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第01讲数列的概念重点题型归纳
【题型1】观察法求数列通项、根据规律填写数列中的某项
1．数列的第8项为（ ）
A． B． C． D．
【详解】数列
分子：，通项为；
分母：，通项为；
故数列通项为，第8项：.
【针对训练】
1．的第9项是（ ）
A． B． C． D．以上均不对
【详解】由题意可知，故第9项为．
2．数列的第8项为（ ）
A． B． C． D．
【详解】记数列为，通过观察分子分母的特征，可得数列的一个通项公式为，.
【题型2】数列的周期性
例题1．若数列满足，其前项积为，则（ ）
A． B． C．6 D．-6
【详解】当时，；当时，；当时，；当时，；，
故数列是以4为周期的周期数列，，
.
【针对训练】
1．已知数列满足，则前2023项的和的值为（ ）
A．506 B．1012 C．1013 D．2024
【详解】因为数列满足，
所以，
故数列是以3为周期的周期数列，且，
所以.
2．已知数列满足，，则（ ）
A． B． C．2 D．2025
【详解】由题意可知，即该数列是以3为周期的数列，
所以.
3．已知数列满足 则 （ ）
A．1 B． C． D．2
【详解】，，，，
可见，数列的周期为，
，
．
【题型3】确定数列中的最大最小项
例题1．已知数列的通项公式为，则取到最大值时的值是（）
A． B． C． D．
【详解】对分离常数得：，
令，得，
当（为正整数）时，，因此；
当（为正整数）时，，因此，
因此的最大值一定出现在中，排除C、D，
在时，增大，（负数）增大，减小，增大，
因此随增大而增大，所以时，取到最大值，
验证：，是所有项中的最大值，
故.
【针对训练】
1．已知数列满足，则数列的最小项是第（ ）项
A．5 B．6 C．7 D．8
【详解】由；
由.
所以数列中，当时；当时，
所以数列中，最小.
即数列的最小项是第8项.
2．已知数列的通项公式为，前n项和为，当取得最小值时，（ ）
A．1 B．2 C．6 D．7
【详解】依题意，，
当时，，数列单调递减，且，
当时，，数列单调递减，
因此，，
所以当取得最小值时，.
【题型4】累加法求数列通项
例题1．已知数列满足，，则（ ）
A．211 B．225 C．239 D．261
【详解】由，则，，，
则，
即，
又，故，
故.
【针对训练】
1．在数列中，，则的值为（ ）
A．2+ln99 B．2+ln100 C．2+ln101 D．
【详解】由可得，
则
.
2．在数列中，，数列的递推公式为，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【详解】由，得，
∴，，，，
，.
累加上式可得，
，
.
【题型5】利用an与sn关系求通项或项
例题1．记为数列的前项和，已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【详解】当时，，
当时，，不满足上式，所以
【针对训练】
1．已知数列的前项和公式为，则（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
【详解】．
2．若是数列的前项和，，则的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【详解】
．
【题型6】观察法求数列通项
例题1．已知数列的前4项为4，11，30，85，则的通项公式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】当时，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B可以是；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误；
故ACD错误，B正确.
【针对训练】
1．数列的一个通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【详解】注意到四项的分子均为，分母均为，可得通项公式.
2．已知数列0，，，，…，则该数列的通项公式可以为（ ）
A． B． C． D．
【详解】，观察可得该数列的通项公式可以为
3．数列的的一个通项公式（ ）
A． B． C． D．
【详解】将写成，所以该数列各项分子为，是以为首项和公比的等比数列，分母为，是以为首项,以为公差的等差数列，
所以此数列的一个通项公式为，故C正确.
【题型7】由递推关系式求通项公式
例题1．已知数列满足，则等于（ ）
A． B．2 C． D．4
【详解】因为，所以，
，
，
，
，
所以数列的周期为3，即.
【针对训练】
1．若数列满足，则（ ）
A． B．3 C． D．6
【详解】因为数列满足，则，
又因为，所以，，，
所以当为奇数时，，当为偶数时，，
所以.
2．已知数列的前项和为，，则的通项公式为________．
【详解】对两边同时除以，
得，即，
则是首项为，公差为的等差数列，
故，得．
3．记为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)记为数列的前n项和，证明：．
【详解】（1）①，当时，，即，所以，
当时，②，
式①-②得，即，
故当时，，
当时，依然成立，
故通项公式为；
（2），故，
当时，，
当时，，故，
又，故，
所以，
故
4．已知为数列的前项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项的和为，求．
【详解】（1）由已知，
当时，，
则，
化简可得，即，，，，，
等式左右分别相乘可得，即，
又，所以；
（2）由（1）得，即，
所以.
【题型8】累乘法求数列通项
例题1．已知，，求数列的通项．
【详解】已知，
则，
，
已知，由，
故数列的通项为：.
【题型9】根据数列的单调性求参数
例题1．在数列中，，若是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】.
由题知恒成立，当时，即，得.
讨论单调性，若是递增数列，则函数随增大而增大.
已知为正且随n增大而增大，则随n增大而减小，故需，即.
综上，实数k的取值范围是.
【针对训练】
1．若数列为单调递增数列，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【详解】数列为单调递增数列，且，，
，，即，
因为是关于n的单调递增函数，当时，
取得最小值．所以，
所以，
则．
2．数列，，（），若是递增数列，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】在数列，，由是递增数列，
得，，
而当时，，则，
所以的取值范围是.
3．已知等差数列满足，则（ ）
A． B．14 C． D．21
【详解】由等差数列满足，得，
所以，所以.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页第01讲数列的概念重点题型归纳
【题型1】观察法求数列通项、根据规律填写数列中的某项
1．数列的第8项为（ ）
A． B． C． D．.
【针对训练】
1．的第9项是（ ）
A． B． C． D．以上均不对
2．数列的第8项为（ ）
A． B． C． D．
【题型2】数列的周期性
例题1．若数列满足，其前项积为，则（ ）
A． B． C．6 D．-6
【针对训练】
1．已知数列满足，则前2023项的和的值为（ ）
A．506 B．1012 C．1013 D．2024
2．已知数列满足，，则（ ）
A． B． C．2 D．2025
3．已知数列满足 则 （ ）
A．1 B． C． D．2
【题型3】确定数列中的最大最小项
例题1．已知数列的通项公式为，则取到最大值时的值是（）
A． B． C． D．
【针对训练】
1．已知数列满足，则数列的最小项是第（ ）项
A．5 B．6 C．7 D．8
2．已知数列的通项公式为，前n项和为，当取得最小值时，（ ）
A．1 B．2 C．6 D．7
【题型4】累加法求数列通项
例题1．已知数列满足，，则（ ）
A．211 B．225 C．239 D．261
【针对训练】
1．在数列中，，则的值为（ ）
A．2+ln99 B．2+ln100 C．2+ln101 D．
2．在数列中，，数列的递推公式为，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【题型5】利用an与sn关系求通项或项
例题1．记为数列的前项和，已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【针对训练】
1．已知数列的前项和公式为，则（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
2．若是数列的前项和，，则的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【题型6】观察法求数列通项
例题1．已知数列的前4项为4，11，30，85，则的通项公式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【针对训练】
1．数列的一个通项公式为（ ）
A． B． C． D．
2．已知数列0，，，，…，则该数列的通项公式可以为（ ）
A． B． C． D．
3．数列的的一个通项公式（ ）
A． B． C． D．
【题型7】由递推关系式求通项公式
例题1．已知数列满足，则等于（ ）
A． B．2 C． D．4
【针对训练】
1．若数列满足，则（ ）
A． B．3 C． D．6
2．已知数列的前项和为，，则的通项公式为________．
3．记为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)记为数列的前n项和，证明：．
4．已知为数列的前项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项的和为，求．
【题型8】累乘法求数列通项
例题1．已知，，求数列的通项．
【题型9】根据数列的单调性求参数
例题1．在数列中，，若是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【针对训练】
1．若数列为单调递增数列，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．数列，，（），若是递增数列，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知等差数列满足，则（ ）
A． B．14 C． D．21
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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