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江苏泰州市姜堰区2025-2026学年下学期期中七年级数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程是二元一次方程的是（）
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是（）
A. B. C. D.
3.若关于的二元一次方程组的解为，则多项式可能是（ ）
A. B. C. D.
4.下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是
A. 等边三角形 B. 正方形 C. 正六边形 D. 圆
5.下列各式中，不能用平方差公式计算的是
A. B.
C. D.
6.如图，将正方形绕着其对称中心顺时针旋转后得到正方形，正方形与正方形组成一个新的图形，该图形绕其对称中心至少旋转（ ）能与自身重合．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.计算：2a 3a= ．
8.油菜花花粉直径约为0.000025mm，将0.000025用科学记数法表示为 ．
9.把方程写成用含的代数式表示的形式为 ．
10.若，则 ．
11.边长为米（）的正方形花圃，如果边长减少米，那么花圃的面积减少 平方米．（用含的代数式表示）
12.如图，在直角中，，．将沿射线方向平移得到，与交于点，且为中点，若四边形面积为，则平移距离为 ．
13.小明在校园自动售货机上购买了橡皮、圆规两种文具，共用去13元.若橡皮的单价为3元/块，圆规的单价为4元/个，则他购买了 块橡皮.
14.如图，将长方形沿折叠，点落在点处，若，则 ．
15.“杨辉三角”是中国古代数学无比睿智的成就之一，如图，用“杨辉三角”可以解释（为非负整数）计算结果的各项系数规律，如的系数，，恰好对应“杨辉三角”中第行的个数，的系数，，，恰好对应“杨辉三角”中第项的个数……则的计算结果中各项系数的绝对值之和为 ．
16.如图，是正六边形的两条对称轴，将该正六边形先竖直向上平移个单位长度，再水平向左平移个单位长度后，将正六边形分成了①，②，③，④四个区域，①，②，③，④的面积分别记为，若，则 ．
三、计算题：本大题共3小题，共21分。
17.计算：
(1) ；
(2) ．
18.解二元一次方程组：
(1) ；
(2) ．
19.用乘法公式计算：
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共7小题，共51分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题7分)
先化简，再求值：，其中．
21.(本小题7分)
如图，与关于直线对称．直线交于点E、F，若，．
(1) 求的长度；
(2) 连接，与有什么位置关系？并说明理由．
22.(本小题7分)
苹果的单价比梨的单价贵元，买的苹果和梨共花去元．
(1) 小红根据题意，列出方程组，分别指出未知数，表示的意义：表示 ，表示 ；
(2) 小亮“设苹果的单价为元，梨的单价为元”，按照小亮的思路列出方程组，并求出，的值．
23.(本小题7分)
如图，将绕点逆时针方向旋转得到；
(1) 若，求旋转角的度数；
(2) 若，且，求的度数．
24.(本小题7分)
图形的变换：平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图1中的三角形的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上．
(1) ①如图1，在方格纸中画出将向左平移1个单位长度得到的；
②如图1，在方格纸中画出关于对称的；
③如图1，在方格纸中画出绕点按顺时针旋转后的得到的；
(2) 如图2，方格纸中有两个形状、大小都相同的三角形，三角形②可以看成由三角形①经过怎样的图形运动得到？下列结论：
A．1次轴对称 B．1次平移和1次轴对称
C．1次平移和1次旋转 D．1次旋转和1次轴对称
其中，正确的有 ；
25.(本小题8分)
我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”图1是由4个可以完全重合的小长方形和一个正方形组成的“回形”正方形．
(1) 这个图形 ．
A．是轴对称图形，但不是中心对称图形 B．不是轴对称图形，但是中心对称图形
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
(2) ①若记小长方形的长为，宽为，观察图形，写出一个三者之间的等量关系式：_____________；②运用①中的结论，当时，求的值；
(3) 如图2，是一幅未画完的“回形”正方形，仅用无刻度的直尺，画完这幅“回形”正方形．（保留画图痕迹，不写画法）
26.(本小题8分)
小亮和小红学习了课本页的“探索研究”了解到：两个连续奇数的平方差是的倍数．那么两个连续偶数的平方差会不会也是某个整数的倍数？
【猜想】
(1) 小红先列举了几个例子：___________，……
小亮在此基础上进行了猜想：两个连续偶数的平方差是的倍数，请你帮助小亮完成证明．
【证明】：
【延伸】
(2) 任意两个偶数的平方差是不是也是的倍数？请帮助小亮从“数”的角度说明理由；
(3) 小红看到如图所示的正方形景观广场的地砖，最中心的灰色地砖称为第层，它外面的一圈白色地砖称为第层，再外面一圈灰色地砖称为第层，以此类推．她统计了地砖的数量，发现了一些规律；
请结合小红的发现从“形”的角度说明理由．
(4) 【应用】若为正整数，且大于，若可以表示成两个偶数的平方差，求的最小值．
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】6a2
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】15
11.【答案】
12.【答案】3
13.【答案】3
14.【答案】32
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】【小题1】
解：
【小题2】
解：

18.【答案】【小题1】
解：
把①代入②得，
解得，
把代入得，
∴，
∴原方程组的解为；
【小题2】
解：，
得，
解得，
把代入得，
∴，
∴原方程组的解为．

19.【答案】【小题1】
解：
【小题2】
解：

20.【答案】解：
，
当时，
原式
．

21.【答案】【小题1】
解：与关于直线对称，
．
；
【小题2】
解：．
理由如下：连接交直线于点，
与关于直线对称，
∴直线垂直平分线段，直线垂直平分线段，
，
．

22.【答案】【小题1】
苹果的价格
梨的价格
【小题2】
解：设苹果的单价为元，梨的单价为元，
根据题意可得，
解得．

23.【答案】【小题1】
解：绕点逆时针方向旋转得到，
，，
，
，
；
【小题2】
解：绕点逆时针方向旋转得到，
，，
，
，
，
∴．

24.【答案】【小题1】
解：①如图，即为所求，②即为所求，③即为所求；
【小题2】
BD

25.【答案】【小题1】
B
【小题2】
①因为大正方形的面积等于中心小正方形的面积与四个小长方形的面积之和．所以，三者之间的等量关系式为：，
②由①得：
【小题3】
如图：

26.【答案】【小题1】
解：；
证明：设较小的偶数为，则较大的偶数为，为整数，
，
∵为整数，是整数，
∴是的倍数，
即：两个连续偶数的平方差是的倍数；
【小题2】
答：两个任意偶数的平方差是的倍数；
设两个偶数分别为（为整数且），
∴任意两个偶数的平方差为，
为整数，
可以被整除，
∴两个任意偶数的平方差是的倍数；
【小题3】
解：由图可知：∵第圈是边长为的正方形，内部是边长为的正方形，
∴第圈地砖数量为：，为正整数，圈地砖总数为，
∴任意两个偶数的平方差都对应着若干圈地砖的数量，每圈砖的数量都是的倍数；
【小题4】
解：由题意得：，
是任意两个偶数的平方差，
是的倍数，
∴设（为整数），
则，
为正整数且大于，
为正数，且为正整数，
当时，即时，
的最小值为．

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