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2025-2026学年重庆市忠县拔山中学教共体九年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.-8的绝对值是（　　）
A. 8 B. C. - D. -8
2.下列数学符号中，是中心对称图形的是（　　）
A. ⊥ B. ∠ C. △ D.
3.下列说法正确的是（　　）
A. 掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上一面的点数是6是必然事件
B. “射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件
C. “明天降雨的概率为”，表示明天有半天都在降雨
D. 了解某型号电视机的使用寿命，适合用全面调查的方式
4.点A（-1，2）是反比例函数的图象上一点，则m的值为（　　）
A. -1 B. -2 C. -3 D. 1
5.如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上，则∠α的度数是（　　）
A. 120°
B. 130°
C. 140°
D. 150°
6.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠CDB=35°，则∠CBA的度数为（　　）
A. 55°
B. 50°
C. 45°
D. 40°
7.3×的值在两个连续整数m,n之间，则m+n的值为（　　）
A. 9 B. 11 C. 13 D. 15
8.用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，第1个图形有6颗棋子，第2个图形有9颗棋子，第3个图形有12颗棋子，第4个图形有15颗棋子，…，以此类推，第8个图形的棋子颗数为（　　）
A. 24 B. 27 C. 30 D. 32
9.如图，在正方形ABCD中，点E为正方形内部一点，连接AE、BE，将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF，点F落在BE的延长线上，BE的延长线交AD于点M，连接CF交BD于点N，若AM：AB=1：3，则的值为（　　）
A.
B.
C.
D.
10.已知，其中n为自然数，an，an-1， ，a1，a0为整数，且an≠0，下列说法：
①若a0=a1=a2= =an=1，则f5（2）=63；
②若|a0|＜|a1|＜ ＜|an|，且|a0|+|a1|+ +|an|+n≤9，则满足条件的二次三项式fn（x）有16个；
③若a2=1，且f2（x）=0与f2（2x）=0有相同的非零实数根，则.
其中正确的有（　　）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.一个暗箱中装有a个除颜色外其他完全相同的球，其中紫色的球有2个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到紫色球的频率稳定在0.2，那么可以估算a的值是 .
12.若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为 ．
13.两个相似三角形的面积之比为16：1，则它们对应边的比是 .
14.若实数x,y同时满足y=|x|+5，x+|y|=7，则（x-y）2的值为 .
15.如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，且EF⊥BE，EF=BE，△DEF的外接圆⊙O恰好切BC于点G，BF交⊙O于点H，连结DH．若AB=8，则DH=______．
16.如果一个四位自然数各数位上的数字均不为0，且满足，那么称这个四位数为“100分数”.例如：四位数1846，∵16+84=100，∴1846是“100分数”，则最小的“100分数”为 ；对于“100分数”M=，记，当P（M）能被13整除时，Q（M）的最小值为 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解不等式组：，并求出它的所有整数解的和.
18.(本小题8分)
在学习了特殊平行四边形的相关知识以后，某数学兴趣小组进行了更深入的探究与思考.
（1）如图，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，连接AC.用尺规过点A作BC的垂线，交BC于点E，延长DC交直线AE于点F，连接BF（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）已知：四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，AF⊥BC.试探究四边形ABFC的形状，并按下列思路完成填空.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB=BC.
∴∠BAF=①______.
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形.
∴AB=AC.
又∵AE⊥BC，
∴②______.（三线合一）
∵∠AEB=∠CEF，
∴△ABE≌△FCE（AAS）.
∴③______.
∵AB∥CD，
∴四边形ABFC是平行四边形.
∵④______，
∴平行四边形ABFC是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.
19.(本小题10分)
某中学对七、八年级学生进行“中学生心理健康”的培训，为了解培训效果，随机从七、八年级各抽取了20名学生参与“中学生心理健康”知识竞赛，将七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分为四组：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80，D.60≤x＜70，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息：
七年级20名学生的竞赛成绩是：68，69，77，84，85，86，86，86，89，90，90，94，94，94，94，97，98，99，100，100.
八年级20名学生的竞赛成绩在B组的数据是：81，86，88，88，89.
七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表
年级 平均数 众数 中位数
七年级 89 a 90
八年级 89 92 b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中的a=______，b=______，m=______；
（2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由；
（3）若该校七年级有800人，八年级有700人，估计该校七、八年级学生参加此次竞赛成绩达到优秀的学生人数.
20.(本小题10分)
化简求值：.其中.
21.(本小题10分)
“宏状元”火锅店配制火锅底料，根据需求会不定期采购A，B两种食材（单位：件），而两种食材的单价会根据市场变化波动.
（1）第一周，该火锅店花费7650元一次性采购A，B两种食材共100件，此时A，B两种食材的单价分别是60元、90元，火锅店采购了A，B两种食材各多少件？
（2）第二周，由于采购价格发生了变化，火锅店分别花费2000元、4200元一次性购买A，B两种食材，已知采购B种食材的数量是A种食材数量的1.5倍，每件A种食材的单价比每件B种食材的单价少20元，火锅店第二周采购A种食材多少件？
22.(本小题10分)
如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，点E为线段BD的中点，动点P以每秒1个单位长度从点B出发，沿着B→C→D运动.动点Q同时以每秒个单位长度从点D出发，沿D→B方向运动，当点P到达点D时，点P、Q同时停止运动.设点P、Q的运动时间均为x秒（0＜x＜7），记△BEP的面积为y1，.
（1）请直接写出y1，y2关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出当y1＞y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）.
23.(本小题10分)
某区“全民健身跑”活动在人民公园举办，活动组办方开辟出了两条经典路线.如图是两条跑步路线的平面示意图，已知终点C在起点A的东北方向.路线①从起点A出发向北偏东30°的方向先跑过一段山路到达补给点B，再沿正东方向跑一段步道即可到达终点C；路线②从起点A出发沿北偏东75°的方向跑过一段山路到达补给点D，再沿正北方向的步道跑1800米即可到达终点C.（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
（1）求AC的长度；（结果精确到1米）
（2）我校某班有两位同学小幸和小福参加了跑步活动，小幸选择路线①，小福选择路线②，他们分别到达B，D休息一段时间后，若两人同时分别从B，D出发，小幸的平均速度为90米/分钟，小福的平均速度是小幸的，请通过计算说明经过多少分钟后他们相距900米？（结果精确到0.1）
24.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A（-1，0），B两点，与y轴交于点C，tan∠CBO=.
（1）求抛物线的表达式；
（2）P是射线BC上方抛物线上的一个动点，PE∥y轴交BC于点E，PD⊥BC于点D，M是直线BC上的一个动点，连接PM，当△PDE周长取得最大值时，求点P的坐标及PM+BM的最小值；
（3）将抛物线y=ax2+bx+2沿射线BC方向平移个单位长度得到新抛物线y′，Q为新抛物线y′对称轴右侧上的一点，当∠BAQ=2∠CBO时，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标.
25.(本小题10分)
在△ABC中，D是△ABC所在平面内一点，连接AD.
（1）如图1，若点D在边BC上，AD平分∠BAC，∠ADC：∠BAD=3：2，∠ACB=60°，求∠B的度数；
（2）如图2，若点D在边BC上，AD=AC，∠ACB=60°，将线段AB绕点A顺时针旋转120°得到AE，连接DE交边AC于点F.求证：AD=2CF+BD；
（3）如图3，若∠BAC=90°，AB=AC=3，M是BC的中点，N是AB的中点，将△ACD沿AD所在直线翻折到△ARD，连接RN，在RN上取一Q，使得RQ=2QN，连接BQ，MQ，当取最小值时，请直接写出△RMD的面积.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】10．
12.【答案】4
13.【答案】4：1．
14.【答案】25．
15.【答案】7
16.【答案】1819
．

17.【答案】-1≤x≤4，9．
18.【答案】∠AFC BE=CE AB=CF AF⊥BC．
19.【答案】94;87;25 七年级的成绩更好，理由如下：
两个年级的平均数相同，但是七年级的中位数、众数比八年级高，故七年级的成绩更好 685人
20.【答案】2a-1，11．
21.【答案】火锅店采购了45件A种食材，55件B种食材 火锅店第二周采购A种食材40件
22.【答案】， y1，y2的图象，如图4即为所求；
当0＜x≤3时，y1随x的增大而增大，当3＜x＜7时，y1随x的增大而减小 当y1＞y2时x的取值范围为2.8＜x＜4.8
23.【答案】AC的长度约为3477米 经过7.6分钟后他们相距900米
24.【答案】 P（3，4），的最小值为4 或
25.【答案】24° ∵ AD=AC，∠ACB=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC=AD=CD，∠CAD=60°，
由旋转得AE=AB，∠BAE=120°，
∴∠EAC+∠BAD=∠BAE-∠CAD=60°，
又∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=60°=∠B+∠BAD，
∴∠EAC=∠B，
如图，过点E作EG∥BC交AC于点G，
则∠1=∠C=60°，
∴∠2=180°-∠1=120°，
又∵∠3=180°-∠ADC=120°，
∴∠3=∠2，
在△AEG和△BAD中，
，
∴△AEG≌△BAD（ASA），
∴AG=BD，EG=AD，
∵AC=AD=CD，
∴EG=CD，
在△FEG和△FDC中，
，
∴△FEG≌△FDC（AAS），
∴，
∵BD=BC-CD=BC-AD，AG=AC-CG=AD-2CF，
∴AD-2CF=BC-AD，
整理得AD=2CF+BD
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