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2025-2026学年北京师大附属实验中学九年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.熔喷布，俗称口罩的“心脏”，是口罩中间的过滤层，能过滤细菌，阻止病菌传播．经测量，医用外科口罩的熔喷布厚度约为0.000156米，将0.000156用科学记数法表示应为（　　）
A. 0.156×10-3 B. 1.56×10-3 C. 1.56×10-4 D. 15.6×10-4
2.在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
3.如图是某个几何体的平面展开图，该几何体是（　　）
A.
B.
C.
D.
4.实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，如果ab=c，那么实数c在数轴上的对应点的位置可能是（　　）
A. B.
C. D.
5.如图，在同一平面内，将边长相等的正方形、正五边形的一边重合，则∠1大小为（　　）
A. 18° B. 20° C. 30° D. 48°
6.如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC=50°，则∠BDC的度数为（　　）
A. 90°
B. 100°
C. 130°
D. 140°
7.如图，在△ABC中，根据尺规作图的痕迹，给出下列四个结论：①AF=BF；②∠BAF=∠CBE；③BE⊥AC；④S△ABE：S△CBE=AB：BC.其中正确的有（　　）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
8.如图，AB为半圆O的直径，C，D是直径AB上两点，且AC=BD，过点D作AB的垂线交半圆于点E，CD=2DE.给出下面四个结论：①；②∠ECD=30°；③；④.所有正确结论的序号是（　　）
A. ①③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为 ．
10.分解因式：3x2-6xy+3y2=______．
11.分式方程的解是 .
12.如图，反比例函数经过矩形OCAB的边AB中点D，则矩形OCAB的面积为 .
13.能说明命题“若a2＜b2，则a＜b”是假命题的一组实数a,b的值为a= ，b= .
14.小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时这组成绩的平均数是20m,方差是m2.若第10次投掷标枪的落点恰好在20m线上，且投掷结束后这组成绩的方差是m2，则 （填“＞”、“=”或“＜”）.
15.如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是______．
16.某社区有四处便民设施需要升级，升级每个设施需要一定数量的工人连续数天完成（每名工人每天的工作量相同）.升级每个设施所需的工人数（单位：人）和天数（单位：天）如下：
设施 A B C D
工人数 5 3 2 6
天数 3 5 6 2
社区计划聘用m人，用n天的时间完成所有升级工作.
（1）若m=8，则n的最小值是 ；
（2）假设每名工人每天的工资为a元，且一旦聘用，在完成所有设施升级工作前，每天无论是否工作都要支付工资，不得中途辞退，则支付给工人的工资总额最少为 元（用含a的式子表示）.
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
计算：.
18.(本小题5分)
解不等式组．
19.(本小题5分)
已知：a2+3a-2=0，求代数的值．
20.(本小题5分)
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF=BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AB=13，AC=10，求AE的长．
21.(本小题5分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx-2k（k≠0）的图象与函数的图象的一个交点为A（a,1）.
（1）求一次函数的表达式；
（2）当x＞4时，对于x的每一个值，函数y=nx（n≠0）的值大于函数的值，且小于一次函数y=kx-2k的值，直接写出n的取值范围.
22.(本小题5分)
某公园计划用一块宽为13米的矩形空地（ADEH）规划50个停车位，为了尽量少占用土地面积，其中一侧停车位设置为垂直式（图中矩形ABQ1P1等），另一侧设置为倾斜式（图中 CRN1M1等），两侧停车区总长度相等，并在中间设置宽为4米的行车区以保证车辆正常出入，规划方案如图所示在不考虑停车位间隔线和车道间隔线的宽度情况下，求这块空地的长度.（图中DE）应该至少设计为多少米（精确到1m）.（）
23.(本小题6分)
某校举办中华传统文化知识大赛，为了解答题情况，进行了抽样调查，从八、九两个年级各随机抽取20名学生，获取了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析.下面给出了部分信息.a.八、九两个年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：
60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：
b.八年级学生的成绩在80≤x＜90这一组的是：
80，82，84，85，86，87，87，87，87，87，89
c.八、九年级成绩的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
八年级 84.2 m 87
九年级 84.6 87.5 88
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）从八年级抽取的成绩在87≤x＜90的学生中随机挑选2名同学，则这2名学生的成绩都为87分的概率是______；
（3）该校八年级有240名学生，九年级有260名学生参加了比赛.估计八、九两个年级成绩在90≤x≤100的人数一共为______；
24.(本小题6分)
如图，AB为⊙O的弦，C为AB的中点，D为OC延长线上一点，DA与⊙O相切，切点为A，连接BO并延长，交⊙O于点E，交直线DA于点F.
（1）求证：∠B=∠D；
（2）若，求⊙O的半径.
25.(本小题6分)
如图，在矩形ABCD中，AB=3cm,BC=6cm,点P是BC边上一动点，连接AP，过点P作AP的垂线与AC，CD分别相交于点E，F.
小明对线段BP，CF的长度之间的关系进行了探究.
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）对于点P在BC边上的不同位置，画图、测量，得到了线段BP，CF的长度的几组值，如下表：
位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 位置10
BP/cm 0 0.5 1.0 1.5 2.5 3.5 4.0 4.5 5.5 6.0
CF/cm 0 0.9 1.7 2.3 2.9 2.9 m 2.3 0.9 0
在BP，CF的长度这两个量中，确定______的长度是自变量，______的长度是这个自变量的函数；
（2）①确定表格中m的值约为______（结果精确到0.1）；
②在平面直角坐标系xOy中，画出（1）中确定的函数的图象；
③结合函数图象，解决问题：当点P与点B，C不重合，且BP=CF时，BP=______cm（结果精确到0.1）.
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2-2mx+1.
（1）直接写出顶点的坐标（用含m的代数式）；
（2）已知P（x1，y1），Q（x2，y2）为抛物线上两点，对于x1=m+1，x2=2-m,都有y1＜1＜y2.记抛物线在P，Q之间的部分为图形G，若G上存在两个点A，B（A在B左侧），点T（t,s）沿图形G从A运动到B的过程中，s随t的增大而减小，求出m的取值范围.
27.(本小题7分)
如图，在Rt△ABC中与Rt△ABH中，∠ACB=90°，∠AHB=90°，设∠CAD=α，点E为线段AB的中点，连接CE交AD于K.若点F为线段AE上一点，将线段EF绕点E顺时针旋转2α得到线段EP，点P恰好在线段AH上，连接CF，与线段AH交于点G，连接EG.
（1）①依题意补全图形；
②求证：∠APE=∠EKH；
（2）写出线段GE、CD、CB的数量关系并证明.
28.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，对于图形Q和∠P，给出如下定义：若图形Q上的所有的点都在∠P的内部或∠P的边上，称∠P的最小值为点P对图形Q的可视度α，此时点P为图形Q的α可视点.
（1）已知点N（2，0）.在点中，对线段ON的可视度α=60°的点是______；
（2）已知：点A（-2，2），B（-2，-2），C（2，-2），D（2，2）.直线y=x+b上存在点F，使得点F对四边形ABCD的可视度α=45°，求b的取值范围；
（3）已知点T（t,0），圆T的半径为1，若直线上存在长为1的线段MN，使得MN上所有点都是圆T的可视点P，且点P对于圆T的可视度α满足60°≤α≤90°，直接写出t的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】x≥3
10.【答案】3（x-y）2
11.【答案】．
12.【答案】3．
13.【答案】1
-2（答案不唯一）．

14.【答案】＞
15.【答案】2
16.【答案】9
66a

17.【答案】-2．
18.【答案】解：，
解①得：x＜5，
解②得：x≥-4．
故不等式组的解集是：-4≤x＜5．
19.【答案】解：原式=
=
=
=；
∵a2+3a-2=0，
∴a2+3a=2，
∴原式=．
20.【答案】(1)证明:四边形ABCD是菱形,
AD//BC且AD=BC,
BE=CF,
BE+EC=CF+EC
即BC=EF,
AD=EF,
AD//EF,
四边形AEFD是平行四边形,
AEBC,
AEF=,
四边形AEFD是矩形;
(2)四边形ABCD是菱形,
ACBD,AO=CO,BC=AB=13,
AEBC,
=BC×AE,
在RtABO中,由勾股定理可得:
BO===12，
BD=2BO=24,
=ACBD=BCAE
1024=13AE,
AE=.
21.【答案】解：（1）∵点A（a,1）在函数的图象上，
∴a=3．
∴A（3，1）．
又∵一次函数y=kx-2k（k≠0）的图象过点A（3，1），
∴3k-2k=1．
∴k=1．
∴一次函数为y=x-2．
（2）≤n≤．
22.【答案】86m．
23.【答案】m=86.5 126
24.【答案】如图，DA与⊙O相切，连接OA，AE，则OA=OB，
∴∠OAD=90°，∠B=∠OAB，
∴∠OAB+∠DAC=90°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰三角形，
∵C为AB的中点，
∴OC⊥AB，
∴∠ACD=90°，
∴∠D+∠CAD=90°，
∴∠OAB+∠DAC=90°=∠D+∠CAD，
∴∠B=∠D=∠OAB 7
25.【答案】BP;CF 2.7;3
26.【答案】（m，1-m2） m＞2
27.【答案】①补全的图形，如图1即为所求；
②设∠HAE=β，则∠APE=180°-∠HAE-∠AEP，
∴∠APE=180-2α-β，
在Rt△ABC中，E为AB中点，
∴EC=EA，
∴∠ECA=∠EAC=α+β，
在△ACK中，∠AKC=180°-∠CAD-∠ACK=180°-α-（α+β）=180°-2α-β，
∴∠APE=∠AKC，
∵∠AKC=∠EKP，
∴∠APE=∠EKP CB-CD=2EG；证明：由（1）知，∠APE=∠EKP，
∴EK=EP，
∵将线段EF绕点E顺时针旋转2α得到线段EP，
∴EP=EF，
∴EK=EF，
在△AEK和△CEF中，
，
∴△AEK≌△CEF（SAS），
∴∠FCE=∠FAG，
∴∠ACE-∠FCE=∠EAC-∠FAG，
∴∠GCA=∠GAC=α，
∴CG=AG，
∵∠GCD=∠ACD-∠GCA=90°-α，∠GDC=90°-∠CAD=90°-α，
∴∠GCD=∠GDC，
∴CG=GD，
∴AG=DG，
∴G为AD中点，
∵E为AB中点，
∴
28.【答案】M1，M2 或
第1页，共1页

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