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广东省佛山市2025-2026学年九年级模拟考试数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，小王某日收到微信红包20元，在超市扫码支付15元，此时收支情况是（）
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
2.数学实验课上，同学们通过下列方式从一个几何体中得到平面图形，其中得到的平面图形是矩形的是（）
A. B.
C. D.
3.2025年是“十四五”规划收官之年，也是中国式现代化进程中具有重要意义的一年，国内生产总值首次跃上140万亿元新台阶，比上年增长5.0％．将140万亿用科学记数法表示应为（）
A. 140×1012 B. 14×1013 C. 1.4×1013 D. 1.4×1014
4.下列运算正确的是（）
A. B. C. D.
5.如图中所示的是由三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，则这种正多边形是（）
A. 三角形 B. 正方形 C. 五边形 D. 六边形
6.如图，直尺的一边经过直角三角板的顶点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7.不透明的袋子中装有2个红球、1个绿球，这3个球除颜色外无其他差别，随机一次摸出两个球，颜色相同的概率是（　　）
A. B. C. D.
8.如图，网格中的每个小正方形的边长都为1，一条圆弧经过，，三点，则这条圆弧所在圆的半径长为（ ）
A. B. C. 2 D.
9.在力（单位： N）的作用下，若物体在力的方向上发生位移（单位： m），则力所做的功（单位： J）满足．当为定值时，与之间的函数关系如图所示．在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于，则力（ ）
A. 大于 B. 小于 C. 大于 D. 小于
10.如图，在M村庄附近有一个生态保护区，现要在公路l边修建一个垃圾站P，使它到M，N两村庄的路程之和最短，且从M村庄到公路不能穿过生态保护区，则下列四种修建方案中，符合条件的是
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算： ．
12.若，则 ．
13.如图，，是以为直径的圆上两点，已知，则的度数为 ．
14.已知x的一个平方根是-8，则x的立方根是 .
15.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，则第5层小球的个数为 ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
如图，直线是一次函数的图象，求出函数的表达式．
17.(本小题8分)
低空经济是国家“十五五”规划重点布局的战略性新兴产业．佛山某外卖平台启用无人机开展配送测试，市民小王在公园露营时，通过手机在该平台下单．一架无人机接收指令后从商家起飞执行配送任务，原本传统方式配送需行驶的5 km行程，经无人机配送缩短至3 km，配送时间也较传统方式节省12 min．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的3倍，求无人机的配送速度（单位：km/h）．
18.(本小题8分)
如图，在和中，，，，在同一条直线上，与相交于点．下面给出四个关系：①；②；③；④．
(1) 任选三个关系作为已知条件，余下一个作为结论，构成一个真命题（用序号表示），并证明．
(2) 在（1）条件下，当的面积是面积的一半时，若，求的长度．
19.(本小题8分)
某新能源汽车协会为研究用户对车型的偏好，针对三款同价位车型（A、B、C）开展调研．协会从200名潜在用户中随机抽取10名（编号为①～⑩），让其分别对三款车型的驾驶体验和外观设计进行评分（采用1～10分制，评分均为整数，分值越高表示满意度越高）．现收集数据如表1，并根据收集到的数据，绘制统计图表（表2和图1）．
表1：三款车型驾驶体验评分表
序号车型 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
车型A 7 7 5 7 7 8 7 8 9 7
车型B 8 6 9 8 8 7 10 7 8 9
车型C 8 5 6 7 9 6 7 7 7 6
表2：三款车型驾驶体验、外观设计评分统计表
评分车型 驾驶体验 外观设计
平均分 中位数 平均分 中位数
车型A 7.2 7 7.9 7
车型B 7.3 7
车型C 6.8 7 8
分析并应用数据：
(1) 根据表1，表2中 ， ，估计200人中最满意车型A驾驶体验的人数；
(2) 已知表2中车型C的外观设计评分中位数为8，且评分唯一众数为8，请结合这些统计量，推测车型C的外观设计平均分的最大值，说明理由并补全图1；
(3) 调研发现，车型C的外观设计平均分实际为8.4分，部分用户对驾驶体验和外观设计的重视程度比例为，依据三款车型的综合平均得分，为这部分用户推荐一款车型．
20.(本小题10分)
已知抛物线（，为常数）．
(1) 若抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过点，求该抛物线的表达式；
(2) 若点、在抛物线上，当时，求的取值范围．
21.(本小题10分)
初三（1）班成立项目式学习小组，开展停车位设计研究．
【查阅资料】依据《中华人民共和国行业标准——汽车库建筑设计规范》，日常停车位有平行式、垂直式和斜停式三种，车位大小及通道最小宽度要求如下表（单位：m）：
停车方式 车位长度 车位宽度 通道最小宽度
平行式 6 2.4 3.8
斜停式 30° 5.3 2.4 3.8
45° 5.3 2.4 3.8
60° 5.3 2.4 4.2
垂直式 5.3 2.4 5.5
【整理数据】关于斜停式车位，通过计算得到如下近似数据（单位：m）：

30° 4.8 4.8
45° 5.5 3.4
60° 5.8 2.8
【设计方案】如图，现教学楼与围墙之间有一块长，宽的广场，计划改造为停车场．请帮忙设计停车位，使得车位数量最大，并说明理由．（参考数据：，）
22.(本小题11分)
已知在平面直角坐标系中，，点是直线上的动点，以为边作正方形，点，，，按顺时针方向排序．
(1) 如图，若点在轴上，求点的坐标；
(2) 当点不与原点重合时，
①连接，猜想与的数量关系，直接写出结论；
②过点作轴，垂足为，是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
23.(本小题12分)
【问题情境】
如图1，小王将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点落在折痕上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，．
(1) 【实践操作】尺规作图：当点与点重合时，在图2中作出折痕；
(2) 【问题解决】如图3，若，，点，，在同一条直线上，求的长；
(3) 【深入探究】
在【问题情境】的折叠操作中，设，．从下列两个问题中任选一个进行解决：
①连接，当，满足什么数量关系时，与始终平行？请说明理由；
②若点是边的中点，求的最大值．
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】A
11.【答案】2
12.【答案】0
13.【答案】/51度
14.【答案】4
15.【答案】15
16.【答案】解：由图象可知，直线经过点，，
把点，代入得：，
解得，
所以一次函数的解析式为．

17.【答案】解：，
设传统方式配送速度为x km/h，无人机的配送速度为3x km/h，
由题意得
-=，
解得x=20，
经检验,x=20是所列方程的根且符合题意，
则无人机的配送速度为3x=320=60km/h.
答:无人机的配送速度为60 km/h
18.【答案】【小题1】
解：①③④ ②．（答案不唯一）
已知：在和中，B，E，C，F在同一直线上，，，．
求证：．
证明过程如下：
∵，，，，
∴．
∵，，，
∴，
∴；
【小题2】
解：由(1)知，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的面积是面积的一半，
∴，
∴，即．
由(1)可知，
又∵，
∴．
∴．
∴．

19.【答案】【小题1】
8
8
【小题2】
解：已知车型C外观设计评分中位数为8分，则将得分从小到大排序后，第五个和第六个都是8，前四个数不超过8，后四个数不小于8；
为使平均分变大，则前后各四个数都取大；
考虑唯一众数为8分，则当前四个数都取8、后四个数都取10时，平均分最大；
所以最大，
补全图如图所示：
；
【小题3】
解：车型A得分：分，
车型B得分：分，
车型C得分：分，
因为，所以推荐车型 B．

20.【答案】【小题1】
解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过点，
∴，
解得，
∴该抛物线的表达式；
【小题2】
解：∵点、在抛物线上，
∴，，
∴，
∴当时，，即，
∴或，
解得或．

21.【答案】解：方案一：平行式
沿教学楼设计平行式停车位，最小宽度为：，
可设计个：
沿教学楼和围墙分别设计平行式停车位，中间通道，
最小宽度为：，
所以停车位数量为个；
方案二：垂直式
沿教学楼设计垂直式停车位，最小宽度为：，不满足条件；
方案三：斜停式，且，
沿教学楼设计斜停式停车位，最小宽度为：，
设此时车位数为个，
则，
解得，，取，故可设计停车位数量为8个；
方案四：斜停式，且，
沿教学楼设计斜停式停车位，最小宽度为：，不满足条件；
方案五：斜停式，且，
沿教学楼设计斜停式停车位，最小宽度为：，不满足条件；
综上所述，建议采用平行式车位设计，可设计车位14个．

22.【答案】【小题1】
解：四边形是正方形，
，
点在轴上，
轴，
点，
，
点在上，
当时，，
，
，
点坐标为，
轴，
点的坐标为；
【小题2】
解：①猜想：或．
当点在第一象限时，
证明：四边形是正方形，
，
，
由（1）知，
在中，，
，
，
；
当点在第三象限时，，
如图，在中，，
，
中，由（1）知，即，
，
，即
②是定值，．理由如下：
过点B作于点，过点作轴于点，过点A作交于点G，
当点B在第三象限时，
，
四边形是矩形，
，，
在正方形中，，，
，即，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
在中，在直线上，
，，
，
，
；
当点B在第一象限时，如图
，
四边形是矩形，
，
同理可证，四边形是矩形，
，,
点在直线上，
,
，
，即，
，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理，
综上，为定值，．

23.【答案】【小题1】
解：如图，线段为所作；
【小题2】
解：过点C作于点G，如图，
在矩形中，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
在矩形中，，
∴，
由折叠知，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小题3】
解：选①，记与的交点为点，如图，
若与平行，则，
由知，，
∵，，
∴，
∴，又，
∴为等边三角形，故，
∴在中，，即，
∴要使与平行，只需，
故当，且B与不重合时，与始终平行；
选②，过点E作，垂足为点H，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
由折叠得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为．

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