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黔南州2025-2026学年度第二学期八年级数学期中测试卷
一、单选题(共12题；共24分)
1．（2分）要使二次根式 有意义，则x的取值可以是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
2．（2分）下列各式中，属于最简二次根式的为（　　）。
A． B． C． D．
3．（2分）下列计算正确的是（　　)
A． B． C． D．
4．（2分）以下列各组数为三边长的三角形中，能构成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B． C．6，7，10 D．
5．（2分）如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面，树的顶端离树根，则这棵树在折断之前的高度是（　　）
A． B． C． D．
6．（2分）如图，中，，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，，，若，则阴影部分面积为（　　）
A．8 B．14 C．16 D．18
7．（2分） 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，F是线段DE上的一点。连结AF，BF，∠AFB=90°，且AB=8，BC=14，则EF的长是(　　)。
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2分）若一个四边形截去一个角后，可能为（　　）边形
A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6
9．（2分）多边形的密铺在我们生活中经常遇见，例如用瓷砖拼铺房屋外墙面或地面等．下列正多边形中，只用一种不能密铺的是（　　）
A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形
10．（2分）如图，在 ABCD中，E为BC的中点，AE恰好平分∠BAD，若CE=3，则 ABCD的周长为（　　）
A．9 B．12 C．18 D．24
11．（2分）如图，矩形内有两个相邻的正方形.若两个正方形的面积分别为S1=1和S2=2，则图中阴影部分的面积为( )
A．1 B． C． D．
12．（2分）下列命题中，真命题的是（　　）
A．有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形
B．两组邻边相等的四边形是菱形
C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D．对角线互相平分且相等的四边形是正方形
二、填空题(共4题；共12分)
13．（3分） 化简： 　 　.
14．（3分）如下图：在中，，D、E、F分别是各边中点，，，则的周长=　 　cm．
15．（3分）如图，某阶梯每一层高 20cm， 宽 40cm， 长50cm， 现有一只蚂蚁打算从A点爬到B点，则最短路程是　 　cm.
16．（3分） 如图，一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸。已知，D为边AB的中点，点A，B对应的刻度分别为1，7，则　 　。
三、解答题(共8题；共64分)
17．（4分）计算：．
18．（6分）先化简，再求值：其中
19．（10分）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且．
（1）（3分）求边的长；
（2）（4分）连接，判断的形状；
（3）（3分）求这块空地的面积．
20．（8分）如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为．
（1）（4分）求长方形空地的周长；（结果化为最简二次根式）
（2）（4分）已知李明家种植的草莓售价为8元/千克，且每平方米产草莓15千克，若李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为多少元？
21．（8分）如图，四边形为矩形，对角线，交于点O，交的延长线于点E．
（1）（4分）求证：；
（2）（4分）若，求的度数．
22．（9分）如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F.
（1）（5分）求证：AE＝BF；
（2）（4分）若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值.
23．（9分）阅读下列解题过程：
，
．
请回答下列问题：
（1）（2分）观察上面的解答过程，请写出 ；
（2）（3分）请你用含（为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律： ；
（3）（4分）利用上面的解法，请化简：．
24．（10分）【问题提出】：如图1，是菱形边上一点，是等腰三角形，，，交于点，探究与的数量关系．
【问题探究】
（1）（5分）先将问题特殊化，如图2．当时，求出的大小；（提示：可在边上取点，使．连接，构造全等三角形来解答问题）
（2）（5分）再探究一般情形，如图1，求与的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式要有意义，则x-3≥0，
即x≥3，
故答案为：D．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
2．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A：是最简二次根式；
B：，不是最简二次根式；
C：，不是最简二次根式；
D：，不是最简二次根式；
故答案为：A.
【分析】根据最简二次根式的定义“被开方数中不含能开放的因数或因式，且不含分母”逐项判断解答即可.
3．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、∵不是同类二次根式，∴A不正确；
B、∵，∴B正确；
C、∵2和不是同类二次根式，∴C不正确；
D、∵，∴D不正确；
故答案为：B.
【分析】利用二次根式的加减法和二次根式的乘除法的计算方法逐项分析判断即可.
4．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；风吹树折模型
【解析】【解答】解：如图：
结合条件和图中信息可知，
，
，
，
∴这棵树在折断之前的高度=AB+BC．
故答案为：A．
【分析】本题观察图形并结合图中信息“ 折断处离地面、 树的顶端离树根 ”，首先得出，然后根据勾股定理求出AB之后，原大树的高度是AB+BC，此时代入计算即可求得树折断之前的高度．
6．【答案】A
【知识点】勾股定理
7．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点D， E分别是边AB， AC的中点，
∴DE是 的中位线，
，
AB=8，
，
故答案为：B.
【分析】根据三角形中位线定理求出DE长，利用直角三角形斜边中线的性质求出DF长，再根据线段的和差解答即可.
8．【答案】C
【知识点】多边形的边
【解析】【解答】解：若一个四边形截去一个角后，可能为3或4或5边形．
故选：C．
【分析】根据多边形截去一个角得到的多边形边数少1条，不变或增加1条；据此解答即可．
9．【答案】C
【知识点】平面镶嵌（密铺）；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：A. 正三角形的每个内角为，能整除，故不符合题意；
B. 正四边形的每个内角为，能整除，故不符合题意；
C. 正五边形的每个内角为，不能整除，故符合题意；
D. 正六边形的每个内角为，能整除，故不符合题意．
故选：C．
【分析】用一种正多边形铺满平面时，需要满足每个内角都能被360°整除。因为围绕平面中任意一点，所有相邻多边形的内角之和必须正好等于360°。正三角形内角60°，360°÷60°=6；正四边形内角90°，360°÷90°=4；正六边形内角120°，360°÷120°=3，这三种都能整除，所以可以单独密铺。而正五边形内角108°，360°÷108°的结果不是整数，因此无法用同一种正五边形不留缝隙地铺满平面。
10．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴．
∵E为的中点，
∴，
∴，，
∴的周长为．
故答案为：C .
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义得到，然后根据等角对等边得到AB=AE，然后求出BC长解答即可．
11．【答案】B
【知识点】二次根式的实际应用；正方形的性质
【解析】【解答】解：设面积为1的正方形的边长为a，面积为2的正方形的边长为b，
∵S1=1，S2=2，
∴a2=1，b2=2，
∵a>0，b>0，
∴a=1，
∴.
故选：B.
【分析】根据正方形的面积公式求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式求解即可.
12．【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：选项A：矩形的判定要求是对角线相等的平行四边形或三个角是直角的四边形，仅“有一个直角+对角线相等”的四边形不一定是矩形（可构造反例：一个直角、对角线相等但不互相平分的四边形），故A是假命题；
选项B：菱形的判定要求是四条边相等或一组邻边相等的平行四边形或对角线互相垂直平分，仅“两组邻边相等”的四边形不一定是菱形（如筝形，仅两组邻边相等，对边不平行），故B是假命题；
选项C：对角线互相平分的四边形是平行四边形，在此基础上对角线互相垂直，根据菱形的判定定理，该四边形是菱形，故C是真命题；
选项D：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，而非正方形（正方形还需对角线互相垂直、邻边相等），故D是假命题。
故答案为：C .
【分析】本题考查特殊四边形（矩形、菱形、正方形）的判定定理，需逐一验证每个选项是否符合对应判定定理，找出真命题。
13．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；实数的绝对值
【解析】【解答】解：根据题意可得，
故答案为：.
【分析】利用二次根式的性质（）分析求解即可.
14．【答案】12
【知识点】三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
∵D、E、F分别是各边中点，
∴DF、DE、EF都是的中位线，
∴，
∴ 的周长cm；
故答案为：12.
【分析】
本题考查了勾股定理和三角形的中位线，熟练掌握这两个定理是解题的关键；先根据勾股定理求出的长，再根据三角形的中位线定理即可解决问题.
15．【答案】130
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：根据题意画出阶梯平面展开图，如图
∵阶梯每一层高 20cm， 宽 40cm， 长50cm
∴
故答案为：130.
【分析】本题主要考查立体图形（阶梯）中的最短路径问题，核心方法是将立体图形展开为平面图形，然后利用两点之间线段最短的原理，结合勾股定理计算展开图中A与B之间的直线距离.
16．【答案】3
【知识点】直角三角形斜边上的中线；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：AB=7-1=6
∵ D为边AB的中点，
∴CD=(cm）
故答案为：3.
【分析】首先根据刻度尺上对应的数可求得AB的长度，进而根据直角三角形斜边上的中线的性质，可得出CD=(cm）。
17．【答案】解：原式=（3-2+1）-[（）2-（）2]
=（3-2+1）-（3-2）
=4-2-1
=3-2．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】首先根据完全平方公式和平方差公式进行乘法运算，然后再去括号，合并同类二次根式即可。
18．【答案】解：原式
当时，原式
【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先计算括号内分式的加减，再把除法化为乘法，分解因式约分化简，再把x的值代入计算即可．
19．【答案】（1）解：，
．
在中，
，，
．
是的中点，
（2）解：△ADC是直角三角形，理由如下，如图，
，是的中点，
．
，，
，
，
是直角三角形
（3）解：由（2）可知，是直角三角形，，
，
由（1）可知，，
这块空地得面积为：
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）在Rt△ABE中，用勾股定理求出BE的值，然后根据线段中点的性质即可求解；
（2）△ADC是直角三角形，理由如下，由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得AC=AB，然后根据勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状；
（3）把四边形的面积分割成两个三角形的面积来计算即可求解．
20．【答案】（1）解：由题意得，长方形空地的周长
；
答： 长方形空地的周长为
（2）解：由题意得：，，
∴
元，
答：李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为4680元．
【知识点】二次根式的实际应用；矩形的性质
【解析】【分析】
（1）先根据长方形周长计算公式列式，由于长和宽都不是最简二次根式，所以需要对其化简，最后还需对同类二次根式进行合并；
（2）先利用二次根式的乘法运算法则和平方差公式求出种植草莓的面积，再根据草莓的售价和产量进行求解即可．
（1）解：由题意得，长方形空地的周长
；
（2）解：由题意得：，
，
∴
元，
答：李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为4680元．
21．【答案】（1）证明：∵四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形性质，结合平行四边形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据直线平行性质可得，根据矩形性质可得，再根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
22．【答案】（1）证明：四边形ABCD是菱形
∴AB＝BC，AD∥BC
∴∠A＝∠CBF
∵BE⊥AD、CF⊥AB
∴∠AEB＝∠BFC＝90°
∴△AEB≌△BFC（AAS）
∴AE＝BF
（2）解：∵E是AD中点，且BE⊥AD
∴直线BE为AD的垂直平分线
∴BD＝AB＝2
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的性质
【解析】【分析】（1）由菱形的性质可得AB＝BC，AD∥BC，结合已知用角角边可证△AEB≌△BFC，再根据全等三角形的对应边相等可求解；
（2）根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可求解.
23．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
24．【答案】（1）
（2）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；菱形的性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：100分
分值分布 客观题（占比） 33.0(33.0%)
主观题（占比） 67.0(67.0%)
题量分布 客观题（占比） 15(62.5%)
主观题（占比） 9(37.5%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
填空题 4(16.7%) 12.0(12.0%)
解答题 8(33.3%) 64.0(64.0%)
单选题 12(50.0%) 24.0(24.0%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (12.5%)
2 容易 (87.5%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 角平分线的概念 2.0(2.0%) 10
2 平方差公式及应用 4.0(4.0%) 17
3 分式的化简求值-直接代入 6.0(6.0%) 18
4 二次根式的实际应用 10.0(10.0%) 11,20
5 三角形的中位线定理 5.0(5.0%) 7,14
6 菱形的性质 19.0(19.0%) 22,24
7 平面镶嵌（密铺） 2.0(2.0%) 9
8 矩形的性质 16.0(16.0%) 20,21
9 三角形全等的判定-SAS 10.0(10.0%) 24
10 三角形内角和定理 8.0(8.0%) 21
11 解直角三角形—三边关系（勾股定理） 3.0(3.0%) 14
12 完全平方公式及运用 4.0(4.0%) 17
13 风吹树折模型 2.0(2.0%) 5
14 最简二次根式 2.0(2.0%) 2
15 真命题与假命题 2.0(2.0%) 12
16 实数的绝对值 3.0(3.0%) 13
17 正方形的判定 2.0(2.0%) 12
18 平行四边形的性质 2.0(2.0%) 10
19 勾股定理的实际应用-最短路径问题 3.0(3.0%) 15
20 分母有理化 15.0(15.0%) 18,23
21 矩形的判定 2.0(2.0%) 12
22 线段垂直平分线的性质 19.0(19.0%) 19,22
23 二次根式的性质与化简 3.0(3.0%) 13
24 平行线的性质 8.0(8.0%) 21
25 勾股定理 14.0(14.0%) 5,6,19
26 菱形的判定 2.0(2.0%) 12
27 等腰三角形的判定与性质 18.0(18.0%) 21,24
28 二次根式有无意义的条件 2.0(2.0%) 1
29 二次根式的乘除混合运算 2.0(2.0%) 3
30 二次根式的混合运算 13.0(13.0%) 17,23
31 正方形的性质 2.0(2.0%) 11
32 直角三角形斜边上的中线 5.0(5.0%) 7,16
33 等腰三角形的判定 2.0(2.0%) 10
34 平行四边形的判定与性质 8.0(8.0%) 21
35 数轴上两点之间的距离 3.0(3.0%) 16
36 正方形的判定与性质 10.0(10.0%) 24
37 多边形的边 2.0(2.0%) 8
38 多边形的内角和公式 2.0(2.0%) 9
39 二次根式的加减法 2.0(2.0%) 3
40 勾股定理的逆定理 12.0(12.0%) 4,19
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