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2026年中考考前预测卷
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共9个小题，每小题3分，共27分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．的相反数是（　　）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】本题考查相反数的定义．根据相反数的定义，一个数的相反数是符号不同的数，解答即可．
【详解】解：∵ 相反数的定义是：数的相反数为，
∴ ，
∴的相反数是，
故选：B．
2．中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．下列中国航天图标中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解答本题的关键．把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的概念逐项判断即可．
【详解】解：A、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，
不是中心对称图形；
B、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，
∴不是中心对称图形；
C、图案能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，
∴是中心对称图形；
D、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，
∴不是中心对称图形．
故选：C．
3．据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破哓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为（　　）
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
【答案】A
【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，首先得到400皮秒秒，然后根据科学记数法的表示方法求解即可．
【详解】∵1皮秒秒，
∴400皮秒秒．
∴秒．
故选：A．
4．篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三视图的知识，解题的关键是掌握俯视图即为从上面看所得到的图形．注意所有看到的或看不到的棱都应表现在俯视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线．
根据俯视图的定义观察图形即可求解．
【详解】解：这个组合体的俯视图为：
故选：D．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂的乘法计算，单项式乘以多项式，完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键．
根据幂的乘方计算，同底数幂的乘法计算，单项式乘以多项式，完全平方公式逐项计算判断即可．
【详解】解：A．，原式计算错误，故本选项不符合题意；
B．，原式计算错误，故本选项不符合题意；
C．，原式计算错误，故本选项不符合题意；
D．，原式计算正确，故本选项符合题意；
故选：D．
6．如图，在正方形中，，点E是的中点，把沿折叠，点B落在点F处，延长交于点G，连接，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查正方形中的翻折问题，勾股定理，三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握翻折性质，由折叠的性质易知，证明，设，则，由勾股定理得到，求出，最后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，，
由折叠的性质易知，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
∵E为边的中点，
∴．
设，则，
∴，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
7．如图，A、B、C是上的点，是圆的直径，在延长线上取一点D，使，连接，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质，根据题意可得，再利用等腰三角形的性质即可解答．
【详解】解：是圆的直径，
，
，
，
，
故选：C．
8．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限．
【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式：
其中 ，，．
∴，．
∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限．
故选：C．
9．如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．当时， D．的周长为
【答案】D
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，函数解析式的建立，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识点，读懂题意和函数图象是解题的关键．
由的运动可知，等腰与正方形重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为，此时面积不变，然后分析每一种情况下的重叠部分的图形，结合函数图象作答即可．
【详解】解：由的运动可知，等腰与正方形重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为，此时面积不变．
记中点为，
由函数图象可得，当时，，此时点落在上，如图：
则，
由题意得，
∵，
∴，
∴
∴，
∴此时为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故A、B正确，不符合题意；
∴当时，重叠部分记为，
由题意得：，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
故C正确，不符合题意；
由函数图象可得，当时运动停止，那么的顶点从点运动到点用时，如图：
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
由题意得：为的中点，
∴，
∴，
∴的周长为，
故D错误，符合题意，
故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
10．计算的结果是____________．
【答案】2
【分析】本题考查了二次根式，掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键．先利用乘法法则，再化简二次根式，最后加减．
【详解】解：
．
故答案为：2．
11．为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，则这两种小麦长势更整齐的是______________（填“甲”或“乙”）．
【答案】甲
【分析】本题考查了方差，熟练掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好是解题关键．根据方差越大，越不稳定，即可求解．
【详解】解：两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，
，
两种小麦长势更整齐的是甲，
故答案为：甲．
12．如图，点和点在同一个反比例函数的图象上，AC和BC分别垂直于x轴和y轴．若的面积为32，则k的值为________．
【答案】15
【分析】依题意得点，则，，根据的面积为32得，即，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得，然后解方程组求出m，n的值，进而可得k的值．
【详解】解：点，点，AC和BC分别垂直于x轴和y轴，
点C的坐标为，且，
，，
的面积为32，
，
，
整理得：，
点，点在同一个反比例函数的图象上，
，
解方程组，得：，
故答案为：
【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，正确地表示出点C的坐标，灵活运用三角形的面积公式构造方程组是解决问题的关键．
13．如图，在正方形中，，延长至E，使，连接，平分交于F，连接，则的长为_____________．

【答案】
【分析】此题主要考查了正方形的判定及性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的对应边成比例.
过点作于， 作于点，首先证四边形为正方形，再设则 ，然后证和相似，由相似三角形的性质求出，进而在中由勾股定理即可求出．
【详解】解：过点作于， 作于点，

∵四边形为正方形， ，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
又∵平分， ，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，
设， 则，
∵，
∴， ，
，
，
，
，
即：，
解得：，
，
，
在中，，
由勾股定理得：，
故答案为： ．
14．如图，在正六边形中，，连接，，以点D为圆心、的长为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积是______．
【答案】
【分析】本题考查了正多边形的性质，扇形面积的计算，连接，根据多边形的内角求出扇形的圆心角，然后根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出长，再根据解答即可．
【详解】解：连接，
∵是正六边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．已知二次函数（为常数，且）．下列五个结论：
①该函数图象经过点；
②若，则当时，随的增大而减小；
③该函数图象与轴有两个不同的公共点；
④若，则关于的方程有一个根大于0且小于1；
⑤若，则关于的方程的正数根只有一个．
其中正确的是_____（填写序号）
【答案】①②④⑤
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与坐标轴的交点问题，利用二次函数确定一元二次方程的根，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，把代入函数解析式，求出值，判断①；求出二次函数的对称轴，判断出增减性，判断②，根据判别式，判断③；求出方程的根，判断④，图象法确定⑤即可．
【详解】解：∵，
∴当时，，
∴该函数图象经过点；故①正确；
当时，，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小；故②正确；
∵，
∴，
∴抛物线与轴有1个或2个交点，故③错误；
当时，
∵函数图象经过点，
∴的一个根为，
∴由根与系数的关系可知：方程的另一个根为，
∵，
∴，即：关于的方程有一个根大于0且小于1；故④正确；
∵，
∴当时，，
由④可知，当时，抛物线与轴的两个交点分别为，且，
∴抛物线的开口向上，对称轴在轴的左侧，
∴当时，抛物线与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限，
故有一个正根，
当时，抛物线与直线有两个交点，一个为，一个在对称轴的左侧，即在第三象限，
故，则关于的方程的正数根只有一个；故⑤正确；
故答案为：①②④⑤．
三、作图题（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
16．如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．
【答案】作图见解析
【分析】本题考查尺规基本作图—作角的平分线，作一角等于已知角，平行线的性质，熟练掌握尺规基本作图是解题的关键．先作的平分线，再在同侧作，使 ，交于P即可．
【详解】解：如图，点即为所求；
理由如下：
由作图可知：是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴点即为所求．
四、解答题（本大题共9个小题，共71分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题满分9分，第1小题4分，第2小题5分）
（1）解不等式组
（2）先化简，再求值：，其中x满足．
【答案】（1） （2）；
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，分式的化简求值，解题的关键是：
（1）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可；
（2）根据分式混合运算规则进行化简，得，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：（1）
解不等式①得，
解不等式②得，
不等式组的解集．………………4分
（2）原式
．………………4分
当时，，
原式………………5分
18．（本小题满分6分）不透明的袋子中装有2个红球与2个白球，这些球除颜色外无其他差别．
(1)甲从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为______；
(2)甲、乙两人分别从袋子中随机摸出1个球（不放回），用列表或画树状图的方法，求两人摸到相同颜色球的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了列表法与树状图法，熟练掌握概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
（1）根据概率公式即可得到结论；
（2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出两人都摸到相同颜色的小球的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】（1）解：摸到红球的概率为：；………………2分
（2）解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两人都摸到相同颜色的小球的有4种情况，
∴两人都摸到相同颜色的小球的概率为：．
答：两人摸到相同颜色球的概率为．………………6分
19．（本小题满分6分）开展航空航天教育对提升青少年的科学素养有重要的意义．某学校对学生进行了航空航天科普教育并组织全校学生参加航空航天知识竞赛，每个学生回答10道问题，每题10分，赛后发现所有学生知识竞赛成绩不低于70分，为了更好地了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从所有学生答题成绩中随机抽取部分学生答题成绩作为样本进行整理，绘制条形统计图和扇形统计图．部分信息如下：
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)①此次抽查的学生总数为_______；
②请补全抽取的学生成绩条形统计图；
③条形统计图中学生竞赛成绩得分的众数为_________分；
(2)在扇形统计图中：______，得分为“100分”这一项所对应的圆心角是_____度；
(3)已知该校共有3000名学生，请估计该校得分不低于90分的学生有多少名？
【答案】(1)①；②作图见解析；③
(2)，
(3)名
【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，用样本估计总体，求众数，正确读懂统计图是解题的关键．
（1）先由得分100分的人数除以占比求出抽查的学生总数；由总数减去得分为70分，90分，100分的人数求出得分80分的人数，即可补全条形统计图；再根据众数的定义结合条形统计图即可求解众数；
（2）由“”减去其余三项的占比即可求解，再由乘以得分分占比即可求解圆心角；
（3）用乘以得分分和分的占比即可．
【详解】（1）解：抽查的学生总数为（人），………………1分
竞赛成绩为分的人数为：（人），
补全学生成绩条形统计图：
………………2分
由条形统计图可得，得分为分的人数最多，故众数为，………………3分
故答案为：①；③；
（2）解：，
∴，………………4分
∴，………………5分
故答案为：，；
（3）解：由题意得，（人），
答：该校得分不低于90分的学生有人．………………6分
20．（本小题满分6分）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点处安装测角仪，测得信号杆顶端的仰角为，与坡面的夹角为，又测得点与信号杆底端之间的距离为．已知，点，，在同一条直线上，，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，）
【答案】信号杆的高为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和性质，矩形的判定与性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得出，再在中，运用，，代入数值进行计算，得出的值，然后证明四边形是矩形，故，根据，，得，，把数值代入进行计算，即可作答．
【详解】解：过点E作于点，过点D作于点，如图所示：
∵，均与水平线垂直．
∴
∴，
∵
∴………………1分
在中，，
则，
在中，，
则，………………3分
∵过点E作于点，过点D作于点，
∴，
∴四边形是矩形
∴，………………4分
∵，，
∴，
∴，………………5分
∴，
信号杆的高为．………………6分
21．（本小题满分8分）在四边形中，对角线、相交于点O，，．
(1)若是等腰三角形，则_______；
(2)已知，．
①若，判断四边形是怎样的特殊四边形，并说明理由；
②如图，在中，，求的长．
【答案】(1)
(2)①四边形是矩形，理由见解析；②
【分析】（1）由是等腰三角形，，，分别讨论：当时和当时，利用三角形的三边关系判断是否成立即可；
（2）①利用，，得出四边形是平行四边形，再利用，即可判定四边形是矩形；②过点作于点，利用，得出是直角三角形，且，证明，得出，，利用勾股定理求出，得出，再利用勾股定理求出，得出，即可求解．
【详解】（1）解：∵是等腰三角形，，，
∴当时，此时满足三角形三边关系，符合题意；
当时，，此时不满足三角形三边关系，不符合题意；
综上，，
故答案为：；………………2分
（2）解：①四边形是矩形，理由如下：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；………………4分
②过点作于点，
∵，
∴是直角三角形，且，
∴，
在和中，
，
∴，………………6分
∴，，
∴在中，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴．………………8分
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，三角形的三边关系，等腰三角形的定义，矩形的判定，二次根式的运算等，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键．
22．（本小题满分8分）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元．
(1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？
(2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？
(3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值．
【答案】(1)A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元；
(2)至少需要购进B款纪念品200个
(3)，W的最大值为4500
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式和不等式是解题的关键．
（1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元建立方程组求解即可；
（2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个，根据购买资金不超过12000元建立不等式求解即可；
（3）根据题意可得每个A款纪念品的利润为元，销售量为个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可．
【详解】（1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，
由题意得，，………………1分
解得，
答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元；………………2分
（2）解：设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个，
由题意得，，………………3分
解得，
∴m的最小值为200，
答：至少需要购进B款纪念品200个；………………4分
（3）解：由题意得， ………………5分
………………6分
，………………7分
∵，
∴当，即时，W最大，最大值为4500．………………8分
23．（本小题满分8分）综合与探究
【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形．
【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”．
【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求：
①与的位置关系为：__________：
②_____．（填“>”，“”或“”）
【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形．
②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由．
【答案】问题解决：①互相平行；②=；【方法应用】①见解析；②或或
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
问题解决：①根据等腰三角形的性质得出，从而可得；
②证明得出，即，由可得结论；
方法应用：①根据双等四边形的定义进行证明；②分，或，或，三种情况讨论求解即可．
【详解】解：[问题解决]①∵，
∴，
∴，
∴；………………1分
②∵，，
∴，
，
，
，
；………………2分
故答案为：①平行；②＝；
方法应用：①为旋转得到，
，
令，则，，
，
由旋转得，，
又，
∴，
，
，
，
四边形为双等四边形；………………4分
②作于点，
，，
，，
设，则： ，
在中，，即，
解得：，
，，………………5分
若，时，，………………6分
若，时，
，
作于点，
∴，
，
，
………………7分
若，时，如图，
，
，
，
，
．
综上所述：满足条件时，或或．………………8分
24．（本小题满分10分）综合与实践
问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．
实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为．
数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式；
问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．
（2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长；
（3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）．
【答案】（1），；（2）起跳点P与落地点Q的水平距离的长为；（3）
【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键：
（1）根据起跳点与落地点的距离为，得到对称轴为直线，根据运动路线的最高点距地面，得到顶点纵坐标为，写出顶点坐标，列出顶点式，把代入，求出函数解析式即可；
（2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令，求出的值，进而求出的长即可；
（3）设该平台的高度为，根据题意，得到新的抛物线的解析式为：，根据仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点，代入求解即可；
【详解】解：（1）由题意，得：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为，
∴顶点坐标为，………………1分
设抛物线的函数解析式为：，
∵图象过原点，
∴，解：，
∴；………………3分
（2）∵抛物线的形状不变，点，
故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度，得到的，
∴新的抛物线的解析式为：，………………4分
当时，，………………5分
解得：，（舍去）；
故起跳点P与落地点Q的水平距离的长为；………………6分
（3）设该平台的高度为，由题意，设新的函数解析式为：，
∵，仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，
由题意，仿青蛙机器人经过正上方处，即抛物线经过点，即：，………7分
∴把代入，………………8分
得：，解得：；
故设该平台的高度为．………………10分
25．（本小题满分10分）如图①．在矩形．，点在边上，且．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动，作，交边或边于点，连续．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒．（）

(1)当点和点重合时，线段的长为__________；
(2)当点和点重合时，求；
(3)当点在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由；
(4)作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和矩形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
(4)或或
【分析】（1）证明四边形是矩形，进而在中，勾股定理即可求解．
（2）证明，得出；
（3）过点作于点，证明得出，即可得出结论
（4）分三种情况讨论，①如图所示，当点在上时，②当点在上时，当重合时符合题意，此时如图，③当点在上，当重合时，此时与点重合，则是正方形，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，连接，

∵四边形是矩形
∴
∵，
∴四边形是矩形，
当点和点重合时，
∴，
在中，，
故答案为：．………………2分
（2）如图所示，

∵，，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，，
∴；………………4分
（3）如图所示，过点作于点，

∵，，
∴，
则四边形是矩形，………………5分
∴
又∵
∴，
∴………………6分
∴
∴是等腰直角三角形；………………7分
（4）①如图所示，当点在上时，

∵，
在中，，
则，
∵，则，，
在中，，
∴
解得：
当时，点在矩形内部，符合题意，
∴符合题意，………………8分
②当点在上时，当重合时符合题意，此时如图，

则，，
在中，
，
解得：，………………9分
③当点在上，当重合时，此时与点重合，则是正方形，此时

综上所述，或或．………………10分
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，勾股定理，求正切，轴对称的性质，分类讨论，分别画出图形，数形结合是解题的关键．
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2026年中考考前预测卷
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共9个小题，每小题3分，共27分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．的相反数是（　　）
A． B． C． D．4
2．中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．下列中国航天图标中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破哓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为（　　）
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
4．篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（ ）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在正方形中，，点E是的中点，把沿折叠，点B落在点F处，延长交于点G，连接，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．
7．如图，A、B、C是上的点，是圆的直径，在延长线上取一点D，使，连接，则为（ ）
A． B． C． D．
8．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．当时， D．的周长为
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
10．计算的结果是____________．
11．为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，则这两种小麦长势更整齐的是______________（填“甲”或“乙”）．
12．如图，点和点在同一个反比例函数的图象上，AC和BC分别垂直于x轴和y轴．若的面积为32，则k的值为________．
13．如图，在正方形中，，延长至E，使，连接，平分交于F，连接，则的长为_____________．

14．如图，在正六边形中，，连接，，以点D为圆心、的长为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积是______．
15．已知二次函数（为常数，且）．下列五个结论：
①该函数图象经过点；
②若，则当时，随的增大而减小；
③该函数图象与轴有两个不同的公共点；
④若，则关于的方程有一个根大于0且小于1；
⑤若，则关于的方程的正数根只有一个．
其中正确的是_____（填写序号）
三、作图题（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
16．如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．
四、解答题（本大题共9个小题，共71分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题满分9分，第1小题4分，第2小题5分）
（1）解不等式组
（2）先化简，再求值：，其中x满足．
18．（本小题满分6分）不透明的袋子中装有2个红球与2个白球，这些球除颜色外无其他差别．
(1)甲从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为______；
(2)甲、乙两人分别从袋子中随机摸出1个球（不放回），用列表或画树状图的方法，求两人摸到相同颜色球的概率．
19．（本小题满分6分）开展航空航天教育对提升青少年的科学素养有重要的意义．某学校对学生进行了航空航天科普教育并组织全校学生参加航空航天知识竞赛，每个学生回答10道问题，每题10分，赛后发现所有学生知识竞赛成绩不低于70分，为了更好地了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从所有学生答题成绩中随机抽取部分学生答题成绩作为样本进行整理，绘制条形统计图和扇形统计图．部分信息如下：
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)①此次抽查的学生总数为_______；
②请补全抽取的学生成绩条形统计图；
③条形统计图中学生竞赛成绩得分的众数为_________分；
(2)在扇形统计图中：______，得分为“100分”这一项所对应的圆心角是_____度；
(3)已知该校共有3000名学生，请估计该校得分不低于90分的学生有多少名？
20．（本小题满分6分）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点处安装测角仪，测得信号杆顶端的仰角为，与坡面的夹角为，又测得点与信号杆底端之间的距离为．已知，点，，在同一条直线上，，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，）
21．（本小题满分8分）在四边形中，对角线、相交于点O，，．
(1)若是等腰三角形，则_______；
(2)已知，．
①若，判断四边形是怎样的特殊四边形，并说明理由；
②如图，在中，，求的长．
22．（本小题满分8分）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元．
(1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？
(2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？
(3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值．
23．（本小题满分8分）综合与探究
【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形．
【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”．
【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求：
①与的位置关系为：__________：
②_____．（填“>”，“”或“”）
【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形．
②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由．
24．（本小题满分10分）综合与实践
问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．
实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为．
数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式；
问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．
（2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长；
（3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）．
25．（本小题满分10分）如图①．在矩形．，点在边上，且．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动，作，交边或边于点，连续．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒．（）

(1)当点和点重合时，线段的长为__________；
(2)当点和点重合时，求；
(3)当点在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由；
(4)作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和矩形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围．
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2026年中考考前预测卷
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共9个小题，每小题3分，共27分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9
B C A D D C C C D
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
10．2 11．甲 12．15
13． 14． 15．①②④⑤
三、作图题（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
16．（4分）
解：如图，点P即为所求；
四、解答题（本大题共9个小题，共71分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题满分9分，第1小题4分，第2小题5分）
解：（1）
解不等式①得，
解不等式②得，
不等式组的解集．………………4分
（2）原式
．………………4分
当时，，
原式………………5分
18．（本小题满分6分）
（1）解：摸到红球的概率为：；………………2分
（2）解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两人都摸到相同颜色的小球的有4种情况，
∴两人都摸到相同颜色的小球的概率为：．
答：两人摸到相同颜色球的概率为．………………6分
19．（本小题满分6分）
（1）解：抽查的学生总数为（人），………………1分
竞赛成绩为分的人数为：（人），
补全学生成绩条形统计图：
………………2分
由条形统计图可得，得分为分的人数最多，故众数为，………………3分
故答案为：①；③；
（2）解：，
∴，………………4分
∴，………………5分
故答案为：，；
（3）解：由题意得，（人），
答：该校得分不低于90分的学生有人．………………6分
20．（本小题满分6分）
解：过点E作于点，过点D作于点，如图所示：
∵，均与水平线垂直．
∴
∴，
∵
∴………………1分
在中，，
则，
在中，，
则，………………3分
∵过点E作于点，过点D作于点，
∴，
∴四边形是矩形
∴，………………4分
∵，，
∴，
∴，………………5分
∴，
信号杆的高为．………………6分
21．（本小题满分8分）
（1）解：∵是等腰三角形，，，
∴当时，此时满足三角形三边关系，符合题意；
当时，，此时不满足三角形三边关系，不符合题意；
综上，，
故答案为：；………………2分
（2）解：①四边形是矩形，理由如下：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；………………4分
②过点作于点，
∵，
∴是直角三角形，且，
∴，
在和中，
，
∴，………………6分
∴，，
∴在中，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴．………………8分
22．（本小题满分8分）
（1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，
由题意得，，………………1分
解得，
答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元；………………2分
（2）解：设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个，
由题意得，，………………3分
解得，
∴m的最小值为200，
答：至少需要购进B款纪念品200个；………………4分
（3）解：由题意得， ………………5分
………………6分
，………………7分
∵，
∴当，即时，W最大，最大值为4500．………………8分
23．（本小题满分8分）
解：[问题解决]①∵，
∴，
∴，
∴；………………1分
②∵，，
∴，
，
，
，
；………………2分
故答案为：①平行；②＝；
方法应用：①为旋转得到，
，
令，则，，
，
由旋转得，，
又，
∴，
，
，
，
四边形为双等四边形；………………4分
②作于点，
，，
，，
设，则： ，
在中，，即，
解得：，
，，………………5分
若，时，，………………6分
若，时，
，
作于点，
∴，
，
，
………………7分
若，时，如图，
，
，
，
，
．
综上所述：满足条件时，或或．………………8分
24．（本小题满分10分）
解：（1）由题意，得：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为，
∴顶点坐标为，………………1分
设抛物线的函数解析式为：，
∵图象过原点，
∴，解：，
∴；………………3分
（2）∵抛物线的形状不变，点，
故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度，得到的，
∴新的抛物线的解析式为：，………………4分
当时，，………………5分
解得：，（舍去）；
故起跳点P与落地点Q的水平距离的长为；………………6分
（3）设该平台的高度为，由题意，设新的函数解析式为：，
∵，仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，
由题意，仿青蛙机器人经过正上方处，即抛物线经过点，即：，…7分
∴把代入，………………8分
得：，解得：；
故设该平台的高度为．………………10分
25．（本小题满分10分）
（1）解：如图所示，连接，

∵四边形是矩形
∴
∵，
∴四边形是矩形，
当点和点重合时，
∴，
在中，，
故答案为：．………………2分
（2）如图所示，

∵，，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，，
∴；………………4分
（3）如图所示，过点作于点，

∵，，
∴，
则四边形是矩形，………………5分
∴
又∵
∴，
∴………………6分
∴
∴是等腰直角三角形；………………7分
（4）①如图所示，当点在上时，

∵，
在中，，
则，
∵，则，，
在中，，
∴
解得：
当时，点在矩形内部，符合题意，
∴符合题意，………………8分
②当点在上时，当重合时符合题意，此时如图，

则，，
在中，
，
解得：，………………9分
③当点在上，当重合时，此时与点重合，则是正方形，此时
综上所述，或或．………………10分
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