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广东省梅州市五华县2025-2026学年第二学期七年级数学期中学习能力检测试题
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.成语是中国语言文化的缩影，有着深厚的文化底蕴.下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（　　）
A. 一箭双雕 B. 刻舟求剑 C. 水涨船高 D. 竹篮打水
2.2025年中国迎来了诸多科技成果的爆发，人形机器人便是其中之一．据称，某前沿科技公司研发的人形机器人的交互反应的时间在秒左右，将用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3.如图，天然气主管道的同侧有，两个小区，某市计划从主管道引一条支管道连接，两小区，下面的四个铺设方案中，所引天然气支管道长度最短的是（ ）
A. B.
C. D.
4.下列运算正确的是（）
A. B. C. D.
5.如图，在四边形中，点在边的延长线上，添加下列条件能判断的是（ ）
A. B.
C. D.
6.下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（）
A. B.
C. D.
7.如图1，这是某校的电动伸缩门，图2是该校电动伸缩门抽象出来的几何平面示意图，已知，，平分交于点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8.若一个正方形的边长增加，它的面积就增加，则这个正方形的边长是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，某同学的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（　　）
A. B. C. D.
10.如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②；③；④平分．其中正确结论的是（ ）
A. ①②③ B. ③④ C. ②③ D. ①②③④
二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。
11.若，则的补角等于 ．
12.在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共50个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到白色小球的频率稳定在30%，则可估计口袋中白球个数是 .
13.如图，点A，B，C分别代表王老师的家，图书馆，学校．已知图书馆在王老师家的北偏东方向上，学校在图书馆的北偏西方向上．则的度数是 ．
14.如图，在中，，，点，分别在，上，将沿折叠得到，且满足，则 ．
15.我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．
当代数式的值为8时，则的值为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
16.计算：
四、解答题：本题共7小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
如图，直线，相交于点，上有一点（不在直线上）．
(1) 过点作直线（点在点左侧），使（尺规作图，保留作图痕迹）；
(2) 在（1）的基础上，若，求的度数．
18.(本小题10分)
在某校七年级（1）班组织的“校园歌曲大赛”活动中，小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额，小芳想出了一个用游戏来选人的办法，她将一个转盘（均质的）平均分成6份，如图所示．游戏规定：随意转动转盘，当转盘停止后，若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去．
(1) 求小丽获胜的概率是多少？
(2) 你认为这个游戏公平吗？请说明理由，若不公平，如何使这个游戏变得公平？
19.(本小题10分)
化简求值：，其中．
20.(本小题10分)
如图，在三角形中，点、在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，．
(1) 试说明：；
(2) 若，，求的度数．
21.(本小题10分)
探究不同情境，回答下面问题：
(1) 发现：两个差为8的正整数的积与16的和总是某个正整数的平方．
验证：①一个数为2，另一个数为10，它们的差为8，则的结果是哪个正整数的平方？
②若较小的正整数是，算出这两个正整数的积与16的和，并说明该结果是哪个正整数的平方．
(2) 延伸：两个差为6的正整数的积与的和始终为某个数的平方，若较小的正整数为，求的值．
22.(本小题15分)
综合与探究
若满足，求的值．
解：设，，则，，．
(1) 【类比探究】若满足，求的值；
(2) 【联系拓展】若满足，求的值；
(3) 【解决问题】如图，在长方形中，，，点、是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？
23.(本小题15分)
综合与探究
【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展探究两角之间数量关系的数学活动．如图1，这是凹透镜的剖面图，从位于点发出的灯光照射到凹面镜上反射出的光线都是水平线，即．
(1) 【探索发现】
如图1，之间的数量关系为 ．
(2) 【深入探究】如图2，直线分别为直线上的点，是平面内的任意一点，连接，．都是直线上的点，且，直线，交于点，试猜想与之间的数量关系，并说明理由．
(3) 在（2）的条件下，若，试探究与之间的数量关系．
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】
12.【答案】15
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】解：
．

17.【答案】【小题1】
解：如图，直线即为所求；
【小题2】
解：，
，
．

18.【答案】【小题1】
解：小芳想出了一个用游戏来选人的办法，她将一个转盘（均质的）平均分成份，其中偶数有个，即、、、，
小丽获胜的概率是；
【小题2】
解：这个游戏不公平，理由如下：
由（1）可知，小丽获胜的概率是，
转盘上的奇数有个，即、，
小芳获胜的概率为，
，
小丽获胜的概率小芳获胜的概率，
这个游戏不公平；
修改方案：将转盘上的数字改为、、、、、（答案不唯一），
此时，小丽获胜的概率，小芳获胜的概率，
小丽获胜的概率小芳获胜的概率，游戏公平．

19.【答案】解：
，
∵，，，
∴，，
∴，，
∴当，时，
原式
．

20.【答案】【小题1】
证明：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【小题2】
解：∵，
∴．
∵，
∴ ．
∵，
∴，
∵，
∴．

21.【答案】【小题1】
解：①，
∵，
∴的结果是的平方；
②∵较小的正整数是，两个正整数的差为8，
∴另一个正整数为，
∴这两个正整数的积为，
∴这两个正整数的积与16的和为，
∵，
∴该结果是的平方；
【小题2】
解：∵较小的正整数为，两个正整数的差为6，
∴另一个正整数为，
∴这两个正整数的积为，
∴这两个正整数的积与的和为，
∵，且两个差为6的正整数的积与的和始终为某个数的平方，
∴由完全平方公式可得．

22.【答案】【小题1】
解：，，
；
【小题2】
解：，，
；
【小题3】
解：由题意可知：，，，
，，
长方形的面积，
，
，
，
阴影部分的面积和为平方单位．

23.【答案】【小题1】

【小题2】
与之间的数量关系为，理由如下：
设，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
【小题3】
设，
过点F作，
，
，
∴，，
由（2）知，，
∴，
∴，
∴．

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