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山东淄博市临淄区2025-2026学年度第二学期期中考试九年级数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列算式中，运算结果为负数的是( )
A. B. C. D.
2.陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图，是一个木制陀螺（上面是圆柱体，下面是圆锥体），从前面观察这个物体，得到的平面图形是（）
A. B. C. D.
3.石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长．将用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4.下列运算结果正确的是（）
A. B.
C. D.
5.一位卖“运动鞋”的经销商到一所学校对200名学生的鞋号进行了抽样调查，经销商最感兴趣的是这组鞋号的（　　）
A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 方差
6.如图，在中，，，将绕点顺时针旋转度得到，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，扇形纸片的半径为6，沿折叠扇形纸片，点恰好落在弧的处，图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
8.关于反比例函数y=,下列说法中错误的是（）
A. 它的图象分布在一、三象限
B. 当x>-1时,y<-3
C. 当x>0时,y的值随x的增大而减小
D. 若点(a,b)在它的图象上,则(b,a)也在图象上
9.如图，将等边三角形折叠，使得点落在边上的处，折痕为，点分别在和上．若，则为（ ）
A. B. C. D.
10.如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点分别在轴，轴上，E为正方形对角线的交点，反比例函数的图象经过点．若点在函数的图象上，则的值是（ ）
A. B. 3 C. D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式： ．
12.一个函数过点，且随增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式 ．
13.某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动．如图，桥墩刚好在坡度为的斜坡边上，斜坡长为48米，在点处测得桥墩最高点的仰角为，平行于水平线，长为米，则桥墩的高度为_ ___米．
14.设为一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
15.如图，为线段外一点，连接，，，，在边上有一点，满足，连接，则的最小值为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
16.按要求完成下列计算：
(1) 计算：；
(2) 化简：．
四、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
如图，在和中，点，，，在同一条直线上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得．
(1) 你选择的补充条件是 （填序号）；
(2) 根据你选择的补充条件，写出的证明过程．
18.(本小题8分)
对于任意实数，，定义一种新运算：，例如：，根据上面的材料，请完成下列问题：
(1) 若，求；
(2) 解不等式组，并在数轴上表示出它的解集．
19.(本小题9分)
横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题．
模型设计水平调查报告
调查主题 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平
调查目的 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识．
调查对象 某校学生模具设计成绩 调查方式 抽样调查
数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组：，，，．下面给出了部分信息：其中组的成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题：（）本次共抽取了______名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是_____分，在扇形统计图中，组对应圆心角的度数为______；（）请补全频数分布直方图；（）请估计全校名学生的模具设计成绩不低于分的人数；（）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率．
20.(本小题9分)
某学校开设了智能机器人编程的校本课程．学校购买了，两种型号的机器人模型，型机器人模型单价比型机器人模型单价多元，用元购买型机器人模型的数量与用元购买型机器人模型的数量相同．
(1) 求型、型机器人模型的单价分别是多少元？
(2) 学校准备再次购买型和型机器人模型共台，购买型机器人模型的数量不超过型机器人模型数量的倍，问购买型机器人模型至少为多少台？
21.(本小题9分)
【问题背景】
如图所示，某数学兴趣小组在探究图形变换时，将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两个直角三角形为和，，接着，他们将沿着方向（即向右）平移，得到．平移过程中，与原来的有一部分重叠，重叠部分是一个四边形，其中，交于点交于点．
(1) 【观察猜想】在平移过程中，线段与的长度有什么关系？请写出你的猜想，并说明理由；
(2) 【特例研究】在平移过程中，当重叠部分为菱形时，求移动的距离．
(3) 【深入探究】
在平移过程中，四边形的面积如何变化？是否存在最大值？若存在，请求出，若不存在，请说明理由．
22.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点．
(1) 求抛物线的函数表达式和顶点的坐标；
(2) 点为抛物线上第二象限内一点，连接，与直线交于点，求的最大值：
(3) 平移抛物线，使得新抛物线的顶点还在原抛物线
上，直线与新抛物线交于点，连接，，且．
求证：为等腰三角形；
求点的坐标．
23.(本小题12分)
在中，为边上一点，经过，，三点作圆交边于点，将沿进行折叠，点与点恰好重合，连结．
(1) 如图1，求证：；
(2) 如图2，以点为圆心，的长为半径画弧，分别交，于点，，再以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，求证：为圆的切线；
(3) 如图3，连接交于点．
①若，求的长；
②设，记的面积为，的面积为，求的值（用含的代数式表示）．
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】D
11.【答案】
12.【答案】（答案不唯一）
13.【答案】64
14.【答案】2026
15.【答案】
16.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：
．

17.【答案】【小题1】
①或③
【小题2】
解：选①，
证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴；
选③，
证明：在和中，
，
∴．

18.【答案】【小题1】
解：，
∴结合题意可得，
去括号可得：，
移项并合并同类项可得：，
；
【小题2】
解：∵
∴结合题意可得，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
把和在数轴上表示为：
原不等式组的解集为：．

19.【答案】解：（）∵，
∴本次共抽取了名学生的模具设计成绩，
∴组学生人数为人，
∵成绩由低到高排列，中位数为第和第个数据的平均数，
∴中位数分，
组对应圆心角的度数为，
故答案为：，，；
（）补全频数分布直方图如下：
（），
答：估计全校名学生的模具设计成绩不低于分的人数为人；
（）画树状图如下：
由树状图可知，共有种等结果，其中所选两位同学恰为甲和丙的结果有种，
∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为．

20.【答案】【小题1】
解：设型机器人模型的单价为元，则型机器人模型的单价为元，
由题意可得，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
∴，
∴型机器人模型的单价为元，型机器人模型的单价为元．
【小题2】
解：设购买型机器人模型台，则购买B型机器人模型台，
由题意可得，
解得，
又∵为正整数，
∴m的最小值为14，
∴购买型机器人模型至少为台．

21.【答案】【小题1】
解：与的长度相等．理由如下：
四边形是矩形，
，
由平移可得，，
四边形是平行四边形，
【小题2】
解：在矩形中，，
，
，
设，
在Rt中，，
，
，
，
四边形为菱形，
，
，即，
移动的距离；
【小题3】
解：在平移过程中，四边形的面积先变大再变小；存在最大值；
设，则
∴
，
∵，对称轴为直线，
∴时，四边形的面积随着的增大而增大；当时，最大值为3；当时，四边形的面积随着的增大而减小．
综上：四边形的面积先变大再变小；存在最大值；最大值为3．

22.【答案】【小题1】
解：把，代入，
得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
∴，
∴顶点．
【小题2】
解：过点作轴的垂线，与交于点，则，
∴，，
∴，
∴，
抛物线解析式为，
令，得，
令，可得，，
∴，，，
设的解析式为，
∴，
解得，
∴的解析式为，
设，则，
∴，
∴当时，的最大值为．
【小题3】
解：证明：设平移后抛物线的解析式为，
∵点在上，
∴，
将代入中，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴，
∴是等腰三角形．
过点作的垂线，垂足为点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．

23.【答案】【小题1】
解：点在同一个圆上，
，
又，
．
【小题2】
证明：连接，取中点为，连接，
与关于直线对称，点与点恰好重合，
，
为圆的直径，点为圆心，
又，
，
为等腰三角形，
由作图过程可知，平分，则，
，
点分别为的中点，
∴是三角形的中位线，
，
，
为圆的切线．
【小题3】
解：①与关于直线对称，点与点重合，
，
为圆的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
．
②设，
在中，
，
，
，
取的中点为，连接，
由①问知，为的直径，
，
，
，
又
，
，
设的面积为，则，
，
在中，，
，
，
，
，
，
又，
的值为．

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