资源简介

姓名」
座位号
(在此卷上答题无效)
2026届高三最后一卷
数学
(考试时间：120分钟
满分：150分)
注意事项：
1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，务
必擦净后再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.集合A=0,1,3,4,5},集合B=x|(x-1)(x-5)<0},则A∩B=()
A.1,3,4}
B.1,4}
c3,4
D.{3,4,5}
2.已知复数：满足+2=(2+)（其中1为虚数单位），则：的虚部为()
A.1
B.2
C.2
D.25
3.平面向量a,五满足d=2,a-(a+i)=3,且向量a,
五的夹角为号，则()
A.1
c.5
D.2
4.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S6=9S,a4-4=3,则a4=（)
A.4
B.2
C.8
D.-8
5已知界，及是椭圆C号+片-1a>b>0)的左右焦点，点P在稀圆上，APR因为等题三布形.
∠FP=120°，则椭圆C的离心率为()
1
A.A
c.25
D.3-1
3
2
6.将函数y=3cos2x+
2+后1的图象向右平移弩个单位长度，得到函数了)的图象，则了)图象的对称
中心的坐标是()
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7,在三棱锥A-2CD中，AB=BC=AC-CD-=2W5,∠BCD=2,三面角4-BC-D的大小为写
3
则三棱锥A-BCD的外接球表面积为()
A.84
C.27元
D148z
3
8.已知a=e号，b=n号，c=希，则下列大小关系正确的是（）
A.a>b>c
B.c>b>a
C.b>a>c
D.a>c>b
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，
9.下列说法正确的是()
A.若随机变量X~N1,σ2)，则P(X≤0)=P(X≥2)
B.若事件A,B相互独立，则P(AUB)=P(A)+P(B)
C.若样本数据x,x2,…,x的方差为2，则数据2x1+1,2x3+1,…,2x+1的方差为8
D.用相关指数R刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好
10.己知f(x)=sin(x+)+sinx+sin0,其中f(x)最大值为记为M(0),则下列正确的是()
A.存在∈R,使得函数f()为奇函数
B.任意6ER,都有M(O)≤3
2
C.任意0∈R,f(x),f(x+m)至少有一个不小于-1
D.任意0∈R,且f(x1)=f(x2)=M(),则|x-x3lmn=2π
11.如图，抛物线E:x2=4y,过点P向抛物线E作两条切线PA,PB,切点分别为A,B.切线PA,PB
分别交x轴于C,D设A(x1,y),则下列说法正确的有()
A.过点A的切线方程为xx=2(+)
B.当点P在准线上时，|PA‖PB的最小值为8
0
C.当点P在准线上时，IPC‖AB=2|PB‖CD
4
D.对任意点P均有∠AFP=∠BFP
2026届高三数学试卷第2页共4页2026届高三最后一卷·数学
参考答案 提示及评分细则
一。单项选择题:
1.答案:C.
2 2(1-i)
2.答案:A.因为+∠=2+i,即=+2=(2+i)=可得z= =1-i,所以二=1+i,选A
1+i(1+i)(1-i)
3答案:A解;因为同=2,且向量a,5的夹角为学,所以a5-同刚cos华=-刚由(3a-26)(a+6)=9
得3a2+a.5-252=9则26+6-3=0,解得B=1(负值舍).
4.答案:B.解:设等比数列的公比为9,易知g≠1,由题意x-os及a-a=3,解得 2,由a=
g=2
q=2时,as=aq2=2.
5答案:B解:由题意知A(-a0).R(-c,0).只(c0),由△PR乃为等腰三角形,且∠RRP=120°,得
|PR|=|R=2c过P作P2垂直x轴于Q,如图所示,
则在RtAPR@中,∠PRQ=180°-120°=60°,故|PQ|=|PF|sn∠PRQ=z×3反2
[RCl=IPRIcos∠PRe=2cx±= 3=c,所以P(c+c,V3c),即P(2c,V3c),代入直线AP的方程y (x+a)
2
√3
得√3c (2c+a),即a=2c,所以所求的椭圆离心率为e=二=÷
4
6.答案:B.解:由题意可得f(x)=3cos|2|x-= +1=3sin2x+1令2x=kn,k∈Z,得
2,keZ,此时f(x)=3sin(π)+1=1所以f(x)图象的对称中心是 ,1|(k∈Z),答案为B
7.答案:D.
解:取BC中点E,连接AE,DE,∴AB=BC=AC=2V3, AE⊥BC,AE=3CD=2V3CE=V5
∠BC=120°,DE⊥BC,DE=3,∠AED为二面角A-BC-D的平面角
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∠4ED=6O° AE=DE=3,A4ED为等边三角形,AD=3。设△BCD的外心为Q,A4BC的外心
BD BC
为O,,△BCD中,BD=6,2x= =4√3,万=2√3,△ABC为等边三角形,2r= 三 4
sinI2O 8in6O
7=2,过Q作平面BCD的垂线,过O;作平面4BC的垂线,交点为球心O,由二面角60~计算得
R2=3 148,所以表面积为 一π,选D.
3 3
8.答案:A.
153
解:要证明 a>c,需证-n 。因为e 得证 aC
5 22
乙 x
构造函数f(x)=In(1+x)-· -(x>O)。求导得f(x)= >0,故f(x)在(0,+o)单调递增
十 (1+x)(x+2)
2
乙
因此 f(x)>f(O)=0,即ln(1+x)>· x; 得 得证 bC
x十2 5
十
由 In(1+x)0),得 In 故 a>b.综上,a>b>c,答案 A.
二、多项选择题;本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目
要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分
9.谷案:ACD.
解:对于A,因随机变量X～N(Lc),则M=1,由正态曲线的对称性可得P(X≤0)=RX≥2),故A正
确;
对于B,由事件A,B相互独立可知P(A∩B)=P()P(B),对于随机事件A,B,都有
PAUB)=MA)+PB)一RA1B)=PA)+P(B)一F()P(B),故仅当A,B互斥时,才有P(A∩B)=0
故结论不成立,即B错误;
对于C,由总意,x= ,S =1之(x-2=2,对于数据2x+1,2x+1, ,2x+1,其均值为
x2=n⊥2(2x,+1)=2xx工2x,+nx工=2x+1,其方差为5
s=1之[(2x+1)-可=之[20-=4x之(x-了=4s2=4×2=8,故c正确
对于D,相关指数尺“越接近1,值越大,残差平万和接近0,值越小,则该回归模望的拟合效果越好,故
D正确.
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1O.答案:BC.
解:易知A错误;
f(y)=(+cos0)sinx+sinQcosx+sin0=V(1+cos0)+sin*0sin(x+)+sin0≤V2+2cosQ+sing
日θ G 6 G G
,∴M(0)=√2+2cos0+sin0=2|cos +sinθ ≤2cos 十2Sn- C 三2CoS —(1+sin-
2 2 2 2
6 √3
=1,则q(1)=2cos(1+sin),q(1)=2(1-2sin1)(+sin1)=0,所以sin1= -或者coSt=
2 2
3√3
所以φ(f)mg 选项B正确;2
设f(x)<-1,f(x+π)<-1,f(x)+f(x+n)<-2,即sin0<-1矛盾,选项c正确
当1+cos0=0时,cos0=-1,即sin0=0,此时f(x)=0,选项D错误
11.答案:ABD.
解:A显然正确:
对于B,设P(x,-1) P4:Xx=2y+2y过点P,所以∵P4:为A=-2+2M,同理,x=-2+2y
[xox=-2+2y
∴AB:xox=-2+2y,联 立 x=4y ∴x2-2xox-4=0,∴x+x=2xo,xx=-4,
B P —n
∴P4.PB= 一 )( )1(x-%)(x-%)F(x+4)2≥42=8,选项B正确;
对于C,易知,AP4B～APDC,PC·AB=PB·CD,故C错:
对于o,kg=业二1=工二4 x—4 又 P(互i+工z,互立),kog _4
4x 4x 4 2(x +x )
tan∠AFP= 5r-Ar,tan ∠Brp: Aar-Ac,所以∠4FP=∠BFP,D正确
1-kk 1-kgkp
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共 15分
12.答案:-3.
13.答案:立
解析:设第一次抛出的点数为i(i=1,2.3,4),最终以数字1结束的概率记为P
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第一次出现点数 第二次出现的点数如下:
1,结束(记下) 『青来低寒1未结束,继续抛
结束(不是以1结束,不记在内) 2,结束(不是以1结束,不记在内)
3,未结束,继续抛 3,未结束,继续抛
【4,结束(不是以1结束,不记在内) 【4,结束(不是以1结束,不记在内)
p3
故: ,得p =
P3 三p 十三p
14.答案:1.
5
解析:a=5’Qmi=a 2-a,+1,知a >0.
由a-a=a2-2a+1=(a-1)>0,知数列{a}单调递增
由a+=a2-a+1,知a+1-1=a-a=a(a-1)
得 所
C a(a-1)a-1a C a一 G一
C ao26 a-1 a,-1 a,-1C CZn6 Ca
3
a二a oz a oz=I
19 271
由数列{a}单调递增, 3 -a十I,得a 9 C 8 >3,得到aoz>3,
O
ao-1
则m= 的整数部分为I
a=I agzz=I amz
15.解析:(1)由正弦定理得:a=2RsinA,c=2=2RsinC.所以由a=2cosB可得
2RsinA=2RsinCcosB,又由A+B+C=πsinA=sin(B+C)
则sinA=sin(B+C)=sinCcosB,得到cosC=0,则C= 6分
(2)由C=一,得2R=c=2,得R=1.而内切圆半径:
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===sinA+sinB-1=sinA+cosA-1=V2sin(A+=)-1≤V5-1,
其中A=B=一时等号成立, 13分
血号青乐得常
16.解析:
(1)取AD中点O点,连接EO,由AEAD为正三角形,得到EO1AD
又侧面EAD垂直于底面ABCD,AD=平面EADn平同ABCD
所以EO1平面ABCD,如图建立空间直角坐标系- 2分
于是A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,0,V3),D(-1,00)H(-50,一
所以AE=(0,2,0),AF=(-5.0, ),DE=(1,0,V3)
(DE.AE=O
由)DE·AF=0得到 DE1平面 ABE. 7分
(AB∩AH= A
(2)利用下=÷AE=(0,1,0)得到F(0,1,V3)
在平面BCE中,BC=(-2,0,0),BF=(-1,-1,V3),设平面BCE
的一个法向量为m=(a.b,c)
则{面·BC=O得到: —2a= O
(i·BF=O (-a-b+√3c =0
不妨设c=1,则m=(0,√3.1) 1O分
又由平面ADE与平面ABCD垂直,ABIAD,AD=平面ADEn平面ABCD
则AB1平面ADE,则AB=(0,2,0)为平面ADE的一个法向量
AB
所以 cos 2V3√3
面AB
所以平面ADE与平面BCF所成角的余弦值头 15分
17.解析:(1)f(x)的定义域为(0,+o),f'(x)= 2分
当a≤2时,f'(x)=(三+x-a)≥0,所以f(x)在(0,+o)上单调递增
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当a>2时,令f'(x)=0,不妨记t1=一a2-4t =a+√a2-4
所以f(x)在(0,t1)上单调递增,在(t1,t2)上递减,在(tz,+)上递增
综上所述:
当a≤2时,f(x)在(0,+oo)上单调递增:
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当a>2时,f(x)在(0,2-√a2-45)上单调递增,在(2-Va2-4 a+Va2-4)上递减,在(2+Va2-4 十oo)上递增;
_7分
(2)设f(x)=x-=-alnx有三个零点x,xz,xs,而f(1)=0
盘号青来依
f(x) —anx
当x>0日x≠1时, ,得到:f(x)十f 三O
x+=+alnx
故f(x)=0,f(÷)=0,又因为f(1)=0,故x,xz,xs满足0所以f(x)=2土21=0,即x2一ax+1=0在(0,+o)有两个不同的实数根t,tz,t1(t +t =a>O
所以t1'tz=1>0,得到a>2,0(△=a2—4>O
所以f(x)在(0,t1)上单增,在(t1,t2)上单减,在(tz,+o)上单增; 1O分
取x=e-a∈(0,1),所以f(e-°)=a2+e-a-e"<-e°+a2+1
由a>2设g(d)--+a2+1,g(a)--+2a,g“(a)--”+2<0,所以g(a)在(2,+四)上递减,故
g‘(a)故g(a)而f(t1)>f(1)=0,f(t2)取x=e"时,f(e")=-a2-e-a+e"=-f(e-")>0
故由根的存性定理可知,当a>2时,必存在三个不同实数,0f(xg)=0.故a>2.- 15分
18.答案:(1)x2-y2=1. 4分
(2)(i)设M(xo,yo),则1的方程:xox一yoy+1
A(t三 —),B(—t,— ,∴k十k g分
(i)由∠AOM+∠BOM=π,i故SaAoN_O_M 12分
EON OB
因为OA2=t2+(Eo-1),OB2=t2+(!
又因为=,代入 求得t= 17分
19.解析:
(1)解法一:当n=3时,T3={0,1,2,3,4,5,6,7}
故所有项的和为28
解法二:7、共有25=8种情况,而20,21,2出现的次数均为2个,故所有项之和为
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22(20+21+22)= 28.- 4分
(2)①解法一:可直接拆分:10=23+21
=23+1+1=22+22+21=22+22+1+1=22+21+21+21
=22+21+21+1+1=22+21+1+1+1+1=2>+1+1+1+1+1+1
盘号青来试」考
=2+2+2+2+2=2+2+2+2+1+1
=2+2+2+1+1+1+1=2+2+1+1+1+1+1+1
=2+1+1+1+1+1+1+1+1=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
故k1o=14
解法二:可以用第(2)结论来求ki0=ks+ko=k+k6+k4=3k4+k=3(2k2)+k=14---9分
②先证明:k2n+1=k2n’
任意整均可拆分成2的非负整数次幕,而2的幕从有1为奇数,要得到奇数2n+1,必顺用奇数个1,把
任意拆分里的1个1去掉,使可得么2n的一个拆分,反过来2n的任意一个拆分加个1,使得到2n1的一
个拆分,所以k2n+1=k2n- 12分
再i证:k2n=k2n-2+kn(n≥2)
对2n的拆分项进行分类,共两类:
1类为至少含有两个1的拆分项,2类至多含1个1的拆分项
第1类全少含有两个1的拆分项,将两个1去掉,与2n2的拆分项是一一对屈的,放这类拆分的数量为k加2
2类2类至多含1个1的拆分项,而总和为偶数,故1的个数从能是0个,于是2n的拆分项,从需考查
的抓分即司,设n=c+6十 十cmm∈N”区里c1c cm都是2的排的形式所以2n=(G+6z
十c小,内边同除2得到n的拆分,于是2n的拆分项,与n的折分项是一一对应的故此类拆分数为火,
综上可得:k2n+1=k2n- 17分
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