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河南洛阳市洛宁县2025-2026学年第二学期期中学情调研九年级数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.四个有理数-1,0,-3,4,其中最小的有理数是( )
A. -1 B. 0 C. -3 D. 4
2.笔、墨、纸、砚是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具，如图是寓意“规矩方圆”的一方砚台，它的俯视图是（）
A. B. C. D.
3.“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗苔若苔花的花粉直径约为，用科学记数法表示，则为 ( )
A. B. C. D.
4.如图，已知1=，AOC=，点B、O、D在同一条直线上，则2的度数为（ ）
A. B. C. D.
5.下列运算正确的是（）
A. B. C. D.
6.已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A. 且 B. C. 且 D. 且
7.如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（）

A. B. 2 C. D.
8.如图，线段，连接，交于点C，若，，，则线段的长为（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 6
9.小亮和小新准备在篮球和足球两种课程里各随机选择一门进行选修，则两人恰好选择同一门选修课程的概率是（）
A. 1 B. C. D.
10.综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）是液体的密度ρ（g/cm3）的反比例函数，其图象如图所示（ρ＞0）．下列说法正确的是（　　）
A. 当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm
B. 当液体密度ρ＝2g/cm3时，浸在液体中的高度h＝40cm
C. 当浸在液体中的高度0＜h≤10cm时，该液体的密度ρ≥2g/cm3
D. 当液体的密度0＜ρ≤1g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.二次根式有意义，则的取值范围是
12.不等式组的整数解有 个．
13.如图，在中，对角线交于点O，，点E、F分别为的中点，连接，若，则 ．
14.如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=8.点Q为射线DC上的一个动点，将△ADQ沿AQ翻折，点D的对应点D'恰好落在直线BQ上，则DQ的长为 .
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
15.
(1) 计算：；
(2) 化简：．
四、解答题：本题共8小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题3分)
如图，在中，，点O在上，与相切，切点分别为点D，E．若，则阴影部分的面积为 ．
17.(本小题8分)
计算能力是数学的基本能力，为了进一步了解学生的计算情况，初2020级数学老师们对某次考试中第19题计算题的得分情况进行了调查，现分别从A、B两班随机各抽取10名学生的成绩如下：
A班10名学生的成绩绘成了条形统计图，如下图，
B班10名学生的成绩（单位：分）分别为：9，8，9，10，9，7，9，8，10，8
经过老师对所抽取学生成绩的整理与分析，得到了如下表数据：
A班 B班
平均数 8.3 a
中位数 b 9
众数 8或10 c
极差 4 3
方差 1.81 0.81
根据以上信息，解答下列问题．
(1) 补全条形统计图；
(2) 直接写出表中a，b，c的值：a＝_ _，b＝_ _，c＝_ _；
(3) 根据以上数据，你认为A、B两个班哪个班计算题掌握得更好？请说明理由（写出其中两条即可）：_ _．
(4) 若9分及9分以上为优秀，若A班共55人，则A班计算题优秀的大约有多少人？
18.(本小题8分)
如图，已知一次函数与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．
(1) 求一次函数和反比例函数的解析式；
(2) 点P为x轴上一动点，且的值最小．
①画出点P的位置，并直接写出点P的坐标；
②求出此时的面积．
19.(本小题8分)
如图，是矩形的对角线．
(1) 请用无刻度的直尺和圆规作点关于的对称点．（保留作图痕迹，不写作法）
(2) 连接，交于点．求证：．
20.(本小题9分)
数学活动课上，某课题学习小组把“测量运江河床的宽度”作为一项课题活动，并设计了以下测量方案：
课题 测量运江河床的宽度
测量工具 无人机、测角仪
方案 水平飞行的无人机在A处测得河流左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行12米至B处，测得河流右岸D处的俯角为30°
无人机距地面的铅直高度 米
测量示意图
说明 点M、C、D在同一条直线上，tanα=2
参考数据
请你根据上表中的测量数据，求运江河床的宽度CD.（精确到1米）
21.(本小题10分)
某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
(1) 求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元
(2) 学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少 最少花费是多少元
22.(本小题11分)
图1是某种发石车，这是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点米时达到最大高度米．将发石车置于山坡底部处，山坡上有一点，点与点的水平距离为米，与地面的竖直距离为米，是高度为米的防御墙．若以点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1) 求石块运动轨迹所在抛物线的解析式．
(2) 试通过计算说明石块能否飞越防御墙．
(3) 在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面的最大距离．
23.(本小题13分)
背景：在数学综合实践活动中，小明利用等积法得到了关于三角形角平分线的一个结论，如图1，已知是的角平分线，可证．小红经过思考，认为可以构造相似三角形来证明．小红的证明思路是：如图2，过点B作，交的延长线于点E，从而证得．

(1) 证明：请参照小红提供的思路，利用图2证明
(2) 运用：如图3，是的角平分线，M是边的中点，过M点作，交的延长线于点N，交于点G．若，，求线段的长．
(3) 拓展：如图4，是的外接圆，是直径，点D是半圆的中点，连接交于点E．若，，则线段的长为 ．
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】x≤3
12.【答案】3
13.【答案】4
14.【答案】4或16
15.【答案】【小题1】
解：
．
【小题2】
解：
．

16.【答案】π
17.【答案】【小题1】
成绩为10分的人数＝10﹣1﹣2﹣3﹣1＝3，
补全条形统计图如图所示，
【小题2】
8.7
8
9
【小题3】
B班学生计算题掌握得更好，理由：
B班的平均分高于A班，B班的中位数高于A班；
【小题4】
55×＝22人，
答：A班计算题优秀的大约有22人．

18.【答案】【小题1】
解：一次函数与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，
，，
，，
一次函数为，反比例函数为；
【小题2】
解：①令，则，
，
点关于轴的对称点，连接如图，点即为所求，
设直线为，
代入点得，，
解得，
直线为，
令，则，
解得，
；
②，
．

19.【答案】【小题1】
解：如图所示，点E即为所求．（作法不唯一）
【小题2】
证明：由对称的性质，可知垂直平分线段，
∴．
∴．
∵四边形为矩形，
∴．
∴．
∴．
∴．

20.【答案】运江河床的宽度CD约为63米．
21.【答案】【小题1】
解：设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元．
根据题意，得
解这个方程，得
经检验，是原方程的根．
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元．
【小题2】
设购买A型编程机器人模型台，购买B型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，
由题意得：，解得．
∴
即，
∵，
∴随的增大而增大．
∴当时，取得最小值11200，此时；
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．

22.【答案】【小题1】
解：设抛物线的解析式为，
将点代入到中得，
解得，
抛物线的解析式为．
【小题2】
解：在中，当时，，
∵，，
石块不能飞越防御墙．
【小题3】
解：由题意可知点的坐标为，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
直线的解析式为．
如图，作直线轴，交抛物线于点，交直线于点，
设点，则点的坐标为，
，
当时，有最大值，最大值为，
在竖直方向上，石块飞行时与坡面的最大距离是米．

23.【答案】【小题1】
证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小题2】
解：是的角平分线，
．
为的中点，
．
，
，
，，．
平分，．
，
，
，
；
【小题3】

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