资源简介

2026年湖南省长沙市中考数学模拟考试适应性测试卷
说明:
答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定的位置上，并将条形码粘贴好.
全卷共6页，25小题考试时间120分钟，满分120分.
3.作答选择题1-10，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.作答非选择题11—25，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案(含作辅助线)写在答题卡指定区域内.写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。
4.考试结束后，请将答题卡交回.
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，多选、错选、不选均不给分。)
1． 下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．0.13133
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中“方程术”最早引入“负数”，用正、负数表示相反意义的量．若跳远测试以2米为基准，跳2.1米记作米，那么跳1.7米应记作（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．未来乃可预见之时代，寰宇知名人工智能企业徽标林立，请问下列图示中，属中心对称而非轴对称的图像是（ ）
A． B． C． D．
5．下图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
6．以下调查中，适合全面调查的是（　　）
A．了解山西中学生的视力情况
B．检测临汾地区和运城地区的城市空气质量
C．调查汾河源头现有鱼的数量
D．调查某教研组老师是否参加新教材培训
7．如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．为进一步促进体教融合，引导广大学生掌握游泳技能，经研究，我市从2025届初中毕业生起，将游泳项目纳入初中学业水平考试的体育选考项目．以下是8名男生在某次训练时50米游泳时间（秒）：48，49，50，48，47，48，49，47，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．47，48 B．47.5，48 C．48，48 D．48，49
9．如图，是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线，连接．若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
10．已知二次函数与轴交于，两点，顶点为，若是等腰直角三角形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题3分，满分18分）
11．把多项式ax2+2a2x+a3分解因式的结果是_____．
12．函数的自变量的取值范围是______．
13．如图所示，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点O，A，B均为格点，则扇形OAB的面积大小是___．
14．如图是一条隧道的横截面，它是以点为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且米，的半径长为5米，则隧道的高为______米．
15．如图，在中，直径弦，以为圆心，为半径画弧交直径于点，连结并延长交于点，连结若，则的长为______．
16．小明在数学活动课上制作了两张卡片：一张是正方形，其中点O是正方形对角线的交点，另一张是等腰直角三角形，且．他将三角形卡片的一个顶点固定在正方形的顶点B处，然后绕着点B逆时针旋转三角形．当他旋转到某个角度时，发现三角形卡片的另外两个顶点与正方形的一个顶点D恰好三点共线．此时的长度为________．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．计算：．
18．先化简，再求值，其中．
19．“五一”国际劳动节即将来临，小谷同学倡导劳动最光荣，为落实劳动培养计划，决定利用五一假期清洗厨房的油烟机，于是去商店购买了一瓶去油喷雾，善于观察的他发现其还蕴含了数学知识．如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图3）．
(1)求点D转动到点的路径长；
(2)求点D到直线的距离（结果精确到）．（参考数据：）
20．为落实“双减”工作，充分践行“五育并举”的理念．某校利用课后服务时间，开设了五个活动小组（每位学生只能参加一个小组）；A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动小组的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)①此次调查一共随机抽取了________名学生；
②补全条形统计图；
③扇形统计图中圆心角________度；
(2)若该校有1200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数；
(3)李老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
21．如图，在中，D是的中点，过点D作的垂线交于点E，延长到点F，使得，连接，，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求的值．
22．为了落实东坡文化进校园，学校每年在初中年级举办国学诵读活动，学校计划购进类和类两种演出服装供学生使用，经市场调查，购买类演出服装套和类演出服装套共花费元，已知购买一套类演出服装比购买一套类演出服装多花元．
(1)购买一套类演出服装和购买一套类演出服装各需多少元？
(2)通过全校师生的共同努力，学校在今年市举办的东坡文化节诵读活动中成绩优秀，学校计划用不超过元的经费再次购买类演出服装和类演出服装共套，若单价不变，则这次至少可以购买多少套类演出服装？
23．如图，在矩形中，点E为边的中点，，连接交对角线于点G．过点B作于点F．．
(1)求证：．
(2)求的值和的面积．
24．已知关于的二次函数（，，是常数，）的图象与轴交于，两点（在左侧），顶点为点，直线．
(1)若点，求的值．
(2)对于二次函数，无论为何值，和时的函数值都相等，点为轴下方一定点，且点到直线的距离的最大值为，函数的图象是否经过定点？若是，请求出定点的坐标；否则，请说明理由．
(3)过点作轴交直线于点，交轴于点，若四边形为菱形，且三条长度分别与，，相等的线段能组成一个含有的三角形，且，求的最大值．
25．如图，四边形内接于，对角线，相交于点．且为的直径．
(1)求证：；
(2)当时：
①过点E作于点F，求证：；
②当，，，求y关于x的函数解析式，并求出y的取值范围．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D B A D C C C D
二、填空题
11．a（x+a）2
12．且
13．．
14．9
15．
16．或
三、解答题
17．【详解】解：原式
．
18．【详解】原式，
当 时，原式
19．【详解】（1）解：，且，
．
，
．
，
，
点转动到点的路径长为．
（2）解：如图，过点作于点，
由（1）知，
，
是等边三角形．
，
．
，，
．
点到直线的距离约为．
20．【详解】（1）解：（1）①；
②C组人数，
补全的条形统计图如图所示：
③；
（2）解：，
即估计该校参加D组（阅读）的学生人数为420人；
（3）解：画树状图如下：
从甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人共有12种等可能性的结果，恰好抽中甲、乙两人的所有等可能性结果有2种，
因此，P（恰好抽中甲、乙两人）．
21．【详解】（1）证明：∵D是的中点，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形AECF是菱形．
（2）如图，过点作于，
则是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
，
即，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
，
∵， ，
∴，
，即，
解得：
，
，
，
∴．
22．【详解】（1）解：设购买一套类演出服装需要元，购买一套类演出服装需要元，
依题意，得：，
解得：．
答：购买一套类演出服装需要元，购买一套类演出服装需要元．
（2）解：设购买套类演出服装，则购买套类演出服装，依题意，得：
，
解得：．
答：本次至少可以购买套类演出服装．
23．【详解】（1）证明：在矩形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：如图，过点作交于，
∵点E为边的中点，，，
∴，，
∴，，
∴，
，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
即，
在中，，
∴，
，
解得，
∴；
∵，
∴，
∴．
24．【详解】（1）解：∵点是二次函数的顶点，
∴，
解得，
∴；
（2）解：由题意可知，二次函数的对称轴为直线，
∴，即，
∴，
当时，为定值，
∴直线过定点，
设点为点，点到直线的距离为，
由勾股定理可得，，
根据垂线段最短可知，，
∴的最大值为，即，
∴，
解得，
∵点在轴下方，即
∴，即
∴，
当或，为定值，
∴二次函数的图象过定点和；
（3）解：∵四边形是菱形，
又∵与交于点，
∴，，
如图，以、为边构造，且，作于点，
由题意可知，，
∵，，
∴，，
在直角中，，
∴，
∴，
如图，
∴顶点的坐标为，
∵轴，
∴，
∵点在直线，
∴点的坐标为，
∵函数图象与轴有两个交点，
∴判别式，
∴点在轴下方，点在轴上方，
∴，，
∵，
∴，
化简，得，
∵，
又∵，
∴，
∴点的坐标为，
将代入，得，
，
化简，得，
∵，
∴，
化简，得，
将代入，得，
，
化简，得，
∵，
∴，即
∵，
∴，解得，
，
∵，
又∵，
∴随着的增大而增大，
∴当时，取得最大值为．
25．【详解】（1）证明：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：①如图，过点E作于点F，
∵为的直径，
∴，即，
∴，
∴；
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴．
②如图，∵为的直径，
∴，

∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，即，
∴，
∴，而，
∴，
延长至，使，连接，
∵四边形为的内接四边形，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，
当时，，
当时，，
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∴．试卷第1页，共3页
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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