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2025—2026学年湘教版七年级下学期数学期末考试学科素养达标卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．篆书字体优美，一直被书法家青睐．又因为其笔画复杂，形式奇古，而且可以随意添加曲折，印章刻制上，尤其是需要防伪的官方印章，一直采用篆书．下列篆书属于轴对称图形的是（ ）
A．B． C．D．
2．下列实数中是无理数的是（）
A． B．1 C． D．0
3．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法中：
①在3和4之间；②二次根式中x的取值范围是；③的平方根是3；④；⑤．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．为了解参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中抽查了50名运动员的年龄．下列说法中正确的是（ ）
A．本次调查采用的是普查 B．1000名运动员是总体
C．每个运动员是个体 D．50名运动员的年龄是总体的一个样本
6．已知关于的不等式组无解，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．下列调查中，最适合普查的是（ ）
A．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件
B．调查某款新能源车电池的使用寿命
C．了解全国中学生的视力情况
D．对2024年春节联欢晚会满意度的调查
8．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，直线，直角三角板的直角顶点在直线上，直线经过顶点，且与边交于点．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．若一个只含a字母的多项式的项数是偶数，用该多项式去乘，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘，称这为第一次操作；若第一次操作后所得多项式的项数是偶数，用该多项式去乘，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘称这为第二此操作，以此类推．①将多项式以上述方式进行2次操作后所得多项式项数是5；②将多项式以上述方式进行3次操作后，多项式的所有系数和为0；③将多项式以上述方式进行n次操作后所得多项式为．三个结论错误的有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．如图，直线与相交于点，则的度数为________．
12．某班主任把本班学生上学方式的调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图，已知骑自行车上学的学生有人，乘坐公交车上学学生对应的扇形所占的圆心角的度数，则乘公交车上学的学生人数为__________．
13．若关于的不等式可化为，则的取值范围是_______．
14．如图，将向右平移得到，如果的周长是，那么五边形的周长是__________．
15．，则的值为______．
16．如图，已知，，，则的值为__．

三、解答题（8小题共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．（6分）计算：．
18．（8分）如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点落在边上．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的长度．
19．（9分）先化简，再求值：，其中．
20．（9分）为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，某中学随机抽取学生进行测试，并对测试结果进行整理和分析，将成绩划分为，，，四个等级，并绘制了如下统计图（不完整）．
根据以上信息，回答下列问题．
(1)求出本次调查抽取的总人数，并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，求等级为的学生人数所对应的扇形圆心角的度数；
(3)若该中学共有3000名学生，且全部参加这次测试，利用题中信息，估计学生的测试成绩等的总人数．
21．（9分）某商店需要购进甲、乙两种商品共190件，其进价和售价如下表所示：
甲 乙
进价/（元/件） 14 35
售价/（元/件） 20 43
(1)若该商店计划销售完这批商品后能获利1240元，则购进甲、乙两种商品各多少件？
(2)若商店计划投入资金少于5040元，且销售完所有商品后获利多于1362元，则有哪几种购货方案？
22．（9分）如图，在中，E，G分别是，上的点，F，D是上的点，连接，，，，．
(1)求证：；
(2)若是的平分线，，求的度数．
23．（11分）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”、例如：已知方程与不等式，当时，与同时成立，则称是方程和不等式的“梦想解”．
(1)已知①，②，③，则方程的解是它与不等式_____的“梦想解”．（填序号）
(2)若关于的二元一次方程组和不等式有“梦想解”，且为整数，求的值．
(3)若关于的方程组和不等式的“梦想解”均为正数（即“梦想解”中的均为正数），请直接写出的取值范围．
24．（11分）如图1是一个长为、宽为的长方形．附图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
(1)观察图2，直接写出代数式之间的关系：___________
(2)利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题：
①已知，则的值为___________；
②已知，求的值；
(3)两个正方形、如图3摆放．边长分别为，若、，求图中阴影部分面积和．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D A D C A A C C
二、填空题
11．
12．20人
13．
14．30
15．8
16．
三、解答题
17．【详解】解：原式=

．
18．【详解】（1）解：由旋转的性质可得：，
∴；
（2）解：由旋转的性质可得：，，
∴．
19．【详解】解：原式
当时，
原式．
20．【详解】（1）解：由图得：等级有10人，占，
（人，
等级的人数：（人，
条形图如图所示：
（2）解：等级为的学生人数所对应的扇形圆心角的度数为；
（3）解：（名）
答：估计学生的测试成绩等的总人数有1200人．
21．【详解】（1）设购进甲种商品x件，购进乙种商品y件，根据题意可得：
解得，
∴购进甲种商品140件，购进乙种商品50件．
（2）设购进甲种商品a件，则购进乙种商品件，根据题意可得
解得，
又因为a为正整数，所以a可以取77，78．
所以购买的方案有两种，分别为
方案一：购进甲种商品77件，购进乙种商品113件
方案二：购进甲种商品78件，购进乙种商品112件．
22．【详解】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
是的平分线，
，
，
∴．
23．【详解】（1）解方程，得：，
解①得：，故方程解不是①的“梦想解”；
解②得：，故方程解不是②“梦想解”；
解③得：，故方程解是③的“梦想解”；
即方程的解是不等式③的“梦想解”；
（2）解方程组
得：
∴
∵方程组的解是不等式组的梦想解
∴
∴
为整数，
∴为14或15；
（3）解方程组
得：
均为正数，
解得：
将代入
解得：
综上的取值范围为．
24．【详解】（1）解：依题意，大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个小长方形的面积
则；
故答案为：；
（2）解：①与（1）同理得，
∵，
∴，
∴
∴；
②∵
∴
，
故答案为：，13；
（3）解：∵，
∴．
由图可知的底为x，高为2，
∴．
的底为2，高为，
∴，
∴．
∵，即，
∴，
∴，
∴（舍去负值），
∴阴影部分面积和为8．
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