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武汉2016——2025年中考数学真题分类汇编—— 第8题选择题
1．（2016 武汉）某车间20名工人日加工零件数如表所示：
日加工零件数 4 5 6 7 8
人数 2 6 5 4 3
这些工人日加工零件数的众数、中位数、平均数分别是（　　）
A．5、6、5 B．5、5、6 C．6、5、6 D．5、6、6
2．（2017 武汉）按照一定规律排列的n个数：﹣2、4、﹣8、16、﹣32、64、…，若最后三个数的和为768，则n为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
3．（2018 武汉）一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1、2、3、4．随机抽取一张卡片，然后放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．（2019 武汉）已知反比例函数y的图象分别位于第二、第四象限，A（x1，y1）、B（x2，y2）两点在该图象上，下列命题：①过点A作AC⊥x轴，C为垂足，连接OA．若△ACO的面积为3，则k＝﹣6；②若x1＜0＜x2，则y1＞y2；③若x1+x2＝0，则y1+y2＝0，其中真命题个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2020 武汉）一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数．从某时刻开始4min内只进水不出水，从第4min到第24min内既进水又出水，从第24min开始只出水不进水，容器内水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则图中a的值是（　　）武资网
A．32 B．34 C．36 D．38
6．（2021 武汉）一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离y（单位：km）与慢车行驶时间t（单位：h）的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是（　　）
A．h B．h C．h D．h
7．（2022 武汉）班长邀请A，B，C，D四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则A，B两位同学座位相邻的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．（2023 武汉）已知x2﹣x﹣1＝0，计算的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
9．（2024 武汉）小美同学按如下步骤作四边形ABCD；（1）画∠MAN；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接BC，CD，BD．若∠A＝44°，则∠CBD的大小是（　　）
A．64° B．66° C．68° D．70°
10．（2025 武汉）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边AB上的点，将△BCD沿直线CD折叠，点B的对应点E恰好落在边AC上．若∠A＝34°，则∠ADE的大小是（　　）
A．35° B．37° C．39° D．41°
1．【解答】解：5出现了6次，出现的次数最多，则众数是5；
把这些数从小到大排列，中位数第10、11个数的平均数，
则中位数是6；
平均数是：6；
故选：D．
2．【解答】解：由题意，得第n个数为（﹣2）n，
那么（﹣2）n﹣2+（﹣2）n﹣1+（﹣2）n＝768，
当n为偶数：整理得出：3×2n﹣2＝768，解得：n＝10；
当n为奇数：整理得出：﹣3×2n﹣2＝768，则求不出整数．
故选：B．
3．【解答】解：画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中两次抽取的卡片上数字之积为偶数的结果数为12，
所以两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率．
故选：C．
4．【解答】解：过点A作AC⊥x轴，C为垂足，连接OA．
∵△ACO的面积为3，
∴|k|＝6，
∵反比例函数y的图象分别位于第二、第四象限，
∴k＜0，
∴k＝﹣6，正确，是真命题；
②∵反比例函数y的图象分别位于第二、第四象限，
∴在所在的每一个象限y随着x的增大而增大，
若x1＜0＜x2，则y1＞0＞y2，正确，是真命题；
③当A、B两点关于原点对称时，x1+x2＝0，则y1+y2＝0，正确，是真命题，
真命题有3个，
故选：D．
5．【解答】解：由图象可知，进水的速度为：20÷4＝5（L/min），
出水的速度为：5﹣（35﹣20）÷（16﹣4）＝3.75（L/min），
第24分钟时的水量为：20+（5﹣3.75）×（24﹣4）＝45（L），
a＝24+45÷3.75＝36．
故选：C．
6．【解答】解：根据图象可知，慢车的速度为．
对于快车，由于往返速度大小不变，总共行驶时间是4 h，
因此单程所花时间为2 h，故其速度为．
所以对于慢车，y与t的函数表达式为①．
对于快车，y与t的函数表达式为y，
联立①②，可解得交点横坐标为t＝3，
联立①③，可解得交点横坐标为t＝4.5，
因此，两车先后两次相遇的间隔时间是1.5，
故选：B．
7．【解答】解：画树状图为：
列表为：
ABCD ABDC ACBD ACDB ADBC ADCB
BACD BADC CABD CADB DABC DACB
BCAD BDAC CBAD CDAB DBAC DCAB
BCDA BDCA CBDA CDBA DBCA DCBA
4个A中每个各有6种等可能的结果数，共有24种等可能的结果数，其中A，B两位同学座位相邻的结果数为12，
故A，B两位同学座位相邻的概率是．
故选：C．
8．【解答】解：原式＝[]

，
∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x2＝x+1，
∴原式1．
故选：A．
9．【解答】解：由（1）（2）（3）可知四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，BC∥AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝∠CBD，
∵∠A＝44°，
∴∠ABD+∠ADB＝180°﹣∠A＝180°﹣44°＝136°，
∴∠ABD＝∠ADB＝∠CBD＝68°，故选：C．
10．【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B+∠ACB+∠A＝180°，且∠A＝34°，
∴2∠ACB+34°＝180°，
∴∠B＝∠ACB＝73°，
∵将△BCD沿直线CD折叠，点B的对应点E恰好落在边AC上，
∴∠CED＝∠B＝73°，
∴∠BDE＝360°﹣∠B﹣∠ACB﹣∠CED＝360°﹣3×73°＝141°，
∴∠ADE＝180°﹣∠BDE＝180°﹣141°＝39°，
故选：C．武汉2016——2025年中考数学真题分类汇编—— 第9题选择题
11．（2016 武汉）如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（　　）
A．π B．π C．2 D．2
12．（2017 武汉）已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为（　　）
A． B． C． D．
13．（2018 武汉）将正整数1至2018按一定规律排列如下：
平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（　　）
A．2019 B．2018 C．2016 D．2013
14．（2019 武汉）如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A、B）上两点，C是上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是（　　）
A． B． C． D．
15．（2020 武汉）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（　　）
A． B．3 C．3 D．4
16．（2021 武汉）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若，设∠ABC＝α，则α所在的范围是（　　）
A．21.9°＜α＜22.3° B．22.3°＜α＜22.7°
C．22.7°＜α＜23.1° D．23.1°＜α＜23.5°
17．（2022 武汉）如图，在四边形材料ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝9cm，AB＝20cm，BC＝24cm．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（　　）
A．cm B．8cm C．6cm D．10cm
18．（2023 武汉）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E，若，则sinC的值是（　　）
A． B． C． D．
19．（2024 武汉）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝60°，∠BAC＝∠CAD＝45°，AB+AD＝2，则⊙O的半径是（　　）
A． B． C． D．
20．（2025 武汉）如图，四边形ABCD内接于⊙O，2．若AB＝6，CD，则⊙O的半径是（　　）
A． B． C． D．5
11．【解答】解：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连接OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，
∵在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝2，
∴ABBC＝4，
∴OCAB＝2，OPAB＝2，
∵M为PC的中点，
∴OM⊥PC，
∴∠CMO＝90°，
∴点M在以OC为直径的圆上，
点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为正方形，EF＝OC＝2，
∴M点的路径为以EF为直径的半圆，
∴点M运动的路径长 2π 1＝π．
故选：B．
12．【解答】解：如图，AB＝7，BC＝5，AC＝8，内切圆的半径为r，切点为G、E、F，作AD⊥BC于D，设BD＝x，则CD＝5﹣x．
由勾股定理可知：AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
即72﹣x2＝82﹣（5﹣x）2，解得x＝1，
∴AD＝4，
∵ BC AD（AB+BC+AC） r，
5×420×r，
∴r，
故选：C．
13．【解答】解：设中间数为x，则另外两个数分别为x﹣1、x+1，
∴三个数之和为（x﹣1）+x+（x+1）＝3x．
根据题意得：3x＝2019、3x＝2018、3x＝2016、3x＝2013，
解得：x＝673，x＝672（舍去），x＝672，x＝671．
∵673＝84×8+1，
∴2019不合题意，舍去；
∵672＝84×8，
∴2016不合题意，舍去；
∵671＝83×8+7，
∴三个数之和为2013．
故选：D．
14．【解答】解：如图，连接EB．设OA＝r．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵E是△ACB的内心，
∴∠AEB＝135°，
作等腰Rt△ADB，AD＝DB，∠ADB＝90°，则点E在以D为圆心DA为半径的弧上运动，运动轨迹是，点C的运动轨迹是，
∵∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝α，则∠MON＝2α
∴．
故选：A．
15．【解答】解：连接OD，交AC于F，
∵D是的中点，
∴OD⊥AC，AF＝CF，
∴∠DFE＝90°，
∵OA＝OB，AF＝CF，
∴OFBC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在△EFD和△ECB中
∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF＝BC，
∴OFDF，
∵OD＝3，
∴OF＝1，
∴BC＝2，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，AB＝6，
∴AC4，
故选：D．
16．【解答】解：如图，连接AC，CD，DE．
∵，
∴ED＝EB，
∴∠EDB＝∠EBD＝α，
∵（对着同一个圆周角），
∴AC＝CD＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC＝∠EDB+∠EBD＝2α，
∴∠CAD＝∠CDA＝∠DCE+∠EBD＝3α，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°，
∴4α＝90°，
∴α＝22.5°，
故选：B．
17．【解答】解：如图，当AB，BC，CD相切于⊙O于点E，F，G时，⊙O的面积最大．连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，过点D作DH⊥BC于点H．
∵AD∥CB，∠BAD＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∵∠DHB＝90°，
∴四边形ABHD是矩形，
∴AB＝DH＝20cm，AD＝BH＝9cm，
∵BC＝24cm，
∴CH＝BC﹣BH＝24﹣9＝15（cm），
∴CD25（cm），
设OE＝OF＝OG＝rcm，
则有（9+24）×2020×r24×r25×r9×（20﹣r），
∴r＝8，
故选：B．
18．【解答】解：连接DB、DE，设AB＝m，
∵，
∴CD＝3AB＝3m，
∵AD是⊙D的半径，AD⊥AB，
∴AB是⊙D的切线，
∵⊙D与BC相切于点E，
∴BC⊥DE，EB＝AB＝m，∠CBD＝∠ABD，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴CB＝CD＝3m，
∴CE＝CB﹣EB＝3m﹣m＝2m，
∵∠CED＝90°，
∴DEm，
∴sinC，
故选：B．
19．【解答】解：过C作CM⊥AB于M，CN⊥AD交AD延长线于N，过O作OH⊥AC于H，连接OA，OC，
∵∠BAC＝∠CAD＝45°，
∴AC平分∠BAN，
∴MC＝CN，
∵∠MAN＝∠BAC+∠CAD＝90°，∠AMC＝∠ANC＝90°，
∴四边形AMCN是正方形，
∴AM＝AN，
∵∠BAC＝∠CAD，
∴，
∴CD＝BC，
∵CN＝CM，
∴Rt△CDN≌Rt△CBM（HL），
∴ND＝MB，
∵AB+AD＝AM+MB+AD＝AM+DN+AD＝AM+AN＝2AM＝2，
∴AM＝1，
∵∠BAC＝45°，∠AMC＝90°，
∴△ACM是等腰直角三角形，
∴ACAM，
∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
∵OA＝OC，OH⊥AC，
∴AHAC，∠AOH∠AOC＝60°，
∵sin∠AOH＝sin60°，
∴OA，
∴⊙O的半径是．
故选：A．
20．【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB，垂足为F，交⊙O于点E，连接OA，AE，则，AF＝BFAB＝3，
∵2，
∴，
∴AE＝CD，
在Rt△AEF中，AE，AF＝3，
∴EF2，
设半径为R，
在Rt△AOF中，OA＝R，OF＝R﹣2，AF＝3，由勾股定理得，
OA2＝OF2+AF2，
即R2＝（R﹣2）2+32，
解得R．
故选：A．武汉2016——2025年中考数学真题分类汇编—— 第10题选择题
21．（2016 武汉）平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
22．（2017 武汉）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
23．（2018 武汉）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB＝4，则BC的长是（　　）
A． B． C． D．
24．（2019 武汉）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（　　）
A．2a2﹣2a B．2a2﹣2a﹣2 C．2a2﹣a D．2a2+a
25．（2020 武汉）下列图中所有小正方形都是全等的．图（1）是一张由4个小正方形组成的“L”形纸片，图（2）是一张由6个小正方形组成的3×2方格纸片．
把“L”形纸片放置在图（2）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图（3）中的4种不同放置方法．图（4）是一张由36个小正方形组成的6×6方格纸片，将“L”形纸片放置在图（4）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n种不同放置方法，则n的值是（　　）
A．160 B．128 C．80 D．48
26．（2021 武汉）已知a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则代数式2a3﹣6a2+b2+7b+1的值是（　　）
A．﹣25 B．﹣24 C．35 D．36
27．（2022 武汉）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x与y的和是（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
28．（2023 武汉）皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积S＝N，其中N，L分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知A（0，30），B（20，10），O（0，0），则△ABO内部的格点个数是（　　）
A．266 B．270 C．271 D．285
29．（2024 武汉）如图，小好同学用计算机软件绘制函数y＝x3﹣3x2+3x﹣1的图象，发现它关于点（1，0）中心对称．若点A1（0.1，y1），A2（0.2，y2），A3（0.3，y3），…，A19（1.9，y19），A20（2，y20）都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则y1+y2+y3+…+y19+y20的值是（　　）
A．﹣1 B．﹣0.729 C．0 D．1
30．（2025 武汉）如图1，在△ABC中，D是边AC上的定点．点P从点A出发，依次沿AB，BC两边匀速运动，运动到点C时停止．设点P运动的路程为x，DP的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，其中M，N分别是两段曲线的最低点．点N的纵坐标是（　　）
A． B． C． D．
21．【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（2，2）、B（4，0）．
∴AB＝2，
①若AC＝AB，以A为圆心，AB为半径画弧与坐标轴有3个交点（含B点），即（0，0）、（4，0）、（0，4），
∵点（0，4）与直线AB共线，
∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；
②若BC＝AB，以B为圆心，BA为半径画弧与坐标轴有2个交点（A点除外），即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；
③若CA＝CB，作AB的垂直平分线与坐标轴有两个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；
综上所述：点C在坐标轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有5个．
故选：A．
22．【解答】解：如图：
故选：D．
23．【解答】解：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，
∵D为AB的中点，
∴OD⊥AB，
∴AD＝BDAB＝2，
在Rt△OBD中，OD1，
∵将弧沿BC折叠，
∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆，
∴，
∴AC＝DC，
∴AE＝DE＝1，
∵∠ODE＝∠OFE＝∠DEF＝90°，
∴四边形ODEF是矩形，
∵DE＝OD＝1，
∴四边形ODEF是正方形，
∴OF＝EF＝1，
在Rt△OCF中，CF2，
∴CE＝CF+EF＝2+1＝3，
而BE＝BD+DE＝2+1＝3，
∴BC＝3．
故选：B．
24．【解答】解：∵2+22＝23﹣2；
2+22+23＝24﹣2；
2+22+23+24＝25﹣2；
…
∴2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，
∴250+251+252+…+299+2100
＝（2+22+23+…+2100）﹣（2+22+23+…+249）
＝（2101﹣2）﹣（250﹣2）
＝2101﹣250，
∵250＝a，
∴2101＝（250）2 2＝2a2，
∴原式＝2a2﹣a．
故选：C．
25．【解答】解：观察图象可知（4）中共有2×4×5＝40个3×2的长方形，
由（3）可知，每个3×2的长方形有4种不同放置方法，
则n的值是40×4＝160．
故选：A．
26．【解答】解：∵a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，
∴a2﹣3a﹣5＝0，b2﹣3b﹣5＝0，a+b＝3,
∴a2﹣3a＝5，b2＝3b+5，
∴2a3﹣6a2+b2+7b+1
＝2a（a2﹣3a)+3b+5+7b+1
＝10a+10b+6
＝10(a+b)+6
＝10×3+6
＝36．
故选：D．
27．【解答】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，
∴最左下角的数为：6+20﹣22＝4，
∴最中间的数为：x+6﹣4＝x+2，或x+6+20﹣22﹣y＝x﹣y+4，
最右下角的数为：6+20﹣（x+2）＝24﹣x，或x+6﹣y＝x﹣y+6，
∴，
解得：，
∴x+y＝12，
故选：D．
28．【解答】解：由A（0，30）可知边OA上有31个格点（含点O，A），
∵直线OB的解析式为yx，
∴当x为小于或等于20的正偶数时y也为整数，即OB边上有10个格点（不含端点O，含端点B）；
∵直线AB的解析式为y＝﹣x+30，
∴当0＜x＜20且x为整数时，y均为整数，故边AB上有19个格点（不含端点），
∴L＝31+19+10＝60，
∵△ABO的面积为S30×20＝300，
∴300＝N60﹣1，
∴N＝271．
故选：C．
29．【解答】解：法一：由题知，
点A10的坐标为（1，0），
则y10＝0．
因为函数图象关于点（1，0）中心对称，
所以y9+y11＝y8+y12＝…＝y1+y19＝0，
将x＝2代入函数解析式得，
y＝23﹣3×22+3×2﹣1＝1，
即y20＝1，
所以y1+y2+y3+…+y19+y20的值为1．
法二：将x＝0代入函数解析式得y＝﹣1，
记此点为A0（0，﹣1），
则y0＝﹣1．
结合上述过程可知，
y9+y11＝y8+y12＝…＝y1+y19＝y0+y20＝0，
所以y0+y1+y2+…+y20＝0，
则y1+y2+…+y20＝y0+y1+y2+…+y20﹣y0＝0﹣（﹣1）＝1．
故选：D．
30．【解答】解：根据图2，AD＝20，CD＝8，BD＝15，点D到AB的距离DE＝12，点N的纵坐标表示点D到BC的距离DF．如图：
在Rt△ADE中利用勾股定理，得AE16，
在Rt△BDE中利用勾股定理，得BE9，
则AB＝AE+BE＝16+9＝25，
∵AD2+BD2＝202+152＝625，AB2＝252＝625，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝90°，
在Rt△BCD中利用勾股定理，得BC17，
则BD CDBC DF，
解得DF，
∴点N的纵坐标是．故选：B．武汉2016——2025年中考数学真题分类汇编—— 第14题填空题
1．（2016 武汉）如图，在 ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为 　 　 ．
2．（2017 武汉）一个不透明的袋中共有5个小球，分别为2个红球和3个黄球，它们除颜色外完全相同．随机摸出两个小球，摸出两个颜色相同的小球的概率为 　 　 ．
3．（2018 武汉）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是　 　 ．
4．（2019 武汉）如图，在 ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为 　 　 ．
5．（2020 武汉）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是 ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠BAC的大小是　 　 ．
6．（2021 武汉）如图，海中有一个小岛A．一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上；航行12nmile到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．小岛A到航线BC的距离是 　 　 nmile（1.73，结果用四舍五入法精确到0.1）．
7．（2022 武汉）如图，沿AB方向架桥修路，为加快施工进度，在直线AB上湖的另一边的D处同时施工．取∠ABC＝150°，BC＝1600m，∠BCD＝105°，则C，D两点的距离是 　 　 m．
8．（2023 武汉）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之．问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程s（单位：步）关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是 　 　 ．
9．（2024 武汉）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度．具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度是 　 　 m．（参考数据：tan63°≈2）
10．（2025 武汉）某科技小组用无人机测量一池塘水面两端A，B的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面120m的P处，测得A处的俯角为45°，B处的俯角为22°，则A，B之间的距离是　 　 m．（tan22°取0.4）
1．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝52°，
由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝52°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，
∴∠AEF＝∠D+∠DAE＝52°+20°＝72°，∠AED′＝180°﹣∠EAD′﹣∠D′＝108°，
∴∠FED′＝108°﹣72°＝36°；
故答案为：36°．
2．【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有20种等可能结果，其中取出的小球颜色相同的有8种结果，
∴两次取出的小球颜色相同的概率为，
故答案为：
3．【解答】解：如图1，
∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝AE＝DE，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∠AED＝∠ADE＝∠DAE＝60°，
∴∠BAE＝∠CDE＝150°，又AB＝AE，DC＝DE，
∴∠AEB＝∠CED＝15°，
则∠BEC＝∠AED﹣∠AEB﹣∠CED＝30°．
如图2，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，
∴DE＝DC，
∴∠CED＝∠ECD，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠CED＝∠ECD（180°﹣30°）＝75°，
∴∠BEC＝360°﹣75°×2﹣60°＝150°．
故答案为：30°或150°．
4．【解答】解：设∠ADE＝x，
∵AE＝EF，∠ADF＝90°，
∴∠DAE＝∠ADE＝x，DEAF＝AE＝EF，
∵AE＝EF＝CD，
∴DE＝CD，
∴∠DCE＝∠DEC＝2x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCA＝x，
∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝63°﹣x，
∴2x＝63°﹣x，
解得：x＝21°，
即∠ADE＝21°；
故答案为：21°．
5．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，
∵AD＝AE＝BE，
∴BC＝AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，
∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，
∴∠ACB＝2∠CAB，
∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣102°，
∴∠BAC＝26°，
故答案为：26°．
6．【解答】解：过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，
由题意得，∠BAE＝60°，∠CAE＝30°，
∴∠ABC＝30°，∠ACE＝60°，
∴∠BAC＝∠ACE﹣∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝∠ABC，
∴AC＝BC＝12nmile，
在Rt△ACE中，sin∠ACE，
∴AE＝AC sin∠ACE＝610.4（nmile），
故小岛A到航线BC的距离是10.4nmile，
故答案为10.4．
7．【解答】解：过点C作CE⊥BD，垂足为E．
∵∠ABC＝150°，
∴∠DBC＝30°．
在Rt△BCE中，
∵BC＝1600m，
∴CEBC＝800m，∠BCE＝60°．
∵∠BCD＝105°，
∴∠ECD＝45°．
在Rt△DCE中，
∵cos∠ECD，
∴CD
＝800（m）．
故答案为：800．
8．【解答】解：设点A、B的坐标为：（a，100）、（a，160），
则直线OP的表达式为：st①，
设直线BP的表达式为：s＝kx+100，
将点B的坐标代入上式得：160＝ak+100，
解得：k，
则直线BP的表达式为：st+100②，
联立①②得：tt+100，
解得：s＝250，两图象交点P的纵坐标为250，
故答案为：250．
9．【解答】解：过点C作CH∥BD，延长BA交CH于H，
由题意得∠ABD＝∠CDB＝90°，
∴∠AHC＝180°﹣90°＝90°，
∴四边形BDCH是矩形，
∴BH＝CD＝102m，
在Rt△BCH中，∠BCH＝63°，tan∠BCH，
∴CH51（m），
在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，
∴∠CAH＝45°＝∠ACH，∴AH＝CH＝51m，
∴AB＝BH﹣AH＝51m．
答：黄鹤楼的高度约为51m．
故答案为：51．
10．【解答】解：如图：
由题意得：PD∥CB，
∴∠PAC＝∠DPA＝45°，∠DPB＝∠PBC＝22°，
在Rt△PAC中，PC＝120m，
∴AC120（m），
在Rt△PBC中，∠PBC＝22°，
∴BC300（m），
∴AB＝BC﹣AC＝300﹣120＝180（m），
∴A，B之间的距离约是180m，
故答案为：180．武汉2016——2025年中考数学真题分类汇编——
第15题选择题
11．（2016 武汉）将函数y＝2x+b（b为常数）的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y＝|2x+b|（b为常数）的图象．若该图象在直线y＝2下方的点的横坐标x满足0＜x＜3，则b的取值范围为 　 　 ．
12．（2017 武汉）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D、E都在边BC上，∠DAE＝60°．若BD＝2CE，则DE的长为　 　 ．
13．（2018 武汉）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t．在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是 　 　 m．
14．（2019 武汉）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx的解是 　 　 ．
15．（2020 武汉）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，下列四个结论：
①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝2，x2＝﹣4；
②若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；
③对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b；
④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个．
其中正确的结论是　 　 （填写序号）．
16．（2021 武汉）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c＝0．下列四个结论：
①若抛物线经过点（﹣3，0），则b＝2a；
②若b＝c，则方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；
③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；
④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若0＜a＜c，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2．
其中正确的是 　 　 （填写序号）．
17．（2022 武汉）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，过A（﹣1，0），B（m，0）两点，且1＜m＜2．下列四个结论：
①b＞0；
②若m，则3a+2c＜0；
③若点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，则y1＞y2；
④当a≤﹣1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．
其中正确的是 　 　 （填写序号）．
18．（2023 武汉）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，c＜0）经过（1，1），（m，0），（n，0）三点，且n≥3．下列四个结论：
①b＜0；
②4ac﹣b2＜4a；
③当n＝3时，若点（2，t）在该抛物线上，则t＞1；
④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，则．
其中正确的是　 　 （填写序号）．
19．（2024 武汉）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），（m，1）两点，且0＜m＜1．下列四个结论：
①b＞0；
②若0＜x＜1，则a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1；
③若a＝﹣1，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝2无实数解；
④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若x1+x2，x1＞x2，总有y1＜y2，则0＜m．
其中正确的是 　 　 （填写序号）．
20．（2025 武汉）已知二次函数y＝ax2+（a﹣2）x﹣2（a为常数，且a≠0）．下列五个结论：
①该函数图象经过点（﹣1，0）；
②若a＝﹣1，则当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；
③该函数图象与x轴有两个不同的公共点；
④若a＞2，则关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一个根大于0且小于1；
⑤若a＞2，则关于x的方程|ax2+（a﹣2）x﹣2|＝2的正数根只有一个．
其中正确的是　 　 （填写序号）．
11．【解答】解：∵y＝2x+b，
∴当y＜2时，2x+b＜2，解得x．
∵函数y＝2x+b沿x轴翻折后的解析式为﹣y＝2x+b，即y＝﹣2x﹣b，
∴当y＜2时，﹣2x﹣b＜2，得x，
∴x，
∵0＜x＜3，
∴0，3，
∴b＝﹣2，b＝﹣4．
∴b的取值范围为﹣4≤b≤﹣2．
故答案为：﹣4≤b≤﹣2．
12．【解答】解：（方法一）将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，连接EF，过点E作EM⊥CF于点M，过点A作AN⊥BC于点N，如图所示．
∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，
∴BN＝CN，∠B＝∠ACB＝30°．
在Rt△BAN中，∠B＝30°，AB＝2，
∴ANAB，BN3，
∴BC＝6．
∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，
∴∠BAD+∠CAE＝60°，
∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝∠BAD+∠CAE＝60°．
在△ADE和△AFE中，，
∴△ADE≌△AFE（SAS），
∴DE＝FE．
∵BD＝2CE，BD＝CF，∠ACF＝∠B＝30°，
∴设CE＝2x，则CM＝x，EMx，FM＝4x﹣x＝3x，EF＝ED＝6﹣6x．
在Rt△EFM中，FE＝6﹣6x，FM＝3x，EMx，
∴EF2＝FM2+EM2，即（6﹣6x）2＝（3x）2+（x）2，
解得：x1，x2（不合题意，舍去），
∴DE＝6﹣6x＝33．
故答案为：33．
（方法二）：将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，取CF的中点G，连接EF、EG，如图所示．
∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，
∴∠ACB＝∠B＝∠ACF＝30°，
∴∠ECG＝60°．
∵CF＝BD＝2CE，
∴CG＝CE，
∴△CEG为等边三角形，
∴EG＝CG＝FG，
∴∠EFG＝∠FEG∠CGE＝30°，
∴△CEF为直角三角形．
∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，
∴∠BAD+∠CAE＝60°，
∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝∠BAD+∠CAE＝60°．
在△ADE和△AFE中，，
∴△ADE≌△AFE（SAS），
∴DE＝FE．
设EC＝x，则BD＝CF＝2x，DE＝FE＝6﹣3x，
在Rt△CEF中，∠CEF＝90°，CF＝2x，EC＝x，
EFx，
∴6﹣3xx，
x＝3，
∴DEx＝33．
故答案为：33．
13．【解答】解：当y取得最大值时，飞机停下来，
则y＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t﹣20）2+600，
此时t＝20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．
因此t的取值范围是0≤t≤20；
即当t＝16时，y＝576，
所以600﹣576＝24（米）
故答案为：24．
14．【解答】解：关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx变形为a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，
因为抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0），
所以方程ax2+bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝4，
对于方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，则x﹣1＝﹣3或x﹣1＝4，解得x＝﹣2或x＝5，
所以一元二方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝5．
故答案为x1＝﹣2，x2＝5．
15．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，
∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为x1＝2，x2＝﹣4，故①正确；
该抛物线的对称轴为直线x1，函数图象开口向下，若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＞y2，故②错误；
当x＝﹣1时，函数取得最大值y＝a﹣b+c，故对于任意实数t，总有at2+bt+c≤a﹣b+c，即对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b，故③正确；
对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则两个根为﹣3和1或﹣2和0或﹣1和﹣1，故p的值有三个，故④错误；
故答案为：①③．
16．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c＝0，
∴（1，0）是抛物线与x轴的一个交点．
①∵抛物线经过点（﹣3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x1，
∴1，即b＝2a，即①正确；
②若b＝c，则二次函数y＝cx2+bx+a的对称轴为直线：x，
且二次函数y＝cx2+bx+a过点（1，0），
∴，解得m＝﹣2，
∴y＝cx2+bx+a与x轴的另一个交点为（﹣2，0），即方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；故②正确；
③Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，
∴抛物线与x轴一定有公共点，
且当a≠c时，抛物线与x轴一定有两个不同的公共点．故③不正确；
④由题意可知，抛物线开口向上，且1，
∴（1，0）在对称轴的左侧，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，
∴当x1＜x2＜1时，y1＞y2．故④正确．
故答案为：①②④．
17．【解答】解：∵对称轴为直线x0，
∴对称轴在y轴右侧，
∴0，
∵a＜0，
∴b＞0，
故①正确；
当m时，对称轴为直线x，
∴b，
当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，
∴c＝0，
∴3a+2c＝0，故②错误；
由题意，抛物线的对称轴直线x＝h，0＜h＜0.5，
∵点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，
∴点M到对称轴的距离＜点N到对称轴的距离，
∴y1＞y2，故③正确；
设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣m），
方程a（x+1）（x﹣m）＝1，
整理得，ax2+a（1﹣m）x﹣am﹣1＝0，
Δ＝[a（1﹣m）]2﹣4a（﹣am﹣1）
＝a2（m+1）2+4a，
∵1＜m＜2，a≤﹣1，
∴Δ＞0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．故④正确，
故答案为：①③④．
18．【解答】解：①图象经过（1，1），c＜0，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的交点 都在（1，0）的左侧，
∵（n，0）中n≥3，
∴抛物线与x轴的一个交点一定在（3，0）或（3，0）的右侧，
∴抛物线的开口一定向下，即a＜0，
把（1，1）代入y＝ax2+bx+c 得：a+b+c＝1，
即b＝1﹣a﹣c，
∵a＜0，c＜0，
∴b＞0，
故①错误；
②∵a＜0，b＞0，c＜0，，
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根的积大于0，
即mn＞0，
∵n≥3，
∴m＞0，
∴，
即抛物线的对称轴在直线x＝1.5的右侧，
∴抛物线的顶点在点（1，1）的上方或者右上方，
∴，
∵4a＜0，
∴4ac﹣b2＜4a，
故②正确；
③∵m＞0，
∴当 n＝3 时，，
∴抛物线对称轴在直线x＝1.5的右侧，
∴（1，1）到对称轴的距离大于（2，t）到对称轴的距离，
∵a＜0，抛物线开口向下，
∴距离抛物线越近的函数值越大，
∴t＞1，
故③正确；
④方程ax2+bx+c＝x可变为ax2+（b﹣1）x+c＝0，
∵方程有两个相等的实数解，
∴Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0．
∵把（1，1）代入 y＝ax2+bx+c 得a+b+c＝1，即1﹣b＝a+c，
∴（a+c）2﹣4ac＝0，
即a2+2ac+c2﹣4ac＝0，
∴（a﹣c）2＝0，
∴a﹣c＝0，
即a＝c，
∵（m，0），（n，0）在抛物线上，
∴m，n为方程 ax2+bx+c＝0 的两个根，
∴，
∴，
∵n≥3，
∴，
∴．
故④正确．
综上，正确的结论有：②③④．
故答案为：②③④．
19．【解答】解：∵y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），（m，1）两点，且0＜m＜1，
∴对称轴为直线，
∴，
∴，
∵a＜0，
∴b＜0，故①错误；
∵0＜m＜1，
∴m﹣（﹣1）＞1，即（﹣1，1），（m，1）两点之间的距离大于1，
又∵a＜0，
∴x＝m﹣1时，y＞1，
∴若0＜x＜1，则a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1，故②正确；
由①可得，
∴，即﹣1＜b＜0，
当a＝﹣1时，抛物线解析式为y＝﹣x2+bx+c，
设顶点纵坐标为，
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），
∴﹣1﹣b+c＝1，
∴c＝b+2，
∴，
∵﹣1＜b＜0，，对称轴为直线b＝﹣2，
∴当b＝0时，t取得最大值为2，而b＜0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝2无解，故③正确；
∵a＜0，抛物线开口向下，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，，x1＞x2，总有y1＜y2，
又，
∴点A（x1，y1）离较远，
∴对称轴，
解得：，故④错误；
故答案为：②③．
20．【解答】解：把x＝﹣1代入二次函数y＝ax2+（a﹣2）x﹣2中，得y＝a+2﹣a﹣2＝0，
故该函数图象经过点（﹣1，0），故①正确；
当a＝﹣1时，该二次函数开口向下，
对称轴为直线x，
故当x时，y随x的增大而减小，
因此当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，故②正确；
∵Δ＝b2﹣4ac＝（a﹣2）2+8a＝（a+2）2≥0，
∴该函数图象与x轴有两个不同公共点或只有一个公共点，故③错误；
由①可知关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一个根为﹣1，
设另一个根为x2，由韦达定理可知，
∴，
当a＞2时，有，
即关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一个根大于0且小于1，故④正确；
当a＞2时，对称轴为直线x0，
则关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝﹣2有两个非正解，
将y＝ax2+（a﹣2）x﹣2在x轴下方的图象沿x轴翻折可得到函数y＝|ax2+（a﹣2）x﹣2|的图象，
令y＝2，则直线y＝2与y＝|ax2+（a﹣2）x﹣2|共有4个不同交点，
其中只有一个最右侧交点横坐标为正，其余都为负，
即关于x的方程|ax2+（a﹣2）x﹣2|＝2的正数根只有一个，故⑤正确．
故答案为：①②④⑤．武汉2016——2025年中考数学真题分类汇编——
第16题选择题
21．（2016 武汉）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝5，则BD的长为　 　 ．
22．（2017 武汉）已知关于x的二次函数y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点的坐标为（m，0）．若2＜m＜3，则a的取值范围是 　 　 ．
23．（2018 武汉）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是 　 　 ．
24．（2019 武汉）问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC＝PE．
问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是　 　 ．
25．（2020 武汉）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，EF为折痕，AB＝1，AD＝2．设AM的长为t，用含有t的式子表示四边形CDEF的面积是　 　 ．
26．（2021 武汉）如图（1），在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等，设x＝AD，y＝AE+CD，y关于x的函数图象如图（2），图象过点（0，2），则图象最低点的横坐标是 　 　 ．
27．（2022 武汉）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝5，CJ＝4，则四边形AJKL的面积是 　 　 ．
28．（2023 武汉）如图，DE平分等边△ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE，AC分别与DF，EF相交于G，H两点．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的长是 　 　 ．
29．（2024 武汉）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD．直线MP交正方形ABCD的两边于点E，F，记正方形ABCD的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2.若BE＝kAE（k＞1），则用含k的式子表示的值是 　 　 ．
30．（2025 武汉）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝2，点D在边AC上，CD＝3．若点E在边AB上，满足CE＝BD，则AE的长是 　 　 ．
21．【解答】解：作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，如图所示：
则∠M＝90°，
∴∠DCM+∠CDM＝90°，
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC2＝AB2+BC2＝25，
∵CD＝10，AD＝5，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，
∴∠ACB+∠DCM＝90°，
∴∠ACB＝∠CDM，
∵∠ABC＝∠M＝90°，
∴△ABC∽△CMD，
∴，
∴CM＝2AB＝6，DM＝2BC＝8，
∴BM＝BC+CM＝10，
∴BD2，
故答案为：2．
22．【解答】解：∵y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a＝（ax﹣1）（x+a），
∴当y＝0时，x1，x2＝﹣a，
∴抛物线与x轴的交点为（，0）和（﹣a，0）．
∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为（m，0）且2＜m＜3，
∴当a＞0时，23，解得a；
当a＜0时，2＜﹣a＜3，解得﹣3＜a＜﹣2．
故答案为：a或﹣3＜a＜﹣2．
23．【解答】解：延长BC至M，使CM＝CA，连接AM，作CN⊥AM于N，
∵DE平分△ABC的周长，
∴ME＝EB，又AD＝DB，
∴DEAM，DE∥AM，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ACM＝120°，
∵CM＝CA，
∴∠ACN＝60°，AN＝MN，
∴AN＝AC sin∠ACN，
∴AM，
∴DE，
故答案为：．
24．【解答】（1）证明：如图1，在BC上截取BG＝PD，
在△ABG和△ADP中
，
∴△ABG≌△ADP（SAS），
∴AG＝AP，BG＝DP，
∴GC＝PE，
∵∠GAP＝∠BAD＝60°，
∴△AGP是等边三角形，
∴AP＝GP，
∴PA+PC＝GP+PC＝GC＝PE
∴PA+PC＝PE；
（2）解：如图2：以MG为边作等边三角形MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F．
∵△MGD和△OME是等边三角形
∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，
∴∠GMO＝∠DME
在△GMO和△DME中
∴△GMO≌△DME（SAS），
∴OG＝DE
∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO
∴当D、E、O、N四点共线时，NO+GO+MO值最小，
∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，
∴∠NMD＝135°，
∴∠DMF＝45°，
∵MG．
∴MF＝DF＝4，
∴NF＝MN+MF＝6+4＝10，
∴ND2，
∴MO+NO+GO最小值为2，
故答案为2，
25．【解答】解：连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，
设DE＝x＝EM，则EA＝2﹣x，
∵AE2+AM2＝EM2，
∴（2﹣x）2+t2＝x2，
解得x1，
∴DE1，
∵折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，
∴EF⊥DM，
∠ADM+∠DEF＝90°，
∵EG⊥AD，
∴∠DEF+∠FEG＝90°，
∴∠ADM＝∠FEG，
∴tan∠ADM，
∴FG，
∵CG＝DE1，
∴CF1，
∴S四边形CDEF（CF+DE）×1t+1．
故答案为：t+1．
26．【解答】解：∵图象过点（0，2），
即当x＝AD＝BE＝0时，点D与A重合，点E与B重合，
此时y＝AE+CD＝AB+AC＝2，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝AC＝1，
过点A作AF⊥BC于点F，过点B作NB⊥BC，并使得BN＝AC，如图所示：
∵AD＝BE，∠NBE＝∠CAD，
∴△NBE≌△CAD（SAS），
∴NE＝CD，
又∵y＝AE+CD，
∴y＝AE+CD＝AE+NE，
当A、E、N三点共线时，y取得最小值，如图所示，此时：
AD＝BE＝x，AC＝BN＝1，
∴AF＝AC sin45°，
\又∵∠BEN＝∠FEA，∠NBE＝∠AFE
∴△NBE∽△AFE
∴，即，
解得：x，
∴图象最低点的横坐标为：1．
故答案为：．
27．【解答】解：过点D作DM⊥CI，交CI的延长线于点M，过点F作FN⊥CI于点N，
∵△ABC为直角三角形，四边形ACDE，BCFG为正方形，过点C作AB的垂线CJ，CJ＝4，
∴AC＝CD，∠ACD＝90°，∠AJC＝∠CMD＝90°，∠CAJ+∠ACJ＝90°，BC＝CF，∠BCF＝90°，∠CNF＝∠BJC＝90°，∠FCN+∠CFN＝90°，
∴∠ACJ+∠DCM＝90°，∠FCN+∠BCJ＝90°，
∴∠CAJ＝∠DCM，∠BCJ＝∠CFN，
∴△ACJ≌△CDM（AAS），△BCJ≌△CFN（AAS），
∴AJ＝CM，DM＝CJ＝4，BJ＝CN，NF＝CJ＝4，
∴DM＝NF，
∴△DMI≌△FNI（AAS），
∴DI＝FI，MI＝NI，
∵∠DCF＝90°，
∴DI＝FI＝CI＝5，
在Rt△DMI中，由勾股定理可得：
MI3，
∴NI＝MI＝3，
∴AJ＝CM＝CI+MI＝5+3＝8，BJ＝CN＝CI﹣NI＝5﹣3＝2，
∴AB＝AJ+BJ＝8+2＝10，
∵四边形ABHL为正方形，
∴AL＝AB＝10，
∵四边形AJKL为矩形，
∴四边形AJKL的面积为：AL AJ＝10×8＝80，
故答案为：80．
28．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵折叠△BDE得到△FDE，
∴△BDE≌△FDE，
∴S△BDE＝S△FDE，∠F＝∠B＝60°＝∠A＝∠C，
∵DE平分等边△ABC的面积，
∴图形ACED的面积＝S△BDE＝S△FDE，
∴S△FHG＝S△ADG+S△CHE，
∵∠AGD＝∠FGH，∠CHE＝∠FHG，
∴△ADG∽△FHG，△CHE∽△FHG，
∴2，
∴，
∴GH2＝m2+n2，
解得GH或GH（不合题意舍去），
故答案为：．
29．【解答】解：方法一：如图，过A作AG∥BP交FE延长线于点G，
∵AG∥BP，
∴∠GAE＝∠PBE，∠AGE＝∠BPE，
∴△AGE∽△BPE，
∴，
设AG＝1，则BP＝k，
∵∠NMP＝45°，
∴∠AMG＝45°，AM＝AG＝1，
∵AN＝BP＝k，
∴MN＝k﹣1，
∵S1＝AD2＝AM2+MD2＝k2+1，S2＝MN2＝（k﹣1）2，
∴；
方法二：如图，过B作BG⊥BP交FE延长线于点G，则△GBP是等腰直角三角形，
易证△GBA≌△PBC，
∴∠BGP＝∠AGP＝45°，
根据角平分线比例定理得：，
设AG＝1，则BG＝k，
∴AM＝1，MD＝k＝AN，
∴MN＝k﹣1，
∵S1＝AD2＝AM2+MD2＝k2+1，S2＝MN2＝（k﹣1）2，
∴；
故答案为：．
30．【解答】解：过A作AM⊥BC于M，过C作CH⊥AB于H，
∵AB＝AC＝10，
∴BMBC2，
∴AM3，
∵△ABC的面积AB CHBC AM，
∴10×CH＝23，
∴CH＝6，
∴BH2，
如果E在H的上面，
当BE＝CD＝3时，CE＝BD，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣3＝7；
如果E在H的下面，
∵CE′＝CE，CH⊥EE′，
∴HE′＝HE，
∵EH＝BE﹣BH＝3﹣2＝1，
∴AE′＝AH+E′H＝8+1＝9，
综上所述：AE的长是7或9．
故答案为：7或9．武汉2016——2025年中考数学真题分类汇编——
第19题概率统计
1．（2016 武汉）某学校为了解学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目最喜爱的情况，随机调查了若干名学生，根据调查数据进行整理，绘制了如下的不完整统计图．
请你根据以上的信息，回答下列问题：
（1）本次共调查了　 　 名学生，其中最喜爱戏曲的有　 　 人；在扇形统计图中，最喜爱体育的对应扇形的圆心角大小是　 　 ．
（2）根据以上统计分析，估计该校2000名学生中最喜爱新闻的人数．
2．（2017 武汉）某公司共有A、B、C三个部门，根据每个部门的员工人数和相应每人所创的年利润绘制成如下的统计表和扇形图
各部门人数及每人所创年利润统计表
部门 员工人数 每人所创的年利润/万元
A 5 10
B b 8
C c 5
（1）①在扇形图中，C部门所对应的圆心角的度数为　 　
②在统计表中，b＝　 　 ，c＝　 　
（2）求这个公司平均每人所创年利润．
3．（2018 武汉）某校七年级共有500名学生，在“世界读书日”前夕，开展了“阅读助我成长”的读书活动．为了解该年级学生在此次活动中课外阅读情况，随机抽取m名学生，调查他们课外阅读书籍的数量，将收集的数据整理成如下统计表和扇形图．
学生读书数量统计表
阅读量/本 学生人数
1 15
2 a
3 b
4 5
（1）直接写出m、a、b的值；
（2）估计该年级全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量大约是多少本？
4．（2019 武汉）为弘扬中华传统文化，某校开展“汉剧进课堂”的活动，该校随机抽取部分学生，按四个类别：A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”，调查他们对汉剧的喜爱情况，将结果绘制成两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取 　 　 名学生进行统计调查，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小为 　 　 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1500名学生，估计该校表示“喜欢”的B类的学生大约有多少人？
5．（2020 武汉）为改善民生，提高城市活力，某市有序推行“地摊经济”政策．某社区志愿者随机抽取该社区部分居民，按四个类别：A表示“非常支持”，B表示“支持”，C表示“不关心”，D表示“不支持”，调查他们对该政策态度的情况，将结果绘制成如图两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取了 　 　 名居民进行调查统计，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小是 　 　 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该社区共有2000名居民，估计该社区表示“支持”的B类居民大约有多少人？
6．（2021 武汉）为了解落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t（单位：h），按劳动时间分为四组：A组“t＜5”，B组“5≤t＜7”，C组“7≤t＜9”，D组“t≥9”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是 　 　 ，C组所在扇形的圆心角的大小是 　 　 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1500名学生，请你估计该校平均每周劳动时间不少于7h的学生人数．
7．（2022 武汉）为庆祝中国共青团成立100周年，某校开展四项活动：A项参观学习，B项团史宣讲，C项经典诵读，D项文学创作，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动．该校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
（1）本次调查的样本容量是 　 　 ，B项活动所在扇形的圆心角的大小是 　 　 ，条形统计图中C项活动的人数是 　 　 ；
（2）若该校约有2000名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数．
8．（2023 武汉）某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个休息日做家务的劳动时间t（单位：h）作为样本，将收集的数据整理后分为A，B，C，D，E五个组别，其中A组的数据分别为：0.5，0.4，0.4，0.4，0.3，绘制成如下不完整的统计图表．
各组劳动时间的频数分布表
组别 时间t/h 频数
A 0＜t≤0.5 5
B 0.5＜t≤1 a
C 1＜t≤1.5 20
D 1.5＜t≤2 15
E t＞2 8
请根据以上信息解答下列问题．
（1）A组数据的众数是 　 　 ；
（2）本次调查的样本容量是 　 　 ，B组所在扇形的圆心角的大小是 　 　 ；
（3）若该校有1200名学生，估计该校学生劳动时间超过1h的人数．
9．（2024 武汉）为加强体育锻炼，增强学生体质，某校在“阳光体育一小时”活动中组织九年级学生定点投篮技能测试，每人投篮4次，投中一次计1分．随机抽取m名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下的统计图表．
测试成绩频数分布表
成绩/分 频数
4 12
3 a
2 15
1 b
0 6
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出m，n的值和样本的众数；
（2）若该校九年级有900名学生参加测试，估计得分超过2分的学生人数．
10．（2025 武汉）某校开展“中国诗词”竞赛，学生成绩为正整数，满分为5分．为了解本次竞赛的情况，从该校随机抽取m名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）m的值是 　 　 ，扇形统计图中“5分”对应的扇形的圆心角大小是 　 　 ．
（2）该校共有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过3分的学生人数．
（3）从样本的众数、中位数中选择一个统计量，写出它的值并说明它的实际意义．
1．【解答】解：（1）本次共调查学生：4÷8%＝50（人），最喜爱戏曲的人数为：50×6%＝3（人）；
∵“娱乐”类人数占被调查人数的百分比为：100%＝36%，
∴“体育”类人数占被调查人数的百分比为：1﹣8%﹣30%﹣36%﹣6%＝20%，
∴在扇形统计图中，最喜爱体育的对应扇形的圆心角大小是360°×20%＝72°；
故答案为：50，3，72°．
（2）2000×8%＝160（人），
答：估计该校2000名学生中最喜爱新闻的人数约有160人．
2．【解答】解：（1）①在扇形图中，C部门所对应的圆心角的度数为：360°×30%＝108°；
②A部门的员工人数所占的百分比为：1﹣30%﹣45%＝25%，
各部门的员工总人数为：5÷25%＝20（人），
∴b＝20×45%＝9，c＝20×30%＝6，
故答案为：108°，9，6；
（2）这个公司平均每人所创年利润为：7.6（万元）．
3．【解答】解：（1）由题意可得，
m＝15÷30%＝50，b＝50×40%＝20，a＝50﹣15﹣20﹣5＝10，
即m的值是50，a的值是10，b的值是20；
（2）（1×15+2×10+3×20+4×5）1150（本），
答：该年级全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量大约是1150本．
4．【解答】解：（1）这次共抽取：12÷24%＝50（人），
D类所对应的扇形圆心角的大小360°72°，
故答案为50，72°；
（2）A类学生：50﹣23﹣12﹣10＝5（人），
条形统计图补充如下
（3）该校表示“喜欢”的B类的学生大约有1500690（人），
答：该校表示“喜欢”的B类的学生大约有690人；
5．【解答】解：（1）这次抽取的居民数量为9÷15%＝60（名），
扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小是360°18°，
故答案为：60，18°；
（2）A类别人数为60﹣（36+9+3）＝12（名），
补全条形图如下：
（3）估计该社区表示“支持”的B类居民大约有20001200（名）．
6．【解答】解：（1）这次抽样调查的样本容量是10÷10%＝100，
C组所在扇形的圆心角的大小是360°108°，
故答案为：100，108°；
（2）B组的人数＝100﹣15﹣30﹣10＝45（名），
条形统计图如图所示，
（3）1500600（名）．答：估计该校平均每周劳动时间不少于7h的学生人数为600名．
7．【解答】解：（1）本次调查的样本容量是16÷20%＝80，B项活动所在扇形的圆心角的大小是360°54°，条形统计图中C项活动的人数是80﹣32﹣12﹣16＝20（人），
故答案为：80，54°，20；
（2）2000800（人），
答：该校意向参加“参观学习”活动的人数约为800人．
8．【解答】解：（1）∵A组的数据分别为：0.5，0.4，0.4，0.4，0.3，
∴A组数据的众数是0.4；
故答案为：0.4；
（2）本次调查的样本容量是15÷25%＝60，
∵a＝60﹣5﹣20﹣15﹣8＝12，
∴B组所在扇形的圆心角的大小是360°72°，
故答案为：60，72°；
（3）1200860（人），
答：估计该校学生劳动时间超过lh的大约有860人．
9．【解答】解：（1）由题意得，m＝15÷25%＝60，
∴a＝60×30%＝18，
∴b＝60﹣12﹣18﹣15﹣6＝9，
∴n%100%＝15%，∴n＝15，
样本的众数为3；
（2）900450（名），
答：估计得分超过2分的学生人数有450名．
10．【解答】解：（1）m＝36÷36%＝100，
“5分”的人数为：100﹣2﹣10﹣36﹣32＝20，
扇形统计图中“5分”对应的扇形的圆心角大小是：360°72°，故答案为：100，72°；
（2）1000520（人），
答：估计成绩超过3分的学生人数为520人；
（3）把100名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数是4，故中位数为4，样本的众数中位数为4分，说明大部分学生成绩达到或超过4分．（答案不唯一）．武汉2016——2025年中考数学真题分类汇编——
第20题作图题
1．（2016 武汉）已知反比例函数y．
（1）若该反比例函数的图象与直线y＝kx+4（k≠0）只有一个公共点，求k的值；
（2）如图，反比例函数y（1≤x≤4）的图象记为曲线C1，将C1向左平移2个单位长度，得曲线C2，请在图中画出C2，并直接写出C1平移至C2处所扫过的面积．
2．（2017 武汉）如图，直线y＝2x+4与反比例函数y的图象相交于A（﹣3，a）和B两点
（1）求k的值；
（2）直线y＝m（m＞0）与直线AB相交于点M，与反比例函数的图象相交于点N．若MN＝4，求m的值；
（3）直接写出不等式x的解集．
3．（2018 武汉）已知点A（a，m）在双曲线y上且m＜0，过点A作x轴的垂线，垂足为B．
（1）如图1，当a＝﹣2时，P（t，0）是x轴上的动点，将点B绕点P顺时针旋转90°至点C．
①若t＝1，直接写出点C的坐标；
②若双曲线y经过点C，求t的值．
（2）如图2，将图1中的双曲线y（x＞0）沿y轴折叠得到双曲线y（x＜0），将线段OA绕点O旋转，点A刚好落在双曲线y（x＜0）上的点D（d，n）处，求m和n的数量关系．
4．（2019 武汉）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD的顶点在格点上，点E是边DC与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．
（1）如图1，过点A画线段AF，使AF∥DC，且AF＝DC．
（2）如图1，在边AB上画一点G，使∠AGD＝∠BGC．
（3）如图2，过点E画线段EM，使EM∥AB，且EM＝AB．
5．（2020 武汉）在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（8，4），C（5，0）．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：
（1）将线段CB绕点C逆时针旋转90°，画出对应线段CD；
（2）在线段AB上画点E，使∠BCE＝45°（保留画图过程的痕迹）；
（3）连接AC，画点E关于直线AC的对称点F，并简要说明画法．
6．（2021 武汉）如图是由小正方形组成的5×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形ABCD的四个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图（1）中，先在边AB上画点E，使AE＝2BE，再过点E画直线EF，使EF平分矩形ABCD的面积；
（2）在图（2）中，先画△BCD的高CG，再在边AB上画点H，使BH＝DH．
7．（2022 武汉）如图是由小正方形组成的9×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图（1）中，D，E分别是边AB，AC与网格线的交点．先将点B绕点E旋转180°得到点F，画出点F，再在AC上画点G，使DG∥BC；
（2）在图（2）中，P是边AB上一点，∠BAC＝α．先将AB绕点A逆时针旋转2α，得到线段AH，画出线段AH，再画点Q，使P，Q两点关于直线AC对称．
8．（2023 武汉）如图是由小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形ABCD四个顶点都是格点，E是AD上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图（1）中，先将线段BE绕点B顺时针旋转90°，画对应线段BF，再在CD上画点G，并连接BG，使∠GBE＝45°；
（2）在图（2）中，M是BE与网格线的交点，先画点M关于BD的对称点N，再在BD上画点H，并连接MH，使∠BHM＝∠MBD．
9．（2024 武汉）如图是由小正方形组成的3×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．
（1）在图（1）中，画射线AD交BC于点D，使AD平分△ABC的面积；
（2）在（1）的基础上，在射线AD上画点E，使∠ECB＝∠ACB；
（3）在图（2）中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转90°到点C，再画射线AF交BC于点G；
（4）在（3）的基础上，将线段AB绕点G旋转180°，画对应线段MN（点A与点M对应，点B与点N对应）．
10．（2025 武汉）如图是由小正方形组成的3×4网格，每个小正方形的顶点叫作格点，矩形ABCD的四个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过五条．
（1）如图1，E是格点，先将点E绕点A逆时针旋转90°，画对应点F，再画直线FG交AB于点G，使直线FG平分矩形ABCD的面积．
（2）如图2，先画点C关于直线BD的对称点M，再画射线MN交BD于点N，使MN∥AD．
1．【解答】解：（1）解得kx2+4x﹣4＝0，
∵反比例函数的图象与直线y＝kx+4（k≠0）只有一个公共点，
∴Δ＝16+16k＝0，
∴k＝﹣1；
（2）如图所示，C1平移至C2处所扫过的面积＝2×3＝6．
2．【解答】（1）∵点A（﹣3，a）在y＝2x+4与y的图象上，
∴2×（﹣3）+4＝a，
∴a＝﹣2，
∴k＝（﹣3）×（﹣2）＝6；
（2）∵M在直线AB上，
∴M（，m），N在反比例函数y上，
∴N（，m），
∴MN＝xN﹣xM4或xM﹣xN4，
解得：∵m＞0，
∴m＝2或m＝6+4；
（3）x＜﹣1或5＜x＜6，
方法1：x﹣5＝m，
则x＝m+5，
m+5，
反比例函数y与一次函数y＝m+5的交点是（﹣6，﹣1），（1，6），
函数y与函数y＝x的交点是（﹣1，﹣1），（6，6），
综上，原不等式的解集是：x＜﹣1或5＜x＜6．
方法2：由x得：x＞0，
∴0，
∴0，
∴或，
结合抛物线y＝x2﹣5x﹣6的图象可知，由得
，
∴或，
∴此时x＜﹣1，
由得，，
∴，
解得：5＜x＜6，
综上，原不等式的解集是：x＜﹣1或5＜x＜6．
3．【解答】解：（1）①如图1﹣1中，
由题意：B（﹣2，0），P（1，0），PB＝PC＝3，
∴C（1，3）．
②图1﹣2中，由题意C（t，t+2），
∵点C在y上，
∴t（t+2）＝8，
∴t＝﹣4 或2，
（2）如图2中，
①当点A与点D关于x轴对称时，A（a，m），D（d，n），
∴m+n＝0．
②当点A绕点O旋转90°时，得到D′，根据对称性可知，D′在y上，
作D′H⊥y轴，则△ABO≌△D′HO，
∴OB＝OH，AB＝D′H，
∵A（a，m），
∴D′（m，﹣a），即D′（m，n），
∵D′在y上，
∴mn＝﹣8，
综上所述，满足条件的m、n的关系是m+n＝0或mn＝﹣8．
4．【解答】解：（1）如图所示，线段AF即为所求；
（2）如图所示，点G即为所求；
（3）如图所示，线段EM即为所求．
5．【解答】解：（1）如图所示：线段CD即为所求；
（2）如图所示：∠BCE即为所求；
（3）连接（5，0），（0，5），可得与OA的交点F，点F即为所求，如图所示：
6．【解答】解：（1）如图，直线EF即为所求．
（2）如图，线段CG，点H即为所求
7．【解答】解：（1）如图（1）中，点F，点G即为所求；
（2）如图（2）中，线段AH，点Q即为所求．
8．【解答】解：（1）如图（1），线段BF和点G即为所求；
理由：∵BC＝BA，CF＝AE，∠BCF＝∠BAE＝90°，
∴△BCF≌△BAE（SAS），
∴∠CBF＝∠ABE，
∴∠FBE＝∠CBF+∠CBE＝∠ABE+∠CBE＝∠CBA＝90°，
∴线段BE绕点B顺时针旋转90° 得BF，
∵PE∥FC，
∴∠PEQ＝∠CFQ，∠EPQ＝∠FCQ，
∵PE＝FC，
∴△PEQ≌△CFQ（ASA），
∴EQ＝FQ，
∴∠GBEEBF＝45°；
（2）如图（2）所示，点N与点H即为所求，
理由：∵BC＝BA，∠BCF＝∠BAE＝90°，CF＝AE，
∴△BCF≌△BAE（SAS），
∴BF＝BE，
∵DF＝DE，
∴BF与BE 关于BD对称
∵BN＝BM，
∴M，N关于BD对称，
∵PE∥FC，
∴△POE∽△QOF，
∴，
∵MG∥AE
∴，
∴，
∵∠MEO＝∠BEF，
∴△MEO∽△BEF，
∴∠EMO＝∠EBF，
∴OM∥BF，
∴∠MHB＝∠FBH，
由轴对称可得∠FBH＝∠EBH，
∴∠BHM＝∠MBD．
解法二：图形如图所示：
9．【解答】解：（1）如图1中，线段AD即为所求；
（2）如图1中，点E即为所求；
（3）如图2中，点F，射线AF，点G即为所求；
（4）如图2中，线段MN即为所求．
（其中（2）的方法二：如图所示）．
10．【解答】解：（1）如图1中，点F，直线FG即为所求；
（2）如图，点M，直线MN即为所求．武汉2016——2025年中考数学真题分类汇编——第21题圆综合题
1．（2016 武汉）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）连接BE交AC于点F，若cos∠CAD，求的值．
2．（2017 武汉）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，CO的延长线交AB于点D
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若BC＝6，sin∠BAC，求AC和CD的长．
3．（2018 武汉）如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA＝PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若∠APC＝3∠BPC，求的值．
4．（2019 武汉）已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM、BN于D、C两点．
（1）如图1，求证：AB2＝4AD BC；
（2）如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积．
5．（2020 武汉）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，AE与过点D的切线互相垂直，垂足为E．
（1）求证：AD平分∠BAE；
（2）若CD＝DE，求sin∠BAC的值．
6．（2021 武汉）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，C是的中点，过点C作AD的垂线，垂足是E．连接AC交BD于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若，求cos∠ABD的值．
7．（2022 武汉）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．
（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；
（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的长．
8．（2023 武汉）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC．
（1）求证：∠AOB＝2∠BOC；
（2）若AB＝4，，求⊙O的半径．
9．（2024 武汉）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点．
（1）求证：AB与半圆O相切；
（2）连接OA．若CD＝4，CF＝2，求sin∠OAC的值．
10．（2025 武汉）如图，点A，B，C，D在⊙O上，BD是直径，∠BAC＝45°，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线．
（2）若BD＝4，tan∠ABD＝2，求图中阴影部分的面积．
1．【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OC，
又∵CD⊥AD，
∴AD∥OC，
∴∠CAD＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∴∠CAD＝∠CAO，
即AC平分∠DAB；
（2）解：连接BE、BC、OC，BE交AC于F交OC于H．
∵AB是直径，
∴∠AEB＝∠DEH＝∠D＝∠DCH＝90°，
∴四边形DEHC是矩形，
∴∠EHC＝90°即OC⊥EB，
∴DC＝EH＝HB，DE＝HC，
∵cos∠CAD，设AD＝4a，AC＝5a，则DC＝EH＝HB＝3a，
∵cos∠CAB，
∴ABa，BCa，
在RT△CHB中，CHa，
∴DE＝CHa，AEa，
∵EF∥CD，
∴．
2．【解答】（1）证明：延长AO交BC于H，连接BO，如图1所示：
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴A、O在线段BC的垂直平分线上，
∴AO⊥BC，
又∵AB＝AC，
∴AO平分∠BAC；
（2）解：延长CD交⊙O于E，连接BE，如图2所示：
则CE是⊙O的直径，
∴∠EBC＝90°，BC⊥BE，
∵∠E＝∠BAC，
∴sinE＝sin∠BAC，
∴，
∴CEBC＝10，
∴BE8，OA＝OECE＝5，
∵AH⊥BC，
∴BE∥OA，
∴，即，
解得：OD，
∴CD＝5，
∵BE∥OA，即BE∥OH，OC＝OE，
∴OH是△CEB的中位线，
∴OHBE＝4，CHBC＝3，
∴AH＝5+4＝9，
在Rt△ACH中，AC3．
3．【解答】（1）证明：连接OP、OB．
∵PA是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，
∴∠PAO＝90°，
∵PA＝PB，PO＝PO，OA＝OB，
∴△PAO≌△PBO．
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∴PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线．
（2）设OP交AB于K．
∵AC是直径，
∴∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC，
∵PA、PB都是切线，
∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO，
∵OA＝OB，
∴OP垂直平分线段AB，
∴OK∥BC，
∵AO＝OC，
∴AK＝BK，
∴BC＝2OK，设OK＝a，则BC＝2a，
∵∠APC＝3∠BPC，∠APO＝∠OPB，
∴∠OPC＝∠BPC＝∠PCB，
∴BC＝PB＝PA＝2a，
∵△PAK∽△POA，
∴PA2＝PK PO，设PK＝x，
则有：x2+ax﹣4a2＝0，
解得xa（负根已经舍弃），
∴PKa，
∵PK∥BC，
∴．
4．【解答】（1）证明：连接OC、OD，如图1所示：
∵AM和BN是它的两条切线，
∴AM⊥AB，BN⊥AB，
∴AM∥BN，
∴∠ADE+∠BCE＝180°
∵DC切⊙O于E，
∴∠ODE∠ADE，∠OCE∠BCE，
∴∠ODE+∠OCE＝90°，
∴∠DOC＝90°，
∴∠AOD+∠COB＝90°，
∵∠AOD+∠ADO＝90°，
∴∠AOD＝∠OCB，
∵∠OAD＝∠OBC＝90°，
∴△AOD∽△BCO，
∴，
∴OA2＝AD BC，
∴（AB）2＝AD BC，
∴AB2＝4AD BC；
解法2：如图1﹣1，过D作DG⊥BC于点G，
则四边形ABGD是矩形，
∴AB＝DG，AD＝BG，
由切线长定理得：AD＝ED，BC＝EC，
∴CD＝DE+EC＝AD+BC，CG＝BC﹣BG＝BC﹣AD，
在Rt△CDG中，由勾股定理得：DG2＝CD2﹣CG2＝（AD+BC）2﹣（BC﹣AD）2
＝AD2+2AD BC+BC2﹣（AD2﹣2AD BC+BC2）
＝4AD BC，
∴AB2＝4AD BC；
（2）解：连接OD，OC，如图2所示：
∵∠ADE＝2∠OFC，
∴∠ADO＝∠OFC，
∵∠ADO＝∠BOC，∠BOC＝∠FOC，
∴∠OFC＝∠FOC，
∴CF＝OC，
∴CD垂直平分OF，
∴OD＝DF，
在△COD和△CFD中，，
∴△COD≌△CFD（SSS），
∴∠CDO＝∠CDF，
∵∠ODA+∠CDO+∠CDF＝180°，
∴∠ODA＝60°＝∠BOC，
∴∠BOE＝120°，
在Rt△DAO，ADOA，
Rt△BOC中，BCOB，
∴AD：BC＝1：3，
∵AD＝1，
∴BC＝3，OB，
∴图中阴影部分的面积＝2S△OBC﹣S扇形OBE＝233π．
5．【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵DE为切线，
∴OD⊥DE，
∵DE⊥AE，
∴OD∥AE，
∴∠1＝∠ODA，
∵OA＝OD，
∴∠2＝∠ODA，
∴∠1＝∠2，
∴AD平分∠BAE；
（2）解：连接BD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠2+∠ABD＝90°，∠3+∠ABD＝90°，
∴∠2＝∠3，
∵sin∠1，sin∠3，
而DE＝DC，
∴AD＝BC，
设CD＝x，BC＝AD＝y，
∵∠DCB＝∠BCA，∠3＝∠2，
∴△CDB∽△CBA，
∴CD：CB＝CB：CA，即x：y＝y：（x+y），
整理得x2+xy﹣y2＝0，解得xy或xy（舍去），
∴sin∠3，
即sin∠BAC的值为．
6．【解答】（1）证明：连接OC交BD于点G，
∵点C是的中点，
∴由圆的对称性得OC垂直平分BD，
∴∠DGC＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠EDB＝90°，
∵CE⊥AE，
∴∠E＝90°，
∴四边形EDGC是矩形，
∴∠ECG＝90°，
∴CE⊥OC，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：连接BC，设FG＝x，OB＝r，
∵，
设DF＝t，DCt，
由（1）得，BC＝CDt，BG＝GD＝x+t，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCG+∠FCG＝90°，
∵∠DGC＝90°，
∴∠CFB+∠FCG＝90°，
∴∠BCG＝∠CFB，
∴Rt△BCG∽Rt△BFC，
∴BC2＝BG BF，
∴（t）2＝（x+t）（2x+t）
解得x1＝t，x2t（不符合题意，舍去），
∴CGt，
∴OG＝rt，
在Rt△OBG中，由勾股定理得OG2+BG2＝OB2，
∴（rt）2+（2t）2＝r2，
解得rt，
∴cos∠ABD．
方法二、设CF＝n，
由△CBF∽△CAB，可得CB2＝CF CA，
则AF，
∵BF，
∵△FDA∽△FCB，
∴，
∴，
∴nt或t（舍去），
∴BF＝3t，
∴BD＝4t，
∵△FDA∽△FCB，
∴，
∴ADt，
∴AB＝3t，
∴cos∠ABD．
7．【解答】（1）解：△BDE为等腰直角三角形．
证明：∵AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE，
∴∠BED＝∠DBE．
∴BD＝ED．
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴△BDE是等腰直角三角形．
另解：计算∠AEB＝135°也可以得证．
（2）解：连接OC、CD、OD，OD交BC于点F.
∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．
∴BD＝DC．
∵OB＝OC．
∴OD垂直平分BC．
∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，
∴BD＝2．
∵AB＝10，
∴OB＝OD＝5．
设OF＝t，则DF＝5﹣t．
在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2，
解得t＝3，
∴BF＝4．
∴BC＝8．
另解：分别延长AC，BD相交于点G．则△ABG为等腰三角形，先计算AG＝10，BG＝4，AD＝4，再根据面积相等求得BC．
8．【解答】（1）证明：∵，，∠ACB＝2∠BAC，
∴∠AOB＝2∠BOC；
（2）解：过点O作半径OD⊥AB于点E，连接DB，
∴AE＝BE，
∵∠AOB＝2∠BOC，∠DOB∠AOB，
∴∠DOB＝∠BOC．
∴BD＝BC．
∵AB＝4，，
∴BE＝2，，
在 Rt△BDE 中，∠DEB＝90°，
∴，
在Rt△BOE中，∠OEB＝90°，
OB2＝（OB﹣1）2+22，
解得，
即⊙O的半径是 ．
9．【解答】（1）证明：连接OD，OA，作OH⊥AB于H，如图，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，
∵AC与⊙O相切于点D，
∴OD⊥AC，
而OH⊥AB，
∴OH＝OD，
∴AB是⊙O的切线；
（2）由（1）知OD⊥AC，
在Rt△OCD中，CD＝4，OC＝OF+CF＝OD+2，OD2+CD2＝OC2，
∴OD2+42＝（OD+2）2，
∴OD＝3，
∴OC＝5，∴cosC，
在Rt△OCA中，cosC，
∴sin∠OAC．
10．【解答】（1）证明：连接OC，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，
∵CE∥BD，
∴∠OCE＝180°﹣∠BOC＝90°，
∵OC是⊙O的半径，且CE⊥OC，
∴CE是⊙O的切线．
（2）解：作BF⊥CE于点F，则∠BFE＝∠BFC＝90°，
∵∠BFC＝∠OCF＝∠BOC＝90°，
∴四边形BOCF是矩形，
∵BD是⊙O的直径，且BD＝4，
∴OC＝OBAB＝2，
∴四边形BOCF是正方形，
∴BF＝OB＝2，
∵∠E＝∠ABD，tan∠ABD＝2，
∴tanE＝tan∠ABD＝2，∴EFBF＝1，
∴S阴影＝S△BEF+S正方形BOCF﹣S扇形BOC1×2+225﹣π，
∴阴影部分的面积为5﹣π．
第1页（共1页）武汉2016——2025年中考数学真题分类汇编——
第22题二次函数的应用
1．（2016 武汉）某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如表：
产品 每件售价（万元） 每件成本（万元） 每年其他费用（万元） 每年最大产销量（件）
甲 6 a 20 200
乙 20 10 40+0.05x2 80
其中a为常数，且3≤a≤5
（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；
（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；
（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．
2．（2017 武汉）某公司为奖励在趣味运动会上取得好成绩的员工，计划购买甲、乙两种奖品共20件．其中甲种奖品每件40元，乙种奖品每件30元
（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费了650元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件？
（2）如果购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，总花费不超过680元，求该公司有哪几种不同的购买方案？
3．（2018 武汉）用1块A型钢板可制成2块C型钢板和1块D型钢板；用1块B型钢板可制成1块C型钢板和3块D型钢板．现准备购买A、B型钢板共100块，并全部加工成C、D型钢板．要求C型钢板不少于120块，D型钢板不少于250块，设购买A型钢板x块（x为整数）．
（1）求A、B型钢板的购买方案共有多少种？
（2）出售C型钢板每块利润为100元，D型钢板每块利润为120元．若将C、D型钢板全部出售，请你设计获利最大的购买方案．
4．（2019 武汉）某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/件） 50 60 80
周销售量y（件） 100 80 40
周销售利润w（元） 1000 1600 1600
注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
（1）①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
②该商品进价是　 　 元/件；当售价是　 　 元/件时，周销售利润最大，最大利润是　 　 元．
（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值．
5．（2020 武汉）某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有函数关系y＝ax2+bx．当x＝10时，y＝400；当x＝20时，y＝1000．B城生产产品的每件成本为70万元．
（1）求a，b的值；
（2）当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？
（3）从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在（2）的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值（用含有m的式子表示）．
6．（2021 武汉）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg．生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．
（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费+其他成本）；
（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．
7．（2022 武汉）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面70cm处．
小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）、运动距离y（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表．
运动时间t/s 0 1 2 3 4
运动速度v/cm/s 10 9.5 9 8.5 8
运动距离y/cm 0 9.75 19 27.75 36
小聪探究发现，黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系．
（1）直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）当黑球减速后运动距离为64cm时，求它此时的运动速度；
（3）若白球一直以2cm/s的速度向右匀速运动且与黑球同向而行，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．
8．（2023 武汉）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m）、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的数据如表．
飞行时间t/s 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离x/m 0 10 20 30 40 …
飞行高度y/m 0 22 40 54 64 …
探究发现 x与t，y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
问题解决 如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．
（1）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
（2）在安全线上设置回收区域MN，AM＝125m，MN＝5m．若飞机落到MN内（不包括端点M，N），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
9．（2024 武汉）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线yx+b．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级．
（1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km，
①直接写出a，b的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离．
（2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．
10．（2025 武汉）某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动．研究背景 羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直．
收集数据 某次羽毛球飞行的高度y（单位：m）与距发球点的水平距离x（单位：m）的对应值如表（不考虑空气阻力）．
水平距离x/m 0 2 3 5 6 …
高度y/m 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 …
探索发现 数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线y＝ax2+bx+1.1的一部分．
建立模型 求y与x的函数解析式（不要求写自变量取值范围）．
（1）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到2.8m？请说明理由．
（2）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为y＝ax2+kx+1.1，发球点与球网的水平距离是5m．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过2.1m，且球的落地点与球网的水平距离小于6m．求k的取值范围．
1．【解答】解：（1）y1＝（6﹣a）x﹣20，（0＜x≤200）
y2＝10x﹣40﹣0.05x2＝﹣0.05x2+10x﹣40．（0＜x≤80）．
（2）对于y1＝（6﹣a）x﹣20，∵6﹣a＞0，
∴x＝200时，y1的值最大＝（1180﹣200a）万元．
对于y2＝﹣0.05（x﹣100）2+460，
∵0＜x≤80，
∴x＝80时，y2最大值＝440万元．
（3）①1180﹣200a＝440，解得a＝3.7，
②1180﹣200a＞440，解得a＜3.7，
③1180﹣200a＜440，解得a＞3.7，
∵3≤a≤5，
∴当a＝3.7时，生产甲乙两种产品的利润相同．
当3≤a＜3.7时，生产甲产品利润比较高．
当3.7＜a≤5时，生产乙产品利润比较高．
2．【解答】解：（1）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（20﹣x）件，
根据题意得40x+30（20﹣x）＝650，
解得x＝5，
则20﹣x＝15，
答：甲种奖品购买了5件，乙种奖品购买了15件；
（2）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（20﹣x）件，
根据题意得，解得x≤8，
∵x为整数，
∴x＝7或x＝8，
当x＝7时，20﹣x＝13；当x＝8时，20﹣x＝12；
答：该公司有2种不同的购买方案：甲种奖品购买了7件，乙种奖品购买了13件或甲种奖品购买了8件，乙种奖品购买了12件．
3．【解答】解：设购买A型钢板x块，则购买B型钢板（100﹣x）块，
根据题意得，，
解得，20≤x≤25，
∵x为整数，
∴x＝20，21，22，23，24，25共6种方案，
即：A、B型钢板的购买方案共有6种；
（2）设总利润为w，根据题意得，
w＝100（2x+100﹣x）+120（x+300﹣3x）＝100x+10000﹣240x+36000＝﹣140x+46000，
∵﹣140＜0，
∴当x＝20时，wmax＝﹣140×20+46000＝43200元，
即：购买A型钢板20块，B型钢板80块时，获得的利润最大．
4．【解答】解：（1）①依题意设y＝kx+b，
则有
解得：
所以y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+200；
②该商品进价是50﹣1000÷100＝40，
设每周获得利润w＝ax2+bx+c：
则有，
解得：，
∴w＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800，
∴当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元；
故答案为：40，70，1800；
（2）根据题意得，w＝（x﹣40﹣m）（﹣2x+200）＝﹣2x2+（280+2m）x﹣8000﹣200m＝﹣2（x）2m2﹣60m+1800，
∵﹣2＜0，对称轴为直线x＞70，
∴抛物线的开口向下，
∵x≤65，∴w随x的增大而增大，
当x＝65时，w最大＝1400，
即1400＝﹣2×652+（280+2m）×65﹣8000﹣200m，
解得：m＝5．
5．【解答】解：（1）由题意得：，
解得：．
∴a＝1，b＝30；
（2）由（1）得：y＝x2+30x，
设A，B两城生产这批产品的总成本为w，
则w＝x2+30x+70（100﹣x）
＝x2﹣40x+7000，
＝（x﹣20）2+6600，
∵a＝1＞0，
由二次函数的性质可知，当x＝20时，w取得最小值，最小值为6600万元，此时100﹣20＝80．
答：A城生产20件，B城生产80件；
（3）设从A城运往C地的产品数量为n件，A，B两城总运费的和为P，
则从A城运往D地的产品数量为（20﹣n）件，从B城运往C地的产品数量为（90﹣n）件，从B城运往D地的产品数量为（10﹣20+n）件，
由题意得：，
解得10≤n≤20，
∴P＝mn+3（20﹣n）+（90﹣n）+2（10﹣20+n），
整理得：P＝（m﹣2）n+130，
根据一次函数的性质分以下两种情况：
①当0＜m≤2，10≤n≤20时，P随n的增大而减小，
则n＝20时，P取最小值，最小值为20（m﹣2）+130＝20m+90；
②当m＞2，10≤n≤20时，P随n的增大而增大，
则n＝10时，P取最小值，最小值为10（m﹣2）+130＝10m+110．
答：0＜m≤2时，A，B两城总运费的和为（20m+90）万元；当m＞2时，A，B两城总运费的和为（10m+110）万元．
6．【解答】解：（1）设B原料单价为m元，则A原料单价为1.5m元，
根据题意，得100，
解得m＝3，
经检验m＝3是方程的解，
∴1.5m＝4.5，
∴每盒产品的成本是：4.5×2+4×3+9＝30（元），
答：每盒产品的成本为30元；
（2）根据题意，得w＝（x﹣30）[500﹣10（x﹣60）]＝﹣10x2+1400x﹣33000，
∴w关于x的函数解析式为：w＝﹣10x2+1400x﹣33000；
（3）由（2）知w＝﹣10x2+1400x﹣33000＝﹣10（x﹣70）2+16000，
∴当a≥70时，每天最大利润为16000元，
当60＜a＜70时，每天的最大利润为（﹣10a2+1400a﹣33000）元．
7．【解答】解：（1）设v＝mt+n，将（0，10），（2，9）代入，得，
解得，，
∴vt+10；
设y＝at2+bt+c，将（0，0），（2，19），（4，36）代入，得，
解得，
∴yt2+10t．
（2）令y＝64，即t2+10t＝64，
解得t＝8或t＝32，
当t＝8时，v＝6；
当t＝32时，v＝﹣6（舍）；
（3）设黑白两球的距离为wcm，
根据题意可知，w＝70+2t﹣y
t2﹣8t+70
（t﹣16）2+6，
∵0，
∴当t＝16时，w的最小值为6，
∴黑白两球的最小距离为6cm，大于0，黑球不会碰到白球．
另解1：当w＝0时，t2﹣8t+70＝0，判定方程无解．
另解2：当黑球的速度减小到2cm/s时，如果黑球没有碰到白球，此后，速度低于白球速度，不会碰到白球．先确定黑球速度为2cm/s时，其运动时间为16s，再判断黑白两球的运动距离之差小于70 cm．
8．【解答】解：探究发现：x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系，
设x＝kt，y＝at2+bt，
由题意得：10＝2k，，
解得：k＝5，，
∴x＝5t，yt2+12t，
问题解决：（1）依题意，得t2+12t＝0．
解得，t1＝0（舍），t2＝24，
当t＝24 时，x＝120．
答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为120m．
（2）设发射平台相对于安全线的高度为nm，飞机相对于安全线的飞行高度y′t2+12t+n，
∵125＜x＜130，∴125＜5t＜130，∴25＜t＜26．
在y′t2+12t+n中，
当t＝25，y′＝0时，n＝12.5；
当t＝26，y′＝0时，n＝26．
∴12.5＜n＜26．
答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5m且小于26m．
9．【解答】解：（1）①∵y＝ax2+x经过点（9，3.6），
∴81a+9＝3.6．
解得：a．
∵yx+b经过点（9，3.6），
∴3.69+b．
解得：b＝8.1；
②由①得：yx2+x
（x2﹣15x）
（x）2（0≤x≤9）．
∴火箭运行的最高点是km．
∴1.35＝2.4（km）．
∴2.4x2+x．
整理得：x2﹣15x+36＝0．
解得：x1＝12＞9（不合题意，舍去），x2＝3．
由①得：yx+8.1．
∴2.4x+8.1．
解得：x＝11.4．
∴11.4﹣3＝8.4（km）．
答：这两个位置之间的距离为8.4km；
（2）当x＝9时，y＝81a+9．
∴火箭第二级的引发点的坐标为（9，81a+9）．
设火箭落地点与发射点的水平距离为15km．
∴yx+b经过点（9，81a+9），（15，0）
∴．
解得：．
∴a＜0时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．
10．【解答】解：（1）把（2，2.3），（3，2.6）代入y＝ax2+bx+1.1得：
，
解得，
∴y＝﹣0.1x2+0.8x+1.1＝﹣0.1（x﹣4）2+2.7，
∵﹣0.1＜0，
∴当x＝4时，y有最大值，最大值为2.7，
∵2.8＞2.7，
∴羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到2.8m；
（2）∵保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，
∴a＝﹣0.1，
∴解析式为y＝﹣0.1x2+kx+1.1，
当x＝5时，y＝﹣0.1×52+5k+1.1＞2.1，
解得k＞0.7；
∵球的落地点与球网的水平距离小于6，
∴当x＝11时，y＝﹣0.1×112+11k+1.1＜0，
解得k＜1，
∴k的取值范围为0.7＜k＜1．武汉2016——2025年中考数学真题分类汇编——
第23题几何探究题
1．（2016 武汉）在△ABC中，P为边AB上一点．
（1）如图1，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP AB；
（2）若M为CP的中点，AC＝2．
①如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的长；
②如图3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接写出BP的长．
2．（2017 武汉）已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E．
（1）如图1，若∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：ED EA＝EC EB；
（2）如图2，若∠ABC＝120°，cos∠ADC，CD＝5，AB＝12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积；
（3）如图3，另一组对边AB、DC的延长线相交于点F．若cos∠ABC＝cos∠ADC，CD＝5，CF＝ED＝n，直接写出AD的长（用含n的式子表示）
3．（2018 武汉）在△ABC中，∠ABC＝90°．
（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN；
（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP＝∠C，tan∠PAC，求tanC的值；
（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE＝AB，∠DEB＝90°，sin∠BAC，，直接写出tan∠CEB的值．
4．（2019 武汉）在△ABC中，∠ABC＝90°，n，M是BC上一点，连接AM．
（1）如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN．
（2）过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q．
①如图2，若n＝1，求证：．
②如图3，若M是BC的中点，直接写出tan∠BPQ的值．（用含n的式子表示）
5．（2020 武汉）问题背景 如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
尝试应用 如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，，求的值；
拓展创新 如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2，直接写出AD的长．
6．（2021 武汉）问题提出
如图（1），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝AC，EC＝DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？
问题探究
（1）先将问题特殊化如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；
（2）再探究一般情形如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展
如图（3），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝kAC，EC＝kDC（k是常数），点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系．
7．（2022 武汉）问题提出
如图（1），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，延长BC至点E，使DE＝DB，延长ED交AB于点F，探究的值．
问题探究
（1）先将问题特殊化．如图（2），当∠BAC＝60°时，直接写出的值；
（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展
如图（3），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，G是边BC上一点，（n＜2），延长BC至点E，使DE＝DG，延长ED交AB于点F．直接写出的值（用含n的式子表示）．
8．（2023 武汉）问题提出 如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α （α≥90°），AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系．
问题探究 （1）先将问题特殊化，如图（2），当α＝90°时，直接写出∠GCF的大小；
（2）再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与α的数量关系．
问题拓展 将图（1）特殊化，如图（3），当α＝120°时，若，求的值．
9．（2024 武汉）问题背景如图（1），在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE．
问题探究如图（2），在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于点G，求证：BG＝FG．
问题拓展如图（3），在“问题探究”的条件下，连接AG，AD＝CD，AG＝FG，直接写出的值．
10．（2025 武汉）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边CD上，点F在边BC的延长线上，DE＝CF，射线AE交对角线BD于点G，交线段DF于点H．
（1）求证：DH＝GH．（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明△ADE≌△DCF）
（2）求证：AG EH＝EG GH．
（3）若n，直接写出的值（用含n的式子表示）．
1．【解答】解：（1）∵∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACP∽△ABC，∴， ∴AC2＝AP AB；
（2）①取AP的中点G，连接MG，设AG＝x，则PG＝x，BG＝3﹣x，
∵M是PC的中点，∴MG∥AC，∴∠BGM＝∠A，∵∠ACP＝∠PBM，
∴△APC∽△GMB，∴，即，∴x，∵AB＝3，
∴AP＝3，∴PB；
②过C作CH⊥AB于H，延长AB到E，使BE＝BP，
设BP＝x．
∵∠ABC＝45°，∠A＝60°，∴CH，HEx，∵CE2＝（）2+（x）2，
∵PB＝BE，PM＝CM，∴BM∥CE，∴∠PMB＝∠PCE＝60°＝∠A，∵∠E＝∠E，
∴△ECP∽△EAC，∴，∴CE2＝EP EA，∴3+3+x2+2x＝2x（x1），∴x1，
∴PB1．
2．【解答】解：（1）如图1中，
∵∠ADC＝90°，∠EDC+∠ADC＝180°，∴∠EDC＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠EDC＝∠ABC，
∵∠E＝∠E，∴△EDC∽△EBA，∴， ∴ED EA＝EC EB．
（2）如图2中，过C作CF⊥AD于F，AG⊥EB于G．
在Rt△CDF中，cos∠ADC，
∴，∵CD＝5，
∴DF＝3，
∴CF4，
∵S△CDE＝6，
∴ ED CF＝6，
∴ED3，EF＝ED+DF＝6，
∵∠ABC＝120°，∠G＝90°，∠G+∠BAG＝∠ABC，
∴∠BAG＝30°，
∴在Rt△ABG中，BGAB＝6，AG6，
∵CF⊥AD，AG⊥EB，
∴∠EFC＝∠G＝90°，∵∠E＝∠E，
∴△EFC∽△EGA，
∴，
∴，
∴EG＝9，
∴BE＝EG﹣BG＝96，
∴S四边形ABCD＝S△ABE﹣S△CDE（96）×66＝75﹣18．
（3）如图3中，作CH⊥AD于H，则CH＝4，DH＝3，
∴tan∠E，
作AG⊥DF于点G，设AD＝5a，则DG＝3a，AG＝4a，
∴FG＝DF﹣DG＝5+n﹣3a，
∵CH⊥AD，AG⊥DF，∠E＝∠F，
易证△AFG∽△CEH，
∴，
∴，
∴a，
∴AD＝5a．
3．【解答】解：（1）∵AM⊥MN，CN⊥MN，
∴∠AMB＝∠BNC＝90°，
∴∠BAM+∠ABM＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABM+∠CBN＝90°，
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠AMB＝∠NBC，
∴△ABM∽△BCN；
（2）如图2，过点P作PM⊥AP交AC于M，PN⊥AM于N．
∴∠BAP+∠1＝∠CPM+∠1＝90°，
∴∠BAP＝∠CPM＝∠C，
∴MP＝MC
∵tan∠PAC
设MN＝2m，PNm，
根据勾股定理得，PM3m＝CM，
∴tanC；
（3）
在Rt△ABC中，sin∠BAC，
过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，
∵∠DEB＝90°，
∴CH∥AG∥DE，
∴
同（1）的方法得，△ABG∽△BCH
∴，
设BG＝4m，CH＝3m，AG＝4n，BH＝3n，
∵AB＝AE，AG⊥BE，
∴EG＝BG＝4m，
∴GH＝BG+BH＝4m+3n，
∴，
∴n＝2m，
∴EH＝EG+GH＝4m+4m+3n＝8m+3n＝8m+6m＝14m，
在Rt△CEH中，tan∠BEC．
4．【解答】（1）证明：如图1中，延长AM交CN于点H．
∵AM⊥CN，
∴∠AHC＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAM+∠AMB＝90°，∠BCN+∠CMH＝90°，
∵∠AMB＝∠CMH，
∴∠BAM＝∠BCN，
∵BA＝BC，∠ABM＝∠CBN＝90°，
∴△ABM≌△CBN（ASA），
∴BM＝BN．
（2）①证明：如图2中，作CH∥AB交BP的延长线于H．
∵BP⊥AM，
∴∠BPM＝∠ABM＝90°，
∵∠BAM+∠AMB＝90°，∠CBH+∠BMP＝90°，
∴∠BAM＝∠CBH，
∵CH∥AB，
∴∠HCB+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABM＝∠BCH＝90°，
∵AB＝BC，
∴△ABM≌△BCH（ASA），
∴BM＝CH，
∵CH∥BQ，
∴．
②解：如图3中，作CH∥AB交BP的延长线于H，作CN⊥BH于N．不妨设BC＝2m，则AB＝2mn．
则BM＝CM＝m，CH，BH，AM＝m，
∵ AM BP AB BM，
∴PB，
∵ BH CN CH BC，
∴CN，
∵CN⊥BH，PM⊥BH，
∴MP∥CN，∵CM＝BM，
∴PN＝BP，
∵∠BPQ＝∠CPN，
∴tan∠BPQ＝tan∠CPN．
方法二：易证：，
∵PN＝PB，tan∠BPQ．
解法二：证明△MBP∽△MAB，推出MB2＝MP MA，因为MB＝MC，
推出MC2＝MP MA，推出△CMP∽△AMC，推出∠ACM＝∠CPM，推出∠BPQ＝∠CAB，由此可得结论．
5．【解答】问题背景
证明：∵△ABC∽△ADE，
∴，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，，
∴△ABD∽△ACE；
尝试应用
解：如图1，连接EC，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，
∴△ABC∽△ADE，
由（1）知△ABD∽△ACE，
∴，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
∴，
∴3．
∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC，
∴△ADF∽△ECF，
∴3．
拓展创新
解：如图2，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，
∵∠BAD＝30°，
∴∠DAM＝60°，
∴∠AMD＝30°，
∴∠AMD＝∠DBC，
又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，
∴△BDC∽△MDA，
∴，
又∠BDC＝∠MDA，
∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，
即∠BDM＝∠CDA，
∴△BDM∽△CDA，
∴，
∵AC＝2，
∴BM＝26，
∴在Rt△ABM中，AM2，
∴AD．
6．【解答】解：（1）如图（2），∵∠ACD+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BCE＝90°，
∴∠BCE＝∠ACD，
∵BC＝AC，EC＝DC，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD，∠EBC＝∠CAD，
而点D、F重合，故BE＝AD＝AF，
而△CDE为等腰直角三角形，
故DE＝EFCF，
则BF＝BD＝BE+ED＝AFCF；
即BF﹣AFCF；
（2）如图（1），由（1）知，△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAF＝∠CBE，BE＝AD，
过点C作CG⊥CF交BF于点G，
∵∠ACF+∠ACG＝90°，∠ACG+∠GCB＝90°，
∴∠ACF＝∠BCG，
∵∠CAF＝∠CBE，BC＝AC，
∴△BCG≌△ACF（ASA），
∴GC＝FC，BG＝AF，
故△GCF为等腰直角三角形，则GFCF，
则BF＝BG+GF＝AFCF，
即BF﹣AFCF；
（3）由（2）知，∠BCE＝∠ACD，
而BC＝kAC，EC＝kDC，
即，
∴△BCE∽△ACD，
∴∠CAD＝∠CBE，
过点C作CG⊥CF交BF于点G，
由（2）知，∠BCG＝∠ACF，
∴△BGC∽△AFC，
∴，
则BG＝kAF，GC＝kFC，
在Rt△CGF中，GF FC，
则BF＝BG+GF＝kAF FC，
即BF﹣kAF FC．
7．【解答】解：（1）如图，取AB的中点G，连接DG，
∵点D是AC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，
∴DG∥BC，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵点D是AC的中点，
∴∠DBC＝30°，
∵BD＝ED，
∴∠E＝∠DBC＝30°，
∴DF⊥AB，
∵∠AGD＝∠ADG＝60°，
∴△ADG是等边三角形，
∴AFAG，
∵AGAB，
∴AFAB，
∴；
（2）取BC的中点H，连接DH，
∵点D为AC的中点，
∴DH∥AB，DHAB，
∵AB＝AC，
∴DH＝DC，
∴∠DHC＝∠DCH，
∵BD＝DE，
∴∠DBH＝∠DEC，
∴∠BDH＝∠EDC，
∴△DBH≌△DEC（ASA），
∴BH＝EC，
∴，
∵DH∥AB，
∴△EDH∽△EFB，
∴，
∴，
∴；
问题拓展
取BC的中点H，连接DH，
由（2）同理可证明△DGH≌△DEC（ASA），
∴GH＝CE，
∴HE＝CG，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵DH∥BF，
∴△EDH∽△EFB，
∴，
∵DHAB，
∴，
∴．
8．【解答】解：问题探究（1）如图（2）中，在BA上截取BJ，使得BJ＝BE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠BCD＝90°，BA＝BC，
∵BJ＝BE，
∴AJ＝EC，
∵∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠BAE+∠B，∠AEF＝∠B＝90°，
∴∠CEF＝∠EAJ，
∵EA＝EF，
∴△EAJ≌△FEC（SAS），
∴∠AJE＝∠ECF，
∵∠BJE＝45°，
∴∠AJE＝180°﹣45°＝135°，
∴∠ECF＝135°，
∴∠GCF＝∠ECF﹣∠ECD＝135°﹣90°＝45°；
（2）结论：∠GCFα﹣90°；
理由：在AB上截取AN，使AN＝EC，连接NE．
∵∠ABC+∠BAE+∠AEB＝∠AEF+∠FEC+∠AEB＝180°，
∠ABC＝∠AEF，
∴∠EAN＝∠FEC．
∵AE＝EF，
∴△ANE≌△ECF（SAS）．
∴∠ANE＝∠ECF．
∵AB＝BC，
∴BN＝BE．
∵∠EBN＝α，
∴，
∴∠GCF＝∠ECF﹣∠BCD＝∠ANE﹣∠BCD；
问题拓展：过点A作CD的垂线交CD的延长线于点P，设菱形的边长为3m．
，
∴DG＝m，CG＝2m．
在Rt△ADP中，∠ADC＝∠ABC＝120°，
∴∠ADP＝60°，
∴ m，，
∴α＝120°，
由（2）知，，
∵∠AGP＝∠FGC，
∴△APG∽△FCG．
∴，
∴，
∴，
由（2）知，，
∴．
∴．
9．【解答】（1）证明：∵E、F分别是AB和BC中点，
∴，，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，
∴，
∵∠EBF＝∠C＝90°，
∴△BCD∽△FBE；
（2）方法一：如图延长FE交DA延长线于点M，作FH⊥AD于点H，则四边形CDHF是矩形．
∵E是AB中点，
∴AE＝BE，
∵AM∥BC，
∴∠AME＝∠BFE，∠MAE＝∠FBE，
∴△AME≌△BFE（AAS），
∴AM＝BF，
∵AD＝2CF，CF＝DH，
∴AH＝DH＝CF，
∴AM+AH＝BF+CF，即MH＝BC，
∵FH＝CD，∠MHF＝∠BCD＝90°，
∴△MFH≌△BDC（SAS），
∴∠AMF＝∠CBD，
又∵∠AMF＝∠BFG，
∴∠CBD＝∠BFG，
∴BG＝FG；
方法二：如图，取BD中点H，连接EH、CH，
∵E是AB中点，H是BD中点，
∴EHAD，EH∥AD，
∵AD＝2CF，
∴EH＝CF，
∵AD∥BC，
∴EH∥CF，
∴四边形EHCF是平行四边形，
∴EF∥CH，
∴∠HCB＝∠GFB，
∵∠BCD＝90°，H是BD中点，
∴CHBD＝BH，
∴∠HCB＝∠HBC，
∴∠GFB＝∠HBC，
∴BG＝FG；
（3）如图，过F作FM⊥AD于点M，取BD中点H，连接AF，则四边形CDMF是矩形，
∴CF＝DM，
∵AD＝2CF，
∴AM＝DM＝CF，
设CF＝a，则AM＝DM＝CF＝a，AD＝CD＝2a＝MF，
∴AFa，
∵AG＝FG，BG＝FG，
∴AG＝BG，
∵E是AB中点，
∴FE垂直平分AB，
∴BF＝AFa，
∵H是BD中点，
∴EH是△ABD中位线，
∴EHAD＝a，EH∥AD∥BC，
∴△EGH∽△FGB，
∴．
10．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝∠BCD＝∠DCF＝90°，∠ADB＝∠BDC＝45°，
∵DE＝CF，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠HDG＝∠CDF+∠BDC＝∠CDF+45°，
∠DGH＝∠DAE+∠ADB＝∠CDF+45°，
∴∠HDG＝∠DGH，
∴DH＝GH；
（2）证明：如图，
作HW⊥DF，交DC的延长线于W，设CF和WH交于点O，
由（1）知，
△ADE≌△DCF，GH＝DH，
∴∠AED＝∠F，
∵∠WHF＝∠OCW＝90°，∠FOH＝∠COW，
∴∠W＝∠F，
∵∠HEW＝∠AED，
∴∠W＝∠HEW，
∴HW＝EH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AB＝AD，
∴△ABG∽△EDG，
∴tan∠AED，
∵tanW，
∴，
∴AG EH＝EG GH；
（3）解：由（1）知，
△ADE≌△DCF，DH＝GH，
∴DF＝AE，∠CDF＝∠DAE，
由（2）知，
AG EH＝EG GH，
∴n，
∴，
∴，
设GE＝na，DH＝GH＝（n+1）a，AG＝nb，AH＝（n+1）b，
∴EH＝GH﹣GE＝a，AE＝AG+GE＝na+nb，
∵AH﹣AG＝GH＝（n+1）b﹣bn＝b，
∴b＝（n+1）a，
∴．武汉2016——2025年中考数学真题分类汇编——
第24题二次函数压轴题
1．（2016 武汉）抛物线y＝ax2+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P为抛物线上一点，且位于x轴下方．
（1）如图1，若P（1，﹣3），B（4，0）．
①求该抛物线的解析式；武资网
②若D是抛物线上一点，满足∠DPO＝∠POB，求点D的坐标；
（2）如图2，已知直线PA，PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
2．（2017 武汉）已知点A（﹣1，1）、B（4，6）在抛物线y＝ax2+bx上，
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；
（3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM＝2PM，直接写出t的值．
3．（2018 武汉）抛物线L：y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x＝1交于点B．
（1）直接写出抛物线L的解析式；
（2）如图1，过定点的直线y＝kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；
（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．
4．（2019 武汉）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4和C2：y＝x2
（1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？
（2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线yx+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ．
①若AP＝AQ，求点P的横坐标；
②若PA＝PQ，直接写出点P的横坐标．
（3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．
5．（2020 武汉）将抛物线C：y＝（x﹣2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，再将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2．
（1）直接写出抛物线C1，C2的解析式；
（2）如图（1），点A在抛物线C1（对称轴l右侧）上，点B在对称轴l上，△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标；
（3）如图（2），直线y＝kx（k≠0，k为常数）与抛物线C2交于E，F两点，M为线段EF的中点；直线yx与抛物线C2交于G，H两点，N为线段GH的中点．求证：直线MN经过一个定点．
6．（2021 武汉）抛物线y＝x2﹣1交x轴于A，B两点（A在B的左边）．
（1） ACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上；
①如图（1），若点C的坐标是（0，3），点E的横坐标是，直接写出点A，D的坐标．
②如图（2），若点D在抛物线上，且 ACDE的面积是12，求点E的坐标．
（2）如图（3），F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线只有一个公共点，求证：FG+FH的值是定值．
7．（2022 武汉）抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P．
（1）直接写出A，B两点的坐标；
（2）如图（1），当OP＝OA时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D两点到AC的距离相等，求出所有满足条件的点D的横坐标；
（3）如图（2），直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为m．求的值（用含m的式子表示）．
8．（2023 武汉）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）如图（1），作直线x＝t（0＜t＜4），分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D，E，F三点，连接CF，若△BDE与△CEF相似，求t的值；
（3）如图（2），将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y＝2x与抛物线交于O，G两点，过OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C2于M，N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．
9．（2024 武汉）抛物线yx2+2x交x轴于A，B两点（A在B的右边），交y轴于点C．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）如图（1），连接AC，BC，过第三象限的抛物线上的点P作直线PQ∥AC，交y轴于点Q．若BC平分线段PQ，求点P的坐标；
（3）如图（2），点D与原点O关于点C对称，过原点的直线EF交抛物线于E，F两点（点E在x轴下方），线段DE交抛物线于另一点G，连接FG．若∠EGF＝90°，求直线DE的解析式．
10．（2025 武汉）抛物线y3与直线y＝x交于A，B两点（A在B的左边）．
（1）求A，B两点的坐标．
（2）如图1，若P是直线AB下方抛物线上的点，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，过点P作y轴的平行线交线段AB于点N，满足PM＝PN，求点P的横坐标．
（3）如图2，经过原点O的直线CD交抛物线于C，D两点（点C在第二象限），连接AC，BD分别交x轴于E，F两点．若S△DOF，求直线CD的解析式．
1．【解答】解：（1）①将P（1，﹣3），B（4，0）代入y＝ax2+c，得
，解得， 抛物线的解析式为yx2；
②如图1，
当点D在OP左侧时，由∠DPO＝∠POB，得DP∥OB，D与P关于y轴对称，P（1，﹣3），
得D（﹣1，﹣3）；
当点D在OP右侧时，延长PD交x轴于点G．
作PH⊥OB于点H，则OH＝1，PH＝3．
∵∠DPO＝∠POB，∴PG＝OG．
设OG＝x，则PG＝x，HG＝x﹣1．
在Rt△PGH中，由x2＝（x﹣1）2+32，得x＝5．∴点G（5，0）．∴直线PG的解析式为yx
解方程组得，．∵P（1，﹣3）， ∴D（，）．
∴点D的坐标为（﹣1，﹣3）或（，）．
（2）点P运动时，是定值，定值为2，理由如下：
作PQ⊥AB于Q点，设P（m，am2+c），A（﹣t，0），B（t，0），则at2+c＝0，c＝﹣at2．
∵PQ∥OF，∴，∴OFamt+at2．
同理OE＝﹣amt+at2．∴OE+OF＝2at2＝﹣2c＝2OC． ∴2．
2．【解答】解：（1）将点A（﹣1，1）、B（4，6）代入y＝ax2+bx中，
，解得：， ∴抛物线的解析式为yx2x．
（2）证明：（方法一）设直线AF的解析式为y＝kx+m，
将点A（﹣1，1）代入y＝kx+m中，即﹣k+m＝1，∴k＝m﹣1，
∴直线AF的解析式为y＝（m﹣1）x+m．
联立直线AF和抛物线解析式成方程组，
，解得：，， ∴点G的坐标为（2m，2m2﹣m）．∵GH⊥x轴，
∴点H的坐标为（2m，0）．∵抛物线的解析式为yx2xx（x﹣1）， ∴点E的坐标为（1，0）．
设直线AE的解析式为y＝k1x+b1，
将A（﹣1，1）、E（1，0）代入y＝k1x+b1中，
，解得：， ∴直线AE的解析式为yx．
设直线FH的解析式为y＝k2x+b2，
将F（0，m）、H（2m，0）代入y＝k2x+b2中，
，解得：，∴直线FH的解析式为yx+m． ∴FH∥AE．
（方法二）设直线AF的解析式为y＝kx+m，
将点A（﹣1，1）代入y＝kx+m中，即﹣k+m＝1， ∴k＝m﹣1，
∴直线AF的解析式为y＝（m﹣1）x+m．
联立直线AF和抛物线解析式成方程组，
，解得：，， ∴点G的坐标为（2m，2m2﹣m）．
∵GH⊥x轴，∴点H的坐标为（2m，0）． ∵抛物线的解析式为yx2xx（x﹣1），
∴点E的坐标为（1，0）．
过点A作AA′⊥x轴，垂足为点A′，如图1所示．
∵点A（﹣1，1），∴A′（﹣1，0），∴AE＝2，AA′＝1． ∵∠AA′E＝∠FOH，，
∴△AA′E∽△FOH， ∴∠AEA′＝∠FHO，
∴FH∥AE．
（3）设直线AB的解析式为y＝k0x+b0，
将A（﹣1，1）、B（4，6）代入y＝k0x+b0中，
，解得：， ∴直线AB的解析式为y＝x+2．
当运动时间为t秒时，点P的坐标为（t﹣2，t），点Q的坐标为（t，0）．
当点M在线段PQ上时，过点P作PP′⊥x轴于点P′，过点M作MM′⊥x轴于点M′，则△PQP′∽△MQM′，如图2所示．
∵QM＝2PM，∴，∴QM′，MM′t，∴点M的坐标为（t，t）．
又∵点M在抛物线yx2x上，∴t（t）2（t），解得：t；
当点M在线段QP的延长线上时，
同理可得出点M的坐标为（t﹣4，2t），
∵点M在抛物线yx2x上，∴2t（t﹣4）2（t﹣4）， 解得：t．
综上所述：当运动时间为秒、秒、秒或秒时，QM＝2PM．
3．【解答】解：（1）由题意知，解得：b＝2、c＝1， ∴抛物线L的解析式为y＝﹣x2+2x+1；
（2）如图1，
∵y＝kx﹣k+4＝k（x﹣1）+4，∴当x＝1时，y＝4，即该直线所过定点G坐标为（1，4），
∵y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，∴点B（1，2），则BG＝2，
∵S△BMN＝1，即S△BNG﹣S△BMGBG （xN﹣1）BG （xM﹣1）＝1，∴xN﹣xM＝1，
由得x2+（k﹣2）x﹣k+3＝0， 解得：x，
则xN、xM，
由xN﹣xM＝1得1，∴k＝±3，∵k＜0， ∴k＝﹣3；
（3）如图2，
设抛物线L1的解析式为y＝﹣x2+2x+1+m，
∴C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），
设P（0，t），
①当△PCD∽△FOP时，，
∴，
∴t2﹣（1+m）t+2＝0①；
②当△PCD∽△POF时，，
∴，
∴t（m+1）②；
（Ⅰ）当方程①有两个相等实数根时，
Δ＝（1+m）2﹣8＝0，
解得：m＝21（负值舍去），
此时方程①有两个相等实数根t1＝t2，
方程②有一个实数根t，
∴m＝21，
此时点P的坐标为（0，）和（0，）；
（Ⅱ）当方程①有两个不相等的实数根时，
把②代入①，得：（m+1）2（m+1）2+2＝0，
解得：m＝2（负值舍去），
此时，方程①有两个不相等的实数根t1＝1、t2＝2，
方程②有一个实数根t＝1，
∴m＝2，此时点P的坐标为（0，1）和（0，2）；
综上，当m＝21时，点P的坐标为（0，）和（0，）；
当m＝2时，点P的坐标为（0，1）和（0，2）．
4．【解答】解：（1）y＝（x﹣1）2﹣4向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到y＝x2；
（2）如图1，①设抛物线C1与y轴交于C点，直线AB与y轴交于D点
∵C1：y＝（x﹣1）2﹣4，
∴A（3，0），C（0，﹣3），
∵直线yx+b经过点A，
∴b＝4，
∴D（0，4），
∵AP＝AQ，PQ∥y轴，
∴P、Q两点关于x轴对称，
设D（0，4）关于x轴的对称点为D'，则D'（0，﹣4），
∴直线AD'的解析式为yx﹣4，
由，得x1＝3，x2，
∴xQ，
∴xP＝xQ，
∴P点横坐标为；
②设P（m，4m），Q（m，m2﹣2m﹣3），
∵PA＝PQ，
∴（m2m﹣7）2＝（m﹣3）2+（4m）2，
∴|m2m﹣7||m﹣3|，
∵﹣1＜m＜3，
∴﹣m2m+7（3﹣m），
∴m或m＝3（舍），
∴P点横坐标为；
（3）设经过M与E的直线解析式为y＝k（x﹣m）+m2，
∴，
则有x2﹣kx+km﹣m2＝0，
Δ＝k2﹣4km+4m2＝（k﹣2m）2＝0，
∴k＝2m，
∴直线ME的解析式为y＝2mx﹣m2，
同理：直线NE的解析式为y＝2nx﹣n2，
∴E（，mn），
∴[（n2﹣mn）+（m2﹣mn）]×（m﹣n）（n2﹣mn）×（n）（m2﹣mn）×（m）＝2，
∴（m﹣n）34，
∴（m﹣n）3＝8，
∴m﹣n＝2．
解法二：求MNE的面积比较复杂，可以用分割法求，过点E作x轴的垂线，交MN与点F，求出F的坐标，可得结论．
5．【解答】解：（1）∵抛物线C：y＝（x﹣2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，
∴C1：y＝（x﹣2）2﹣6，
∵将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2．
∴C2：y＝（x﹣2+2）2﹣6，即y＝x2﹣6；
（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥AC于点D，如图1，
设A（a，（a﹣2）2﹣6），则BD＝a﹣2，AC＝|（a﹣2）2﹣6|，
∵∠BAO＝∠ACO＝90°，
∴∠BAD+∠OAC＝∠OAC+∠AOC＝90°，
∴∠BAD＝∠AOC，
∵AB＝OA，∠ADB＝∠OCA，
∴△ABD≌△OAC（AAS），
∴BD＝AC，
∴a﹣2＝|（a﹣2）2﹣6|，
解得，a＝4，或a＝﹣1（舍），或a＝0（舍），或a＝5，
∴A（4，﹣2）或（5，3）；
（3）把y＝kx代入y＝x2﹣6中得，x2﹣kx﹣6＝0，
∴xE+xF＝k，
∴M（），
把yx代入y＝x2﹣6中得，x2x﹣6＝0，
∴，
∴N（，），
设MN的解析式为y＝mx+n（m≠0），则
，解得，，
∴直线MN的解析式为：，
当x＝0时，y＝2，
∴直线MN：经过定点（0，2），
即直线MN经过一个定点．
6．【解答】解：（1）对于y＝x2﹣1，令y＝x2﹣1＝0，解得x＝±1，令x＝0，则y＝﹣1，
故点A、B的坐标分别为（﹣1，0）、（1，0），顶点坐标为（0，﹣1），
①当x时，y＝x2﹣1，
由点A、C的坐标知，点A向右平移1个单位向上平移3个单位得到点C，
∵四边形ACDE为平行四边形，
故点E向右平移1个单位向上平移3个单位得到点D，
则1，3，
故点D的坐标为（，）；
②设点C（0，n），点E的坐标为（m，m2﹣1），
同理可得，点D的坐标为（m+1，m2﹣1+n），
将点D的坐标代入抛物线表达式得：m2﹣1+n＝（m+1）2﹣1，
解得n＝2m+1，
故点C的坐标为（0，2m+1）；
连接CE，过点E作y轴的平行线交x轴于点M，交过点C与x轴的平行线与点N，
则S△ACE＝S梯形CNMA﹣S△AEM﹣S△CEN（m+1+m）（2m+1）（m+1）（m2﹣1）m[2m+1﹣（m2﹣1）]S ACDE＝6，
解得m＝﹣5（舍去）或2，
故点E的坐标为（2，3）；
（2）∵F是原点O关于抛物线顶点的对称点，故点F的坐标为（0，﹣2），
由点B、F的坐标得，直线BF的表达式为y＝2x﹣2①，
同理可得，直线AF的表达式为y＝﹣2x﹣2②，
设直线l的表达式为y＝tx+n，
联立y＝tx+n和y＝x2﹣1并整理得：x2﹣tx﹣n﹣1＝0，
∵直线l与抛物线只有一个公共点，
故Δ＝（﹣t）2﹣4（﹣n﹣1）＝0，解得nt2﹣1，
故直线l的表达式为y＝txt2﹣1③，
联立①③并解得xH，
同理可得，xG，
∵射线FA、FB关于y轴对称，则∠AFO＝∠BFO，设∠AFO＝∠BFO＝α，
则sin∠AFO＝sin∠BFOsinα，
则FG+FH（xH﹣xG）（）为常数．
7．【解答】解：（1）令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝3或﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）∵OP＝OA＝1，
∴P（0，1），
∴直线AC的解析式为y＝x+1．
①若点D在AC的下方时，
过点B作AC的平行线与抛物线交点即为D1．
∵B（3，0），BD1∥AC，
∴直线BD1的解析式为y＝x﹣3，
由，解得或，
∴D1（0，﹣3），
∴D1的横坐标为0．
②若点D在AC的上方时，点D1关于点P的对称点G（0，5），
过点G作AC的平行线l交抛物线于点D2，D3，D2，D3符合条件．
直线l的解析式为y＝x+5，
由，可得x2﹣3x﹣8＝0，
解得x或，
∴D2，D3的横坐标为，，
综上所述，满足条件的点D的横坐标为0，，．
（3）设E点的横坐标为n，过点P的直线的解析式为y＝kx+b，
由，可得x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0，
设x1，x2是方程x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0的两根，则x1x2＝﹣3﹣b，
∴xA xC＝xB xE＝﹣3﹣b
∵xA＝﹣1，
∴xC＝3+b，
∴m＝3+b，
∵xB＝3，
∴xE＝﹣1，
∴n＝﹣1，
设直线CE的解析式为y＝px+q，
同法可得mn＝﹣3﹣q
∴q＝﹣mn﹣3，
∴q＝﹣（3+b）（﹣1）﹣3b2+2b，
∴OFb2+2b，
∴b+1（m﹣3）+1m．
8．【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣2x﹣8＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝4，
当x＝0时，y＝﹣8，
∴A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣8）．
（2）∵F是直线x＝t与抛物线 C1的交点，
∴F（t，t2﹣2t﹣8）．
①如图，若△BE1D1∽△CE1F1时．
则∠BCF1＝∠CBO，
∴CF1∥OB．
∵C（0，﹣8），
∴t2﹣2t﹣8＝﹣8．解得：t＝0（舍去）或t＝2．
②如图，若△BE2D2∽△F2E2C时．
过 F2 作F2T⊥y轴于点T．
∵∠BCF2＝∠BD2E2＝90°，
∴∠CBO+∠BCO＝90°，∠F2CT+∠BCO＝90°，
∴∠F2CT＝∠OBC，
又∵∠CTF2＝∠BOC，
∴△BCO∽△CF2T，
∴，
∵B（4，0），C（0，﹣8），
∴OB＝4，OC＝8．
∵F2T＝t，CT＝﹣8﹣（t2﹣2t﹣8）＝2t﹣t2，
∴，
∴2t2﹣3t＝0，
解得：t＝0（舍去）或 ，
综上，符合题意的t的值为2或；
（3）点P在一条定直线上．
由题意知抛物线C2：y＝x2，
∵直线OG的解析式为y＝2x，
∴G（2，4）．
∵H是OG的中点，
∴H（1，2）．
设 M（m，m2），N（n，n2），直线MN的解析式为y＝k1x+b1．
则，
解得：，
∴直线MN的解析式为y＝（m+n）x﹣mn．
∵直线MN经过点H（1，2），
∴mn＝m+n﹣2．
同理，直线GN的解析式为y＝（n+2）x﹣2n；直线MO的解析式为y＝mx．
联立，得，
∵直线OM与NG相交于点P，
∴n﹣m+2≠0．
解得：，
∵mn＝m+n﹣2，
∴P（，）．
设点P在直线y＝kx+b上，则，
整理得，2m+2n﹣4＝2kn+bn﹣bm+2b＝﹣bm+（2k+b）n+2b，
比较系数，得，
∴k＝2，b＝﹣2．
∴当k＝2，b＝﹣2时，无论m，n为何值时，等式恒成立．
∴点P在定直线y＝2x﹣2上．
9．【解答】解：（1）在yx2+2x中，令x＝0得y，
∴C（0，），
令y＝0得0x2+2x，
解得x＝﹣5或x＝1，
∴A（1，0），B（﹣5，0）；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
把A（1，0），C（0，）代入得：
，
解得：，
∴直线AC的解析式为yx，
由PQ∥AC，设直线PQ的解析式为yx+b'，
设P（t，t2+2t），
∴t2+2tt+b'，
∴b't2t，
∴直线PQ的解析式为yxt2t，
令x＝0得yt2t，
∴Q（0，t2t）；
∵BC平分线段PQ，
∴PQ的中点（，t2t）在直线BC上，
由B（﹣5，0），C（0，）得直线BC解析式为yx，
∴t2t，
解得t＝﹣2或t＝0（舍去），
∴P（﹣2，）；
（3）过点G作TS∥x轴，过点E，F分别作TS的垂线，垂足分别为T，S，如图：
∴∠T＝∠S＝∠EGF＝90°，
∴∠EGT＝90°﹣∠FGS＝∠GFS，
∴△ETG∽△GSF，
∴，
∴ET FS＝GS TG，
∵点D与原点O关于 对称，
∴D（0，﹣5），
设直线EF的解析式为y1＝k1x，直线ED的解析式为y2＝k2x﹣5，
联立得：k1xx2+2x，
∴x2+（2﹣k1）x0，
联立 得：k2x﹣5x2+2x，
∴x2+（2﹣k2）x0，
设xE＝e，xF＝f，xG＝g，
∴ef＝﹣5，eg＝5，e+g＝2k2﹣4，
∴f＝﹣g，ETe2+2e（g2+2g）（e+g+4）（e﹣g），FSf2+2f（g2+2g）（f+g+4）（f﹣g），
∵ET FS＝GS TG，
∴（e+g+4）（e﹣g） （f+g+4）（f﹣g）＝（g﹣e）（f﹣g），
∴（e+g+4）（e﹣g） （﹣g+g+4）（﹣g﹣g）＝（g﹣e）（﹣g﹣g），
∴e+g＝﹣5，
∴2k2﹣4＝﹣5，
解得k2，
∴直线DE解析式为yx﹣5．
10．【解答】解：（1）当x3时，解得x＝﹣2或x＝6，
∴A（﹣2，﹣2），B（6，6）；
（2）设P（t，3），则M（﹣t，3），N（t，t），
∴PM＝|2t|，PN＝t3，
∵PM＝PN，
∴|2t|＝t3，
解得t＝2或t＝6﹣4，
∴P点横坐标为2或6﹣4；
（3）设C（c，3），D（d，3），
直线CD的解析式为y＝（cd）xcd﹣3，
∵CD经过原点，
∴cd﹣3＝0，
解得cd＝﹣12，
同理直线AC的解析式为y＝（c）xc﹣3，直线BD的解析式为y＝（d）xd﹣3，
∴F（，0），E（，0），
∵cd＝﹣12，
∴F（，0），
∴OF＝OE，
∵S△DOF，
∴OF×|yd|OE×|yc|，
∴，
解得：c＝﹣4，d＝3，
∴C（﹣4，1），
∴直线CD的解析式为yx．
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