资源简介

5.6二元一次方程组的应用
第1课时 和差倍分问题
知识梳理
列二元一次方程组解应用题的步骤：①弄清题意，找到题目中的 关系，并设出未知数；②列出表示题目中 关系的两个方程，并组成方程组；③解这个方程组，求出两个未知数的值；④检验未知数的值是否符合题意，并作答(注意写明 ).即审、设、列、解、验、答.
基础过关
1.买钢笔和铅笔共30支，其中钢笔的数量比铅笔数量的2倍少3支.设买钢笔x支，铅笔y支，根据题意，可得方程组为 ( )
A. B.
C. D.
2.某校春季运动会比赛中，关于七年级(1)班、(2)班的比赛结果，甲同学说：“(1)班与(2)班得分比为2:1.”乙同学说:“(1)班得分比(2)班得分多38分.”设(1)班得x分,(2)班得 y分，根据题意可列方程组为 .
3.某营业员昨天卖出了7件衬衫和4条裤子，共1020元；今天又卖出了9件衬衫和6条裤子，共1380元，则每件衬衫的售价为 元.
4. 钢琴素有“乐器之王”的美称.键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个.求白色琴键和黑色琴键的个数.
能力提升
5.用1块 A 型钢板可制成3块 C型钢板和4块D型钢板，用1 块 B型钢板可制成5 块 C 型钢板和2块 D型钢板.现在需要58块C型钢板、40块 D型钢板，问恰好用 A 型钢板、B型钢板各多少块 设用 A 型钢板x块，用 B型钢板y块，则可列方程组为 ( )
A. B.
C. D.
6. 人民的中国中经期在我国大力推进的智慧城市建设中，A市采用了两款由我国自主研发的先进 AI智能系统，用于城市交通流量调控和公共设施智能管理.经过一段时间的数据监测发现，3套交通流量调控 AI 系统和2套公共设施智能管理 AI系统协同工作，一小时内能够有效处理180起城市交通与设施管理的综合事务；而2套交通流量调控 AI系统和3套公共设施智能管理 AI系统协同工作时，一小时内能够处理170起相关事务.请问，一套交通流量调控 AI系统和一套公共设施智能管理 AI系统每小时分别能处理多少起城市综合事务
思维拓展
7.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托.折回索子却量竿，却比竿子短一托.”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长 6尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短6尺.则绳索长 尺，竿长 尺.
第 2课时 图文信息问题与行程问题
基础过关
1.根据所给信息，设每只玩具小猫为x元，每只玩具小狗为y元，可列出二元一次方程组为( )
A. B.
C. D.
2.丫丫从学校骑自行车出发到图书馆，中途因道路施工步行了一段路，一共用了1.5h到达图书馆.她骑车的平均速度是 15 km/h，步行的平均速度是5k m/h,总路程为20 km.设丫丫骑车的时间是 xh，步行的时间是 y h，则可列方程组为 ( )
A. B.
C. D.
3.小林在某商店两次购买商品 A，B的数量和费用如下表：
购买次数 购买商品 A的数量/个 购买商品 B的数量/个 购买总费用/元
第一次购买 6 5 1 140
第二次购买 3 7 1 110
则商品 A，B的单价分别是 ( )
A.60元、90元 B.90元、60元
C.90元、120元 D.120元、90元
4.甲、乙两人相距12千米，若同向而行，乙3小时可追上甲；若相向而行，1小时两人相遇.设甲、乙两人每小时分别走x千米、y千米，则可列出方程组为 .解此方程组可得，甲每小时走 千米，乙每小时走 千米.
5.(2024·北师大附中期中)如图所示，某工厂生产镂空的铝板雕花造型，造型由 A(绣球花)，B(祥云)两种图案组合而成.因制作工艺不同，A，B两种图案成本不同，厂家提供了如下几种设计造型，造型1的成本为64元，造型2的成本为42元，则造型3的成本为多少元
6.甲、乙两人准备参加自行车骑行比赛，相约一同训练.两人从相距80 km的两地同时出发，相向而行，经过 2 h 相遇；若甲比乙提前 1 h出发，则乙出发1.6h后两者相遇.求甲、乙两人的速度.
能力提升
7.已知甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路，一辆汽车上坡时速度为 20 km/h，下坡时速度为35 km/h.若该汽车从甲地开往乙地需9 h，从乙地返回甲地，上、下坡的速度不变，时间为7.5h，则甲、乙两地的公路长为( )
A.300 km B.210 km
C.200 km D.150 km
8.作用平一中期的冬典题某超市以同样的价格卖出同样的牙刷和牙膏，以下是4天的记录：第1天，卖出13支牙刷和7盒牙膏，收入144元；第2天，卖出18支牙刷和11盒牙膏，收入219元；第3天，卖出17支牙刷和11盒牙膏，收入216元；第4天，卖出23支牙刷和20盒牙膏，收入368元.聪明的小方发现这四天中有一天的记录有误，其中记录有误的是 ( )
A.第1天 B.第2天
C.第 3天 D.第4天
9.端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗.某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽.
请依据以上对话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价.
思维拓展
10. 新考向跨学科(2024·房山区期末)某校科学小组用弹簧等器材，进行了测量物体质量的实验探索.
实验一：如图，在弹簧下方悬挂钩码，发现弹簧会伸长，记录实验数据如下表：
钩码质量/克 0 200 400 600 800 1 000
弹簧长度/厘米 10 11 12 13 14 15
例如：当弹簧下方所挂钩码的质量为 200 克时，弹簧长度为11厘米.
实验二：在弹簧下方悬挂不同的实验物块，记录实验数据如下表：
次数 A 物块/个 B 物块/个 弹簧长度/厘米
第一次 4 7 12
第二次 8 9 13
(1)已知每个同类型物块的质量都相同，求出每个 A 物块和每个 B 物块的质量分别是多少克；
(2)该弹簧的长度伸长到15 厘米时就不能继续伸长，实验将不能继续.在某次实验中，弹簧下方悬挂 A 物块和 B 物块共计30个时，符合实验要求，其中 A 物块不多于22个，那么有多少个 B物块 (求出所有情况)
第 3课时 几何图形问题与其他问题
基础过关
1.已知∠α,∠β互余,∠α比∠β小 10°,设∠α,∠β的度数分别为x°，y°，依据题意可列方程组为 ( )
A. B.
C. D.
2.抢修一段全长 420米的供暖管线，甲、乙两个工程队同时施工，2.5天全部修完.修完时，甲工程队比乙工程队多修了 70米，设甲、乙两个工程队的工作效率分别为x米/天和y米/天，则下列方程组正确的是 ( )
A. B.
C. D.
3.一块长方形菜园，长是宽的3倍，如果长减少3米，宽增加4米，那么这个长方形就变成一个正方形.设这个长方形菜园的长为x米，宽为 y 米，根据题意，可列方程组为
4.《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何 ”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出 8钱，就多了 3钱；如果每人出7钱，就少了4钱.问一共有多少人 这个物品的价格是多少 则共有 人，物品的价格为 钱.
5.算盘起源于中国，是我国的优秀文化遗产.以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次可代表十进位值制的个位、十位、百位……不拨出空档表示 0.小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，且个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字比十位数字多4，则小华要表示的这个三位数是
6.在长为10 m，宽为8 m的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个相同的小长方形花圃，其示意图如图所示，则小长方形花圃的长和宽分别为多少米
7.李老师在给学生上课时，组织学生分别用长短相同的火柴棍连续搭建了如图所示的正三角形和正方形，学生搭建正三角形和正方形共用了 176 根火柴棍，搭建的正三角形比正方形多12个，求搭建的正三角形和正方形的个数.
能力提升
8.某数学兴趣小组开展“无盖长方体纸盒的制作”实践活动.如图，小明用边长为 30厘米的正方形纸板制作有底无盖长方体纸盒.他先在纸板上剪去一个小长方形，用虚线将其余部分分为几个小长方形，沿虚线压折后，再用胶带粘合起来.已知BE=3EF,求底边 EF 和AE 的长.设 EF=x，AE=y，则可以列方程组为 ( )
A. B.
C. D.
9.幻方的起源与中国古代的“河图”和“洛书”紧密相关，被认为是三阶幻方的最早形式.现将 9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则a，b的值分别是 ( )
4b-2 12
2a+1 7
3b-3 2a
A.-4,3 B.-4,-3
C.4,3 D.4,-3
10.某地需要将一段长为 180 米的河道进行整修，整修任务由A，B两个工程队先后接力完成.已知 A 工程队每天整修12米，B工程队每天整修8米，共用时20天.问A，B两个工程队整修河道分别工作了多少天
(1)以下是甲同学的做法：
设 A 工程队整修河道工作了 x天，B工程队整修河道工作了y天.
根据题意，得方程组： ，解得
请将甲同学的上述做法补充完整；
(2)乙同学认为本题还有另外一种解法，他列出了不完整的方程组如下：
①在乙同学的做法中，x表示 ,38表示 ;
②请将乙同学所列方程组补充完整.
思维拓展
11.对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边.一般情况下，天头长与地头长的比是6：4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的 .某人要装裱一副对联，对联的长为100 cm,宽为 27 cm.若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长.
5.6二元一次方程组的应用
第 1 课时 和差倍分问题
1. D 2. 3.100
4.解：设白色琴键的个数为 x，黑色琴键的个数为 y.由题意，得 解得 答：白色琴键的个数为52，黑色琴键的个数为 36.
5. C
6.解：设一套交通流量调控AI系统每小时能处理x起城市综合事务，一套公共设施智能管理AI系统每小时能处理y起城市综合事务.根据题意，得 解得 答：一套交通流量调控 AI系统每小时能处理40起城市综合事务，一套公共设施智能管理AI系统每小时能处理30起城市综合事务.
7.24 18
第 2 课时 图文信息问题与行程问题
1. A 2. B 3. C 4 8
5.解：设A种图案的成本为x元，B种图案的成本为y元.根据题意，得 ①—②,得x+y=22.答:造型3的成本为 22元.
6.解:设甲 的速度为 x km/h,乙 的 速度 为 y km/h.由题意,得 解得 答：甲的速度为16 km/h，乙的速度为24 km/h.
7. B 8. D
9.解：设促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价分别为x元、y元.由题意，得 解得 答：促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价分别为15 元、10 元.
10.解：(1)设每个 A物块的质量是a克，每个 B物块的质量是b克.根据题意，得 解得 答：每个 A物块的质量是30克，每个B物块的质量是40克.(2)设有m个A物块，则有(30—m)个B物块.根据题意，得 解得 20≤m≤22.∵m为非负整数,∴m可能的取值为20,21,22.∴有8个或9个或10个 B物块.
第 3 课时 几何图形问题与其他问题
1. D2. B 3 4.7 53 5.615
6.解:设小 长 方 形 花 圃 的 长 为 x m,宽为 y m.根据 题 意 ,得 解得 答：小长方形花圃的长为 4 m，宽为 2 m.
7.解:设搭 建 了 x 个 正 三 角 形,y个 正 方 形.根据 题 意 ,得 解得 答：搭建了 42个正三角形，30个正方形.
8. D 9. C
515 (2)180 20 A工程队在整修河道中整修的米数 B工程队在整修河道中工作的天数
11.解:设左、右边的宽为x cm,天头长为 6y cm,则地头长为 4y cm.根据题意，得
解得 =24(cm).答:边的宽为4 cm,天头长为 24 cm.

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