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2025-2026年甘肃省天水市第一中学高考数学适应性考试数学试卷
一、单选题（每题5分，共40分）
1．设集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．已知平面向量，，且，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．已知数列且满足，令，则数列的前项和为（　　）
A． B． C． D．
5．已知，则（ ）
A．-4 B． C． D．
6．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为、，过点作倾斜角为的直线与双曲线的右支交于点，线段的中点在以为直径的圆上，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的定义域为，，且在上单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
8．若函数有奇数个零点，则的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．16 D．18
二、多选题（每题6分，共18分）
9．已知数列的前项和，则（ ）
A． B．数列是等差数列
C．的最小值为 D．
10．已知函数，则（ ）
A．是奇函数 B．在上单调递减
C．的值域为 D．的最小正周期为
11．已知点是圆上的动点，点，为坐标原点，则下列结论正确的有（ ）
A．过点的直线被圆截得的最短弦长为4
B．的最大值为7
C．
D．对任意实数的最小值为2
三、填空题（每题5分，共15分）
12．已知函数在处的切线方程为，则的值为______．
13．的展开式中的系数为__________．
14．如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为，碗内放了三颗汤圆（视为半径均为的球）．三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切．若汤圆与碗口等高，则______．
四、解答题（5个小题，共77分）
15．（13分）15．已知的内角，，所对的边分别是，，，且满足.
(1)求角的大小；
(2)若，且的面积为24，求的值.
16．（15分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，且，，平面ABCD，、分别是PD、AD的中点.
(1)求证：平面平面PAB；
(2)若二面角的大小为：求直线CD与平面BCE所成角的正弦值.
17．（15分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上．
(1)求的方程；
(2)设直线：与交于、两点．若，求的值；
18．（17分）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的零点个数；
(3)若有3个零点，，，证明：.
19．（17分）某中学航天科技小组利用假期进行一项新型火箭模型的发射试验，根据以往数据可知，单次发射成功的概率为，失败的概率为，发射结果相互独立．计划发射多次．
(1)若某次发射失败，则整个试验终止；若发射成功，则继续发射且至多发射4次．记发射的次数为，求的分布列与期望；
(2)若在一次发射中发射失败，能够成功进行现场修复并确保后续发射不受此次失败影响的概率为（即修复后，系统恢复到正常发射状态）．修复失败的概率为．考虑一个简化的连续发射模型，从第1次发射开始．若发射成功，则继续进行下一次发射；若发射失败但成功修复．则继续进行下一次发射；若发射失败且修复失败，则试验终止；此外，若连续2次发射失败，试验也终止．
①求至少发射3次的概率；
②定义为第次发射成功的概率，是否存在实数使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C A C D B B ABD ABD
题号 11
答案 AC
12．
13．
14．
15．（1）由及正弦定理，
得
，
因为，所以，所以.
因为，所以；
（2）由，得，
解得，从而，所以，
所以，，，
则由正弦定理，可设，，
故，解得，
所以.
16．（1）在PAD中，、分别是PD、AD的中点，
所以，因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB，
因为四边形ABCD是直角梯形，且，所以，
又，是AD的中点，所以，，
所以四边形ABCF是矩形，所以，
因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB，
因为，平面CEF，平面CEF，
所以平面平面PAB；
（2）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面BCE的一个法向量为，则,
所以，取，则，，
所以，设直线CD与平面BCE所成的角为，
所以
所以直线CD与平面BCE所成角的正弦值为.
17．（1）由椭圆的左、右焦点分别为，，则，
又椭圆过点，所以，
又，故，所以的方程为．
（2）因为直线：与椭圆交于、两点，设、两点坐标分别为，，
联立，消去，整理得，
则，解得，
则，，
又，，
则，即，
又因为点在椭圆上，即，
联立方程组，解得，，，，
由于点在直线方程上，
解得，，，，
又因为，所以．
18．（1）若，则，，
可得，，
所以曲线在点处的切线方程.
（2）由题意可知：函数的定义域为，且，
对于方程，则，
因为，若，则；若，即，则；
当时，则，即，
可知函数在定义域内单调递增，
且，所以函数有且仅有1个零点；
当时，则，可知有2个不相等的实数根，，
且，则，
若，则，即；
若或，则，即；
可知函数在，内单调递增，在内单调递减，
则，且，即，
因为，
令，则，
可知在内单调递减，则，可得；
又因为，
所以函数有3个零点；
综上所述：当时，函数有且仅有1个零点；
当时，函数有3个零点.
（3）若有3个零点，
由（2）可知：，，
因为，
又因为，则，且，，则，
所以.
19．（1）由题知，的所有可能取值分别为1，2，3，4，
则，
，
所以的分布列为
1 2 3 4
．
（2）①记第次发射成功为事件，第次发射失败后修复成功为事件，
则，，，
记至少发射3次为事件，则，
所以
．
②第次发射成功有2种情形：第次、第次发射成功，
或第次发射成功，第次发射失败且发射失败后修复成功，第次发射成功，
所以，
设，则，
所以，解得，或，
因为，，所以时，
是等比数列，
所以．
答案第1页，共2页
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