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2025-2026学年湖南省长沙市浏阳市九年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若x的相反数是2026，则x的值是（　　）
A. -2026 B. C. D. ±2026
2.在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式上，DF-5C液体洲际战略核导弹正式亮相，如图所示为DF-5C洲际导弹的部分图片及其示意图，下列说法正确的是（　　）
A. 从左面看与从上面看到的平面图形相同 B. 从前面看与从上面看到的平面图形相同
C. 从前面看与从左面看到的平面图形相同 D. 从三个方向看到的平面图形都不同
3.下列命题中，是真命题的是（　　）
A. 对顶角相等 B. 无理数的相反数是有理数
C. 等腰三角形一定是锐角三角形 D. 三个角对应相等的两个三角形全等
4.一组数据：8，8，6，8，10，若删除一个数据8，则发生变化的统计量是（　　）
A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数
5.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠ABD=50°，则∠C的度数为（　　）
A. 40°
B. 50°
C. 80°
D. 100°
6.以下说法中①一批水果质量一定，按每箱质量相等分装，则装箱数与每箱的质量成反比例关系；②“把弯曲的河道改直，河道长度变短”的依据是“两点确定一条直线”；③若∠A=38°25′，∠B=38.25°，则∠A＞∠B；④代数式2（a+3）的意义是a与3的和的2倍；⑤在木条上只要钉两个钉子，木条就被固定在木板上，这说明“两点之间，线段最短”.完全正确的是（　　）
A. ②③⑤ B. ①③④ C. ②④⑤ D. ①②④
7.折叠电动车是一种超轻便的电动车，其体积小、节能环保、可伸缩折叠、精巧的设计，可快速拆装，制作材料采用镁合金等特殊轻材质制成，分量极轻.图1为折叠电动车实物图，图2为示意图，AB、CD为支架，O1、O2为车轮，点O2、B、E共线.已知，CD∥BE，∠O1AC=135°，∠ADC=50°，则∠ABO2度数是（　　）
A. 85° B. 92° C. 95° D. 105°
8.如图，P是AB上任意一点，∠ABC=∠ABD，从下列条件中选一个条件，不能证明△APC≌△APD的是（　　）
A. BC=BD
B. AC=AD
C. ∠ACB=∠ADB
D. ∠CAB=∠DAB
9.如图，在△ABC中，AB=AC，点A在反比例函数的图象上，点B，C在x轴上，，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于2，则k的值为（　　）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
10.我们规定：[a,b,c]为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a,b,c为实数）的“概念数”，如：y=-x2+x+4的“概念数”为[-1，1，4]，若“概念数”是[m,2m+4，2m+4]，且开口向上的二次函数图象与x轴只有一个交点，则m的值为（　　）
A. -2 B. C. D. 2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.式子有意义的x的取值范围是 ，
12.2026年春节联欢晚会上，机器人表演的武术的节目引发人们对人工智能的广泛关注，据统计，2026年北京人工智能核心产业规模达3458.7亿元.数据“3458.7”用科学记数法表示为 .
13.一块“太极八卦”图样的地砖可以抽象为如图所示的中心重合的正八边形及圆形，已知“太极图”黑色部分与白色部分关于正八边形的中心成中心对称，向这块“太极八卦”地砖内扔一颗小石子，恰好落在黑色部分的概率为 .
14.分解因式：a2b-49b=______．
15.所学即所用，所用即所得，周末邓紫晨同学利用所学测算如图①所示的厨房锅盖直径，图②是其截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为A，B，锅盖直径为40cm,锅盖最低点C到AB的距离是8cm,则AB= cm.
16.如图，已知∠ABC=60°，以点B为圆心，2cm长为半径画弧，交BA于点D；以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F；以点D为圆心，BE长为半径画弧，交DA于点G；以点G为圆心，EF长为半径画弧，交前面的弧于点H；过点H画射线DH；分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点M；画射线BM，交DH于点N；以点N为圆心，BN长为半径画弧，交BC于点P，则的长为 cm.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：.
18.(本小题6分)
先化简，再求值：，其中x=-5.
19.(本小题6分)
为了测出如图所示的电视塔高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为45°，再向电视塔方向前进90米，又测得电视塔顶端A的仰角为60°.求这个电视塔的高度AB.（结果保留根号即可）.
20.(本小题8分)
2025年，人工智能正深度融入各行各业，Deepseek等AI模型备受瞩目，相关技术突破与应用场景不断拓展，成为社会各界热议的焦点话题.目前人工智能市场分为A：学习辅助类人工智能，B：娱乐互动类人工智能，C：生活服务类人工智能，D：创意设计类人工智能四大类型.为了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如下统计图（不完整）.
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次共调查了______人，条形统计图中A类所对应的人数为______；
（2）扇形统计图中A类对应圆心角的度数为______；若将这些被调查者按照关注的类型按ABCD进行排序，试求这些学生关注类型的中位数在______类；
（3）若该学校共有学生2000人，请根据本次调查结果，估计全校最关注“生活服务类人工智能（C类）”的学生约有多少人？
21.(本小题8分)
当下新能源汽车产业快速崛起，某电池生产厂引入A，B两种型号的自动化电芯组装设备，提升产能的同时保障了产品一致性.已知2台A型设备和3台B型设备同时工作1小时可完成140个电芯的组装；3台A型设备和2台B型设备同时工作1小时可完成160个电芯的组装.
（1）求每台A，B型设备每小时分别完成多少个电芯的组装.
（2）由于电力负荷限制，该厂同一时间内最多可启动8台设备.若要确保每小时完成220个电芯的组装，则该厂同一时间内至少需要启动多少台A型设备？
22.(本小题9分)
如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，CF=AE，连接AF
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，CF=3，DF=5，求四边形BFDE的面积.
23.(本小题9分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，以B为圆心，适当长度为半径画弧分别交BA，BC于点E，F，再分别以E，F为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点P，连接BP并延长交AC于点D，过点D作DG⊥AB.
（1）若∠A=40°，求∠ABD的度数；
（2）若，CD=3，求AC的长.
24.(本小题10分)
已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，连接AC.
（1）如图1，求证：∠BAC=∠DAC；
（2）如图2，连接BC，延长DC交AB的延长线于点E，∠AEC的平分线分别交AC，BC于点F，G，求证：CF=CG；
（3）如图2，在（2）的条件下，若G是EF的中点，且，CD=4，求线段CF的长.
25.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点和点A，顶点为点M.
（1）求抛物线的关系式及点M的坐标；
（2）点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当△EAB的面积等于时，求E点的坐标；
（3）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y=mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，求证：∠ADM-∠ACM=45°.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】D
11.【答案】x≠1
12.【答案】3.4587×103
13.【答案】
14.【答案】b（a+7）（a-7）
15.【答案】32．
16.【答案】
17.【答案】4．
18.【答案】．
19.【答案】这个电视塔的高度AB为（136+45）米．
20.【答案】500;150 108°;C 680人
21.【答案】每台A型设备每小时完成40个电芯的组装，每台B型设备每小时完成20个电芯的组装 3
22.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥EB，AB=CD，
又∵CF=AE，
∴DF=BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形．
（2）解：∵AF平分∠DAB，DC∥AB，
∴∠DAF=∠FAB，∠DFA=∠FAB，
∴∠DAF=∠DFA，
∵DF=5，
∴AD=FD=5，
∵AE=CF=3，DE⊥AB，
∴，
∴矩形BFDE的面积是：DF DE=5×4=20．
23.【答案】（1）∠ABD=25° （2）8
24.【答案】证明：如图，连接OC，

∵DC切O于点C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCD=∠ADC=90°，
∴OC∥AD，
∴∠ACO=∠DAC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠BAC，
∴∠BAC=∠DAC 证明：如图，连接OC，

由（1）知：∠OCE=∠OCD=90°，∠CAO=∠ACO，
∴∠OCB+∠BCE=90°，
∵AB是O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠OCE，
∴∠BCE=∠ACO，
∴∠CAO=∠BCE，
∵EF是∠AEC的平分线，
∴∠CEF=∠AEF，
∴∠CFG=∠CAO+∠AEF，∠CGF=∠BCE+∠CEF，
∴∠CFG=∠CGF，
∴CF=CG=

25.【答案】解：（1）对于y=-x+3，令y=-x+3=0，解得x=6；令x=0，则y=3，
故点A、B的坐标分别为（6，0）、（0，3），
∵抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，故c=0，
将点A的坐标代入抛物线表达式得：0=×36+6b，解得b=-2，
故抛物线的表达式为y=x2-2x；
y=x2-2x=（x-3）2-3，
则抛物线的对称轴为x=3，点M的坐标为（3，-3）；
（2）如图1，过点E作EH∥y轴交AB于点H，
设点E的坐标为（x，x2-2x），则点H（x，-x+3），
则△EAB的面积=S△EHB+S△EHA=×EH×OA=6×（-x+3-x2+2x）=，
即-x2+x-=0，
解得x=1或，
故点E的坐标为（1，-）或（，-）；
（3）由平移，可得直线CM的表达式为y=mx+n=-x+n，
直线AB向下平移后过点M（3，-3），
得到-3=-+n，解得n=-
得直线CM的表达式为y=-x-，
令y=-x-=0，解得x=-3，
故点C（-3，0）；
过点D作DH⊥CM于点H，过点M作MN⊥x轴于点N，
可得N（3，0），MN=3，CD=5，
则CN=6，CM==3，
在△DCH和△MCN中，
∠DCH=∠MCN，∠CHD=∠CNM=90°，
∴△DCH∽△MCN，
∴，
∴DH=，CH=2，
∴MH=CM-CH=,
在Rt△DHM中，tan∠DMH==1，
故∠DMH=45°，
利用三角形的外角性质，可得∠DMC=∠ADM-∠DCM=45°，
∴∠ADM-∠ACM=45°.
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