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2026年湖南省初中学业水平数学考试适应性测试卷（一）
说明:
答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定的位置上，并将条形码粘贴好.
全卷共6页，25小题考试时间120分钟，满分120分.
3.作答选择题1-10，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.作答非选择题11—25，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案(含作辅助线)写在答题卡指定区域内.写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。
4.考试结束后，请将答题卡交回.
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，多选、错选、不选均不给分。)
1．2026的相反数是（ ）
A．2026 B． C． D．
2．下列立体图形中，俯视图为三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．将用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
4．点关于原点对称的点的坐标为(　　)
A． B． C． D．
5．不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．某学习小组名同学的体育测试成绩（满分分）依次为：，，，，，，，这一组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
7．对于一次函数，下列结论错误的是（ ）
A．当时，y随x的增大而减小
B．当时，
C．直线与第二、四象限角平分线所在直线平行
D．函数的图象不经过第三象限
8．如图，两个平面镜平行放置，入射光线经过两个平面镜反射后，与其反射光线平行，若，则的度数为（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
9．图1是2026年1月份的日历，用图2所示的“九宫格”框住图1中的9个日期，将其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为．当图2在图1的不同位置时，代数式为定值，则m的值为（ ）
A． B．5 C． D．8
10．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
二．填空题（每小题3分，满分18分）
11．要使二次根式有意义，则实数的取值范围是______．
12．如图，是的内切圆，为切点．若，，则的周长为______．
13．一个不透明的箱子里有若干个小球，这些小球除颜色外完全相同．箱子中有12个白球，剩下的都是红球，小颖经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数为_____．
14．如图，点都在上，，则的度数等于______．
15．如图，已知A为反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为B．若的面积为2，则k的值为__________________．
16．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点A，B，与x轴，y轴分别交于点C，D，若，则k的值为____．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中，．
19．北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，其由空间段、地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小雅一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶6千米至B地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达古镇C，小雅发现古镇C恰好在A地的正北方向．
(1)求点B到的距离；
(2)求的长度．（如果运算结果有根号，请保留根号）
20．我校数学教研组为了迎接学校第四届学科素养节游园活动，准备了四个数学活动项目，分别是：A．数学跳棋，B．数学积木方块，C．数学华容道，D．数独．每名学生只选择其中一个活动参与，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下统计图：
项目 选择人数 频率
A．数学跳棋 16 a
B．数学积木方块 b 0.25
C．数学华容道 56 c
D．数独 48 0.3
(1)填空：________，________；扇形统计图中C（数学华容道）活动所对应的圆心角的度数为________；
(2)若该中学共有1200名九年级学生，那么估计该中学九年级学生中选择“B（数学积木方块）”活动意向的学生有________人；
(3)学校要从甲、乙、丙、丁四位志愿者家长中选取两位家长去协助数学教研组完成这四项活动，请利用画树状图或列表的方法，求选中甲、乙两位家长的概率．
21．如图，在矩形中，，，点E是边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)连接，若，求的长．
22．首届“湘超”足球联赛的火爆，掀起了全省中小学生热爱足球的热潮，带动了足球的畅销．
(1)某商店计划购进A，B两种品牌的足球，已知A品牌的单件进价比B品牌的单件进价高20元，且用6000元购进的A品牌足球与用4800元购进的B品牌足球的数量相同，分别求两种品牌足球的单件进价；
(2)经调研发现，A品牌足球的销售量m与单件售价a成一次函数的关系，满足，请你帮忙计算单件售价a为多少元时，该店销售A品牌足球的利润最大？
23．如图，是的外接圆，是的直径，过圆心的直线于，交于，是的切线，为切点，连接，．
（1）求证：直线为的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求的长．
24．我们称关于x的二次函数为一次函数和反比例函数的“共同体”函数．一次函数和反比例函数的交点称为二次函数的“共赢点”．
(1)二次函数是哪两个函数的“共同体”函数？并求出它的“共赢点”；
(2)已知二次函数与x轴的交点为M，N，有A，B两个“共赢点”，且，求a的值；
(3)若一次函数和反比例函数的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为，，其中实数，．令，求L的取值范围．
25．如图1，已知四边形是内接四边形，对角线与相交于点．
(1)求证：；
(2)如图2，若是的直径，与相切于点，交的延长线于点，已知，，求的值；
(3)如图3，若与相切，，平分，设，，请求出与之间的函数关系式．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D A C C B A C D
二、填空题
11．
12．
13．4
14．
15．
16．2
三、解答题
17．【详解】解：
．
18．【详解】解：
，
当，时，
原式．
19．【详解】（1）解：过点作于点，
由题意得：，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴
答：点B到的距离千米；
（2）解：在中，，
∴
而由（1）得，
∴，
答：的长度为千米．
20．【详解】（1）解：调查的学生人数为（人），
∴，
，
扇形统计图中C（数学华容道）活动所对应的圆心角的度数为；
（2）解：估计选择“”活动的人数为（人）；
（3）解：列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲）
乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙）
丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙）
丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁）
由列表法可知共有12种等可能的结果，其中刚好抽到甲和乙的有2种结果，
所以选中甲和乙的概率为．
21．【详解】（1）证明：四边形为矩形，
，
．
，
，
．
．
（2）解：在中，根据勾股定理得，
，
．
在中，根据勾股定理得，
，
由（1）知，
，
即，
．
22．【详解】（1）设品牌足球的单件进价为元，则品牌足球的单件进价为元，
由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解．
．
答：品牌足球的单件进价为100元，品牌足球的单件进价为80元．
（2）设销售品牌足球的利润为元，
则
，
因为二次项系数小于0，所以抛物线图象开口向下，当元时，取得最大值．
答：当单件售价元时，该店销售品牌足球的利润最大．
23．【详解】（1）连接OB，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBO=90°．
∵OA=OB，BA⊥PO于D，
∴AD=BD，∠POA=∠POB．
又∵PO=PO，
∴△PAO≌△PBO．
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴直线PA为⊙O的切线．
（2）由（1）可知，，
，
，
=90，
，
，
，即，
是直径，
是半径
，
，
，
整理得；
（3）是中点，是中点，
是的中位线，
，
，
，
是直角三角形，
在中，，
，
，
，
，则，
、是半径，
，
在中，，，
由勾股定理得：
，即，
解得：或（舍去），
，
．
24．【详解】（1）根据题意，二次函数中，，，，
∴二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数，
解方程组得，，
经检验，，都是方程组的解，
∴一次函数与反比例函数图象的交点为，，
即二次函数的“共赢点”是，；
（2）∵二次函数与x轴的交点为M，N，
∴令，则，
∴交点M，N的横坐标满足，，
∴，
∵二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数，有A，B两个“共赢点”，
∴由得，
∴，
∴A，B两个“共赢点”的横坐标满足，，
纵坐标，，
∴，
，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∵二次函数与x轴有两个交点M，N，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，，
∴，，，，
∴，
∵一次函数和反比例函数的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为，，
∴，是方程，即的两个根，
∴，，
∵
，
∵，
∴，
即．
25．【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）证明：如图2，连接并延长交于点H，连接，
∵与相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是直径，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或（舍去）．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
∴；
（3）解：由（2）可知：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∵平分，
∴点E到、的距离相等，设为h，点到的距离设为，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
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