资源简介

2025年九年级4月学业测评
数学试卷（问卷）
注意：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟．
2．本卷由问卷和答卷两部分组成，其中问卷共4页，答卷共4页，要求在答卷上答题，在问卷上答题无效；
3．答题时不能使用科学计算器．
一、单项选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分）
1. 下列四个实数中，最大的是（ ）
A. 1 B. 0 C. D.
2. 如图是由 5个形状大小完全相同的小正方体搭成的一个几何体，则它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
5. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
6. 小明调查了班里40名同学一周的体育锻炼情况，结果如图所示．该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（　　）
A. 16小时、15小时 B. 8小时、8.5小时
C. 10小时、8.5小时 D. 8小时、9小时
7. 在一幅长，宽的矩形字画的四周镶上等宽的白色纸边，制成一幅如图所示的矩形挂图，整个挂图的面积是，设白色纸边的宽度为，则所列方程正确的是( )
A.
B.
C.
D.
8. 如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接，以下结论不正确的是( )
A. B. C. D.
9. 如图，直线与轴交于点，与双曲线在第一象限交于、两点，且，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
10. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是____________．
11. 在人体血液中，红细胞直径约为，数据用科学记数法表示为__________.
12. 某市为了解初中生近视情况，在全市进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，可估计该市初中生近视的概率为_________．（结果精确到0.01）
累计抽测的学生数n 1000 2000 3000 4000 5000 6000 8000
近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.410 0.411 0.413 0409 0.410
13. 一艘轮船顺流航行所用的时间与逆流航行所用的时间相同，水流的速度为．则轮船在静水中的速度为______．
14. 如图，长方形的周长为16，分别以长方形的一条长和一条宽为边向外作两个正方形，且这两个正方形的面积和为18，则长方形的面积是______．
15. 如图，在中，，，分别是，上的点，将沿着折叠，使点落在边的中点（记为处．若，，则的长为_____．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中，．
17. （1）解不等式：；
（2）把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分5本，则还缺24本．问这个班有多少学生？这些图书共有多少本？
18. 如图，在□ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB＝DB，求证：四边形DFBE是矩形．
19. 2024年9月，某中学举行了迎国庆中华传统文化节活动．本次文化节共有五个活动：A—书法比赛；B-国画竞技；C—诗歌朗诵；D—汉字大赛；E-古典乐器演奏． 活动结束后，某班数学兴趣小组开展了“我最喜欢的活动”的抽样调查（每人只选一项），根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次随机抽取的初三学生共 人，并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中 ，表示D的扇形的圆心角是 度；
（3）九年级准备在三名优秀的书法比赛选手中任意选择两人参加学校的最终决赛，这三名选手中有两名男生和一名女生，用树状图或列表法求选出的两名选手正好是一男一女的概率是多少．
20. 小吉购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图如图2，测得底座的高为，，支架长为，面板长为，为（厚度忽略不计）．
（1）求支点离桌面的高度．
（2）当面板绕点转动时，面板与桌面的夹角满足，当面板与桌面的夹角增大时，点离桌面的高度也随之增大，问当面板绕点转动过程中，点离桌面最大高度与最小高度的差是多少？（计算结果保留根号）
21. 某工厂计划投资生产、两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润（万元）与投资量（万元）成正比例关系，如图①所示：产品的利润（万元）与投资量（万元）成顶点在原点的二次函数关系，如图②所示．
（1）请直接写出利润与关于投资量的函数关系式________，________；
（2）如果工厂以万元资金投入生产、两种产品，要求产品的投资金额不超过产品的倍，且不少于万元，则如何投资该工厂能获得最大利润？最大利润是多少？
22. 如图，已知中，，以AB为直径的交BC于点D，交AC于点E，连接AD，BE相交于点F.
（1）求证：；
（2）若，，求BF的长．
23. 在矩形中，，点E，F分别为直线上的动点，且，连．
（1）如图1，若点E，F分别在边上，则与的位置关系为______，数量关系为______；
（2）如图2，若点E，F分别在边的延长线上，EC的延长线与DF交于点H．
求证：；
（3）在（2）的条件下，点G为上的点，且，请用等式表示线段与的数量关系，并说明理由．
参考答案
一、单项选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分）
1. 解：根据题意得：-3＜0＜1＜，
则最大的数是：．
故选：D．
2. 解：根据立体图可知该俯视图是：
．
故选：C．
3.解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算正确，符合题意，
故选：D．
4. 解：如下图：
∵直尺的两边平行，
∴，
∴，
故选：A
5. 解：，即
∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
的值可能是：8．
故选：A
6. 解：根据题意，可知这一组数据中出现次数最多的数是8，即该组数据的众数为8；
将这组数据从小到大的顺序排列，处于第20，21位两个数分别为9，9，
所以，这组数据的中位数是．
故选：D．
7. 解：挂图长，宽为，
所以根据矩形的面积公式可得：
故选：
8. 解：，，
，
由作图可知：，为的角平分线，
，故A正确，
，
，
，
，
，
，
，
，故B正确，
，，
，
，即，
整理得：，
，
，
故C错误，
，，
，
，
，
，，，
，故D正确．
故选：．
9.解：设直线与轴交于点，作轴于，轴于．
，
当时，，即点的坐标为，
当时，，即点坐标为，
，．
在中，，
．
直线与双曲线在第一象限交于点、两点，
，
整理得，，
由韦达定理得：，即，
，
，
同理可得：，
，
解得：．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
10. 解：∵式子实数范围内有意义，
∴，
解得，
故答案为：．
11.解：．
故答案为：．
12. 解：随着累计抽测学生数的增大，近视的学生数与n的比值逐渐稳定于0.41，所以该市初中生近视的概率为0.41；
故答案为0.41．
13. 解：设船在静水中的速度是 k．
由题意得：．
解得：．
经检验：是原方程的解．
即船在静水中的速度是．
故答案为：．
14. 解：记长方形的长为，宽为，
由题知，，，即，
，
即，
，解得，
长方形的面积是．
故答案为：．
15.解：连接交于点，如图，
在中，，，，
由勾股定理，得，
点是边中点，
，
，，
将沿着折叠，使点落在边的中点处，
，，
，，
又，，
，，
，，
即，，
解得，，
在中，
由勾股定理，得．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．）
16. 解：（1）
；
（2）
当，时
原式
17. 解：（1）
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，；
（2）根据题意，设某班有人，
∴如果每人分3本，则剩余20本，则书的数量为：（本），
如果每人分5本，则还缺24本，则书的数量为：（本），
∴，
解得，，
∴（本），
∴这个班有名学生，这些图书共有本．
18. 【详解】（1）∵∠ABD的平分线BE交AD于点E，
∴∠ABE=∠ABD，
∵∠CDB的平分线DF交BC于点F，
∴∠CDF=∠CDB，
∵在平行四边形ABCD中，
∴AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∴∠CDF=∠ABE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，∠A=∠C，
即，
∴△ABE≌△CDF（ASA）；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴DE∥BF，DE=BF，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵AB=DB，BE平分∠ABD，
∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．
∴平行四边形DFBE是矩形．
19. 【小问1详解】
解：此次随机抽取的初三学生人数为：(人)，
所以参加B项目的人数为(人)，
补全条形统计图为：
【小问2详解】
解：∵，
∴，
表示D的扇形的圆心角度数为：．
故答案为：10；72．
【小问3详解】
解：画树状图为：
所有等可能的结果共有6种，其中一男一女的结果数为4，
所以选出的两名选手正好是一男一女的概率为：．
20. 【小问1详解】
解：如图，过点C作于点F，过点B作于点M，
则，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即支点C离桌面l的高度为；；
【小问2详解】
解：如图，过点C作，过E作于点H，
则，
∵，
∴，
当时，
；
当时，；
∴当面板绕点C转动过程中，E离桌面l最大高度与最小高度的差是．
21. 【小问1详解】
解：设，
点在该函数的图象上，
，
，
，
设，
点在该函数图象上，
，
，
，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：设投资产品万元，则投资产品万元，
由题意可得：
，
解得：，
该工厂能获得的利润为：
，
对称轴为，
当时，利润随着的增大而减小，
当时，取得最大值，最大值是万元，
投资产品3万元，则投资产品6万元时，该工厂能获取最大利润，最大利润为33万元．
22. 【小问1详解】
证明：是的直径，
，
，
，
，
∴，
；
【小问2详解】
解：是的直径，
，
，
，
在中，，，
，
，，
，
，
，
．
23. 【小问1详解】
解：设与相交于点，
∵矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴；
故答案为：，；
【小问2详解】
证明：∵矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：，理由如下，如图，连接，，
∵矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
由（2）知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．

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