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2026年湖南省长沙市初中学业水平数学考试第三次模拟考试全真模拟预测卷
说明:
答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定的位置上，并将条形码粘贴好.
全卷共6页，25小题考试时间120分钟，满分120分.
3.作答选择题1-10，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.作答非选择题11—25，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案(含作辅助线)写在答题卡指定区域内.写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。
4.考试结束后，请将答题卡交回.
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，多选、错选、不选均不给分。)
1．在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．心形线 B．蝴蝶曲线
C．四叶玫瑰线 D．等角螺旋线
2．王叔叔想通过跑步锻炼身体，第一周计划每天跑，按照计划第一周跑步的总路程用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．若，则下列各式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，该几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
5．为响应“低碳生活，和谐长沙”号召，某班开展了相关知识竞赛．现随机抽取7名同学成绩进行分析，依次为：94，97，96，97，97，95，98，则这组数据的中位数、众数分别是（ ）
A．96，97 B．97，97 C．97，96 D．94，97
6．某企业去年的年产值为a亿元，今年比去年增长了．如果明年还能按这个速度增长，则该企业明年的年产值能达到多少亿元？下列代数式表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“炮”所在位置的坐标为，则“車”所在位置的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．如图是用尺规作图“作一个角等于已知角”，通过判定得到，其中判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(x＞0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是( )
A． B．10 C． D．
二．填空题（每小题3分，满分18分）
11．因式分解：________．
12．一个圆锥，其母线长为12cm，底面圆半径为3cm，则侧面展开图圆心角度数是 ____．
13．设a，b是一元二次方程的两个根，则________．
14．若，则的值为________．
15．如图，在中，点M，N分别在上，且．已知，则_______．
16．年“湘超联赛”极大激发了湖南人民的足球热情，常规赛中全省共有个队进行单循环比赛，每场比赛胜队积分，败队积分，平局时两队各积分，常规赛结束以后，总积分最高的个队进入下一轮的淘汰赛，如果总积分相同，还要按净胜球等排序，若年常规赛规则不变，长沙队想要保证进入淘汰赛，则长沙队至少要积多少分？针对该问题，甲，乙，丙，丁四位同学进行了以下讨论：
甲：一共进行了场比赛，我们需要考虑最理想的情况，假设每一场都分出胜负，可以让前名积分相同，并且积分尽可能低一点．
乙：不仅要考虑前名，还要让第名的积分尽可能高一点，可以先考虑和前名积分一样，这样个队尽可能平分个胜场，积分就能保证进入前八名．
丙：前个队不可能包揽全部个胜场，比如后面个队之间的比赛胜场．
丁：刚刚都是理想情况下的分析，还要验证一下能不能实现．
结合四位同学的讨论，长沙队至少要积______分，才能保证进入淘汰赛．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．计算：
18．先化简，再求值：，其中a从1，2，3中选一个恰当的数代入求值．
19．觉华塔位于长沙市铜官窑国家考古遗址公园的觉华顶，是遗址公园标志性景点之一．登上觉华塔，可俯瞰湘江、遗址公园全景，将山、水、洲、城、平原及公园原生态，自然风光尽收眼底，为了测量觉华塔的高度CD（塔顶到水平地面的距离），某校师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的A点用测角仪测得塔顶D的仰角为，在B点处测得塔顶D的仰角为，已知米，测角仪的高度是1米（即米，A，B，C在同一直线上），根据以上数据解决下列问题：
(1)求的度数；
(2)求觉华塔的高度．（结果保留根号）
20．今年“五一”假期，长沙文旅消费潜力不断释放，爬岳麓、品美食、访省博、游橘子洲成为假日热点．文旅局对本次“五一”假期选择岳麓山、橘子洲、长沙世界之窗、湖南省博物馆（以下分别用A、B、C、D表示）的游客人数进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下不完整的两幅统计图，请回答下列问题．
(1)______，______；
(2)请将条形统计图补充完整，并计算表示C景点的扇形所对的圆心角的度数为_____；
(3)某名同学在五一假期随机选择A、B、C、D四个景点中的两个，请用列表法或画树状图法，求A、B两个景点同时被选中的概率．
21．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，过点作交的延长线于点，连接，求的长．
22．如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，于点D，连接，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
23．湖南省足球联赛（简称“湘超”）已圆满结束，但广大市民对足球的热情依然很高，体育中心附近商店销售的赛事文创产品也一直很受欢迎．某商店准备销售文创产品，用600元购进吉祥物“湘湘”，用900元购进吉祥物“超超”，“超超”购进单价是“湘湘”购进单价的2倍，“超超”的购进数量比“湘湘”的购进数量少30个．
(1)该商店“湘湘”的购进单价为多少元？
(2)该商店将“湘湘”的售价定为10元/件，如果要使得总利润不低于1140元，那么“超超”的售价最低应定为每件多少元？
24．已知：内接于，，点E是上的一个动点．
(1)如图1，若，的半径为2，求的长；
(2)如图2，点E在劣弧上（不与点A、C重合），连接．若，求的度数；
(3)如图3，已知，，点E在劣弧上（不与点B、C重合），与交于点D，在延长线上取一点G，连接，交于点H，．请判断的结果是否为定值，若是请求出其定值，若不是请说明理由．
25．对于一个函数给出如下定义：对于函数y，若当，函数值y的取值范围为，且满足，则称此函数为“拉伸函数”．
例如：正比例函数，当时，，则，解得，所以函数为“拉伸函数”．
(1)①一次函数为“拉伸函数”，则k的值为________；
②若一次函数为“拉伸函数”，则c的值为________．
(2)反比例函数，且是“拉伸函数”，且，请求出的值；
(3)已知二次函数，当时，是“拉伸函数”，求k的取值范围．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B D B D D A D C
二、填空题
11．
12．90°
13．9
14．3
15．12
16．
三、解答题
17．【详解】解：
．
18．【详解】解：
，
且，
代入，原式．
19．【详解】（1）解：∵测角仪的高度是（A、B、C在同一直线上），，
∴，
由题意可知，
∵是的外角，
∴.
（2）解：∵，
∴，
在中，，
∴，
答：觉华塔的通高约为．
20．【详解】（1）解：本次参与调查的游客人数为：（人），
∴，
B景点游客人数为：（人），
∴，
∴；
（2）解：补全条形统计图如下：
C景点的扇形所对的圆心角的度数为：；
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中A、B两个景点同时被选中的有2种，
∴A、B两个景点同时被选中的概率为．
21．【详解】（1）证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
，
四边形是菱形；
（2）解： 四边形是菱形，，，
，，，，
，
，
，
是直角三角形斜边上的中线，
．
22．【详解】（1）证明：如图，连接，
∵垂直平分，
∴，
∵，
，
又∵，
；
（2）解：由（1）可知，，，
，，
，，
，
，
．
23．【详解】（1）解：（1）设“湘湘”的购进单价为x元，则“超超”的购进单价为元，根据题意列分式方程，得
，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：该商店“湘湘”的购进单价为5元．
（2）解：“湘湘”的购进数量为件，则“超超”的购进数量为件，“超超”的购进单价为（元/件），
设“超超”的售价为y元/件，根据题意列一元一次不等式，得
，
解得．
答：“超超”的售价最低应定为每件16元．
24．【详解】（1）解：连接，如图，
∵，，
，
∵的半径为2，
∴，
∴在等腰中，；
（2）解：在上截取，连接，如图，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
，
∵，
，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
，
，即；
（3）解：结论：，理由如下：
连接，并延长交于点N．
设，
∵，
∴，，
在中，， ，
∴，
在中， ，
∴，
①若与不共线时，
在中，
∵
∴，
过点C作于点Q，于点H，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，又，
∴，
∴；
②若与共线时，
同理，
∴，
∴，
∴，
解得（舍），，
∴，
∴；
综上，．
25．【详解】（1）根据定义：，其中是的最大值，是的最小值．
① ∵，随增大而增大，
∴ 当时，y取最小值；当时，y取最大值；
∴，，，
代入定义得：，解得．
② ∵，，
∴，
分两种情况：
当时，递增，，解得；
当时，递减，，得；
因此．
（2）∵反比例函数（，）
∴在时，反比例函数随x的增大而减小，
∴最大值，最小值，
∴，
∴，
∴．
∵函数是“拉伸函数”，即，
∴，
∴．
又∵，
∴．
（3）二次函数，开口向下，对称轴为， ，
∴ ，
分情况讨论：
当时，对称轴在的左侧，在内函数y随x的增大而减小，
∴，
∴，
又∵，
∴；
当时，对称轴在内，最大值在顶点处，，
若，最小值在，得，范围为；
若，最小值在，得 ，范围为；
∴时，；
当时，对称轴在右侧，在内函数y随x的增大而增大，
∴，
∴，
又∵，∴．
综上，合并所有情况得．
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