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2025-2026学年天津市南开区崇化中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共10小题，共30分。
1.设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
2.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（　　）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.函数的图象大致是（　　）
A. B.
C. D.
4.已知函数f（x）=sinx+ex-e-x，则不等式f（6-x2）＞f（2x-2）的解集为（　　）
A. （-4，2） B. （1，2）
C. （-4，1） D. （-∞，-4）∪（2，+∞）
5.已知，则a3的值为（　　）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
6.随机变量X的分布列为：
X 1 2 3
P a 2a 3a
则P（X≥2）=（　　）
A. B. C. D.
7.离散型随机变量X的分布列如下：
X 1 2 3 4
P m 0.3 n 0.2
若E（X）=2.7，则下列结论错误的是（　　）
A. m+n=0.5 B. E（3X-1）=7.1 C. D（X）=0.81 D. P（X＞2）=0.5
8.甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1～6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌X次，则P（X=4）=（　　）
A. B. C. D.
9.已知函数，若函数g（x）=f（x）-3mx有4个不同的零点，则m的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
10.已知函数有两个极值点x1，x2，且x1＞x2，则下列说法正确的是（　　）
A. a＞2 B. f（x2）＜0
C. f（x1）+f（x2）=0 D. f（x1）＞f（x2）
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若，则= .（用数字作答）
12.两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02.加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.则任意取出一个零件是合格品的概率为 ；如果任意取出的零件是废品，则它是第二台车床加工的概率为 .
13.已知随机变量X的分布列如表，则σ（2X+7）的值为 .
X 1 2 3 4
P 0.2 0.3 0.4 0.1
14.某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为.在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），智能客服的回答被采纳2次的概率为
15.函数，，若对于任意x1∈（0，1），存在x2∈[1，3]使得f（x1）≥g（x2）成立，则正数k的最小值为 .
三、解答题：本题共5小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
已知函数f（x）=cosx+x2-4，f′（x）是f（x）的导函数.
（1）求的值；
（2）求曲线y=f′（x）在处的切线方程；
（3）求f（x）的最值.
17.(本小题10分)
在的展开式中，前3项的系数依次成等差数列.
（1）求展开式中x-2的系数；
（2）求展开式中所有的有理项.
18.(本小题10分)
甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为p（0＜p＜1），输的概率为1-p,每局比赛的结果是独立的.
（1）当时，求甲最终获胜的概率；
（2）为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案.方案一：最终获胜者得3分，失败者得-2分：方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大.
19.(本小题12分)
已知编号为甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；乙袋内装有两个1号球，一个3号球；丙袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球.
（1）从甲袋中一次性摸出2个小球，记随机变量X为1号球的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；
（2）现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球.求第二次摸到的是3号球的概率.
20.(本小题13分)
已知函数f（x）=lnx+ax2+3，g（x）=kx-k+2，（a、k∈R），
（1）当时，求函数f（x）的极值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）当a=0时，若在x∈（1，+∞）时恒成立，求整数k的最大值.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】A
10.【答案】C
11.【答案】56
12.【答案】

13.【答案】．
14.【答案】．
15.【答案】
16.【答案】π-1 2 x-y-1=0 最小值为-3，无最大值
17.【答案】 x4，，
18.【答案】解：（1）甲在三局两胜制中获胜的两种可能情况：
①前两局连胜，其概率为=，
②前两局一胜一负，第三局胜，其概率为=，
所以甲最终获胜的概率为=；
（2）方案一：甲获胜得3分，失败得-2分，
甲获胜的概率为p2+2p2（1-p）=p2（3-2p），
所以甲失败的概率为1-p2（3-2p），
所以甲获得积分的数学期望为E1=3p2（3-2p）-2[1-p2（3-2p）]=5p2（3-2p）-2，
方案二：甲获胜得1分，失败得0分，
甲获胜的概率为p2+2p2（1-p）=p2（3-2p），
所以甲失败的概率为1-p2（3-2p），
所以甲获得积分的数学期望为E2=p2（3-2p）-0×[1-p2（3-2p）]=p2（3-2p），
则E1-E2=5p2（3-2p）-2-p2（3-2p）=4p2（3-2p）-2=-2（4p3-6p2+1），
令f（p）=4p3-6p2+1，0＜p＜1，
则f′（p）=12p2-12p=12p（p-1）＜0，
所以f（p）在（0，1）上单调递减，
又因为f（）=0，
所以当0＜p＜时，f（p）＞0，即E1＜E2，
当p=时，f（p）=0，即E1=E2，
当时，f（p）＜0，即E1＞E2，
所以当0＜p＜时，选择方案二；当p=时，选择方案一和方案二相同；当时，选择方案一．
19.【答案】分布列见详解；E（X）=1；
．
20.【答案】无极值 当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减 5
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