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广东茂名市2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题
一、单项选择题：本大题共9小题，共46分。
1.已知复数，，则（ ）
A. B. 1 C. D.
2.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点（ ）
A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度
3.在ABC中, BC=2, AC=1+, AB=, 则A=（ ）
A. B. C. D.
4.已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知复数满足，则的值为（ ）
A. B. C. 1 D.
6.已知，，，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7.函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A. B. 1 C. D.
8.已知是边长为2的等边三角形，AB是圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
9.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（ ）
A.
B. 秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2
C. 当时，若小球有且只有三次到达最高点，则
D. 当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则
二、多项选择题：本大题共2小题，共12分。
10.在下列各组向量中，不可以作为基底的是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
11.已知，是复数，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设点，，P是直线上一点，当时，点的坐标为 .
13.如图，在中，已知弦，则 .
14.设，是关于的方程的两个虚数根，若，，2在复平面内对应的点构成直角三角形，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量与的夹角为，且.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求向量与向量的夹角.
16.(本小题15分)
在中，角的对边分别为，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积；
(3)若，求周长的取值范围.
17.(本小题15分)
已知是虚数，，，且.
(1)求的值和的实部的取值范围；
(2)求证：为纯虚数；
(3)求的最小值.
18.(本小题17分)
图1所示的是一段根据正弦曲线设计安装的过山车轨道，建立平面直角坐标系，如图2，h（单位：）表示在时间t（单位：）时，过山车（看作质点）离地平面的高度，轨道最高点P距离地平面，最低点Q距离地平面，当时，过山车到达最高点P，当时，过山车到达最低点Q，设（，，）.
(1)求A，B，，的值；
(2)求入口处M离地平面的高度；
(3)求一个周期内过山车距离地平面的高度不大于的时长.
19.(本小题17分)
如图，设Ox、Oy是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与Ox、Oy正方向同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.
(1)在仿射坐标系中，若，求；
(2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求；
(3)如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E、F分别为BD、BC中点，求的最大值.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】ACD
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】2
14.【答案】20
15.【答案】解：（1）因为向量与的夹角为，且，
则.
（2）因为向量与的夹角为，且，且.
可得.
（3）设向量与向量的夹角为，
可得，
因为，可得，所以向量与向量的夹角为.

16.【答案】解：（1）∵ 在中，由正弦定理得（为外接圆半径）.
∴，.
代入得.
∵，∴，
两边同时约去，得，即.
又∵，∴.
（2）∵，，，
由余弦定理得，
代入得，
即，整理得.
解得或（边长为正，舍去）.
∴的面积.
（3）由余弦定理得，
即.
由基本不等式得，当且仅当时等号成立，
∴，
∴，即，当且仅当时等号成立.
又∵ 三角形两边之和大于第三边，∴，
∴，
∴的周长.

17.【答案】解：（1）设，且，则.
因，得出为实数，那么，.
.
，因为，所以，.
（2）证:，且(1)得.
因此为纯虚数.
（3）由上题得，，，那么.
设，那么.
其最小值在时取得，即，因为，所以，
因此时取得最小值且最小值为.

18.【答案】解：（1）∵ 高度最大值为，最小值为，
∴，解得，.
∵ 从最高点到最低点的时间间隔为半个周期，
∴，即，∴.
∴.
将，代入得，即，
∴.∵，∴.
（2）由（1）知，
入口处对应，∴.
即入口处离地面高度为.
（3）令，即，化简得.
函数周期，取一个周期，则.
由，得，即，
解得.
∴ 时长为.

19.【答案】解：（1）由题意可知，、的夹角为，
∴
∵，则，
∴
∴.
（2）由，，得：，，
∴
则，
∵与的夹角为，
∴
解得.
（3）依题意设、，且，，
∵为的中点，
∴
∵为中点，同理可得：
∴
由题意可知，，，
∴
在中依据余弦定理得：
代入上式得：
在中，由正弦定理：
设，则，且，
∴，
，其中为锐角，且，
∵，则，
故当时，取最大值，
∴

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