资源简介

2026北京二中初二（下）期中
数 学
第I卷（选择题 共16分）
一、选择题（共16分，每题2分，以下每题只有一个正确的选项）
1. 下列四个图象中，能表示y是x的函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列各式计算错误的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 关于一次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 随的增大而增大 B. 经过二、三、四象限
C. 与轴的交点坐标为 D. 当时，
5. 如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知四边形中，交于点，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. B.
C. D. 且
7. 在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向下平移单位长度后恰好经过点，则的值为（ ）
A. 3 B. 5 C. 8 D. 10
8. 某地一天内的气温与时刻之间的关系如图所示．令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差）．则与之间的函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共84分）
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 函数中，自变量x的取值范围是_____．
10. 一个面积为的三角形，若其底边长为，则该底边上的高为_________．
11. 菱形有一个内角是，边长为，则它的面积是______．
12. 如图，直线与坐标轴的两个交点分别为，，则不等式的解集为________．
13. 已知关于x的函数（是常数），与的部分对应值如下表：则______（从“”“””“”中选一个填空）
x … 0 2 3 …
y … s b t …
14. 如图，在矩形中，，对角线相交于点O，过点O作垂直交于点E，则的长是______．
15. 《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭尺随箭壶中的水位匀速上浮，通过读取箭尺读数可指示时间（如图），观察、记录数据如下表（未记录完整）：
箭尺读数 1 6 21 31
指示时间 ？
则箭尺读数为时，指示时间应为______．
16. 已知关于的一次函数，其中，
（1）当时，则________；
（2）当时，自变量始终能取到整数值，且整数值的个数不超过2个，则的取值范围为________．
三、解答题（共68分，其中第17-22每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）
17. 计算：．
18. 已知，求下列代数式的值．
（1）_______，_______；
（2）．
19. 如图，在平行四边形中，点在线段上，，完成下列作图和证明过程．
（1）尺规作图：作的角平分线交线段于点，连接，（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：．
证明：，
________．
________，
．
_________
．
，
且．
_______．（_________）
，
四边形为菱形．（________）
．（________）
20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图：
（1）在图①中画出面积为5的正方形；
（2）在图②中以已知线段为对角线画出一个菱形（非正方形），使菱形的另外两个顶点也在格点上；
（3）在图③中以已知线段为对角线画出一个矩形（非正方形），使矩形的另外两个顶点也在格点上，且矩形的边不与网格线平行，该矩形的面积为________．
21. 如图，在中，点、分别是、的中点，点是延长线上的一点，且，连接、、，求证：．
22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出m的取值范围．
23. 如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，AC＝2AB，BE∥AC，OE∥AB．
（1）求证：四边形ABEO是菱形；
（2）若AC＝2，BD＝4，则四边形ABEO的面积是 ．
24. 如图，直线与轴、轴分别交于点 ，且与直线相交于点，直线与轴、轴分别交于点、．
（1）求点的坐标及直线的函数表达式；
（2）直接写出点的坐标；
（3）直线上是否存在点，使得的面积为？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25. 某数学兴趣小组想从函数的角度探究弹簧弹力与弹簧的伸长量之间的关系，设计如图所示的实验装置．弹簧在未悬挂钩码时长度为，在弹簧下端悬挂一个钩码，平衡时记下弹簧总长度以及钩码的重量，计算出此时弹簧受到的弹力，增加钩码的个数，重复上述实验过程，将所得数据填入下表：
弹簧受到的弹力（）
弹簧的长度（）
请帮该兴趣小组解决下列问题：
（1）处理上表的数据，以弹簧的伸长量为横轴，弹簧弹力为纵轴建立如图所示的直角坐标系（注：弹簧伸长量弹簧受力后的长度弹簧原长度）
①将表中的数据在直角坐标系中描出，并将描出的点连线；
②写出弹簧弹力与弹簧的伸长量的函数关系式______；（不要求写自变量的取值范围）
（2）如果该弹簧受到超过240N的弹力，将不会恢复到原有的长度，这就是超过弹性限度，弹簧会发生永久形变．实验过程中，该兴趣小组测量出弹簧的长度为，该弹簧是否会发生永久形变，请说明理由．
（3）设弹簧的劲度系数，同学们拿来两根劲度系数不同的弹簧甲、乙，分别挂上 两物块（如图所示），且物块的质量大于物块的质量（质量越大，悬挂时弹簧受到的弹力越大），由图可知，甲、乙两弹簧的劲度系数的大小关系为_________．（填“”，“”或“=”）
26. 【课本原型】人教版八年级下册数学课本，原题为：“画出函数的图象”．
【初步探究】小厉同学类比此函数的学习进一步对函数的图象与性质进行了探究．请根据下表探究过程中的部分信息，完成下列问题：
（1）a的值为________；
（2）在图中画出该函数的图象；
（3）【数学思考】结合图象，下列说法正确的是：________；
A．函数图象关于轴对称
B．当时，随的增大而增大
C．当时，
D．函数图象与轴围成图形的面积为4
（4）【深入探究】函数图象上有两点和，当时，直接写出的取值范围．
27. 如图，在正方形中，为对角线，点是边上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，连接交于点．
（1）依题意补全图形，并求的度数；
（2）判断线段、和之间的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系中，对于平面内一点及直线，设点到直线的距离分别为，且，称为点关于直线，的“二分率”．
（1）已知点的坐标为，其中．
①当时，点关于轴，轴的“二分率”为_______；
②若线段上总存在点，使点关于轴，轴的“二分率”不小于4，求的取值范围；
（2）已知直线分别与两坐标轴交于两点，若线段上存在唯一的点，使点关于轴，直线的“二分率”为4，请你直接写出的取值范围．
参考答案
第I卷（选择题 共16分）
一、选择题（共16分，每题2分，以下每题只有一个正确的选项）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C C D A D D B
第Ⅱ卷（非选择题 共84分）
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 【答案】
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故答案为．
10. 【答案】
【详解】解：设该底边上的高为，
整理计算得：
11. 【答案】
【详解】解：如图，，过点A作于点E，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴它的面积是．
故答案为：．
12. 【答案】
【详解】解：由图像可知，直线与轴的交点为．
当时，．观察图像可知，函数随的增大而增大，
当时，，即．
不等式的解集为．
13. 【答案】
【详解】解：当时，，当时，，
解得，，
∴，
当时，，
∴，
∴，
故答案为： ．
14. 【答案】
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，，
∴．
∵垂直，
∴．
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：．
15. 【答案】
【详解】解：由表格可得，至，读数从变成了；
至，读数从变成了，
∴箭尺每小时匀速上升，
以为时间起点，设经过x小时后，箭尺读数为，
∴
设当箭尺读数为时，
解得．
∴从经过8小时后，指示时间为．
16. 【答案】 ①. ②. 或
【详解】解：（1）当时，，
∴，
∵，
∴，
（2）∵令
∴
当时，
∴
∵自变量始终能取到整数值，整数值的个数不超过2个
∴
解得：或
三、解答题（共68分，其中第17-22每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）
17. 【答案】
【详解】
．
18. 【答案】（1）； （2）
【小问1详解】
解：∵，
∴，
，
【小问2详解】
解：∵，，
∴
．
19. 【答案】（1）见解析 （2）见解析
【小问1详解】
解：如图所示，
【小问2详解】
证明：，
，
又平分，
，
，
，
，
且，
四边形为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
又，
四边形为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形），
（菱形对角线互相垂直）；
20. 【答案】【小问1详解】
解：如图所示，
【小问2详解】
解：如图所示，
【小问3详解】
解：如图所示，
矩形的边长分别为
矩形的面积为
21. 【答案】证明：∵点、分别是、的中点，
∴，
∵点是延长线上的一点，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
22. 【答案】（1） （2）且
【小问1详解】
解：由平移可知，，
将代入中得，，
∴一次函数表达式为；
【小问2详解】
解：如图，
由题意知，当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，m的取值范围为且．
23. 【答案】（1）证明见解析；（2）．
【详解】（1）证明：，
四边形是平行四边形，
点是平行四边形对角线的交点，且，
，
四边形是菱形；
（2）如图，连接，交于点，
四边形是平行四边形，且，
，
四边形是菱形，
，
在中，，
，
则四边形的面积为．
24. 【答案】（1）； （2） （3）或
【小问1详解】
解：将点代入
∴
∴
设直线的函数表达式为
将、代入
∴
解得：
∴直线的函数表达式为
【小问2详解】
解：当时，
∴
【小问3详解】
解：如图，过点作轴交于点，
当时，，则，则
设
当在的上方时，
∴
解得：，
∴
当在的下方时，如图
∴
解得：，
∴
综上所述，点的坐标为或
25. 【答案】（1）①见解析；②； （2）不会发生永久形变；见解析． （3）
【小问1详解】
解：①根据题意，处理表格如下：
弹簧受到的弹力（）
弹簧的伸长量（）
如图所示；
②根据题意得：每伸长，弹力增加，
∴；
【小问2详解】
解：不会发生永久形变．
理由如下：
当弹簧的长度为21时，弹簧的伸长量，
当时，．
，
不会发生永久形变．
【小问3详解】
解：∵弹簧的劲度系数，
∵物块的质量大于物块的质量，质量越大，悬挂时弹簧受到的弹力越大
∴，
根据图形可得，
∴
26. 【答案】（1） （2）见解析 （3）BD （4）
【小问1详解】
解：由表知，当时，；当时，，
把它们代入函数式中，得：，
解得：，
故函数解析式为；
当时，；
【小问2详解】
根据表中的数据，描点、连线，画图如下；
【小问3详解】
解：根据所画函数图象关于直线对称，不是关于y轴对称，故A说法错误；
当时，函数图象是上升的，即y随x的增大而增大，故B说法正确；
当时，根据函数图象得：或，故C说法错误；
由表知，函数图象与x轴相交于、，
则函数图象与x轴围成图形的面积为，故D正确；
【小问4详解】
解： 和在上
∴，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
27. 【答案】（1）见解析 （2），见解析
【小问1详解】
解：如图，
∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∴
∴，即是等腰直角三角形，
∴
【小问2详解】
解：
证明如下：如图，过点作交于，过点作于，连接，
∵在正方形中，为对角线
∴
∴，同理可得
又∵
∴
，
∵
∴，
∴，
，
，
为中点
，
，
，
在中，，
在中，
∴
即
28. 【答案】（1）①，② （2）或
【小问1详解】
解：①当时，点的坐标为，
∴点关于轴，轴的距离分别为，
∴点关于轴，轴的“二分率”为；
②∵点的坐标为，其中，则直线的解析式为，
∴点关于轴，轴的距离分别为，点关于轴，轴的“二分率”不小于4，
∴，即，
∴，
【小问2详解】
解：作直线，分别与直线交于，两点．
过点作与的两条角平分线，则上的点到直线与距离相等，
故上的点到直线与轴距离，且，．
同理，过点作与的两条角平分线，则的点到直线与距离相等
故上的点到直线与轴距离，且，
同理，将直线按照垂直于的方向平移个单位，
如图，即
当时，，解得：，则
当时，，解得：，则
∴
∵，
∴
∴
∴，
同理可得,
过点作平行于的直线与轴的角平分线，故角平分线上的点到直线与轴距离，且
同理过点作平行于的直线与轴的角平分线，角平分线的点到直线与轴距离，且
若线段上存在唯一的点，使点关于轴，直线的“二分率”为，则线段与上述角平分线只能有一个交点，
①当过点时，
②当过点时，直线与的夹角为，设其解析式为
代入，
得，
解得：，即
③当过点时，将代入得，
解得：
④当时，，解得：，则
当过点时，直线与的夹角为，设其解析式为代入得
解得：
即
综上所述，或

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