资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2026年中考考前预测卷
数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．在数，，，，，，，中，非负数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．如图是由8个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）

A． B．
C． D．
3．随着“一带一路”走深走实，中国已成为140多个国家和地区的主要贸易伙伴．近十年国内生产总值年均增长，达到121万亿元，是全球经济发展的最大动力源．数据“121万亿元”用科学记数法表示为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
4．剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美，鱼与“余”同音，寓意生活富裕，年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题，以下关于鱼的剪纸中，是轴对称图形， 但不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若，则下列各不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，连接．则的值为（ ）
A． B． C． D．1
8．在一个不透明的口袋中，放入标有数字，，，的四个小球除数字外完全相同，从中随机摸出一个小球后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和为的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，．分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线分别交于点F，G．以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结，．则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②当时，y随x的增大而增大；③；④若，为方程的两个根，则且；⑤点，在抛物线上，，若，则，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11.当二次根式取最小值时，_______．
12.如图，是正十边形的对角线的夹角，则的度数为___________．
13.如图，这是用面积为6的四个全等的直角三角形，，和拼成的“赵爽弦图”，如果，那么正方形的边长为_____．
14.某校八年级学生外出参加实践活动，家长志愿者乘坐小巴士、学生乘坐大巴士沿着相同的路线同时前往目的地．小巴士送完家长后立即返回学校，大巴士因交通管制，在中途停留了一会后继续保持原速前往．如下图是两辆巴士距学校的距离与行驶时间之间的图象．结合图象分析以下信息：①大巴士遇到交通管制时已经行驶了120km；②；③当时，两辆巴士相遇；④小巴士返回的速度为，其中描述正确的是_____（填入正确的序号）
15.如图，在矩形中，是边的中点，F是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是 ___________________ ．
三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（7分）计算：
17．（7分）解不等式组，并写出它的所有整数解．
18.（7分）如图，在中，分别平分、，交于点，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)过点E作，垂足为．若的周长为18，，求的面积．
19．（8分）图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2和图3，支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，．
(1)如图2，靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，点到的距离，求点到地面的距离（的长）．（结果保留根号）
(2)如图3，在（1）的基础上将靠背绕点旋转倾斜，使其与地面的夹角为，支架、小桌板位置不动，此时点处竖直放置一个大杯子，大杯子顶部恰好接触靠背，求大杯子的高．（结果保留一位小数，参考数据：）
20．（8分）如图，内接于，是的直径，，作交于点E，交于点F，且．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求的长．
21．（9分）我校为了解初三学生对于体育中考三大球项目中的排球技能掌握情况，在本校随机抽取了若干名初三学生进行测试，其中男生50名．将测试结果统计如下：
40秒内垫球个数（x）
频数（男生） 2 10 9 10
频数（女生） 1 8 14 5
被抽取初三女生40秒垫球个数统计图
根据上述信息回答下列问题：
(1)求得______，______．
(2)被抽取初三女生40秒垫球个数的中位数所落在的范围是______．
(3)若我校今年参加中考的考生有500人，其中男生有300人，女生有200人，请你估计在我校今年参加中考的考生中排球技能能取得满分的人数．（男生40秒垫球45个以上为满分，女生40秒内垫球40个以上为满分）
22．（10分）某商店准备购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题：
(1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？
(2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？
(3)在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a（a为正整数）折售出，最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案．
23．（10分）如图，已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上异于端点的一点，过点作轴的垂线，交反比例函数的图象于点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若，求点的坐标；
(3)反比例函数的图象关于轴对称的图象为，直接写出射线绕点顺时针旋转后与的交点坐标．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，交y轴于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P为对称轴右侧抛物线上的一动点，过点P作于点M，过点P作x轴的平行线交抛物线于点N，E，F为y轴上的动点，E在F的下方，满足，连接，当取得最大值时，求的最小值；
(3)在（2）成立的情况下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度，点K为平移后抛物线上的一动点，Q点坐标为，连接，当∠PQB=∠QB’K时，请直接写出K点的坐标，并写出求解点K坐标的其中一种情况的过程．
25．（12分）如图1，在正方形中，动点在对角线上，连接，以为斜边向下作等腰．
(1)求证：；
(2)如图2，点是的中点，连接．求证：；
(3)如图3，连接，将点绕点逆时针旋转得到点，连接，当线段取得最小值时，请直接写出的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2026年中考考前预测卷
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B C D D D D C B D C
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．5 12． 13．1 14．①③④ 15．/
三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（7分）
解：
（4分）
（7分）
17．（7分）
解：，
解不等式①得，（2分）
解不等式②得，（4分）
∴不等式组的解集为，（5分）
∴不等式组的整数解为：0，1，2，3．（7分）
18．（7分）
（1）证明：连接，交于点O，如图1所示：
四边形是平行四边形，
，，，，，
，
、分别平分、，
，，
，（1分）
在和中，
，（2分）
，
，
，（3分）
又，
四边形是平行四边形；（4分）
（2）过点E作于点P，如图2所示：
平分，，，
，（5分）
的周长为18，
，
，
，，（6分）
．（7分）
19．（8分）
（1）解：．
．（1分）
，
．
．
．（3分）
．
．
四边形为矩形，
．（4分）
（2）解：如图，延长交于点．
，
，
则由（1）可知．
在中，，
，（6分）
．（7分）
∴大杯子的高约为．（8分）
20．（8分）
（1）证明∶连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，（3分）
∴，
又是的半径，
∴是的切线；（4分）
（2）解：∵是的直径，
∴，
又，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，（6分）
∵，
∴，
∵，
∴
又，
∴，
∴，
∴，即，（7分）
∴，
∴．（8分）
21．（9分）
（1）由题意可知：
（人）
抽取女生人数为：（人），
∴（人）
故答案为：19；22．（4分）
（2）由（1）知，共抽取初三女生有50名，最中间的数是第25、26个数的平均数，
∴被抽取初三女生40秒垫球个数的中位数所落在的范围是，
故答案为：．（6分）
（3）由题意可知：
（人）（8分）
∴我校今年参加中考的考生中排球技能能取得满分的人数为136人．（9分）
22．（10分）
（1）解：设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，
则，
解得：，（2分）
故特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元；（3分）
（2）解：设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇箱，
则，
解得：，（5分）
∵为正整数，
∴，
故该商店有三种进货方案，
分别为：①购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱；
②购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱；
③购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱；（6分）
（3）解：当购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱时：
根据题意得，
解得：；（7分）
当购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱时：
根据题意得，
解得：（是小数，不符合要求）；（8分）
当购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱时：
根据题意得，
解得：（不符合要求）；（9分）
故商店的进货方案是特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱．（10分）
23．（10分）
（1）解：将代入得，
∴
将代入得，
解得，
∴反比例函数表达式为；（3分）
（2）设点，则点，
∵点D在反比例函数的图象上，
∴，
解得，舍），
∴．（5分）
（3）解：反比例函数的图象关于轴对称的图象为，
∴（6分）
设射线绕点O顺时针旋转后与的交点为，
过作轴于K，过作轴于L，如图：
则，，，
∴，（7分）
由旋转的性质得，，
∴，
∴，
∴，（8分）
∴
∴点的坐标为．（10分）
（12分）
（1）解：将，代入中得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为；（3分）
（2）解：抛物线的对称轴是：直线，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，（4分）
设，如图1，设直线交直线于点D，，
∵，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，，点P与点D的纵坐标相等，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，（5分）
当时，有最大值，此时点P的坐标为，
把点P的坐标为向下平移个单位得，
连接，作关于y轴的对称点，连接，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
当，E，B三点共线时，有最小值，其最小值是，（7分）
∵，，
∴，
∴的最小值是；（8分）
（3）解：，
∴将抛物线沿着射线方向平移个单位长度，就是向右平移1个单位，再向上平移2个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为：，
令，则，
解得：或
设点为函数与轴正半轴的交点，
∴，
分两种情况：
①点K在x轴的上方，如图，过点P作轴，过点K作轴于点F，
由（2）知：，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，（9分）
∴，
设，则，
∴，
解得或（此时与点重合，不合题意，舍去）
∴（10分）
②点K在x轴的下方时，同理可得，，
∴，（11分）
综上，点K的坐标为或．（12分）
(12分)
（1）解：∵四边形是正方形，是对角线，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，（1分）
∵是的外角，
∴，（2分）
∵，
∴；（3分）
（2）解：将绕点旋转到，连接、、，
由旋转可知：，，
∴，
又，
∴
∴，，
又∵是正方形的对角线，
∴点、是关于的对称，
∴，
由（1）得，
设，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，（5分）
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
，（6分）
∴，，
∴，（8分）
（3）过点作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，
∴，，，
又∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴△APF≌△FTE，
∴，，
又∵，，
∴， ，
∴，，
∴，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴，（9分）
同理（2）可得，
∴，
∴，
∴当在上时，最小，（10分）
此时点在正方形对角线交点上，，
∵四边形是正方形，，
∴（12分）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2026年中考考前预测卷
数学·全解全析
第Ⅰ卷
选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．在数，，，，，，，中，非负数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】本题考查了正负数的意义，根据正负数的意义即可求解，理解正负数的意义是解题的关键．
【详解】解：非负数有：，，，，共个，
故选：．
2．如图是由8个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体及简单组合体的三视图，掌握几何体的三视图的定义及空间想象能力成为解题的关键．
观察原立体图形中正方体的位置关系，从正面看：一共三列左边有2个小正方形，中间有2个小正方形，右边有3个小正方形据此即可解答．
【详解】解：从正面看，一共三列，左边有2个小正方形，中间有2个小正方形，右边有3个小正方形，主视图是：

故选：C．
3．随着“一带一路”走深走实，中国已成为140多个国家和地区的主要贸易伙伴．近十年国内生产总值年均增长，达到121万亿元，是全球经济发展的最大动力源．数据“121万亿元”用科学记数法表示为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】D
【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键．
将“121万亿元”写成其中，n为整数的形式即可．
【详解】解：121万亿元．
故选D．
4．剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美，鱼与“余”同音，寓意生活富裕，年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题，以下关于鱼的剪纸中，是轴对称图形， 但不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的识别方法是解题的关键．利用轴对称图形和中心对称图形的识别方法分别判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故符合题意．
故选：D．
5．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了多项式合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘除法等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、合并同类项等运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A．，故A选项计算错误；
B．，故B选项计算错误；
C．，故C选项计算错误；
D．，故D选项计算正确．
故选：D．
6．若，则下列各不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键．
【详解】解：、∵，
∴，该选项不等式不成立，不合题意；
、∵，
∴，
∴，该选项不等式不成立，不合题意；
、∵，
当时，；当时，，该选项不等式不一定成立，不合题意；
、∵，
∴，
∴，该选项不等式一定成立，符合题意；
故选：．
7．如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，连接．则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】本题主要考查了解直角三角形及等边三角形的性质，根据题意，得出，再令正三角形的边长为，用k分别表示出及即可解决问题．
【详解】解：因为图中的三角形都是正三角形，
所以四边形为菱形，
则，
所以．
令正三角形的边长为，
则．
在中，，
所以．
在中，．
故选：C．
8．在一个不透明的口袋中，放入标有数字，，，的四个小球除数字外完全相同，从中随机摸出一个小球后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和为的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比；解题关键是准确画出表格，列出所有等可能结果．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．
【详解】解：列表如下：
1 2 3 3
1 2 3 4 4
2 3 4 5 5
3 4 5 6 6
3 4 5 6 6
由表知，共有16种等可能结果，其中两次摸出的小球标号之和为5的有4种结果，所以两次摸出的小球标号之和为5的概率为，
故选B．
9．如图，在中，，．分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线分别交于点F，G．以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结，．则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了作图—基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和相似三角形的判定与性质．
由作法得：垂直平分，，再由线段垂直平分线的性质，可得，可得到，再由等腰三角形的性质可得，从而得到，进而得到，再证得，设，则，根据，即可求解．
【详解】解：由作法得：垂直平分，，
∴，，故A选项正确，不符合题意；
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，故B选项正确，不符合题意；
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，即，
解得：（负值舍去），
∴，
∴，故C选项正确，不符合题意；
∴，
∴，故D选项错误，符合题意；
故选：D
10．如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②当时，y随x的增大而增大；③；④若，为方程的两个根，则且；⑤点，在抛物线上，，若，则，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由抛物线开口向下可得，由抛物线的对称轴为直线可得，由抛物线与轴的交点在正半轴上可得，据此即可判断结论①；由二次函数的图象与性质即可判断结论②；由抛物线与x轴交于点可得，即，结合，可得，由于，因而，两式结合即可判断结论③；利用轴对称的性质可求得抛物线与x轴的另一个交点为，由抛物线与x轴交于点、可得，由，为方程的两个根可得，为函数与直线的两个交点的横坐标，再结合，利用二次函数的图象与性质即可判断结论④；由可得，因而点离对称轴的距离大于点离对称轴的距离，再结合抛物线开口向下，利用二次函数的图象与性质即可判断结论⑤；综上，即可得出所有正确的结论．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
抛物线与轴的交点在正半轴上，
，
，故结论①正确；
抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口向下，
当时，y随x的增大而增大，故结论②错误；
抛物线与x轴交于点，
，
即：，
，
，
∴
，
，
，故结论③正确；
抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，
抛物线与x轴的另一个交点为，
，为方程的两个根，
，为方程的两个根，
，为函数与直线的两个交点的横坐标，
由抛物线与x轴交于点、，可得，
，为函数与直线的两个交点的横坐标，
，
当时，对应的的值且，故结论④正确；
，
，
点离对称轴的距离大于点离对称轴的距离，
又抛物线开口向下，
，故结论⑤错误；
综上，正确的结论有：，共个，
故选：．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11.当二次根式取最小值时，_______．
【答案】5
【分析】根据二次根式的非负性，可得二次根式的最小值为，令被开方数等于，即可求出的值．
【详解】当二次根式取最小值时，，
∴，
解得．
12.如图，是正十边形的对角线的夹角，则的度数为___________．
【答案】
【分析】考查了正多边形的内角和以及平行线的性质，先算出该图形的一个内角是，再结合正多边形的对称性可得，则，最后结合三角形内角和列式计算
【详解】解：如图，过点J作的垂线，垂足为K．
∵该图形是正十边形
∴，
∵正十边形具有对称性
∴，，
，
即
，
．
故答案为：
13.如图，这是用面积为6的四个全等的直角三角形，，和拼成的“赵爽弦图”，如果，那么正方形的边长为_____．
【答案】1
【分析】本题考查了算术平方根的应用；根据正方形的面积正方形的面积，求的算术平方根即可得到结论．
【详解】解：∵正方形的面积正方形的面积，
∴正方形的边长，
故答案为：．
14.某校八年级学生外出参加实践活动，家长志愿者乘坐小巴士、学生乘坐大巴士沿着相同的路线同时前往目的地．小巴士送完家长后立即返回学校，大巴士因交通管制，在中途停留了一会后继续保持原速前往．如下图是两辆巴士距学校的距离与行驶时间之间的图象．结合图象分析以下信息：①大巴士遇到交通管制时已经行驶了120km；②；③当时，两辆巴士相遇；④小巴士返回的速度为，其中描述正确的是_____（填入正确的序号）
【答案】①③④
【分析】本题考查一次函数的应用．
①观察图象即可；②根据速度路程时间和时间路程速度计算即可；③分别求出当时大巴士y与x的函数关系式和当时y与x的函数关系式，令两函数值相等，求出相遇x的值，即相遇时间即可；④根据速度路程时间计算即可．
【详解】解：大巴士遇到交通管制时已经行驶了，
①正确，符合题意；
大巴士行驶速度为，
，
，
②不正确，不符合题意；
当时，大巴士y与x的函数关系式为，
当时，小巴士行驶速度为，则y与x的函数关系式为，
当两辆巴士相遇时，得，
解得，
时，两辆巴士相遇，
③正确，符合题意；
由②可知，小巴士返回的速度为，
④正确，符合题意．
故答案为：①③④．
15.如图，在矩形中，是边的中点，F是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是 ___________________ ．
【答案】/
【分析】本题考查了矩形与折叠问题，涉及了动点的轨迹问题，由题意可推出点在以E为圆心为半径的圆上运动，可得当D、、E共线时，的值最小，据此即可求解．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴点在以E为圆心为半径的圆上运动，如图所示：
故：当D、、E共线时，的值最小，
∵，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（7分）计算：
【答案】
【分析】此题考查了实数的混合运算．用乘方、特殊角三角函数值、二次根式的加减法、零指数幂、负整数指数幂等知识进行计算即可．
【详解】解：
17．（7分）解不等式组，并写出它的所有整数解．
【答案】；0，1，2，3．
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．
先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出其中的整数解即可．
【详解】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为：0，1，2，3．
18.（7分）如图，在中，分别平分、，交于点，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)过点E作，垂足为．若的周长为18，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明：连接，交于点O，证明和全等得，进而得，再根据即可得出结论；
（2）过点E作于点P，根据角平分线性质得，再根据的周长为18得，进而得，，然后根据即可得出答案．
【详解】（1）证明：连接，交于点O，如图1所示：
四边形是平行四边形，
，，，，，
，
、分别平分、，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）过点E作于点P，如图2所示：
平分，，，
，
的周长为18，
，
，
，，
．
19．（8分）图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2和图3，支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，．
(1)如图2，靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，点到的距离，求点到地面的距离（的长）．（结果保留根号）
(2)如图3，在（1）的基础上将靠背绕点旋转倾斜，使其与地面的夹角为，支架、小桌板位置不动，此时点处竖直放置一个大杯子，大杯子顶部恰好接触靠背，求大杯子的高．（结果保留一位小数，参考数据：）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握三角函数的定义是解题关键．
（1）根据题意可得，再由，可得，再证得四边形为矩形，即可求解；
（2）延长交于点，在中，利用锐角三角函数可得到，，即可求解．
【详解】（1）解：．
．
，
．
．
．
．
．
四边形为矩形，
．
（2）解：如图，延长交于点．
，
，
则由（1）可知．
在中，，
，
．
∴大杯子的高约为．
20．（8分）如图，内接于，是的直径，，作交于点E，交于点F，且．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等边对等角，对顶角的性质可得出，，根据垂直的定义以及三角形的内角和定理得出，即，然后根据切线的判定即可得证；
（2）根据勾股定理求出，证明，求出，，证明，求出，最后根据线段的和差关系求解即可．
【详解】（1）证明∶连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
又是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵是的直径，
∴，
又，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
又，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
21．（9分）我校为了解初三学生对于体育中考三大球项目中的排球技能掌握情况，在本校随机抽取了若干名初三学生进行测试，其中男生50名．将测试结果统计如下：
40秒内垫球个数（x）
频数（男生） 2 10 9 10
频数（女生） 1 8 14 5
被抽取初三女生40秒垫球个数统计图
根据上述信息回答下列问题：
(1)求得______，______．
(2)被抽取初三女生40秒垫球个数的中位数所落在的范围是______．
(3)若我校今年参加中考的考生有500人，其中男生有300人，女生有200人，请你估计在我校今年参加中考的考生中排球技能能取得满分的人数．（男生40秒垫球45个以上为满分，女生40秒内垫球40个以上为满分）
【答案】(1)19；22
(2)
(3)136人
【分析】（1）用抽取男生人数分别减去其他垫球范围的人数，即可求出的值，用频数除以频率可先求出抽取女生人数，再分别减去其他垫球范围的人数，即可求出的值；
（2）直接根据中位数的定义求解即可；
（3）用参加中考的男生人数乘以垫球个数在45个及以上的人数所占的百分比再加上用参加中考的女生人数乘以垫球个数在40个及以上的人数所占的百分比，即可求出答案．
【详解】（1）由题意可知：
（人）
抽取女生人数为：（人），
∴（人）
故答案为：19；22．
（2）由（1）知，共抽取初三女生有50名，最中间的数是第25、26个数的平均数，
∴被抽取初三女生40秒垫球个数的中位数所落在的范围是，
故答案为：．
（3）由题意可知：
（人）
∴我校今年参加中考的考生中排球技能能取得满分的人数为136人．
22．（10分）某商店准备购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题：
(1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？
(2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？
(3)在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a（a为正整数）折售出，最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案．
【答案】(1)特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元
(2)有3种方案，详见解析
(3)特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）正确计算求解．
（1）设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，根据“购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元”，列出方程组求解即可；
（2）设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇箱，根据“获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，”列出不等式组求解即可；
（3）根据（2）中三种方案分别求解即可；
【详解】（1）解：设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，
则，
解得：，
故特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元；
（2）解：设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇箱，
则，
解得：，
∵为正整数，
∴，
故该商店有三种进货方案，
分别为：①购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱；
②购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱；
③购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱；
（3）解：当购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱时：
根据题意得，
解得：；
当购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱时：
根据题意得，
解得：（是小数，不符合要求）；
当购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱时：
根据题意得，
解得：（不符合要求）；
故商店的进货方案是特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱．
23．（10分）如图，已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上异于端点的一点，过点作轴的垂线，交反比例函数的图象于点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若，求点的坐标；
(3)反比例函数的图象关于轴对称的图象为，直接写出射线绕点顺时针旋转后与的交点坐标．
【答案】(1)反比例函数表达式为
(2)
(3)
【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点的坐标即可；
（3）根据轴对称的性质可得，设射线绕点O顺时针旋转后与的交点为，过A作轴于K，过作轴于L，通过证明，得到点的坐标．
【详解】（1）解：将代入得，
∴
将代入得，
解得，
∴反比例函数表达式为；
（2）设点，则点，
∵点D在反比例函数的图象上，
∴，
解得，舍），
∴．
（3）解：反比例函数的图象关于轴对称的图象为，
∴
设射线绕点O顺时针旋转后与的交点为，
过作轴于K，过作轴于L，如图：
则，，，
∴，
由旋转的性质得，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴点的坐标为．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，交y轴于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P为对称轴右侧抛物线上的一动点，过点P作于点M，过点P作x轴的平行线交抛物线于点N，E，F为y轴上的动点，E在F的下方，满足，连接，当取得最大值时，求的最小值；
(3)在（2）成立的情况下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度，点K为平移后抛物线上的一动点，Q点坐标为，连接，当∠PQB=∠QB’K时，请直接写出K点的坐标，并写出求解点K坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1)
(2)
(3)点K的坐标为或
【分析】（1）把A，B坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解；
（2）先求出，进而求出直线的解析式为，设，，如图1，设直线交直线于点D，根据，可知点P与点D的纵坐标相等，则，计算的长，计算，连接，作关于y轴的对称点，连接，当，E，B三点共线时，有最小值，其最小值是的长，即可解答；
（3）先求平移后抛物线解析式，再求抛物线与轴的交点坐标，可得的长，求出，当点K在x轴的上方，设，则，得，解方程求出的值，即可得点K的坐标；同理可求当点K在x轴的下方时点K的坐标．
【详解】（1）解：将，代入中得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：抛物线的对称轴是：直线，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，如图1，设直线交直线于点D，，
∵，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，，点P与点D的纵坐标相等，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
当时，有最大值，此时点P的坐标为，
把点P的坐标为向下平移个单位得，
连接，作关于y轴的对称点，连接，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
当，E，B三点共线时，有最小值，其最小值是，
∵，，
∴，
∴的最小值是；
（3）解：，
∴将抛物线沿着射线方向平移个单位长度，就是向右平移1个单位，再向上平移2个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为：，
令，则，
解得：或
设点为函数与轴正半轴的交点，
∴，
分两种情况：
①点K在x轴的上方，如图，过点P作轴，过点K作轴于点F，
由（2）知：，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，
解得或（此时与点重合，不合题意，舍去）
∴
②点K在x轴的下方时，同理可得，，
∴，
综上，点K的坐标为或．
25.(12分).如图，在正方形中，动点在对角线上，连接，以为斜边向下作等腰．
(1)求证：；
(2)如图，点是的中点，连接．求证：；
(3)如图，连接，将点绕点逆时针旋转得到点，连接，当线段取得最小值时，请直接写出的值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据正方形，等腰直角三角形的性质得到，由三角形外角的性质即可求解；
（2）将绕点旋转到，连接、、，构造旋转全等，可得，从而可得，，再证明，利用角关系证明，从而得出，进而可得，继续证明，可得是等腰直角三角形，由此即可得出结论；
（3）过点作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，构造K字形全等，结合等腰直角三角形的判定和性质证明，从而可得是的垂直平分线，由此得出，利用旋转全等可得，即可得出，根据两点之间线段最短可得：，进而判定当点在正方形对角线交点上，取得最小值，由此即可解答．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，是对角线，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵，
∴；
（2）解：将绕点旋转到，连接、、，
由旋转可知：，，
∴，
又，
∴
∴，，
又∵是正方形的对角线，
∴点、是关于的对称，
∴，
由（1）得，
设，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
，
∴，，
∴，
（3）过点作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，
∴，，，
又∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴△APF≌△FTE，
∴，，
又∵，，
∴， ，
∴，，
∴，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴，
同理（2）可得，
∴，
∴，
∴当在上时，最小，
此时点在正方形对角线交点上，，
∵四边形是正方形，，
∴
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑