看清、理解各命题,逐一进行判断,对错误命题的判断只需举一反例即可.
(1)零向量、单位向量的定义都只限制了大小,它们的方向是任意的,所以在解题过程中要特别注意它们方向的不确定性.
(2)注意0与0的含义与书写的区别,前一个表示实数,后一个表示向量.
(3)平行向量不一定方向相同或相反,因为0与任一向量平行,0的方向是任意的.
[针对训练] 下列说法不正确的是(　　)
A.向量的模是一个非负实数
B.任何一个非零向量都可以平行移动
C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D.两个有共同起点,且共线的向量,终点也必相同
探究点二　相等向量与共线向量
[例2] 如图,O是正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形,在图中所示的向量中:
(1)写出与相等的向量;
(2)写出与共线的向量;
(3)写出与的模相等的向量;
(4)判断向量 与是否相等;
(5)写出与相等的向量;
(6)写出与共线的向量.
在图形中寻找共线向量、相等向量的方法
(1)在平面图形中寻找共线向量时,应逐个列举,做到不重不漏,可先找在同一条直线上的共线向量,然后找平行直线上的共线向量,要注意一条线段对应两个共线向量,方向相同但长度不相等的有向线段是不同的共线向量.
(2)相等向量一定是共线向量,因此在找相等向量时,可以从共线向量中筛选,找出长度相等,且方向相同的共线向量即可.
[针对训练] 关于向量a,b,下列命题正确的是(　　)
A.若|a|=|b|,则a=b
B.若|a|>|b|,则a>b
C.若a=b,则a∥b
D.若a∥b,则a=b
探究点三　向量在平面几何中的应用
[例3] 如图,在四边形ABCD中,M,N分别是BC,AD的中点,且=,求证:=.
证明:因为=,所以AB=CD,且AB∥CD,
所以四边形ABCD是平行四边形,
所以AD=BC,且AD∥BC.
因为M,N分别是BC,AD的中点,
所以AN=AD,MC=BC,所以AN=MC.
由AD∥BC可知AN∥MC,
所以四边形AMCN是平行四边形,
所以AM∥NC,AM=NC.
又因为与的方向相同,所以=.
(1)利用向量相等可以证明线段相等或直线与直线平行,但证明直线与直线平行时,需说明两向量所在的直线无公共点.
(2)利用向量平行或共线可证明(判定)直线平行,但证明(判定)直线平行时,除说明向量平行或共线外还需说明向量所在的直线无公共点.
[针对训练]
如图所示,在平行四边形ABCD中,E,F分别是CD,AB的中点.
(1)写出与向量共线的向量;
(2)求证:=.
学海拾贝
核心素养——逻辑推理
[典例探究] 在四边形ABCD中,已知∥,求与分别满足什么条件时,四边形ABCD满足下列情况.
(1)四边形ABCD是等腰梯形;
(2)四边形ABCD是平行四边形.
本例主要通过共线向量得出一组对边平行,然后考虑共线向量的模是否相等,主要考查逻辑推理的核心素养.
[应用探究] 若||=||,且=,则四边形ABCD的形状为(　　)
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.等腰梯形
当堂检测
1.①加速度是向量;②若a∥b且b∥c,则a∥c;③若=,则直线AB与直线CD平行.上述说法中正确的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.设O是正方形ABCD的中心,则向量,,,是( )
A.相等的向量 B.平行的向量
C.有相同起点的向量 D.模相等的向量
3.=是||=||的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.如图,四边形ABCD是平行四边形,四边形ABDE是矩形.
(1)找出与向量相等的向量;
(2)找出与向量共线的向量.
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
向量的概念 1,6,7
共线向量、相等向量 2,4,5,8,9,11,12,13
向量在几何中的应用 3,10,14,15
基础巩固
1.给出下列物理量:①密度;②温度;③速度;④质量;⑤功;⑥位移.其中正确的是( )
A.①②③是数量,④⑤⑥是向量
B.②④⑥是数量,①③⑤是向量
C.①④是数量,②③⑤⑥是向量
D.①②④⑤是数量,③⑥是向量
2.下列说法正确的是( )
A.若|a|=|b|,则a=±b
B.零向量的长度是0
C.长度相等的向量称为相等向量
D.共线向量是在同一条直线上的向量
3.已知平面四边形ABCD满足=,则四边形ABCD是( )
A.正方形
B.平行四边形
C.菱形
D.梯形
4.下列说法正确的是( )
A.单位向量都相等
B.若a,b满足|a|>|b|且a与b同向,则a>b
C.若a与b不平行,则a与b都是非零向量
D.平行向量不一定是共线向量
5.(多选题)下列命题是真命题的是(　AD　)
A.若A,B,C,D在一条直线上,则与是共线向量
B.若A,B,C,D不在一条直线上,则与不是共线向量
C.若向量与是共线向量,则A,B,C,D四点必在一条直线上
D.若向量与是共线向量,则A,B,C三点必在一条直线上
6.若a为任一非零向量,b为单位向量,给出下列说法:①|a|>|b|; ②a∥b;③|a|>0; ④|b|=±1;⑤若a0是与a同向的单位向量,则a0=b.
其中正确的说法是 .(填序号)
7.如图所示,已知AD=3,B,C是线段AD的两个三等分点,分别以图中各点为起点和终点,所有模长度大于1的向量为 .
8.如图所示,在 ABCD中,E,F分别为边AD,BC的中点.
写出一个与向量共线的向量 .
能力提升
9.(多选题)下列关于向量的描述中,不正确的有(　ABC　)
A.有向线段就是向量
B.若向量与向量共线,则A,B,C,D四点共线
C.零向量没有方向
D.若a=b,则|a|=|b|
10.(多选题)设点O是平行四边形ABCD的对角线的交点,则下列结论正确的是(　AD　)
A.= B.||=||
C.= D.与共线
11.给出以下四个条件:①a=b;②|a|=|b|;③a与b的方向相反;
④|a|=0或|b|=0.
其中能使a∥b成立的是 .(填序号)
12.如图,点O为正六边形ABCDEF的中心,以A,B,C,D,E,F,O七点中的任一点为起点,以与起点不同的另一点为终点的所有向量中,设与向量相等的向量个数为m,与向量的模相等的向量个数为n,则m= ,n= .
13.如图,在方格纸中,取两个格子的格点(A,B,C,D,E,F)为起点和终点作向量,写出满足下列条件的向量:
(1)与相等的向量;
(2)与的模相等的向量.
14.设在平面内给定一个四边形ABCD,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,求证:=.
应用创新
15.如图所示的方格纸中每个小方格的边长为1,方格纸中有两个定点A,B,点C为小正方形的顶点,且||=.
(1)画出所有的向量;
(2)求||的最大值与最小值.

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