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26届浙江省中考数学每日一练22
1．下列计算中不正确的是（　　）
A．m2 m4＝m6 B．（﹣m2）4＝m8 C．m6÷m2＝m3 D．2m2﹣m2＝m2
2．﹣12　 　 ．
3．甲骑车从A地到B地，乙骑车从B地到A地，甲的速度小于乙的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离y（km）与甲的行驶时间x（h）之间的函数关系．请你根据图象进行探究：
（1）求甲和乙的速度；
（2）C点的坐标是　 　 ；
（3）当甲乙两人相距10km时，求x的值．
4．【问题背景】如图所示，某兴趣小组将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，A′B′交AC于点E，A′C′交CD于点F．
【数学理解】
（1）在平移过程中，线段A′E的长始终与CF相等，请说明理由；
（2）已知AD＝3，AB＝4，在平移过程中，当两个三角形的重叠部分A′ECF为菱形时，求移动的距离AA′．
5．如图，正方形ABCD，直线DA绕点D顺时针旋转α至DE（0°≤α≤45°），作A关于直线DE的对称点F，AF交DE于点G，连CF交DE于点H，连BH交AC于点M．小明在探究DHC与α的大小关系时，发现其对应如下：
α 10° 20° 30° α
∠DHC 45° 45° ①　 　 ②　 　
（1）请填表，并证明结论②；
（2）求证：BH∥AF；
（3）在直线DA旋转过程中，试探究线段AM与线段CM的比（用含α的式子表示）．
26届浙江省中考数学每日一练22
参考答案与试题解析
一．选择题（共1小题）
题号 1
答案 C
一．选择题（共1小题）
1．下列计算中不正确的是（　　）
A．m2 m4＝m6 B．（﹣m2）4＝m8 C．m6÷m2＝m3 D．2m2﹣m2＝m2
【分析】根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方与积的乘方法则、同底数幂的除法法则、合并同类项法则分别计算判断即可．
【解答】解：A、m2 m4＝m6，计算正确，故此选项不符合题意；
B、（﹣m2）4＝m8，计算正确，故此选项不符合题意；
C、m6÷m2＝m4，原计算错误，故此选项符合题意；
D、2m2﹣m2＝m2，计算正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．
二．填空题（共1小题）
2．﹣12　1　 ．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：原式＝﹣1+2
＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
三．解答题（共3小题）
3．甲骑车从A地到B地，乙骑车从B地到A地，甲的速度小于乙的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离y（km）与甲的行驶时间x（h）之间的函数关系．请你根据图象进行探究：
（1）求甲和乙的速度；
（2）C点的坐标是　（1.5，15）　 ；
（3）当甲乙两人相距10km时，求x的值．
【分析】（1）依据题意得，A、B 两地总距离为30km，两人出发1h后相遇，从而速度和为：v甲+v乙＝30km/h，又甲从A到B全程用时3h，可得甲的速度为：v甲＝30÷3＝10（km/h），从而乙的速度为：v乙＝30﹣10＝20（km/h），即可得解；
（2）依据题意，结合图象可得C表示此时乙到达A，又乙走完全程30km所需时间：t乙＝30÷20＝1.5（h），故此时两人的距离＝甲在1.5h内行驶的路程＝10×1.5＝15（km），进而可以得解；
（3）依据题意，分相遇前和相遇后两种情况讨论计算可以得解．
【解答】解：（1）由题意得，A、B 两地总距离为30km，两人出发1h后相遇，
∴甲乙的速度和为：v甲+v乙＝30km/h，
∵甲从A到B全程用时3h，
∴甲的速度为：v甲＝30÷3＝10（km/h），
∴乙的速度为：v乙＝30﹣10＝20（km/h）．
答：甲的速度为10 km/h，乙的速度为20 km/h；
（2）由题意，结合图象可得C表示此时乙到达A，
又∵乙走完全程30km所需时间：t乙＝30÷20＝1.5（h），
∴此时两人的距离＝甲在1.5h内行驶的路程＝10×1.5＝15（km）．
∴C点坐标为（1.5，15）．
故答案为：（1.5，15）；
（3）由题意，分相遇前和相遇后两种情况讨论：
①相遇前（0≤x＜1）两人距离：y＝30﹣（10+20）x＝30﹣30x，
令 y＝10，
∴30﹣30x＝10，
∴x；
②相遇后（1≤x＜1.5）两人距离 y＝（10+20）（x﹣1）＝30（x﹣1），
令 y＝10，
∴30（x﹣1）＝10，则x；
③乙到达 A 地后（1.5≤x≤3）只有甲继续行驶，两人距离y＝10x，
令 y＝10，
∴10x＝10，则 x＝1（与相遇时刻重合，舍去），
综上，x的值为或．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．
4．【问题背景】如图所示，某兴趣小组将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，A′B′交AC于点E，A′C′交CD于点F．
【数学理解】
（1）在平移过程中，线段A′E的长始终与CF相等，请说明理由；
（2）已知AD＝3，AB＝4，在平移过程中，当两个三角形的重叠部分A′ECF为菱形时，求移动的距离AA′．
【分析】（1）根据矩形的性质得到AB∥DC，根据平移的性质得到AC∥A′C′，A′B′∥AB，推出四边形A′ECF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到A′E＝CF；
（2）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，
∵把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，
∴AC∥A′C′，A′B′∥AB，
∴A′E∥CF，CE∥A′F，
∴四边形A′ECF是平行四边形，
∴A′E＝CF，
即平移过程中，线段A′E的长始终与CF相等；
（2）∵AD＝3，AB＝4，
∴AC5，
设AA′＝x，A′E＝a，A′F＝b，
∵A′F∥AC，
∴△DA′F∽△DAC，
∴，即，
解得b，
同理，
解得ax，
当A′E＝A′F时，四边形A′ECF是菱形，
∴x，
解得x，
∴移动的距离AA′为．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了平移的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
5．如图，正方形ABCD，直线DA绕点D顺时针旋转α至DE（0°≤α≤45°），作A关于直线DE的对称点F，AF交DE于点G，连CF交DE于点H，连BH交AC于点M．小明在探究DHC与α的大小关系时，发现其对应如下：
α 10° 20° 30° α
∠DHC 45° 45° ①　45°　 ②　45°　
（1）请填表，并证明结论②；
（2）求证：BH∥AF；
（3）在直线DA旋转过程中，试探究线段AM与线段CM的比（用含α的式子表示）．
【分析】（1）由表可知，∠DHC为定值45°，连接DF，AH，设CF交AD于N，由A，F关于DE对称，可证明∠∠AHN＝∠CDN＝90°，即可得∠FHE＝∠AHE＝45°，故∠DHC＝∠FHE＝45°；
（2）连接BD交AC于点O，连接AH，OH，由（1）可知∠AHC＝90°，而四边形ABCD是正方形，有OA＝OC＝OB＝OD，可得∠BHD＝90°，从而BH∥AF；
（3）设BH交AD于K，证明∠HDK＝∠ABK＝α，可得tan∠ABK＝tanα，由△AKM∽△CBM，AB＝BC，即可得tanα．
【解答】（1）解：由表可知，∠DHC为定值45°，故α＝30时，∠DHC＝45°；当0°≤α≤45°时，∠DHC＝45°；理由如下：
连接DF，AH，设CF交AD于N，如图：
∵A，F关于DE对称，
∴DF＝DA，HF＝HA，
∴∠DFA＝∠DAF，∠HFA＝∠HAF，
∴∠DFH＝∠DAH，
∵DA＝DC，
∴DF＝DC，
∴∠DFC＝∠DCN，即∠NAH＝∠NCD，
∵∠ANH＝∠CND，
∴∠AHN＝∠CDN＝90°，
∴∠AHF＝90°，
∵HF＝HA，HG⊥AF，
∴∠FHE＝∠AHE＝45°，
∴∠DHC＝∠FHE＝45°；
故答案为：45°；45°；
（2）证明：连接BD交AC于点O，连接AH，OH，如图：
由（1）可知∠AHC＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∴OH＝OA＝OC，
∴OH＝OB＝OD，
∴∠BHD＝90°，
∴BH⊥DE，
∵DE⊥AF，
∴BH∥AF；
（3）设BH交AD于K，如图：
由（2）知∠BHD＝90°，
∴∠KHD＝∠KAB＝90°，
∵∠HKD＝∠AKB，
∴∠HDK＝∠ABK＝α，
∴tan∠ABK＝tanα，
∵AK∥BC，
∴△AKM∽△CBM，
∴，
∵AB＝BC，
∴tanα．
【点评】本题考查四边形综合应用，涉及旋转的性质，正方形性质，相似三角形判定与性质，解题的关键是掌握以上知识．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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