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(共34张PPT)
6.1 平面向量及其线
性运算
6.1.2 向量的加法
「学习目标」
1.通过学习和向量定义，理解向量和的定义，掌握向量加法的法则，培养数学抽象的核
心素养.
2.通过向量加法的运算，了解和向量模的不等式，理解向量加法的运算律，培养直观想
象、数学运算的核心素养.
知识梳理
自主探究
「情境导入」
物理中的共点力平衡，用两个力和拉的效果和用一个力 拉的效果是一样的.
探究：
（1）能不能称为和 的合力呢？
[答案] 能称为和 的合力.
（2）它们之间有什么关系？
[答案] .
「知识探究」
1.向量加法的三角形法则
一般地，平面上任意给定两个向量，，在该平面内任取一点，作， ，
作出向量，则向量 称为向量与的____（也称为向量和 的________），向
量与的和向量记作 ______，因此 ____.
当与不共线时，，， 正好能构成一个三角形，这样求两向量和的作图方法也
常称为向量加法的____________,如图.
和
和向量
三角形法则
2.向量加法的平行四边形法则
平面上任意给定两个不共线的向量，，在该平面内任取一点，作， ，
以，为邻边作一个平行四边形，作出向量，则 _________，这种求
两向量和的作图方法称为向量加法的________________,如图.
向量的加法运算满足交换律，即 ______.
平行四边形法则
3.多个向量相加
向量的加法运算满足结合律，即 ________
.
［思考］ 多个向量求和时，与向量相加的顺序有关吗？为什么？作图时，如何得到和向量？
提示：与顺序无关.因为向量的加法满足结合律和交换律.在作图时，只需将这些向量依
次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就
是和向量.
拓展总结
（1）三角形法则与平行四边形法则的适用条件
法则 适用条件 三角形法则 平行四边形法则
两向量位置关系 两向量共线或不共线均可 只适用于两向量不共线的
情况
两向量始点、终点的 特点 一个向量的终点为另一个向量的 始点 两向量始点相同
（2）不共线的三个向量，，，若 ，则由这三个向量表示的有向线段
可以构成一个三角形.
课堂探究
素养培育
探究点一 作向量的和
［例1］ （1）如图①，用向量加法的三角形法则作出 ；
解:在平面内任取一点，作， ，
再作向量，则 .
（2）如图②，用向量加法的平行四边形法则作出 .
解:在平面内任取一点，作，，再作平行 的
，连接 ，
则四边形为平行四边形， .
方法总结
（1）利用三角形法则，在平面内任取一点，将两向量平移到首尾相连，从始点到终点
的向量就是这两个向量的和.
（2）利用平行四边形法则，在平面内任取一点，从此点出发分别作两个向量等于已知
向量，以这两个向量为邻边作一个平行四边形，以所取的点为始点的对角线所对应的向
量是两个向量的和．
［针对训练］ 如图，已知向量，，不共线，作和向量 .
解：法一 如图，
在平面内任取一点 ，
作， ，
则 ；
再作 ，
则 .
向量 即为所求.
法二 如图，在平面内任取一点，作，，以
与为邻边作平行四边形 ，
则 ；
再作，以与为邻边作平行四边形 ，则
.向量 即为所求.
探究点二 求模的最值
［例2］ 已知，，则 的最大值与最小值分别是( )
A
A.5，3 B.5，4 C.6，0 D.3，0
[解析] 因为 ，
所以 .故选A.
方法总结
向量,,的模之间的关系式为,当且仅当, 同向时,
取最大值,反向时,取最小值.
［针对训练］ 已知，，则 的取值范围是_______.
[解析] 从题目中所给向量的起点与终点容易看出，所给向量与所求向量的关系为
，然后根据向量的和的模与各向量模的和的关系，分为与 是否共线
两种情况，可以得出答案,
，
即，即 .
探究点三 向量加法的运算律
［例3］ （1）化简下列各式.
① ；
解： .
② .
解： .
（2）如图，为正六边形 的中心，化简下列向量.
① ；
解：由正六边形的性质知，四边形 为平行四边形，
所以 .
② ；
解：由题图知， ，
所以 .
③ .
解：因为 ，
所以 .
方法总结
向量的加法主要是利用运算法则和运算律进行求解，一般有以下两种方法：
（1）通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求解，一般用于较简单的运算．
（2）利用代数方法,通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结
合律调整向量相加的顺序（将首尾相连的向量合在一起），有时也需将一个向量拆分成
两个或多个向量．
［针对训练］ （多选题）如图，，，分别是 的边
，， 的中点，则下列等式正确的是( )
ABC
A. B.
C. D.
[解析] ， ，
，
.故选 .
「学海拾贝」
向量加法的多边形法则
［问题探究］
1.在中，若，，，那么 一定成立吗？
[答案] 一定成立，因为在中，由向量加法的三角形法则 ，所以
，那么 .
2.如果任意三个向量，，满足条件 ，那么表示它们的有向线段是否一
定构成三角形？
[答案] 若任意三个向量，，满足 ，则表示它们的有向线段不一定构成
三角形，因为当这三个向量为共线向量时，同样有可能满足 ，此时，表示
它们的有向线段肯定不能构成三角形，所以任意三个向量，，满足 时，
表示它们的有向线段不一定构成三角形.
3.设，，， ，，且 是平面内的点，则一般情况下，
.当与 重合时，
满足什么关系？
[答案] 当与重合时，有 .
［典例探究］ 如图，在正六边形中， 等于( )
D
A. B. C. D.
[解析] 因为多边形是正六边形，所以，，所以 ，
所以
.故选D.
素养提升
三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的相等向
量；三是能根据多边形法则作出向量的和向量.
［应用探究］ 如图，，，，分别是梯形的边 ，
，， 的中点，化简下列各式：
（1） ；
解:
.
（2） .
解: .
「当堂检测」
1.如图所示，四边形是梯形，，则 等于( )
B
A. B. C. D.
[解析] .
2.化简 等于( )
B
A.0 B. C. D.
[解析] .
3.如图所示，是四边形对角线的交点，若 ，
则四边形 的形状为( )
C
A.等腰梯形 B.菱形 C.平行四边形 D.矩形
[解析] 因为，，所以 ，
所以四边形 为平行四边形.
4.（多选题）下列说法错误的是( )
ACD
A.如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与， 之一的方向相同
B.在中，必有
C.若，则，， 为一个三角形的三个顶点
D.若，均为非零向量，则与 一定相等
[解析] A错误，若 ，其方向是任意的；B正确；C错误，A，B，C三点共线时
也可满足；D错误， .6.1.2　向量的加法
学习目标
1.通过学习和向量定义,理解向量和的定义,掌握向量加法的法则,培养数学抽象的核心素养.
2.通过向量加法的运算,了解和向量模的不等式,理解向量加法的运算律,培养直观想象、数学运算的核心素养.
情境导入
　　物理中的共点力平衡,用两个力F1和F2拉的效果和用一个力F拉的效果是一样的.
探究: (1)F能不能称为F1和F2的合力呢
(2)它们之间有什么关系
知识探究
1.向量加法的三角形法则
一般地,平面上任意给定两个向量a,b,在该平面内任取一点A,作=a,=b,作出向量,则向量 称为向量a与b的 (也称为向量a和b的 ),向量a与b的和向量记作 ,因此+=.
当a与b不共线时,a,b,a+b正好能构成一个三角形,这样求两向量和的作图方法也常称为向量加法的 ,如图.
2.向量加法的平行四边形法则
平面上任意给定两个不共线的向量a,b,在该平面内任取一点A,作=a,=b,以AB,AC为邻边作一个平行四边形ABDC,作出向量,则= ,这种求两向量和的作图方法称为向量加法的 ,如图.
向量的加法运算满足交换律,即a+b= .
3.多个向量相加
向量的加法运算满足结合律,即(a+b)+c=a+
[思考] 多个向量求和时,与向量相加的顺序有关吗 为什么 作图时,如何得到和向量
(1)三角形法则与平行四边形法则的适用条件
　　　　法则 适用条件　　 三角形法则 平行四边 形法则
两向量 位置关系 两向量共线或不共线均可 只适用于两向量不共线的情况
两向量始点、 终点的特点 一个向量的终点为另一个向量的始点 两向量始点相同
(2)不共线的三个向量a,b,c,若a+b+c=0,则由这三个向量表示的有向线段可以构成一个三角形.
探究点一　作向量的和
[例1] (1)如图①,用向量加法的三角形法则作出a+b;
图①　　　　图②
(2)如图②,用向量加法的平行四边形法则作出a+b.
(1)利用三角形法则,在平面内任取一点,将两向量平移到首尾相连,从始点到终点的向量就是这两个向量的和.
(2)利用平行四边形法则,在平面内任取一点,从此点出发分别作两个向量等于已知向量,以这两个向量为邻边作一个平行四边形,以所取的点为始点的对角线所对应的向量是两个向量的和.
[针对训练] 如图,已知向量a,b,c不共线,作和向量a+b+c.
探究点二　求模的最值
[例2] 已知|a|=1,|b|=4,则|a+b|的最大值与最小值分别是(　　)
A.5,3 B.5,4
C.6,0 D.3,0
所以3≤|a+b|≤5.故选A.
向量a,b,a+b的模之间的关系式为||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a,b同向时,取最大值,反向时,取最小值.
[针对训练] 已知||=10,||=7,则||的取值范围是 .
探究点三　向量加法的运算律
[例3] (1)化简下列各式.
①++;
②++++.
(2)如图,O为正六边形ABCDEF的中心,化简下列向量.
①+;
②+;
③+.
向量的加法主要是利用运算法则和运算律进行求解,一般有以下两种方法:
(1)通过作出向量,运用平行四边形法则或三角形法则求解,一般用于较简单的运算.
(2)利用代数方法,通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相连”,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序(将首尾相连的向量合在一起),有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量.
[针对训练] (多选题)如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则下列等式正确的是(　　)
A.++=0
B.++=0
C.++=
D.++=
++=+=+=,++=+0==≠.故选ABC.
学海拾贝
向量加法的多边形法则
[问题探究]
1.在△ABC中,若=a,=b,=c,那么a+b+c=0一定成立吗
2.如果任意三个向量a,b,c满足条件a+b+c=0,那么表示它们的有向线段是否一定构成三角形
3.设A1,A2,A3,…,An(n∈N,且n≥3)是平面内的点,则一般情况下,=+++…+.当A1与An重合时,+++…+满足什么关系
[典例探究]
如图,在正六边形ABCDEF中,++等于(　　)
A.0 B.
C. D.
三个关键:一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系;二是熟练找出图形中的相等向量;三是能根据多边形法则作出向量的和向量.
[应用探究] 如图,E,F,G,H分别是梯形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,化简下列各式:
(1)++;
(2)+++.
当堂检测
1.如图所示,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,则++等于( )
A. B.
C. D.
2.化简+++等于( )
A.0 B.
C.0 D.
3.如图所示,O是四边形ABCD对角线的交点,若a+d=c+b,则四边形ABCD的形状为( )
A.等腰梯形 B.菱形
C.平行四边形 D.矩形
4.(多选题)下列说法错误的是(　　)
A.如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a,b之一的方向相同
B.在△ABC中,必有++=0
C.若++=0,则A,B,C为一个三角形的三个顶点
D.若a,b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
向量的加法 3,9,10,11,13,14
运算律 1,4,6
向量的模 2,5,7,8,12,15
基础巩固
1.下列命题中正确的个数是( )
①a+0=a;
②a+b=b+a;
③a+(b+c)=(a+b)+c;
④+=0.
A.1 B.2 C.3 D.4
2.在矩形ABCD中,||=4, ||=2, 则向量++的长度等于( )
A.2 B.4
C.12 D.6
3.(多选题)已知四边形ABCD是菱形,则下列等式中不成立的是(　)
A.+= B.+=
C.+= D.+=
4.如图为正八边形ABCDEFGH,其中O为正八边形的中心,则++等于( )
A. B.
C. D.
5.若在△ABC中,=a,=b,且|a|=|b|=1,|a+b|=,则△ABC的形状是( )
A.正三角形
B.锐角三角形
C.斜三角形
D.等腰直角三角形
6.如图,在平行四边形ABCD中.
(1)+= ;
(2)++= ;
(3)++= ;
(4)++= .
7.若a等于“向东走8 km”,b等于“向北走8 km”,则|a+b|=
km,a+b的方向是 .
∠BAC=45°.
8.当非零向量a,b满足 时,a+b平分以a与b为邻边的平行四边形的内角.
能力提升
9.(多选题)已知平行四边形ABCD,设+++=a,且b是一非零向量,则下列结论正确的是(　)
A.a∥b B.a+b=a
C.a+b=b D.|a+b|<|a|+|b|
10.如图所示的方格中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则+等于( )
A. B.
C. D.
11.如图所示,点O是正六边形ABCDEF的中心,则++= .
12.如图所示,△ABC中,==,且BC=3,则|+|= .
13.已知任意四边形ABCD,E为AD的中点,F为BC的中点.求证:2=+.
14.已知 ABCD,O是两条对角线的交点,E是CD的一个三等分点(靠近D点),作出下列向量.
(1)+;
(2)+.
应用创新
15.给出下列命题:①若a,b同向,则有|b+a|=|b|+|a|;②若a,b不共线,则有|a+b|>|a|+|b|;③|a|<|a|+|b|恒成立;④对任意两个向量a,b,总有|a+b|≤|a|+|b|.
其中正确的命题是 .(填序号) 6.1.2　向量的加法
学习目标
1.通过学习和向量定义,理解向量和的定义,掌握向量加法的法则,培养数学抽象的核心素养.
2.通过向量加法的运算,了解和向量模的不等式,理解向量加法的运算律,培养直观想象、数学运算的核心素养.
情境导入
　　物理中的共点力平衡,用两个力F1和F2拉的效果和用一个力F拉的效果是一样的.
探究: (1)F能不能称为F1和F2的合力呢
(2)它们之间有什么关系
答案:(1)F能称为F1和F2的合力.
(2)F=F1+F2.
知识探究
1.向量加法的三角形法则
一般地,平面上任意给定两个向量a,b,在该平面内任取一点A,作=a,=b,作出向量,则向量 称为向量a与b的和(也称为向量a和b的和向量),向量a与b的和向量记作a+b,因此+=.
当a与b不共线时,a,b,a+b正好能构成一个三角形,这样求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则,如图.
2.向量加法的平行四边形法则
平面上任意给定两个不共线的向量a,b,在该平面内任取一点A,作=a,=b,以AB,AC为邻边作一个平行四边形ABDC,作出向量,则=+,这种求两向量和的作图方法称为向量加法的平行四边形法则,如图.
向量的加法运算满足交换律,即a+b=b+a.
3.多个向量相加
向量的加法运算满足结合律,即(a+b)+c=a+(b+c).
[思考] 多个向量求和时,与向量相加的顺序有关吗 为什么 作图时,如何得到和向量
提示:与顺序无关.因为向量的加法满足结合律和交换律.在作图时,只需将这些向量依次首尾相接,那么以第一个向量的起点为起点,最后一个向量的终点为终点的向量,就是和向量.
(1)三角形法则与平行四边形法则的适用条件
　　　　法则 适用条件　　 三角形法则 平行四边 形法则
两向量 位置关系 两向量共线或不共线均可 只适用于两向量不共线的情况
两向量始点、 终点的特点 一个向量的终点为另一个向量的始点 两向量始点相同
(2)不共线的三个向量a,b,c,若a+b+c=0,则由这三个向量表示的有向线段可以构成一个三角形.
探究点一　作向量的和
[例1] (1)如图①,用向量加法的三角形法则作出a+b;
图①　　　　图②
(2)如图②,用向量加法的平行四边形法则作出a+b.
解:(1)在平面内任取一点O,作=a,=b,
再作向量,则=a+b.
(2)在平面内任取一点O,作=a,=b,再作平行的=b,连接BC,
则四边形OACB为平行四边形,=a+b.
(1)利用三角形法则,在平面内任取一点,将两向量平移到首尾相连,从始点到终点的向量就是这两个向量的和.
(2)利用平行四边形法则,在平面内任取一点,从此点出发分别作两个向量等于已知向量,以这两个向量为邻边作一个平行四边形,以所取的点为始点的对角线所对应的向量是两个向量的和.
[针对训练] 如图,已知向量a,b,c不共线,作和向量a+b+c.
解:法一　如图,
在平面内任取一点O,
作=a,=b,
则=a+b;
再作=c,
则=a+b+c.
向量即为所求.
法二　如图,在平面内任取一点O,作=a,=b,以OA与OB为邻边作平行四边形OADB,
则=a+b;
再作=c,以OD与OC为邻边作平行四边形ODEC,则=a+b+c.向量即为所求.
探究点二　求模的最值
[例2] 已知|a|=1,|b|=4,则|a+b|的最大值与最小值分别是(　　)
A.5,3 B.5,4
C.6,0 D.3,0
解析:因为||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,
所以3≤|a+b|≤5.故选A.
向量a,b,a+b的模之间的关系式为||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a,b同向时,取最大值,反向时,取最小值.
[针对训练] 已知||=10,||=7,则||的取值范围是　　　　.
解析:从题目中所给向量的起点与终点容易看出,所给向量与所求向量的关系为+=,然后根据向量的和的模与各向量模的和的关系,分为与是否共线两种情况,可以得出答案,
|||-|||≤||≤||+||,
即|10-7|≤||≤10+7,即3≤||≤17.
答案:[3,17]
探究点三　向量加法的运算律
[例3] (1)化简下列各式.
①++;
②++++.
(2)如图,O为正六边形ABCDEF的中心,化简下列向量.
①+;
②+;
③+.
解:(1)①++=(+)+=+=0.
②++++=(+)+(+)+=++=+
=.
(2)①由正六边形的性质知,四边形OABC为平行四边形,
所以+=.
②由题图知,===,
所以+=+=.
③因为=,
所以+=+=0.
向量的加法主要是利用运算法则和运算律进行求解,一般有以下两种方法:
(1)通过作出向量,运用平行四边形法则或三角形法则求解,一般用于较简单的运算.
(2)利用代数方法,通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相连”,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序(将首尾相连的向量合在一起),有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量.
[针对训练] (多选题)如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则下列等式正确的是(　　)
A.++=0
B.++=0
C.++=
D.++=
解析:++=+=0,++=++=0,
++=+=+=,++=+0==≠.故选ABC.
学海拾贝
向量加法的多边形法则
[问题探究]
1.在△ABC中,若=a,=b,=c,那么a+b+c=0一定成立吗
答案:一定成立,因为在△ABC中,由向量加法的三角形法则+=,所以++=0,那么a+b+c=0.
2.如果任意三个向量a,b,c满足条件a+b+c=0,那么表示它们的有向线段是否一定构成三角形
答案:若任意三个向量a,b,c满足a+b+c=0,则表示它们的有向线段不一定构成三角形,因为当这三个向量为共线向量时,同样有可能满足a+b+c=0,此时,表示它们的有向线段肯定不能构成三角形,所以任意三个向量a,b,c满足a+b+c=0时,表示它们的有向线段不一定构成三角形.
3.设A1,A2,A3,…,An(n∈N,且n≥3)是平面内的点,则一般情况下,=+++…+.当A1与An重合时,+++…+满足什么关系
答案:当A1与An重合时,有++
+…+=0.
[典例探究]
如图,在正六边形ABCDEF中,++等于(　　)
A.0 B.
C. D.
解析:因为多边形ABCDEF是正六边形,所以BA∥DE,BA=DE,所以=,
所以++=++=+
+=.故选D.
三个关键:一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系;二是熟练找出图形中的相等向量;三是能根据多边形法则作出向量的和向量.
[应用探究] 如图,E,F,G,H分别是梯形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,化简下列各式:
(1)++;
(2)+++.
解:(1)++=++=+
+=+=.
(2)+++=+++=++=+=0.
当堂检测
1.如图所示,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,则++等于(　B　)
A. B.
C. D.
解析:++=++=.
2.化简+++等于(　B　)
A.0 B.
C.0 D.
解析:+++=.
3.如图所示,O是四边形ABCD对角线的交点,若a+d=c+b,则四边形ABCD的形状为(　C　)
A.等腰梯形 B.菱形
C.平行四边形 D.矩形
解析:因为c+b=,a+d=d+a=,所以=,所以四边形ABCD为平行四边形.
4.(多选题)下列说法错误的是(　ACD　)
A.如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a,b之一的方向相同
B.在△ABC中,必有++=0
C.若++=0,则A,B,C为一个三角形的三个顶点
D.若a,b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等
解析:A错误,若a+b=0,其方向是任意的;B正确;C错误,A,B,C三点共线时也可满足;D错误,|a+b|≤|a|+|b|.
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
向量的加法 3,9,10,11,13,14
运算律 1,4,6
向量的模 2,5,7,8,12,15
基础巩固
1.下列命题中正确的个数是(　C　)
①a+0=a;
②a+b=b+a;
③a+(b+c)=(a+b)+c;
④+=0.
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:由题意知①②③正确,而④中+=0.
2.在矩形ABCD中,||=4, ||=2, 则向量++的长度等于(　B　)
A.2 B.4
C.12 D.6
解析:|++|=2||=2=4.
3.(多选题)已知四边形ABCD是菱形,则下列等式中不成立的是(　ABD　)
A.+= B.+=
C.+= D.+=
解析:因为四边形ABCD是菱形,所以+=≠,A错误;
由+=知B错误;
+=+=,C正确;由+=知D错误.
4.如图为正八边形ABCDEFGH,其中O为正八边形的中心,则++等于(　A　)
A. B.
C. D.
解析:由平面向量的运算法则,可得++=+=+=.
5.若在△ABC中,=a,=b,且|a|=|b|=1,|a+b|=,则△ABC的形状是(　D　)
A.正三角形
B.锐角三角形
C.斜三角形
D.等腰直角三角形
解析:由于||=|a|=1,||=|b|=1,||=|a+b|=,所以△ABC为等腰直角三角形.
6.如图,在平行四边形ABCD中.
(1)+=　　　　;
(2)++=　　　　;
(3)++=　　　　;
(4)++=　　　　.
解析:(1)由平行四边形法则可知+=.
(2)++=+=.
(3)++=+=.
(4)++=++=+=0.
答案:(1)　(2)　(3)　(4)0
7.若a等于“向东走8 km”,b等于“向北走8 km”,则|a+b|=
　　　　km,a+b的方向是　　　　.
解析:如图所示,设=a,=b,则=a+b,且△ABC为等腰直角三角形,则||=8,
∠BAC=45°.
答案:8　北偏东45°
8.当非零向量a,b满足　　　　时,a+b平分以a与b为邻边的平行四边形的内角.
解析:当|a|=|b|时,以a与b为邻边的平行四边形为菱形,则其对角线上的向量a+b平分此菱形的内角.
答案:|a|=|b|
能力提升
9.(多选题)已知平行四边形ABCD,设+++=a,且b是一非零向量,则下列结论正确的是(　AC　)
A.a∥b B.a+b=a
C.a+b=b D.|a+b|<|a|+|b|
解析:因为在平行四边形ABCD中,+=0,+=0,所以a为零向量,因为零向量和任意向量都平行,零向量和任意向量的和等于这个向量本身,所以A,C正确,B,D错误.
10.如图所示的方格中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则+等于(　C　)
A. B.
C. D.
解析:在方格纸上作出+,如图,易知+=.
11.如图所示,点O是正六边形ABCDEF的中心,则++=　 　.
解析:连接OB(图略).由正六边形的性质,可知△OAB与△OBC都是等边三角形,所以OA=AB=BC=OC,
所以四边形OABC是平行四边形,
所以+=,
所以++=+=0.
答案:0
12.如图所示,△ABC中,==,且BC=3,则|+|=　　　　.
解析:因为==,
所以DE∥BC,且DE=BC=1.
如图所示,作=,连接DF,
则+=+=,
所以|+|=||=||-||=2.
答案:2
13.已知任意四边形ABCD,E为AD的中点,F为BC的中点.求证:2=+.
证明:如图所示,在四边形CDEF中,=++.①
在四边形ABFE中,
=++.②
①+②,得+=+++++=(+)+(+)+(+).
因为E,F分别是AD,BC的中点,
所以+=0,+=0,
所以2=+.
14.已知 ABCD,O是两条对角线的交点,E是CD的一个三等分点(靠近D点),作出下列向量.
(1)+;
(2)+.
解:(1)延长AC,在延长线上截取CF=AO,则向量为所求.
(2)在AB上取点G,使AG=AB,则向量为所求.
应用创新
15.给出下列命题:①若a,b同向,则有|b+a|=|b|+|a|;②若a,b不共线,则有|a+b|>|a|+|b|;③|a|<|a|+|b|恒成立;④对任意两个向量a,b,总有|a+b|≤|a|+|b|.
其中正确的命题是　　　　.(填序号)
解析:由向量的加法法则可知,若a,b同向,则有|b+a|=|b|+|a|,①正确;若a,b不共线,则有|a+b|<|a|+|b|,②错误;当b=0时,
|a|=|a|+|b|,③错误;由向量加法的三角形法则,知对任意两个向量a,b,总有|a+b|≤|a|+|b|,④正确.
答案:①④

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