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2026年重庆市中考数学模拟试题（一）
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）
1．下列温度中，比低的温度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知，
所以比低的温度是．
故选：．
【分析】同号两数大小比较的法则：两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小.
2．国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光.以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、选项图形不能找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，不是轴对称图形，不符合题意；
B、选项图形能找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，符合题意；
C、选项图形不能找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，不是轴对称图形，不符合题意；
D、选项图形不能找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，不是轴对称图形，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形的概念求解即可.
3． 下列调查中，适合采用全面调查的是（　　)
A．为保证“神舟二十号”成功发射，对其零部件进行检查
B．调查某批次灯泡的使用寿命
C．调查某市居民垃圾分类意识的情况
D．调查某市市区空气质量情况
【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、航天器零部件必须万无一失，检查要求100%精确，且无破坏性，适合全面调查，正确；
B、灯泡寿命测试具有破坏性（点亮至损坏），不能逐一点亮，应采用抽样调查，错误；
C、全市居民数量庞大，普查耗时费力、成本高，应采用抽样调查，错误；
D、检测站点有限，空气质量本身是动态变化的，普查无意义，应抽样调查，错误．
故答案为：A．
【分析】本题主要考查全面调查与抽样调查的适用场景选择.需要根据调查对象的数量、是否具有破坏性、以及调查的可行性来判断哪种调查方式更合理.
4．如图在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵点，，
∴，，
∵与位似，位似中心为点O，
∴，
∴，
∴的面积与积之比．
故答案为：C．
【分析】先证出，再利用相似三角形的性质可得，最后求出的面积与积之比即可．
5．已知甲醛检测仪的核心部件为如图①所示的气体传感器，的阻值随空气中甲醛质量浓度的变化而变化（如图②）．当甲醛质量浓度时，甲醛检测仪会报警，则下列说法错误的是（　　）
A．空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大
B．当时，甲醛检测仪会报警
C．当时，的阻值为
D．当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于
【答案】B
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】A、 由图②可知，甲醛质量浓度越小，的阻值越大，因此空气中甲醛浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大，A说法正确，
B、 由图②可知，时对应，且随增大而减小，故时，但无法确定，此时检测仪不一定报警，B说法错误，
C、 由图②数据可知，与成反比例关系，，当时，，C说法正确，
D、 当时，，因随减小而增大，故时，，D说法正确，
故答案为：B。
【分析】先从图②提取随增大而减小的规律，再通过已知点计算反比例函数表达式，最后结合报警阈值逐一验证各选项。
6．估算的结果在（　　）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
【答案】D
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：
，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，无理数的估算能力，先对各式进行化简，再运用算术平方根的知识进行估算
7．如图所示，将形状和大小完全相同的“”按一定规律摆成下列图形．第1幅图中“”的个数为3，第2幅图中“”的个数为8，第3幅图中“”的个数为15，…，以此类推，第7幅图中“”的个数为（　　）
A．35 B．48 C．56 D．63
【答案】D
【知识点】探索图形规律
8．由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约亿元，设增长率为，则方程可以列为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：第一周票房为亿元，增长率为，
第二周票房为亿元，第三周票房为亿元，
三周累计票房达亿元，
．
故答案为：D．
【分析】根据题意， 第一周票房约亿元， 设增长率为，表示出第二周、第三周的票房收入，由三周后票房收入累计达约亿元， 列出关于x的一元二次方程即可.
9．如图，在正方形中，为中点，连接，将沿所在的直线翻折到正方形所在的平面内得，连接、，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点，
∵ 四边形是正方形，
∴，，正方形的四条边相等，四个角均为直角。
设，在中，，直角三角形两锐角互余。
由折叠的性质可知：，
∴，，，，折叠前后对应边、对应角相等。
由此推导角度关系：；
；
；
；
∵为中点，∴，中点定义，结合，得，
∴为等腰三角形，，等腰三角形两底角相等，
∵，，根据等腰三角形“三线合一”性质：
在中，，直角三角形两锐角互余，即。
又∵，即，
∴。
在中，，三角形外角等于不相邻两内角和。
∵，∴为等腰直角三角形，有一个角为的直角三角形是等腰直角三角形，设，则：
在和中：
∴，两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，
∴，结合，得。
因此，与的数量关系为：
故。
故答案为：D.
【分析】过点作于，过点作，交延长线于；设，通过正方形与折叠的性质推导角度关系，证明且为等腰直角三角形，进而求出与的数量关系。
10．已知整式，其中为自然数，，，，…，为正整数，且．下列说法：
①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式；
②当时，满足条件的所有整式M的和为；
③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个．
其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】整式的混合运算；探索数与式的规律；配方法的应用；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：当时，，
当，时，整式M为，
当时，整式M不可能为单项式，
当时，
，，…，为正整数，
整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，①正确；
当时，，
当时，，
则中有一个可能为，故会有三种情况，对应的整式M为，，，
当时，，
则故会有一种情况，对应的整式M为，
当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在，
满足条件的所有整式M的和为，故②错误；
多项式为二次三项式，
，
，
因为多项式为三项式，故，
当时，，
则有两种，
，，
两种都满足条件，
当时，，
则有一种，
，
满足条件，
当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在，
所以其值一定为非负数的整式M共有3个，故③正确，
其中正确的个数是个，
故答案为：C．
【分析】根据题意逐项分析，对进行分类讨论，找出规律计算求解即可.
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）
11．计算： 　 　.
【答案】1.5
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
12．中国古代四大发明包括造纸术、指南针、火药和印刷术.若从中随机选取一种，则选中“指南针”的概率为　 　.
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从中国古代四大发明包括造纸术、指南针、火药和印刷术中随机选取一种，则选中“指南针”的概率为．
故答案为： .
【分析】直接利用概率公式解答即可．
13．一个多边形的内角和等于它的外角和的两倍，这个多边形有　 　条边.
【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为，
由题意得： ，
解得
即这个多边形是六边形．
故答案为：6.
【分析】根据多边形的内角和和外角和公式列方程求出n的值解答即可．
14．小明的数学研学作业单上有这样一道题：已知，且，，设，那么的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；不等式的性质
【解析】【解答】解：由得，
则，
由，，得关于的一元一次不等式组
，
解该不等式组得到的取值范围为，
则的取值范围是；
故答案为：．
【分析】根据题意可得，不等式组，从而得到，再根据题意可得，从而求解即可．
15．如图，以为直径的与AC相切于点A，以AC为边作平行四边形，点D、E均在上，与交于点F，连接CE，与交于点，连接.若，，则　 　.　 　.
【答案】8；
【知识点】圆周角定理；切线的性质；圆的综合题；圆内知识的综合
【解析】【解答】解：连接并延长，交于点H，连接，设、交于点M，如图所示：
以为直径的与相切于点A，
，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
；
，
，
，
，
即，
解得：，
，
为直径，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：.
故答案为：8；.
【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，圆的切线性质，垂径定理，圆周角定理、勾股定理等知识，熟练掌握圆垂径定理，切线性质，三角形相似的判定与性质，正确添加辅助线是解题关键。连接并延长，交于点H，连接，设、交于点M，由平行四边形ACDE得，，结合切线证，由垂径定理得，
勾股定理得，得AF=8；由得，得，
得，勾股定理得，再证，得，得.
16．若一个各位数字均不为0的四位数（，，，a，b，c，d均为整数）满足：把N的千位数字a作为十位数字，N的十位数字c作为个位数字组成的两位数与5的和记作X，N的千位数字a与个位数字d的3倍的和记作Y，如果X的各位数字之和与Y的和是一个正整数K的立方，则称这个四位数为“开心数”，正整数K称“开心元素”；当，时，最小“开心数”为　 　；若“开心数”N满足前两位数字之和与后两位数字之和相等，且为整数，则满足条件的最大M为　 　．
【答案】3115；8136
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】解：∵，，
∴四位数．
∴，．
∴．
∴当时，a可以取得最小值3．
又，
∴；
∵，
∴
．
∵为整数，
∴为整数．
又，，
∴或．①当时．根据题意可知，，
∴，．∴．
∴．
∴不符合题意．
②当，且，时．
根据题意，得，
∴，．
∴．
∵ K为正整数，
∴．
∴．
∴；
∴．
③当，且，时．
根据题意，得，
∴，．
∴．
∵K为正整数，．
∴不合．
∴．
综上所述，符合条件的的最大值为8136．
故答案为：3115，8136．
【分析】当，时，可知，，则，当时， a可以取得最小值3，且，据此即可求得答案；根据和为整数，可求得为整数，可得或，分情况逐一讨论即可求得答案．
三、解答题（共9题，共86）
17．解不等式组 并将不等式组的解集表示在如图所示的数轴上.
【答案】解：解不等式2x-4≤3x得，x≥-4，
解不等式 得， x<1，
所以不等式组的解集为-4≤x<1.
数轴表示如下：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题考查一元一次不等式组的求解与数轴表示，先分别求解两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分得到不等式组的解集，最后按照数轴表示规则画出解集范围。
18．先化简，再求值：，其中.
【答案】解：
=
=
=
=
=
∵
∴
∴原式=
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】将括号里的分式通分计算，再将分式除法转化为乘法运算，约分化简，再进行通分计算；然后将
19．如图，在平行四边形ABCD中，点E是∠DAB的角平分线与BD的交点，小谷想在平行四边形ABCD里面再剪出一个以AE为边的平行四边形，小谷的思路是：做∠BCD的角平分线，将其转化为证明三角形全等，通过一组对边平行且相等的四边形是平行四边形使问题得到解决，请根据小谷的思路完成下面的作图与填空：
（1）用尺规完成以下基本作图：作∠BCD的角平分线与BD交于点F，连接AF，CE．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）根据（1）中作图，求证：四边形AECF为平行四边形．
证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC， ▲ ．
∴ ▲ .
∵AE，CF分别平分∠DAB，∠BCD.
∴，.
∴ ▲
∵在△AED与△CFB中，
∵，
∴△AED≌△CFB（ASA）．
∴AE＝CF， ▲ ．
∴180°－∠AED＝180°－∠CFB，即∠AEF＝∠CFE，
∴ ▲ ．
∴四边形AECF为平行四边形．
【答案】（1）作图如图.
（2）证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，．
∴
∵AE，CF分别平分∠DAB，∠BCD.
∴，.
∴
∵在△AED与△CFB中，
∵，
∴△AED≌△CFB（ASA）．
∴AE＝CF，．
∴180°－∠AED＝180°－∠CFB，即∠AEF＝∠CFE，
∴．
∴四边形AECF为平行四边形．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据作已知角的平分线的作法，求作即可；
（2）根据推理过程，结合平行四边形的性质以及角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，求解即可．
20．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利 80周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取 20名学生的竞赛成绩(成绩为百分制且为整数)进行整理、描述和分析(用 x表示学生成绩，所有学生成绩均不低于 60分，共分为四组：A.90≤x≤100，B.80≤x<90， C.70≤x<80， D.60≤x<70，得分在 90分及以上为优秀) ，下面给出了部分信息：
八年级 20名学生的竞赛成绩是： 66， 67， 71， 81， 83， 85， 85， 86， 89， 90， 90， 93， 93， 93， 95， 96，98， 99， 100， 100.
九年级 20名学生竞赛成绩在 B组的数据是： 82， 83， 85， 86， 87， 88.
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 众数 中位数 方差
八年级 88 a 90 10.3
九年级 88 94 b 11.0
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中的 a=　 　， b=　 　， m=　 　；
（2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好 请说明理由；(写出一条理由即可)
（3）若该校八年级有 800名，九年级有 700名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人
【答案】（1）93；87.5；30
（2）解：八年级学生的知识竞赛成绩更好，
理由：两个年级的平均数相同，八年级的中位数高于九年级，方差小于九年级．
（3）解：根据数据，八年级学生知识竞赛成绩达到优秀占，
又八年级有800名，所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）；
九年级学生知识竞赛成绩达到优秀占，
又九年级有700名，所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）；
（人）．
答：估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有755人．
【知识点】扇形统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：根据数据，八年级20名学生的竞赛成绩中，93出现次数最多，
所以众数，
由题知，九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据有6个，
所以占，则，
根据扇形图可知，竞赛成绩在C、D占，共名学生，
又20名学生竞赛成绩的中位数为从小到大排列第10、11位的平均值，
所以中位数，
故答案为：93；87.5；30．
【分析】（1）根据B组人数除以考查人数乘以100%求出m的值，根据众数、中位数的定义求出a，b的值解答即可；
（2）比较八、九年级的平均数、中位数、方差，得到结论即可；
（3）全校八、九年级人数分别乘以对应年级样本中优秀人数占比，求和解答．
21．开州区某校为举行六十周年校庆活动， 特定制了系列文创产品， 其中花费了 312000 元购进纪念画册和保温杯若干. 已知纪念画册总费用占保温杯总费用的.
（1）求纪念画册和保温杯的总费用各是多少元？
（2）若每本纪念画册的进价比每个保温杯的进价多， 而保温杯数量比纪念画册数量的 3 倍多 1200 个. 求每本纪念画册和每个保温杯的进价各是多少元？
【答案】（1）解：设纪念画册的总费用是元，保温杯的总费用是元，
由题意得：，
解得：，
答：纪念画册的总费用是72000元，保温杯的总费用是240000元；
（2）解：设每个保温杯的进价是元，则每本纪念画册的进价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：每本纪念画册的进价是60元，每个保温杯的进价是50元．
【知识点】分式方程的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设纪念画册的总费用是元，保温杯的总费用是元，进而根据“其中花费了 312000 元购进纪念画册和保温杯若干. 已知纪念画册总费用占保温杯总费用的”即可列出二元一次方程组，从而即可求解；
（2）设每个保温杯的进价是元，则每本纪念画册的进价是元，根据题意即可列出分式方程，从而即可求解。
22．如图1．在四边形中， ，，，，点P在四边形的边上，且沿着点B→C→D→A运动．设点P的运动路程为x，记围成的图形面积为S，
（1）请直接写出与x的函数关系式，并写出x的取值范围
（2）如图2，平面直角坐标系中已画出函数的图像，请在同一坐标系中画出函数的图像；
（3）结合y1与y2的函数图象，直接写出当时，x的取值范围．(结果取精确值)
【答案】（1）解：
（2）解：函数的图象如图所示．
（3）解：
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：（1）由题意知：当时，点P在上运动，如图，过点P作于点H，过点C作于点N，
由题意得：，
则，
，
；
当时，点P在上运动，如图，过点P作于点T，
则；
当时，点P在上运动，
同理可得，
综上可得：；
（3）将与联立，得，
解得或（舍去）；
将与联立，得，
解得或（舍去）；
由图可知，当时，x的取值范围是．
【分析】（1）分“点P在上运动，点P在上运动，点P在上运动”三种情况，利用三角形面积公式分别计算即可；
（2）根据描点、连线即可；
（3）结合函数图象即可得出答案．
23．为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西方向上．（参考数据：，，，）
（1）求的长度（结果保留小数点后一位）；
（2）甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？
【答案】（1）解：如图所示，过点A作于E，过点B作于F，
∴，
由题意得，，
在中，（千米），
（千米），
∵无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C的正西方向上，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴千米，千米，
∴千米，
∴（千米），
答：的长度约为千米；
（2）解：如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足千米．过点M作于T，
由题意得，，
在中，（千米），
（千米），
∴千米，
设千米，则千米，千米，
在中，千米，
千米，
∴千米，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴或（此时大于的长，舍去），
∴（千米），
答：甲无人机飞离B处千米时，两无人机可以开始相互接收到信号．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）利用锐角三角函数求出AE和DE的值，再根据矩形的判定方法证明四边形是矩形，最后利用勾股定理计算求解即可；
（2）利用锐角三角函数求出BC和CF的值，再根据勾股定理求出x的值，最后计算求解即可.
（1）解：如图所示，过点A作于E，过点B作于F，
∴，
由题意得，，
在中，千米，
千米，
∵无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C的正西方向上，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴千米，千米，
∴千米，
∴千米，
答：的长度约为千米；
（2）解：如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足千米．过点M作于T，
由题意得，，
在中，千米，
千米，
∴千米，
设千米，则千米，千米，
在中，千米，
千米，
∴千米，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴或（此时大于的长，舍去），
∴千米，
答：甲无人机飞离B处千米时，两无人机可以开始相互接收到信号．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值；
（3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，求点的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：如图，连接，
∵抛物线与轴交于点，
∴当时，有，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴当，即时，有最大值为4，
∴此时，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵轴，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴当共线时，取得最小值，即取最小值，
∵点为线段的中点，，，
∴，
∴，
∴的最小值为；
（3）解：如图，过点作交抛物线于点，
由（2）得点的横坐标为，直线的解析式为，
∴将代入，得，
∴，
∵将抛物线沿射线方向平移得到一个新的抛物线，且，
∴可设新抛物线由向左平移个单位，向下平移个单位得到，
∴新抛物线解析式为，
∵新抛物线经过点D，
∴，
解得：或（舍去），
∴新抛物线解析式为，
联立，
解得：或，
∴，
同理可得直线解析式为，
又∵，
∴，
∵，
∴当点Q在下方时，满足，
∴可设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
联立，
解得：或，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵当点Q在上方时，，故此种情形不成立；
综上所述， 点的坐标为.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象的平移变换；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式；
（2）连接，先求得，利用待定系数法求得直线的解析式，然后设，则，利用二次函数的最值知识求得最大值，得出此时，从而得，进而求出，，根据平行四边形的判定推出四边形是平行四边形，得，接下来推出当共线时，取最小值，即取最小值，利用中点坐标公式求出，最后利用坐标系中两点距离公式得的值，即可求解；
（3）过点作交抛物线于点，由（2）先求得，设新抛物线由原抛物线向左平移个单位，向下平移个单位得到，根据二次函数平移变换规律”上加下减常数项，左加右减自变量“得新抛物线解析式，将点坐标代入新抛物线解析式求出的值，即可得新抛物线解析式，然后联立新抛物线解析式与直线的解析式求出的坐标，利用待定系数法同理得直线解析式，根据平行线的性质得，结合，可知当点Q在下方时，满足，接下来求出直线解析式，联立新抛物线解析式与直线的解析式求出的坐标，最后求出，结合当点Q在上方时，，得此种情形不成立，据此即可求解．
（1）解：把，代入中得：，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：在中，当时，则，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴当，即时，有最大值，此时，
∴，
∴，，
∴，，
如图所示，连接，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴当共线时，取最小值，即取最小值，
∵点为线段的中点，
∴，
∴，
∴的最小值为；
（3）解：由（2）得点的横坐标为，代入，得，
∴，
∵将该抛物线沿射线方向平移得到一个新的抛物线，且，
∴可设新抛物线由向左平移个单位，向下平移个单位得到，
∴新抛物线解析式为，
∵新抛物线经过点D，
∴，
解得或（舍去），
∴新抛物线解析式为，
联立，解得或，
∴；
同理可得直线解析式为；
过点作交抛物线于点，
∴，
同理求得直线的解析式为，
∵，
∴当点Q 在下方时，满足，
∴可设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
联立，解得或，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵当点Q在上方时，，故此种情形不成立；
综上所述，.
25．在中，，为边上的一点，连接．
（1）如图1，，为上的中点，过作交于点，交于点，过作交于点，求的值．
（2）如图2，，，在上且，连接，交于点．已知，求点到的距离．
（3）如图3，，为上的中点，在上，，连接交于点．连接，当最小时，求的面积．
【答案】（1）解：为上的中点，
；
∵，
，
∵，，
，
，
，
，
设，则．
，
，
，
解得，
．
（2）解：，
是等边三角形，
，
在△ABE和△BCM中
(SAS)，
，
，，
；
，即，
解得，
；
过作交于点，
到的距离为；
（3）解：由（2）可得，
，
过三点作圆，连接，
∴当三点共线时，最小．
是等边三角形，为弦，取中点，在优弧上取一点，连接，
，
，
是等边三角形，是的中点，
，
，
；
过作交于点，交于点，
，
四边形是矩形，
，
，
．
．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的综合；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据锐角三角函数可得∠BAE的正切值，由同角的余角相等并结合锐角三角函数可设，则，根据等腰直角三角形的性质，得到，根据可得关于x的方程，解方程求出的值，然后根据锐角三角函数sin∠ACB=可求解；
（2）由题意，用边角边可证，由全等三角形的对应角相等可得，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，将已知条件代入比例式可求得BM、BN的值，由线段的和差MN=BM-BN求出的值，过作交于点，根据锐角三角函数sin∠MNT=可求解；
（3）先求出，定弦定角，得到三点共圆，进而得到当三点共线时，最小，取中点，在优弧上取一点，连接，求出圆心角的度数，等边对等角，求出的度数，垂径定理求出长，求出，进而求出的长，过作交于点，交于点，求出的长，再根据面积公式S△BDN=BD·NF即可求解．
（1）为上的中点，
；
∵，
，
∵，，
，
，
，
，
设，则．
，
，
，
解得，
．
（2），
是等边三角形，
，
，
，
，
，，
；
，即，
解得，
；
过作交于点，
到的距离为；
（3）由（2）可得，
，
过三点作圆，连接，
∴当三点共线时，最小．
是等边三角形，为弦，取中点，在优弧上取一点，连接，
，
，
是等边三角形，是的中点，
，
，
；
过作交于点，交于点，
，
四边形是矩形，
，
，
．
．
1 / 12026年重庆市中考数学模拟试题（一）
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）
1．下列温度中，比低的温度是（　　）
A． B． C． D．
2．国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光.以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3． 下列调查中，适合采用全面调查的是（　　)
A．为保证“神舟二十号”成功发射，对其零部件进行检查
B．调查某批次灯泡的使用寿命
C．调查某市居民垃圾分类意识的情况
D．调查某市市区空气质量情况
4．如图在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比是（　　）
A． B． C． D．
5．已知甲醛检测仪的核心部件为如图①所示的气体传感器，的阻值随空气中甲醛质量浓度的变化而变化（如图②）．当甲醛质量浓度时，甲醛检测仪会报警，则下列说法错误的是（　　）
A．空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大
B．当时，甲醛检测仪会报警
C．当时，的阻值为
D．当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于
6．估算的结果在（　　）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
7．如图所示，将形状和大小完全相同的“”按一定规律摆成下列图形．第1幅图中“”的个数为3，第2幅图中“”的个数为8，第3幅图中“”的个数为15，…，以此类推，第7幅图中“”的个数为（　　）
A．35 B．48 C．56 D．63
8．由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约亿元，设增长率为，则方程可以列为（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，在正方形中，为中点，连接，将沿所在的直线翻折到正方形所在的平面内得，连接、，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．已知整式，其中为自然数，，，，…，为正整数，且．下列说法：
①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式；
②当时，满足条件的所有整式M的和为；
③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个．
其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）
11．计算： 　 　.
12．中国古代四大发明包括造纸术、指南针、火药和印刷术.若从中随机选取一种，则选中“指南针”的概率为　 　.
13．一个多边形的内角和等于它的外角和的两倍，这个多边形有　 　条边.
14．小明的数学研学作业单上有这样一道题：已知，且，，设，那么的取值范围是　 　．
15．如图，以为直径的与AC相切于点A，以AC为边作平行四边形，点D、E均在上，与交于点F，连接CE，与交于点，连接.若，，则　 　.　 　.
16．若一个各位数字均不为0的四位数（，，，a，b，c，d均为整数）满足：把N的千位数字a作为十位数字，N的十位数字c作为个位数字组成的两位数与5的和记作X，N的千位数字a与个位数字d的3倍的和记作Y，如果X的各位数字之和与Y的和是一个正整数K的立方，则称这个四位数为“开心数”，正整数K称“开心元素”；当，时，最小“开心数”为　 　；若“开心数”N满足前两位数字之和与后两位数字之和相等，且为整数，则满足条件的最大M为　 　．
三、解答题（共9题，共86）
17．解不等式组 并将不等式组的解集表示在如图所示的数轴上.
18．先化简，再求值：，其中.
19．如图，在平行四边形ABCD中，点E是∠DAB的角平分线与BD的交点，小谷想在平行四边形ABCD里面再剪出一个以AE为边的平行四边形，小谷的思路是：做∠BCD的角平分线，将其转化为证明三角形全等，通过一组对边平行且相等的四边形是平行四边形使问题得到解决，请根据小谷的思路完成下面的作图与填空：
（1）用尺规完成以下基本作图：作∠BCD的角平分线与BD交于点F，连接AF，CE．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）根据（1）中作图，求证：四边形AECF为平行四边形．
证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC， ▲ ．
∴ ▲ .
∵AE，CF分别平分∠DAB，∠BCD.
∴，.
∴ ▲
∵在△AED与△CFB中，
∵，
∴△AED≌△CFB（ASA）．
∴AE＝CF， ▲ ．
∴180°－∠AED＝180°－∠CFB，即∠AEF＝∠CFE，
∴ ▲ ．
∴四边形AECF为平行四边形．
20．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利 80周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取 20名学生的竞赛成绩(成绩为百分制且为整数)进行整理、描述和分析(用 x表示学生成绩，所有学生成绩均不低于 60分，共分为四组：A.90≤x≤100，B.80≤x<90， C.70≤x<80， D.60≤x<70，得分在 90分及以上为优秀) ，下面给出了部分信息：
八年级 20名学生的竞赛成绩是： 66， 67， 71， 81， 83， 85， 85， 86， 89， 90， 90， 93， 93， 93， 95， 96，98， 99， 100， 100.
九年级 20名学生竞赛成绩在 B组的数据是： 82， 83， 85， 86， 87， 88.
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 众数 中位数 方差
八年级 88 a 90 10.3
九年级 88 94 b 11.0
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中的 a=　 　， b=　 　， m=　 　；
（2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好 请说明理由；(写出一条理由即可)
（3）若该校八年级有 800名，九年级有 700名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人
21．开州区某校为举行六十周年校庆活动， 特定制了系列文创产品， 其中花费了 312000 元购进纪念画册和保温杯若干. 已知纪念画册总费用占保温杯总费用的.
（1）求纪念画册和保温杯的总费用各是多少元？
（2）若每本纪念画册的进价比每个保温杯的进价多， 而保温杯数量比纪念画册数量的 3 倍多 1200 个. 求每本纪念画册和每个保温杯的进价各是多少元？
22．如图1．在四边形中， ，，，，点P在四边形的边上，且沿着点B→C→D→A运动．设点P的运动路程为x，记围成的图形面积为S，
（1）请直接写出与x的函数关系式，并写出x的取值范围
（2）如图2，平面直角坐标系中已画出函数的图像，请在同一坐标系中画出函数的图像；
（3）结合y1与y2的函数图象，直接写出当时，x的取值范围．(结果取精确值)
23．为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西方向上．（参考数据：，，，）
（1）求的长度（结果保留小数点后一位）；
（2）甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值；
（3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，求点的坐标．
25．在中，，为边上的一点，连接．
（1）如图1，，为上的中点，过作交于点，交于点，过作交于点，求的值．
（2）如图2，，，在上且，连接，交于点．已知，求点到的距离．
（3）如图3，，为上的中点，在上，，连接交于点．连接，当最小时，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知，
所以比低的温度是．
故选：．
【分析】同号两数大小比较的法则：两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、选项图形不能找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，不是轴对称图形，不符合题意；
B、选项图形能找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，符合题意；
C、选项图形不能找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，不是轴对称图形，不符合题意；
D、选项图形不能找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，不是轴对称图形，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形的概念求解即可.
3．【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、航天器零部件必须万无一失，检查要求100%精确，且无破坏性，适合全面调查，正确；
B、灯泡寿命测试具有破坏性（点亮至损坏），不能逐一点亮，应采用抽样调查，错误；
C、全市居民数量庞大，普查耗时费力、成本高，应采用抽样调查，错误；
D、检测站点有限，空气质量本身是动态变化的，普查无意义，应抽样调查，错误．
故答案为：A．
【分析】本题主要考查全面调查与抽样调查的适用场景选择.需要根据调查对象的数量、是否具有破坏性、以及调查的可行性来判断哪种调查方式更合理.
4．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵点，，
∴，，
∵与位似，位似中心为点O，
∴，
∴，
∴的面积与积之比．
故答案为：C．
【分析】先证出，再利用相似三角形的性质可得，最后求出的面积与积之比即可．
5．【答案】B
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】A、 由图②可知，甲醛质量浓度越小，的阻值越大，因此空气中甲醛浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大，A说法正确，
B、 由图②可知，时对应，且随增大而减小，故时，但无法确定，此时检测仪不一定报警，B说法错误，
C、 由图②数据可知，与成反比例关系，，当时，，C说法正确，
D、 当时，，因随减小而增大，故时，，D说法正确，
故答案为：B。
【分析】先从图②提取随增大而减小的规律，再通过已知点计算反比例函数表达式，最后结合报警阈值逐一验证各选项。
6．【答案】D
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：
，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，无理数的估算能力，先对各式进行化简，再运用算术平方根的知识进行估算
7．【答案】D
【知识点】探索图形规律
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：第一周票房为亿元，增长率为，
第二周票房为亿元，第三周票房为亿元，
三周累计票房达亿元，
．
故答案为：D．
【分析】根据题意， 第一周票房约亿元， 设增长率为，表示出第二周、第三周的票房收入，由三周后票房收入累计达约亿元， 列出关于x的一元二次方程即可.
9．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点，
∵ 四边形是正方形，
∴，，正方形的四条边相等，四个角均为直角。
设，在中，，直角三角形两锐角互余。
由折叠的性质可知：，
∴，，，，折叠前后对应边、对应角相等。
由此推导角度关系：；
；
；
；
∵为中点，∴，中点定义，结合，得，
∴为等腰三角形，，等腰三角形两底角相等，
∵，，根据等腰三角形“三线合一”性质：
在中，，直角三角形两锐角互余，即。
又∵，即，
∴。
在中，，三角形外角等于不相邻两内角和。
∵，∴为等腰直角三角形，有一个角为的直角三角形是等腰直角三角形，设，则：
在和中：
∴，两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，
∴，结合，得。
因此，与的数量关系为：
故。
故答案为：D.
【分析】过点作于，过点作，交延长线于；设，通过正方形与折叠的性质推导角度关系，证明且为等腰直角三角形，进而求出与的数量关系。
10．【答案】C
【知识点】整式的混合运算；探索数与式的规律；配方法的应用；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：当时，，
当，时，整式M为，
当时，整式M不可能为单项式，
当时，
，，…，为正整数，
整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，①正确；
当时，，
当时，，
则中有一个可能为，故会有三种情况，对应的整式M为，，，
当时，，
则故会有一种情况，对应的整式M为，
当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在，
满足条件的所有整式M的和为，故②错误；
多项式为二次三项式，
，
，
因为多项式为三项式，故，
当时，，
则有两种，
，，
两种都满足条件，
当时，，
则有一种，
，
满足条件，
当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在，
所以其值一定为非负数的整式M共有3个，故③正确，
其中正确的个数是个，
故答案为：C．
【分析】根据题意逐项分析，对进行分类讨论，找出规律计算求解即可.
11．【答案】1.5
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从中国古代四大发明包括造纸术、指南针、火药和印刷术中随机选取一种，则选中“指南针”的概率为．
故答案为： .
【分析】直接利用概率公式解答即可．
13．【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为，
由题意得： ，
解得
即这个多边形是六边形．
故答案为：6.
【分析】根据多边形的内角和和外角和公式列方程求出n的值解答即可．
14．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；不等式的性质
【解析】【解答】解：由得，
则，
由，，得关于的一元一次不等式组
，
解该不等式组得到的取值范围为，
则的取值范围是；
故答案为：．
【分析】根据题意可得，不等式组，从而得到，再根据题意可得，从而求解即可．
15．【答案】8；
【知识点】圆周角定理；切线的性质；圆的综合题；圆内知识的综合
【解析】【解答】解：连接并延长，交于点H，连接，设、交于点M，如图所示：
以为直径的与相切于点A，
，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
；
，
，
，
，
即，
解得：，
，
为直径，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：.
故答案为：8；.
【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，圆的切线性质，垂径定理，圆周角定理、勾股定理等知识，熟练掌握圆垂径定理，切线性质，三角形相似的判定与性质，正确添加辅助线是解题关键。连接并延长，交于点H，连接，设、交于点M，由平行四边形ACDE得，，结合切线证，由垂径定理得，
勾股定理得，得AF=8；由得，得，
得，勾股定理得，再证，得，得.
16．【答案】3115；8136
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】解：∵，，
∴四位数．
∴，．
∴．
∴当时，a可以取得最小值3．
又，
∴；
∵，
∴
．
∵为整数，
∴为整数．
又，，
∴或．①当时．根据题意可知，，
∴，．∴．
∴．
∴不符合题意．
②当，且，时．
根据题意，得，
∴，．
∴．
∵ K为正整数，
∴．
∴．
∴；
∴．
③当，且，时．
根据题意，得，
∴，．
∴．
∵K为正整数，．
∴不合．
∴．
综上所述，符合条件的的最大值为8136．
故答案为：3115，8136．
【分析】当，时，可知，，则，当时， a可以取得最小值3，且，据此即可求得答案；根据和为整数，可求得为整数，可得或，分情况逐一讨论即可求得答案．
17．【答案】解：解不等式2x-4≤3x得，x≥-4，
解不等式 得， x<1，
所以不等式组的解集为-4≤x<1.
数轴表示如下：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题考查一元一次不等式组的求解与数轴表示，先分别求解两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分得到不等式组的解集，最后按照数轴表示规则画出解集范围。
18．【答案】解：
=
=
=
=
=
∵
∴
∴原式=
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】将括号里的分式通分计算，再将分式除法转化为乘法运算，约分化简，再进行通分计算；然后将
19．【答案】（1）作图如图.
（2）证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，．
∴
∵AE，CF分别平分∠DAB，∠BCD.
∴，.
∴
∵在△AED与△CFB中，
∵，
∴△AED≌△CFB（ASA）．
∴AE＝CF，．
∴180°－∠AED＝180°－∠CFB，即∠AEF＝∠CFE，
∴．
∴四边形AECF为平行四边形．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据作已知角的平分线的作法，求作即可；
（2）根据推理过程，结合平行四边形的性质以及角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，求解即可．
20．【答案】（1）93；87.5；30
（2）解：八年级学生的知识竞赛成绩更好，
理由：两个年级的平均数相同，八年级的中位数高于九年级，方差小于九年级．
（3）解：根据数据，八年级学生知识竞赛成绩达到优秀占，
又八年级有800名，所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）；
九年级学生知识竞赛成绩达到优秀占，
又九年级有700名，所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）；
（人）．
答：估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有755人．
【知识点】扇形统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：根据数据，八年级20名学生的竞赛成绩中，93出现次数最多，
所以众数，
由题知，九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据有6个，
所以占，则，
根据扇形图可知，竞赛成绩在C、D占，共名学生，
又20名学生竞赛成绩的中位数为从小到大排列第10、11位的平均值，
所以中位数，
故答案为：93；87.5；30．
【分析】（1）根据B组人数除以考查人数乘以100%求出m的值，根据众数、中位数的定义求出a，b的值解答即可；
（2）比较八、九年级的平均数、中位数、方差，得到结论即可；
（3）全校八、九年级人数分别乘以对应年级样本中优秀人数占比，求和解答．
21．【答案】（1）解：设纪念画册的总费用是元，保温杯的总费用是元，
由题意得：，
解得：，
答：纪念画册的总费用是72000元，保温杯的总费用是240000元；
（2）解：设每个保温杯的进价是元，则每本纪念画册的进价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：每本纪念画册的进价是60元，每个保温杯的进价是50元．
【知识点】分式方程的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设纪念画册的总费用是元，保温杯的总费用是元，进而根据“其中花费了 312000 元购进纪念画册和保温杯若干. 已知纪念画册总费用占保温杯总费用的”即可列出二元一次方程组，从而即可求解；
（2）设每个保温杯的进价是元，则每本纪念画册的进价是元，根据题意即可列出分式方程，从而即可求解。
22．【答案】（1）解：
（2）解：函数的图象如图所示．
（3）解：
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：（1）由题意知：当时，点P在上运动，如图，过点P作于点H，过点C作于点N，
由题意得：，
则，
，
；
当时，点P在上运动，如图，过点P作于点T，
则；
当时，点P在上运动，
同理可得，
综上可得：；
（3）将与联立，得，
解得或（舍去）；
将与联立，得，
解得或（舍去）；
由图可知，当时，x的取值范围是．
【分析】（1）分“点P在上运动，点P在上运动，点P在上运动”三种情况，利用三角形面积公式分别计算即可；
（2）根据描点、连线即可；
（3）结合函数图象即可得出答案．
23．【答案】（1）解：如图所示，过点A作于E，过点B作于F，
∴，
由题意得，，
在中，（千米），
（千米），
∵无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C的正西方向上，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴千米，千米，
∴千米，
∴（千米），
答：的长度约为千米；
（2）解：如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足千米．过点M作于T，
由题意得，，
在中，（千米），
（千米），
∴千米，
设千米，则千米，千米，
在中，千米，
千米，
∴千米，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴或（此时大于的长，舍去），
∴（千米），
答：甲无人机飞离B处千米时，两无人机可以开始相互接收到信号．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）利用锐角三角函数求出AE和DE的值，再根据矩形的判定方法证明四边形是矩形，最后利用勾股定理计算求解即可；
（2）利用锐角三角函数求出BC和CF的值，再根据勾股定理求出x的值，最后计算求解即可.
（1）解：如图所示，过点A作于E，过点B作于F，
∴，
由题意得，，
在中，千米，
千米，
∵无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C的正西方向上，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴千米，千米，
∴千米，
∴千米，
答：的长度约为千米；
（2）解：如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足千米．过点M作于T，
由题意得，，
在中，千米，
千米，
∴千米，
设千米，则千米，千米，
在中，千米，
千米，
∴千米，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴或（此时大于的长，舍去），
∴千米，
答：甲无人机飞离B处千米时，两无人机可以开始相互接收到信号．
24．【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：如图，连接，
∵抛物线与轴交于点，
∴当时，有，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴当，即时，有最大值为4，
∴此时，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵轴，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴当共线时，取得最小值，即取最小值，
∵点为线段的中点，，，
∴，
∴，
∴的最小值为；
（3）解：如图，过点作交抛物线于点，
由（2）得点的横坐标为，直线的解析式为，
∴将代入，得，
∴，
∵将抛物线沿射线方向平移得到一个新的抛物线，且，
∴可设新抛物线由向左平移个单位，向下平移个单位得到，
∴新抛物线解析式为，
∵新抛物线经过点D，
∴，
解得：或（舍去），
∴新抛物线解析式为，
联立，
解得：或，
∴，
同理可得直线解析式为，
又∵，
∴，
∵，
∴当点Q在下方时，满足，
∴可设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
联立，
解得：或，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵当点Q在上方时，，故此种情形不成立；
综上所述， 点的坐标为.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象的平移变换；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式；
（2）连接，先求得，利用待定系数法求得直线的解析式，然后设，则，利用二次函数的最值知识求得最大值，得出此时，从而得，进而求出，，根据平行四边形的判定推出四边形是平行四边形，得，接下来推出当共线时，取最小值，即取最小值，利用中点坐标公式求出，最后利用坐标系中两点距离公式得的值，即可求解；
（3）过点作交抛物线于点，由（2）先求得，设新抛物线由原抛物线向左平移个单位，向下平移个单位得到，根据二次函数平移变换规律”上加下减常数项，左加右减自变量“得新抛物线解析式，将点坐标代入新抛物线解析式求出的值，即可得新抛物线解析式，然后联立新抛物线解析式与直线的解析式求出的坐标，利用待定系数法同理得直线解析式，根据平行线的性质得，结合，可知当点Q在下方时，满足，接下来求出直线解析式，联立新抛物线解析式与直线的解析式求出的坐标，最后求出，结合当点Q在上方时，，得此种情形不成立，据此即可求解．
（1）解：把，代入中得：，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：在中，当时，则，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴当，即时，有最大值，此时，
∴，
∴，，
∴，，
如图所示，连接，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴当共线时，取最小值，即取最小值，
∵点为线段的中点，
∴，
∴，
∴的最小值为；
（3）解：由（2）得点的横坐标为，代入，得，
∴，
∵将该抛物线沿射线方向平移得到一个新的抛物线，且，
∴可设新抛物线由向左平移个单位，向下平移个单位得到，
∴新抛物线解析式为，
∵新抛物线经过点D，
∴，
解得或（舍去），
∴新抛物线解析式为，
联立，解得或，
∴；
同理可得直线解析式为；
过点作交抛物线于点，
∴，
同理求得直线的解析式为，
∵，
∴当点Q 在下方时，满足，
∴可设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
联立，解得或，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵当点Q在上方时，，故此种情形不成立；
综上所述，.
25．【答案】（1）解：为上的中点，
；
∵，
，
∵，，
，
，
，
，
设，则．
，
，
，
解得，
．
（2）解：，
是等边三角形，
，
在△ABE和△BCM中
(SAS)，
，
，，
；
，即，
解得，
；
过作交于点，
到的距离为；
（3）解：由（2）可得，
，
过三点作圆，连接，
∴当三点共线时，最小．
是等边三角形，为弦，取中点，在优弧上取一点，连接，
，
，
是等边三角形，是的中点，
，
，
；
过作交于点，交于点，
，
四边形是矩形，
，
，
．
．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的综合；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据锐角三角函数可得∠BAE的正切值，由同角的余角相等并结合锐角三角函数可设，则，根据等腰直角三角形的性质，得到，根据可得关于x的方程，解方程求出的值，然后根据锐角三角函数sin∠ACB=可求解；
（2）由题意，用边角边可证，由全等三角形的对应角相等可得，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，将已知条件代入比例式可求得BM、BN的值，由线段的和差MN=BM-BN求出的值，过作交于点，根据锐角三角函数sin∠MNT=可求解；
（3）先求出，定弦定角，得到三点共圆，进而得到当三点共线时，最小，取中点，在优弧上取一点，连接，求出圆心角的度数，等边对等角，求出的度数，垂径定理求出长，求出，进而求出的长，过作交于点，交于点，求出的长，再根据面积公式S△BDN=BD·NF即可求解．
（1）为上的中点，
；
∵，
，
∵，，
，
，
，
，
设，则．
，
，
，
解得，
．
（2），
是等边三角形，
，
，
，
，
，，
；
，即，
解得，
；
过作交于点，
到的距离为；
（3）由（2）可得，
，
过三点作圆，连接，
∴当三点共线时，最小．
是等边三角形，为弦，取中点，在优弧上取一点，连接，
，
，
是等边三角形，是的中点，
，
，
；
过作交于点，交于点，
，
四边形是矩形，
，
，
．
．
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