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第4章第1节 数列的概念
题型1 由数列若干项归纳出通项公式 题型2 由数列若干项求下一项或其中的项
题型3 由通项公式求解或判断数列中的项 题型4 由实际问题归纳出数列的通项
题型5 数列的单调性 题型6 数列的最大项最小项
▉题型1 由数列若干项归纳出通项公式
【知识点的认识】
1．数列及其有关概念，（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项．
2．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，..简记作{an}，此处的n是序号．
3．数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；
按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；
4．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫做这个数列的通项公式．
几个认识：
（1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的．
（2）有些数列没有通项公式，如的近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，…时，所构成的数列，1，1.4，1.41，1.414，…，此数列就没有通项公式．
5．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
1．已知数列，，，，，…，则该数列的通项公式可以为an＝（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：根据题意，该数列变形可得：，
归纳可得：该数列的通项公式可以为．
故选：B．
2．已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第（　　）项．
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】A
【解答】解：数列，，，3，，…的被开方数是首项为3，公差为2的等差数列，
所以被开方数的通项为3+2（n﹣1）＝2n+1，
所以该数列的通项公式为，
令，解得n＝10．
故选：A．
3．如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（　　）
A．462 B．465 C．468 D．475
【答案】B
【解答】解：记第n层有an个球，则a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，
可得a2﹣a1＝2，
a3﹣a2＝3，
a4﹣a3＝4，…，
an﹣an﹣1＝n（n≥2），
则第30层的小球个数为a30＝（a30﹣a29）+（a29﹣a28）+ +（a2﹣a1）+a1
．
即第30层小球的个数为465．
故选：B．
（多选）4．下列给出的命题中正确的有（　　）
A．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同数列
B．数列{an}的通项公式为an＝n（n﹣1），则110是该数列的第11项
C．数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…中，x的值为21
D．数列0，，4，，…的一个通项公式是
【答案】BCD
【解答】解：对于A，数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是不相同数列，故A错误；
对于B，数列{an}的通项公式为an＝n（n﹣1），则a11＝11×10＝110，
∴110是该数列的第11项，故B正确；
对于C，数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…中，x＝8+13＝21，故C正确；
对于D，a1＝0，
a2，
4，
，
∴数列0，，4，，…的一个通项公式是，故D正确．
故选：BCD．
（多选）5．下列叙述错误的是（　　）
A．数列10，9，8，7可表示为{10，9，8，7}
B．数列1，3，5，7与3，1，5，7是相同的数列
C．数列的项可以相等
D．数列a，b，c和c，b，a可能是同一数列
【答案】AB
【解答】解：对于A，数列10，9，8，7与由实数10，9，8，7组成的集合{10，9，8，7}是两个不同的概念，故A错误；
对于B，根据数列的定义，如果组成两个数列的数相同，而排列顺序不同，
那么这两个数列是不同的数列，故B错误；
对于C，同一个数在数列中可以重复出现，如常数列1，1，1，…，故C项正确；
对于D，当a＝c时，数列a，b，c和c，b，a表示同一数列，故D项正确．
故选：AB．
6．已知数列{an}的前4项分别为，则数列{an}的通项公式为an＝　　
【答案】．
【解答】解：数列{an}的前4项分别为，
即为：，，，，
故数列{an}的通项公式为an．
故答案为：．
7．数列{an}的前几项为，…，则此数列的一个通项公式是an＝（﹣1）n+1 　 ．
【答案】an＝（﹣1）n+1 ．
【解答】解：数列{an}的前几项为，…，
即，，，，，..．
分母都是2，分子是：1，6，11，16，21...通项公式为：1+5（n﹣1）＝5n﹣4，
又正负交替出现，
故数列的一个通项公式是：an＝（﹣1）n+1 ．
故答案为：an＝（﹣1）n+1 ．
8．数列{an}的前n项和记为Sn，若，则an＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：当n≥2时，有，
但当n＝1时，a1＝S1＝﹣1不适合上式，
故．
故答案为：．
9．某个软件公司对软件进行升级，将序列A＝（a1，a2，a3，…）升级为新序列A*＝（a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…），A*中的第n项为an+1﹣an，若（A*）*的所有项都是3，且a4＝11，a5＝18，则a1＝ 　8　 ．
【答案】8．
【解答】解：由题意得，
A＝（a1，a2，a3，a4，a5，…），
A*＝（a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…），
（A*）*＝（a3﹣2a2+a1，a4﹣2a3+a2，a5﹣2a4+a3，…），
∵（A*）*的所有项都是3，且a4＝11，a5＝18，
∴a3﹣2a2+a1＝3，
a4﹣2a3+a2＝3，
a5﹣2a4+a3＝3，
由a5﹣2a4+a3＝3，得18﹣22+a3＝3，解得a3＝7，
由a4﹣2a3+a2＝3，得11﹣14+a2＝3，解得a2＝6，
由a3﹣2a2+a1＝3，得7﹣12+a1＝3，解得a1＝8．
故答案为：8．
10．在商店里，如图分层堆砌易拉罐，最顶层放1个，第二层放4个，第三层放9个．如此下去，第六层放 　36　 个．
【答案】36．
【解答】解：最顶层放1个，第二层放4个，第三层放9个， 可知，第n层放n2个，
所以第六层放36个．
故答案为：36．
11．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝n2+n+1，若ap+aq＝2027，p，q∈N*，则p+q＝　1013　 ．
【答案】1013．
【解答】解：∵Sn＝n2+n+1，
∴当n＝1时，a1＝3，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝（n2+n+1）﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）+1]＝2n，
故数列从第2项开始都是偶数，而ap+aq＝2027是奇数，
故正整数p和q其中必有一个等于1 a1＝3，另一个就是a1012＝2024，
故p+q＝1+1012＝1013．
故答案为：1013．
▉题型2 由数列若干项求下一项或其中的项
【知识点的认识】
1．数列及其有关概念，（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项．
2．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，..简记作{an}，此处的n是序号．
3．数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；
按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；
4．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫做这个数列的通项公式．
几个认识：
（1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的．
（2）有些数列没有通项公式，如的近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，…时，所构成的数列，1，1.4，1.41，1.414，…，此数列就没有通项公式．
5．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
12．已知数列﹣1，，，2，，…，则该数列的第2025项为（　　）
A．45 B．﹣45 C．55 D．﹣55
【答案】B
【解答】解：根据题意，数列﹣1，，，2，，…，
其通项公式为an＝（﹣1）n，
则该数列的第2025项（﹣1）202545．
故选：B．
▉题型3 由通项公式求解或判断数列中的项
【知识点的认识】
1．数列及其有关概念，（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项．
2．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，..简记作{an}，此处的n是序号．
3．数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；
按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；
4．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫做这个数列的通项公式．
几个认识：
（1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的．
（2）有些数列没有通项公式，如的近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，…时，所构成的数列，1，1.4，1.41，1.414，…，此数列就没有通项公式．
5．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
13．已知数列{an}的通项公式为an＝3n+1，则下列各数是数列{an}的项是（　　）
A．11 B．22 C．24 D．44
【答案】B
【解答】解：数列{an}的通项公式为an＝3n+1，
对于A，令3n+1＝11，解得，故A错误；
对于B，令3n+1＝22，解得n＝7∈N+，故B正确；
对于C，令3n+1＝24，解得，故C错误；
对于D，令3n+1＝44，解得，故D错误．
故选：B．
14．已知数列{an}的一个通项公式为，且a1＝1，则a3等于（　　）
A．﹣6 B．﹣5 C．5 D．6
【答案】B
【解答】解：因为为，a1＝1，
即﹣2+a＝1，解得a＝3，
所以．
故选：B．
15．已知数列3、、 、、 ，那么9在此数列中的项数是（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【解答】解：由可得n＝13，因此，9在此数列中的项数是13．
故选：C．
（多选）16．下列有关数列的说法正确的是（　　）
A．数列的图象是一群孤立的点
B．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列
C．数列0，2，4，6，8，…的一个通项公式为an＝2n
D．数列，4， 的一个通项公式为
【答案】AD
【解答】解：对于A，∵数列是一类特殊的函数，其自变量n∈N+，
∴数列的图象是一群孤立的点，故A正确；
对于B，常数列既不是递增数列，也不是递减数列，故B错误；
对于C，当n＝1时，a1＝2≠0，故C错误；
对于D，∵，
∴数列，4， 的一个通项公式为，故D正确．
故选：AD．
17．在数列{an}中，an＝cn+3，若S7＜0，则实数c的取值范围为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由an＝c n+3，知数列{an}为等差数列，即，
即7（4 c+3）＜0，解得．
故c的取值范围为．
故答案为：．
18．已知数列{an}的通项公式为．
（1）计算a3+a4的值；
（2）是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）数列{an}的通项公式为，
∴，
∴a3+a4．
（2）∵为数列{an}中的项，∴，
∴n（n+2）＝120，整理得n2+2n﹣120＝0，
由n∈N*，解得n＝10，
∴是数列{an}的第10项．
▉题型4 由实际问题归纳出数列的通项
【知识点的认识】
1．数列及其有关概念，（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项．
2．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，..简记作{an}，此处的n是序号．
3．数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；
按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；
4．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫做这个数列的通项公式．
几个认识：
（1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的．
（2）有些数列没有通项公式，如的近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，…时，所构成的数列，1，1.4，1.41，1.414，…，此数列就没有通项公式．
5．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
（多选）19．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法 商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列{an}，则（　　）
A．a4＝12 B．an+1＝an+n+1
C．a100＝5050 D．2an+1＝an an+2
【答案】BC
【解答】解：由题意可知，a1＝1，a2＝a1+2＝1+2，a3＝a2+3＝1+2+3，…，an＝an﹣1+n＝1+2+3+…+n，
故，
所以，故选项A错误；
因为an+1＝an+n+1，故选项B正确；
因为，故选项C正确；
因为2an+1＝（n+1）（n+2），，所以2an+1≠an an+2，故选项D错误．
故选：BC．
▉题型5 数列的单调性
【知识点的认识】
数列的单调性是指数列是递增还是递减的性质．
由于数列{an
}中的每一项an
与它的序号n是一一对应的，所以数列{an
}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an
，记为an
＝f（n）．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一系列函数值f（1），f（2），…，f（n），…就是数列{an
}．
20．已知数列{an}是无穷项等比数列，公比为q，则“q＞1”是“数列{an}单调递增”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】D
【解答】解：根据题意，对于等比数列{an}，若a1＜0，q＞1，则数列{an}单调递减，
故q＞1不能推出数列{an}单调递增，即充分性不成立；
若等比数列{an}单调递增，则a1＞0，q＞1，或a1＜0，0＜q＜1，不能推出q＞1，
即必要性不成立；
故“q＞1”是“数列{an}单调递增”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
21．已知数列{an}满足an+an+3＝an+1+an+2对任意n∈N*成立．数列{bn}为周期数列，即存在k∈N*，使得bn+k＝bn对任意n∈N*成立．给出下列两个结论：
①对任意{an}，存在{bn}，使得{an+bn}为递增数列；
②对任意{an}，存在{bn}，使得{an+bn}为等差数列．
则下列判断正确的是（　　）
A．①②都正确 B．①正确，②错误
C．①②都错误 D．①错误，②正确
【答案】D
【解答】解：对于①，不妨取，
因为数列{bn}为周期数列，即存在k∈N*，使得bn+k＝bn对任意n∈N*成立，
所以a1+b1＝ak+1+bk+1，此时数列{an+bn}不是递增数列，①错；
对于②，因为an+an+3＝an+1+an+2，则an+3﹣an+1＝an+2﹣an，
令cn＝an+2﹣an，则cn+1＝cn，
则数列{cn}为常数列，不妨设cn＝t，即an+2﹣an＝t，
所以数列{an}的奇数项和偶数项分别成公差为t的等差数列，
当n为奇数时，设n＝2k﹣1（k∈N*），可得，
则，
当n为偶数时，设n＝2k（k∈N*），可得，
则，
不妨取，则，
显然对任意的n∈N*，bn+2＝bn，即数列{bn}是周期为2的周期数列，
此时，
即{an+bn}为等差数列，故对任意{an}，存在{bn}，使得{an+bn}为等差数列，②对．
故选：D．
（多选）22．已知公比为q的正项等比数列{an}的前3项和为21，a5﹣a2＝42，则下列结论正确的有（　　）
A．a1＝3 B．q＝2
C．数列{an}是递减数列 D．a2a6＝576
【答案】ABD
【解答】解：对于A和B，因为数列{an}为正项等比数列，所以q＞0且q≠1，
又因为S3＝21，a5﹣a2＝42，所以，
由得：；
由a1q＝42得：，
所以，
因为a1≠0，所以q2﹣q﹣2＝0，即q＝2或q＝﹣1（舍），
将q＝2代入，解得a1＝3，故A和B正确；
对于C，由上可得：，所以数列{an}是递增数列，故C错误；
对于D，由等比数列的性质，得，因为，所以，故D正确．
故选：ABD．
23．已知数列{an}的通项公式为，前n项的和为Sn，则Sn取到最小值时n的值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解答】解：，
由an＞0，得，解得n＜2或，
∵n∈N*，∴当n＝1或n≥8时，an＞0，当2≤n≤7时，an≤0，
∴当n＝7时，Sn取得最小值．
故选：B．
24．已知数列{an}的通项公式为，若{an}是递增数列，则λ的取值范围是（　　）
A．（0，+∞） B． C． D．（1，+∞）
【答案】C
【解答】解：由题可得an+1＞an恒成立，即λ（n+1）2﹣2（n+1）﹣λn2+2n＞0，
即对任意n∈N*恒成立，
又因为函数为（0，+∞）上的单调递减函数，
所以，所以．
故选：C．
25．设{an}是无穷数列，若存在正整数k使得对任意n∈N*，均有an+k＜an，则称{an}是间隔递减数列，其中k称为数列{an}的间隔数．给出下列三个结论：
①若an，则{an}是间隔递减数列；
②若an＝n（﹣2）n+1，则{an}是间隔递减数列；
③若ansinn，则{an}是间隔递减数列且{an}的间隔数的最小值是4．
其中所有正确结论的序号是（　　）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【解答】解：对于①，因为，则数列{an}为单调递减数列，即an+1＜an对任意n∈N恒成立，此时，k＝1，满足题中条件，①对；
对于②，若，
假设数列{an}是间隔递减数列，则存在k∈N′，
使得an+k＜an，即（n+k） （﹣2）n+k+1＜n （﹣2）n+1，
若n为奇数，则有（n+k） （﹣2）k＜n，
可得，因为，
显然当k为奇数时，合乎题意；
当k为偶数时，（﹣2）k≥4，不等式不成立，故k为奇数；
若n为偶数，则有（n+k） （﹣2）k＞n，
可得当k为奇数时，不成立，故假设不成立，即数列{an}不是间隔递减数列，②错；
对于③，若，
因为，
则an+6＜an，所以，数列{an}是间隔递减数列，
假设存在正整数k，使得an+k＜an，即，
可得，
由于sin（n+k）﹣sinn≤1﹣（﹣1）＝2，当且仅当sin（n+k）＝1且sinn＝﹣1时，等号成立，
当sin＝﹣1时，，这与n为正整数矛盾，故sin（n+k）﹣sinn＜2，所以，，
解得k≥4，所以，若，则{an}是间隔递减数列且{an}的间隔数的最小值是4，③对．
故选：B．
26．已知{an}是各项都为正整数的递减数列，若a1+a2+…+an＝100，则n的最大值为 　13　 ；当n取最大值时，a1的最小值为 　14　 ．
【答案】13；14
【解答】解：当n≥14且n∈N*时，a1+a2+…+an≥a1+a2+…+a14≥14+13+…+1105，
而a1+a2+…+an＝100，矛盾，所以n≤13，
又因为数列22，12，11，10，9，8，7，6，5，4，3，2，1满足题意，
所以n的最大值为13．
当n＝13时，由已知可得：a1≥13，
当a1＝13时，数列只能为13，12，11，10，9，8，7，6，5，4，3，2，1，
而13+12+11+…+191≠100，与a1+a2+…+an＝100矛盾，
所以当a1＝14时，存在数列14，13，12，11，10，9，8，7，6，4，3，2，1满足题意，
所以当n取最大值时，a1的最小值为14．
故答案为：13；14．
27．若等比数列{an}中，首项为a1，公比为q，则下列条件中，使数列{an}递减数列的充要条件是 　③　 ．
①|q|＜1
②a1＞0，q＜1
③a1＞0，0＜q＜l或a1＜0，q＞1
④q＞1
【答案】③．
【解答】解：因为等比数列{an}为递减数列，所以an＜an﹣1，即，（n≥2，n∈N*）
所以，所以q＞0，所以a1（q﹣1）＜0
所以a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1，必要性得证；
反之，当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，an﹣an﹣1，
所以数列{an}为递减数列，充分性得证；
所以数列{an}递减数列的充要条件是：a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1．
故答案为：③．
（多选）28．若数列{an}满足：存在λ＞0，使得对任意n∈N*成立，则称{an}是“受限数列”，λ的最小值称为{an}的“受限上界”．记{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的是（　　）
A．若an＝2n﹣1，则{an}是受限数列
B．若等差数列{an}满足a3＝3，S11＝66，则是受限数列
C．若，则{an}是受限数列，其受限上界为3
D．若{an}，{bn}都是受限数列，则{anbn}也是受限数列
【答案】BD
【解答】解：对于A，若an＝2n﹣1，则，不存在λ，不是受限数列，故A错误；
对于B，依题意，S11＝11a6＝66，则a6＝6，而a3＝3，故，
易知，所以，
于是，故B正确；
对于C，因为，故当n＝1时，，解得，
当n≥2时，，两式相减并整理，得，故．
故，
故
，受限上界不是3，故C错误；
对于D，若{an}，{bn}都是受限数列，则存在正数M1，M2，满足，
注意到|an|＝|an﹣an﹣1+an﹣1﹣an﹣2+…+a2﹣a1+a1|≤|an﹣an﹣1|+|an﹣1﹣an﹣2|+…+|a2﹣a1|+|a1|≤M1+|a1|，
同理可得，|bn|≤M2+|b1|，记K1＝M1+|a1|，K2＝M2+|b1|，
则|an+1bn+1﹣anbn|＝|an+1bn+1﹣an+1bn+an+1bn﹣anbn|≤|bn||an+1﹣an|+|an+1||bn+1﹣bn|≤K2|an+1﹣an|+K1|bn+1﹣bn|，
所以，故D正确．
故选：BD．
（多选）29．公差为d的等差数列{an}与公比为q的等比数列{bn}首项相同且为正数，则（　　）
A．若d＜0，则{an}为递减数列
B．若0＜q＜1，则{bn}为递减数列
C．若q＞1＞d＞0，则为递增数列
D．若q＞1＞d＞0，则{anbn}为递增数列
【答案】ABD
【解答】解：对于A，{an}为等差数列，其公差d＜0，即an﹣an﹣1＜0，数 列{an}为递减数列，A正确；
对于B，当0＜q＜1时，由于b1＞0，，故{bn}为递减数列，B正确；
对于C，取，q＝2，，此时，，显然不满足递增性，C错误；
对于D，因为a1＝b1＞0，当q＞1，等比数列{bn}为正项且单调递增，
d＞0时，等差数列{an}，各项均为正，且递增，则an+1bn+1＞anbn+1＞anbn，
所以{anbn}为递增数列，D正确．
故选：ABD．
30．将n（n≥2）个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列{an}，对任意1≤i＜j≤n，如果ai＞aj，那么称数对（ai，aj）构成数列{an}的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数．
（1）若将1，2，3，4四个数构成的数列恰有2个逆序对，请写出符合条件的数列组合；
（2）计算以下数列的逆序数．
（ⅰ）an＝﹣2n+19（1≤n≤100）；
（ⅱ）；
（3）已知数列a1，a2，…，an的逆序数为a，求an，an﹣1，…，a1的逆序数．
【答案】（1）{1，4，2，3}，{1，3，4，2}，{2，1，4，3}，{2，3，1，4}，{3，2，1，4}．
（2）（ⅰ）4950；（ⅱ）答案见解析．
（3）．
【解答】解：（1）由1，2，3，4构成的逆序对有（4，3），（4，2），（4，1），（3，2），（3，1），（2，1），
若第一个数为4，则至少有3个逆序对；
若第二个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为{1，4，2，3}；
若第三个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为{1，3，4，2}或{2，1，4，3}；
若第四个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为{2，3，1，4}或{3，2，1，4}．
综上所述，符合条件的数列组合有：
{1，4，2，3}，{1，3，4，2}，{2，1，4，3}，{2，3，1，4}，{3，2，1，4}．
（2）（ⅰ）因为{an}为单调递减数列，
所以逆序数为．
（ⅱ）当n为奇数时，a1＞a3＞ ＞a2n﹣1＞0，
当n为偶数时，
，
所以0＞a2＞a4＞ ＞a2n，
当k为奇数时，逆序数为：
，
当k为偶数时，逆序数为：
．
（3）在数列a1＝2，a2，…，an中，若a1＝2与后面n﹣1个数构成p1个逆序对，
则有（n﹣1）﹣p1不构成逆序对，
所以在数列an，an﹣1，…，a1＝2中，逆序数为：
．
31．在军事信息传输过程中，为了确保信息安全，常常需要对密钥进行复杂的生成和更新操作．为生成密钥序列A，现定义一个简单的加密算法Hk，它的作用是在第k（k∈N*）轮对密钥片段进行一次变换．具体变换规则如下：若k为奇数，则Hk将在第k轮变换中让序列．Ak﹣1的奇数项的值增加1，偶数项的值减少k；若k为偶数，则HA将在第k轮变换中让序列．Ak﹣1的奇数项的值增加2k，偶数项的值减少2．若初始密钥序列A0＝[0，0，0，0，0，0，0，0，0]，An＝Hn（An﹣1）（n∈N*），则加密序列An的所有项之和为an．已知数列{bn}的前n项和为Tn，且满足3Tn＝4bn﹣1．
（1）写出A4，并求出bn；
（2）求an；
（3）证明：．
【答案】（1）A4＝[14，﹣8，14，﹣8，14，﹣8，14，﹣8，14]；；
（2）；
（3）证明：因为
所以，
．
【解答】解：（1）A0＝[0，0，0，0，0，0，0，0，0]，
A1＝H1（A0）＝[1，﹣1，1，﹣1，1，﹣1，1，﹣1，1]，
A2＝H2（A1）＝[5，﹣3，5，﹣3，5，﹣3，5，﹣3，5]，
A3＝H3（A2）＝[6，﹣6，6，﹣6，6，﹣6，6，﹣6，6]，
A4＝H4（A3）＝[14，﹣8，14，﹣8，14，﹣8，14，﹣8，14]；
3Tn＝4bn﹣1，
n≥2时，3Tn﹣1＝4bn﹣1﹣1，
得3（Tn﹣Tn﹣1）＝4bn﹣4bn﹣1，
即bn＝4bn﹣1，b1＝1，
得，
当n＝1时也满足，
综上；
（2）经过H2k﹣1变换，各项之和增加4[1﹣（2k﹣1）]＝8﹣8k，
经过H2k变换，各项之和增加4（4k﹣2）＝16k﹣8，
故经过H2k﹣1，H2k两轮变换，各项之和增加8﹣8k+16k﹣8＝8k，
，
故当n为偶数时，，
当n为奇数时，an＝an﹣1+4（1﹣n）＝（n﹣1）2+2（n﹣1）+4﹣4n＝n2﹣4n+3，
综上．
（3）证明：因为
所以，
．
32．已知等差数列{an}满足公差d＞0，a3+a8＝4，a4a7＝﹣5．
（1）求an；
（2）记数列{an}的前n项和为Sn，若，求数列{bn}中的最小项．
【答案】（1）an＝2n﹣9；
（2）﹣3．
【解答】解：（1）等差数列{an}满足公差d＞0，a3+a8＝a4+a7＝4，a4a7＝﹣5，
故a4＝﹣1，a7＝5，d2，
an＝a7+2（n﹣7）＝5+2n﹣14＝2n﹣9；
（2）数列{an}的前n项和为Snn（n﹣8），
若，
结合反比例函数的性质可知，当n＝5时，数列{bn}取得最小值﹣3．
33．如果数列{an}对任意的n∈N*，an+2﹣an+1＞an+1﹣an，则称{an}为“速增数列”，若数列{an}为“速增数列”，且任意项an∈Z，a1＝1，a2＝3，ak＝2023，则正整数k的最大值为（　　）
A．62 B．63 C．64 D．65
【答案】B
【解答】解：对 n∈N*，an+2﹣an+1＞an+1﹣an，a2﹣a1＝2，
则a3﹣a2≥3，a4﹣a3≥4， ，ak﹣ak﹣1≥k，
相加得，（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+ +（ak﹣ak﹣1）≥2+3+4+ +k，
于是，即（k+2）（k﹣1）≤4044，
当k＝63时，65×62＝4030，
当k＝64时，66×63＝4158，数列{（k+2）（k﹣1）}单调递增，
所以k的最大值为63．
故选：B．
34．已知数列{an}是等比数列，则下列结论：①数列是等比数列；②若a3＝2，a7＝32，则a5＝±8；③若数列{an}的前n项和，则r＝﹣1；④若a1＜a2＜a3，则数列{an}是递增数列；其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：{an}是等比数列，设公比为q，
对于①，可得，故数列是等比数列，①正确；
对于②，，故a3，a7＞0，则a5＞0，②错误；
对于③，，若r＝﹣1得a1＝0，不符合等比数列的性质，③错误；
对于④，，
若a1＞0 q＞1，此时，即{an}是递增数列，
若a1＜0 1＞q＞0，此时，即{an}是递增数列，
故④正确．
故选：B．
▉题型6 数列的最大项最小项
【知识点的认识】
数列的最大项最小项是指数列中的最大值和最小值．
由于数列{an
}中的每一项an
与它的序号n是一一对应的，所以数列{an
}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an
，记为an
＝f（n）．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一系列函数值f（1），f（2），…，f（n），…就是数列{an
}．
35．已知数列{an}的通项公式为，前n项和为Sn，则下列结论错误的是（　　）
A．{an}的最小项是a7＝﹣5，最大项是a8＝6
B．当n＝7时，Sn最小
C． n∈N*，an＜an+1
D． n∈N*，an＜an+1
【答案】C
【解答】解：数列{an}的通项公式为，
可得，
故数列{an}在1≤n≤7，n≥8是单调递减数列，
当1≤n≤7时，，当n≥8时，0＜an≤a8＝6，
又a7＝﹣5，所以{an}的最小项是a7＝﹣5，最大项是a8＝6，故A正确；
a1＞0，a2＝0，当3≤n≤7时，an＜0，所以当n＝7时，Sn最小，故B正确；
由，所以a8＞a9，故C错误；
由a7＝﹣5，a8＝6，所以a7＜a8，故D正确．
故选：C．
36．若数列{an}满足，d为常数），则称数列{an}为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且b1+b2+…+b2026＝20260，则b1b2026的最大值是　100　 ．
【答案】100．
【解答】解：由“调和数列”的定义，正项数列为调和数列，则为常数，
即bn+1﹣bn为常数，故数列{bn}是等差数列．
等差数列{bn}的前2026项和为20260，由前n项和公式得，
化简得b1+b2026＝20．
因{bn}是正项数列，故b1＞0，b2026＞0，由基本不等式得，
当且仅当b1＝b2026＝10时，等号成立．
故答案为：100．
37．已知数列{an}的通项公式为an＝n（）n，则数列{an}中的最大项为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：数列{an}的通项公式为an＝n（）n，显然an＞0，
令，即得2≤n≤3，
所以数列{an}中的最大项为a2＝a3＝2，
故选：A．
38．数列的最大项为第k项，则k＝ 　5或6　 ．
【答案】5或6．
【解答】解：根据题意可知，数列的最大项为第k项，
所以，即，即5≤k≤6，
由于k是正整数，所以k＝5或6．
故答案为：5或6．
39．已知数列{an}的通项，n∈N*，则数列{an}的最大项与最小项之和为　2　 ．
【答案】2．
【解答】解：令t＝2n﹣21（），t随n增大而递增，通项化为．
当n≤10时，t＜0，t从﹣19增到﹣1，从增到﹣2，an随之增到﹣1，即a10＝﹣1（此区间最小项）．
当n≥11时，t＞0，t从1增到+∞，从2减到0，an随之减到1，即a11＝3（此区间最大项）．
最大项与最小项之和为3+（﹣1）＝2．
故答案为：2．
40．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6＞S7＞S5，给出下列五个命题：
①公差d＜0
②S11＜0③S12＞0
④数列{Sn}中的最大项为S11
⑤|a6|＞|a7|
其中正确命题的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：∵等差数列{an}中，S6最大，且S6＞S7＞S5，
∴a1＞0，d＜0，①正确；
∵S6＞S7＞S5，
∴a6＞0，a7＜0，∴a1+6d＜0，a1+5d＞0，S6最大，
∴④不正确；
S11＝11a1+55d＝11（a1+5d）＞0，
S12＝12a1+66d＝12（a1+a12）＝12（a6+a7）＞0，
∴③⑤正确，②错误
故选：B．第4章第1节 数列的概念
题型1 由数列若干项归纳出通项公式 题型2 由数列若干项求下一项或其中的项
题型3 由通项公式求解或判断数列中的项 题型4 由实际问题归纳出数列的通项
题型5 数列的单调性 题型6 数列的最大项最小项
▉题型1 由数列若干项归纳出通项公式
【知识点的认识】
1．数列及其有关概念，（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项．
2．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，..简记作{an}，此处的n是序号．
3．数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；
按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；
4．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫做这个数列的通项公式．
几个认识：
（1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的．
（2）有些数列没有通项公式，如的近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，…时，所构成的数列，1，1.4，1.41，1.414，…，此数列就没有通项公式．
5．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
1．已知数列，，，，，…，则该数列的通项公式可以为an＝（　　）
A． B．
C． D．
2．已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第（　　）项．
A．10 B．11 C．12 D．13
3．如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（　　）
A．462 B．465 C．468 D．475
（多选）4．下列给出的命题中正确的有（　　）
A．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同数列
B．数列{an}的通项公式为an＝n（n﹣1），则110是该数列的第11项
C．数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…中，x的值为21
D．数列0，，4，，…的一个通项公式是
（多选）5．下列叙述错误的是（　　）
A．数列10，9，8，7可表示为{10，9，8，7}
B．数列1，3，5，7与3，1，5，7是相同的数列
C．数列的项可以相等
D．数列a，b，c和c，b，a可能是同一数列
6．已知数列{an}的前4项分别为，则数列{an}的通项公式为an＝
7．数列{an}的前几项为，…，则此数列的一个通项公式是 ．
8．数列{an}的前n项和记为Sn，若，则an＝ ．
9．某个软件公司对软件进行升级，将序列A＝（a1，a2，a3，…）升级为新序列A*＝（a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…），A*中的第n项为an+1﹣an，若（A*）*的所有项都是3，且a4＝11，a5＝18，则a1＝ 　 ．
10．在商店里，如图分层堆砌易拉罐，最顶层放1个，第二层放4个，第三层放9个．如此下去，第六层放 　 个．
11．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝n2+n+1，若ap+aq＝2027，p，q∈N*，则p+q＝　　 　 ．
▉题型2 由数列若干项求下一项或其中的项
【知识点的认识】
1．数列及其有关概念，（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项．
2．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，..简记作{an}，此处的n是序号．
3．数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；
按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；
4．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫做这个数列的通项公式．
几个认识：
（1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的．
（2）有些数列没有通项公式，如的近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，…时，所构成的数列，1，1.4，1.41，1.414，…，此数列就没有通项公式．
5．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
12．已知数列﹣1，，，2，，…，则该数列的第2025项为（　　）
A．45 B．﹣45 C．55 D．﹣55
▉题型3 由通项公式求解或判断数列中的项
【知识点的认识】
1．数列及其有关概念，（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项．
2．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，..简记作{an}，此处的n是序号．
3．数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；
按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；
4．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫做这个数列的通项公式．
几个认识：
（1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的．
（2）有些数列没有通项公式，如的近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，…时，所构成的数列，1，1.4，1.41，1.414，…，此数列就没有通项公式．
5．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
13．已知数列{an}的通项公式为an＝3n+1，则下列各数是数列{an}的项是（　　）
A．11 B．22 C．24 D．44
14．已知数列{an}的一个通项公式为，且a1＝1，则a3等于（　　）
A．﹣6 B．﹣5 C．5 D．6
15．已知数列3、、 、、 ，那么9在此数列中的项数是（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
（多选）16．下列有关数列的说法正确的是（　　）
A．数列的图象是一群孤立的点
B．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列
C．数列0，2，4，6，8，…的一个通项公式为an＝2n
D．数列，4， 的一个通项公式为
17．在数列{an}中，an＝cn+3，若S7＜0，则实数c的取值范围为 　　 ．
18．已知数列{an}的通项公式为．
（1）计算a3+a4的值；
（2）是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由．
▉题型4 由实际问题归纳出数列的通项
【知识点的认识】
1．数列及其有关概念，（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项．
2．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，..简记作{an}，此处的n是序号．
3．数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；
按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；
4．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫做这个数列的通项公式．
几个认识：
（1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的．
（2）有些数列没有通项公式，如的近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，…时，所构成的数列，1，1.4，1.41，1.414，…，此数列就没有通项公式．
5．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
（多选）19．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法 商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列{an}，则（　　）
A．a4＝12 B．an+1＝an+n+1
C．a100＝5050 D．2an+1＝an an+2
▉题型5 数列的单调性
【知识点的认识】
数列的单调性是指数列是递增还是递减的性质．
由于数列{an
}中的每一项an
与它的序号n是一一对应的，所以数列{an
}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an
，记为an
＝f（n）．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一系列函数值f（1），f（2），…，f（n），…就是数列{an
}．
20．已知数列{an}是无穷项等比数列，公比为q，则“q＞1”是“数列{an}单调递增”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
21．已知数列{an}满足an+an+3＝an+1+an+2对任意n∈N*成立．数列{bn}为周期数列，即存在k∈N*，使得bn+k＝bn对任意n∈N*成立．给出下列两个结论：
①对任意{an}，存在{bn}，使得{an+bn}为递增数列；
②对任意{an}，存在{bn}，使得{an+bn}为等差数列．
则下列判断正确的是（　　）
A．①②都正确 B．①正确，②错误
C．①②都错误 D．①错误，②正确
（多选）22．已知公比为q的正项等比数列{an}的前3项和为21，a5﹣a2＝42，则下列结论正确的有（　　）
A．a1＝3 B．q＝2
C．数列{an}是递减数列 D．a2a6＝576
23．已知数列{an}的通项公式为，前n项的和为Sn，则Sn取到最小值时n的值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
24．已知数列{an}的通项公式为，若{an}是递增数列，则λ的取值范围是（　　）
A．（0，+∞） B． C． D．（1，+∞）
25．设{an}是无穷数列，若存在正整数k使得对任意n∈N*，均有an+k＜an，则称{an}是间隔递减数列，其中k称为数列{an}的间隔数．给出下列三个结论：
①若an，则{an}是间隔递减数列；
②若an＝n（﹣2）n+1，则{an}是间隔递减数列；
③若ansinn，则{an}是间隔递减数列且{an}的间隔数的最小值是4．
其中所有正确结论的序号是（　　）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
26．已知{an}是各项都为正整数的递减数列，若a1+a2+…+an＝100，则n的最大值为 　　 　 ；当n取最大值时，a1的最小值为 　　 ．
27．若等比数列{an}中，首项为a1，公比为q，则下列条件中，使数列{an}递减数列的充要条件是 　　 　 ．
①|q|＜1
②a1＞0，q＜1
③a1＞0，0＜q＜l或a1＜0，q＞1
④q＞1
（多选）28．若数列{an}满足：存在λ＞0，使得对任意n∈N*成立，则称{an}是“受限数列”，λ的最小值称为{an}的“受限上界”．记{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的是（　　）
A．若an＝2n﹣1，则{an}是受限数列
B．若等差数列{an}满足a3＝3，S11＝66，则是受限数列
C．若，则{an}是受限数列，其受限上界为3
D．若{an}，{bn}都是受限数列，则{anbn}也是受限数列
（多选）29．公差为d的等差数列{an}与公比为q的等比数列{bn}首项相同且为正数，则（　　）
A．若d＜0，则{an}为递减数列
B．若0＜q＜1，则{bn}为递减数列
C．若q＞1＞d＞0，则为递增数列
D．若q＞1＞d＞0，则{anbn}为递增数列
30．将n（n≥2）个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列{an}，对任意1≤i＜j≤n，如果ai＞aj，那么称数对（ai，aj）构成数列{an}的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数．
（1）若将1，2，3，4四个数构成的数列恰有2个逆序对，请写出符合条件的数列组合；
（2）计算以下数列的逆序数．
（ⅰ）an＝﹣2n+19（1≤n≤100）；
（ⅱ）；
（3）已知数列a1，a2，…，an的逆序数为a，求an，an﹣1，…，a1的逆序数．
31．在军事信息传输过程中，为了确保信息安全，常常需要对密钥进行复杂的生成和更新操作．为生成密钥序列A，现定义一个简单的加密算法Hk，它的作用是在第k（k∈N*）轮对密钥片段进行一次变换．具体变换规则如下：若k为奇数，则Hk将在第k轮变换中让序列．Ak﹣1的奇数项的值增加1，偶数项的值减少k；若k为偶数，则HA将在第k轮变换中让序列．Ak﹣1的奇数项的值增加2k，偶数项的值减少2．若初始密钥序列A0＝[0，0，0，0，0，0，0，0，0]，An＝Hn（An﹣1）（n∈N*），则加密序列An的所有项之和为an．已知数列{bn}的前n项和为Tn，且满足3Tn＝4bn﹣1．
（1）写出A4，并求出bn；
（2）求an；
（3）证明：．
32．已知等差数列{an}满足公差d＞0，a3+a8＝4，a4a7＝﹣5．
（1）求an；
（2）记数列{an}的前n项和为Sn，若，求数列{bn}中的最小项．
33．如果数列{an}对任意的n∈N*，an+2﹣an+1＞an+1﹣an，则称{an}为“速增数列”，若数列{an}为“速增数列”，且任意项an∈Z，a1＝1，a2＝3，ak＝2023，则正整数k的最大值为（　　）
A．62 B．63 C．64 D．65
34．已知数列{an}是等比数列，则下列结论：①数列是等比数列；②若a3＝2，a7＝32，则a5＝±8；③若数列{an}的前n项和，则r＝﹣1；④若a1＜a2＜a3，则数列{an}是递增数列；其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
▉题型6 数列的最大项最小项
【知识点的认识】
数列的最大项最小项是指数列中的最大值和最小值．
由于数列{an
}中的每一项an
与它的序号n是一一对应的，所以数列{an
}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an
，记为an
＝f（n）．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一系列函数值f（1），f（2），…，f（n），…就是数列{an
}．
35．已知数列{an}的通项公式为，前n项和为Sn，则下列结论错误的是（　　）
A．{an}的最小项是a7＝﹣5，最大项是a8＝6
B．当n＝7时，Sn最小
C． n∈N*，an＜an+1
D． n∈N*，an＜an+1
36．若数列{an}满足，d为常数），则称数列{an}为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且b1+b2+…+b2026＝20260，则b1b2026的最大值是　100　 ．
37．已知数列{an}的通项公式为an＝n（）n，则数列{an}中的最大项为（　　）
A． B． C． D．
38．数列的最大项为第k项，则k＝ 　　 ．
39．已知数列{an}的通项，n∈N*，则数列{an}的最大项与最小项之和为　 ．
40．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6＞S7＞S5，给出下列五个命题：
①公差d＜0
②S11＜0③S12＞0
④数列{Sn}中的最大项为S11
⑤|a6|＞|a7|
其中正确命题的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5

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