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2025-2026学年山东省青岛大学附属中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“扶危救困、乐善好施”是中华民族的优良传统.志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志是中心对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
2.用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设（ ）
A. 至少有一个内角是直角 B. 至少有两个内角是直角
C. 至多有一个内角是直角 D. 至多有两个内角是直角
3.我校为把人工智能知识普及作为智能教育发展的前提和基础，学校成立了“智能机器人社团”，该社团在科技节展览架的上下两层共摆放了40套机器人模型，若将上层的机器人模型拿5套放在下层，则下层的数量大于上层的数量，设上层摆放了x套机器人模型，则可列关于x的不等式为（　　）
A. x-5＜40-x+5 B. x+5＜40-x-5 C. x-5＞40-x+5 D. x+5＞40-x-5
4.下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式．
根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式是（　　）
A. -2x≥10 B. 2x≤10 C. -2x≥-10 D. -2x≤-10
5.一个木匠想用一根40米长的木条来围花圃，他考虑用下列一种花圃设计，以下设计不能用40米长的木条围出来的是（　　）
A. B. C. D.
6.如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使文化广场到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（　　）
A. AC，BC两边高线的交点处
B. AC，BC两边中线的交点处
C. AC，BC两边垂直平分线的交点处
D. ∠A，∠B两内角平分线的交点处
7.如图所示，从甲图案到乙图案的变化过程中，用到的图形变换可以是（　　）
A. 旋转、轴对称
B. 平移、轴对称
C. 旋转、平移
D. 平移
8.如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC，工程人员这种操作方法的依据是（　　）
A. 等边对等角
B. 等角对等边
C. 垂线段最短
D. 等腰三角形“三线合一”
9.如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB、DC可分别绕点A、B转动，当AB、DC转动到∠BAE=60°，∠ABC=45°时，点E在DC的延长线上，若AE=2，则AB=（　　）
A. 2 B. 3 C. D.
10.按照如图程序，输入x的值并计算.规定从“输入一个数x”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作.若输入正整数x,程序操作了两次停止，且所有符合条件的x的最大值为m,最小值为n,则m-n的值为（　　）
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.如图，小林从P点向西直走8米后，向左转，转动的角度为α，再走8米，又转动α度，如此重复，小林共走了72米回到点P，则α度数为 °.
12.如图是一个风车模型示意图，绕中心点O旋转一定角度后可以与自身重合，这个角度最小是 °.
13.某种U盘的存储容量为128G，有一批视频文件，若每个文件占用空间为2.5G，则这个U盘至多能存放 个这样的文件.
14.如图，某市地铁站入口的闸机双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm,双翼的边缘AC=BD=52cm,且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°，那么两机箱之间的距离CD为 cm.
15.如图，一次函数y=ax+b与y=cx+d的图象交于点P.点P的横坐标为1，下列结论：①b＜0；②ac＜0；③当x＜1时，ax+b＞cx+d正确的结论是 （填序号）.
16.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，8），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC.若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为 .
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
如图所示，某地有一个形状为四边形的景区ABCD，BC和DC是两条相交的道路，点C、B分别是公共卫生间和便利店的位置，景区管理员计划在四边形景区ABCD的内部修建一个游客休息中心Q，使点Q到BC的距离和点Q到DC的距离相等，且QC=QB，请你帮景区管理员找出游客休息中心Q的位置.（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
18.(本小题8分)
解下列一元一次不等式（组）：
（1）；
（2）.
19.(本小题5分)
已知关于x的不等式组有解，求a的取值范围.
20.(本小题6分)
关于函数y1=kx+b（k≠0）和函数y2=x,有如下信息：
①当x＞2时，y1＜y2；当x＜2时，y1＞y2；
②当y1＜0时，x＜-4.
根据信息解答下列问题：
（1）①在如图所示的平面直角坐标系xOy中，画出y1，y2的图象.
②求函数y1的表达式.
（2）若y3=-y1，则3条直线y1，y2，y3围成的图形面积为______.
21.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数．
22.(本小题8分)
“最美人间四月天.”在这喧嚣的世界里，鲜花的存在，让人们感受到了春的灿烂与馨香，某个体户购买了玫瑰花，满天星两种鲜花摆摊销售，若购进玫瑰花5束，满天星3束，需要125元；若购进玫瑰花8束，满天星6束，需要224元.
（1）求玫瑰花，满天星两种鲜花的进价分别是每束多少元？
（2）若每束玫瑰花的售价为20元，每束满天星的售价为30元.结合市场需求，该个体户决定购进两种鲜花共80束，计划购买成本不超过1369元，且购进满天星的数量不少于玫瑰花数量的，两种鲜花全部销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案.
23.(本小题10分)
校园安全不容小觑，小明和同学开展了关于学校消防演练效率问题的探究，请根据他们收集的信息，完成任务.
学校消防演练效率问题
背景 其校新建了一栋教学楼，现有24个班级，每个班学生最多45，教师共120，该教学楼共有4道门可进出（1道正门，3道侧门，其中3道侧门的大小相同）
素材1 安全检查中，对这4道门进行了测试：正常情况下，当同时开启一道正门和两道侧门时，1分钟内可以平均通过260人；当同时开启一道正门和一道侧门时3分钟内可以平均通过540人.
素材2 在消防演练中发现，紧急情况下，因人群拥挤，出门的效率将比正常情况下降低20%，安全检查规定：在紧急情况下全大楼的师生应在5分钟内通过这4道门安全撤离.
素材3 为了提高出门效率，学校安排值班教师在门口值班，此时每道门每分钟出门人数可以增加10%
解决问题
任务1 正常情况下，平均一分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少人；
任务2 该大楼建设4道门是否符合安全检查规定？请说明理由.
任务3 学校拟新增a个班级，每个班学生最多45人，教师人数不变.在有老师值班时，为保证紧急情况下全大楼的师生仍能通过这4道门安全撤离，求a的最大值.
24.(本小题12分)
如图1，已知在△ABC和△DEF中，AC=DF，AB=DE，∠B=∠E.在此条件下，再“强化条件”，分别得到下列三个命题.
命题1：若∠B与∠E是直角，则△ABC≌△DEF.
命题2：若∠B与∠E是钝角，则△ABC≌△DEF.
命题3：若∠B与∠E是锐角，则△ABC≌△DEF.
（1）命题1是否为真命题，请说明理由；
（2）请将下面命题2的证明过程补充完整；证明：如图2，作AG⊥BC交CB的延长线于点G，DH⊥EF交FE的延长线于点H，
∵∠ABC=∠DEF，
∴∠ABG=∠DEH.
在△ABG和△DEH中，
…
（3）命题3是假命题，请画出反例并说明理由.
25.(本小题12分)
如图1，△ABC、△DCE均为等边三角形，当B、C、E三点在同一条直线上时，连接BD、AE交于点F，易证：△ACE≌△BCD.聪明的小明将△DCE绕点C旋转的过程中发现了一些不变的结论，让我们一起开启小明的探索之旅!
【探究一】如图2，当B、C、E三点不在同一条直线上时，AE、BD交于点F，小明发现∠BFE的大小没有发生变化，请你帮他求出∠BFE的度数；
【探究二】阅读材料：小明已经证得这样一个正确的结论：两个全等三角形的对应边上的高相等，小明带着这样的思考，继续观察，又有了新的发现：如图3，若连接CF，则CF平分∠BFE，请你继续完成小明的证明；
【探究三】在探究二的基础上，小明又进一步研究发现，线段AF、BF、CF之间还存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系；
【探究四】在△ABC和△DCE中，∠ACB=∠DCE=90°，BC=AC，EC=DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F.灵活应用小明的探究结果，请直接写出图4中线段AF、BF、CF之间存在的数量关系.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】40．
12.【答案】90
13.【答案】51
14.【答案】62
15.【答案】②③
16.【答案】6
17.【答案】见解析．
18.【答案】x＜-3 -4＜x≤2
19.【答案】a的取值范围是a＞2．
20.【答案】①；②y1=x+2 9
21.【答案】（1）证明：连接AE，
∵EF垂直平分AB，
∴AE=BE，
∵BE=AC，
∴AE=AC，
∵D是EC的中点，
∴AD⊥BC；
（2）解：设∠B=x°，
∵AE=BE，
∴∠BAE=∠B=x°，
∴∠AEC=2x°，
∵AE=AC，
∴∠C=∠AEC=2x°，
在三角形ABC中，3x°+75°=180°，
x°=35°，
∴∠B=35°.
22.【答案】玫瑰花的进价是每束13元，满天星的进价是每束20元 销售的最大利润为701元，相应的进货方案是购进玫瑰花33束，满天星47束
23.【答案】（任务1）平均一分钟一道正门可以通过100人，一道侧门可以通过80人；
（任务2）该大楼建设4道门符合安全检查规定，理由如下：
在紧急情况下4道门5分钟可通过（100+80×3）×（1-20%）×5=1360（人）；
全校师生人数最多为45×24+120=1200（人），
∵1360＞1200，
∴该大楼建设4道门符合安全检查规定；
（任务3）a的最大值为6．
24.【答案】命题1是真命题，理由见解析过程 见解析过程 见解析过程
25.【答案】【探究一】120°；
【探究二】如图4，过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为点M，N，
由探究一得：△BCD≌△ACE（SAS），
∴CM=CN，
又∵CM⊥BD，CN⊥AE，
∴CF平分∠BFE；
【探究三】如图在BD上取一点H，使得BH=AF，
，
由探究一得：△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠CAE=∠CBD，
在△BCH和△ACF中，
，
∴△BCH≌△ACF（SAS），
∴CH=CF，
由探究一、二得：∠BFC=60°，
∴△HCF为等边三角形，
∴CF=CH=HF，
∴BF=BH+HF=AF+CF，
即BF=AF+CF；
【探究四】如图5，过点C作CG⊥CF交BF于点G，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠BCE=∠ACD=90°-∠ACE，
又BC=AC，EC=DC，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴∠CBE=∠CAD，
∵GC⊥CF，
∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90°，
又∠ACB=∠BCG+∠ACG=90°，
∴∠BCG=∠ACF，
又BC=AC，
∴△BCG≌△ACF（AAS），
∴BG=AF，CG=CF，
∴△CFG是等腰直角三角形，
∴GF==CF，
∵BF=BG+GF，
∴BF=AF+CF．
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