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第4章第2节 等差数列
题型1 等差数列的概念与判定 题型2 等差中项及其性质
题型3 由等差数列中若干项求通项公式或其中的项 题型4 等差数列通项公式的应用
题型5 求等差数列的前n项和 题型6 由等差数列的前n项和求解数列
题型7 等差数列前n项和的性质
▉题型1 等差数列的概念与判定
【知识点的认识】
等差数列
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1n（n﹣1）或Sn （n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数）
1．已知数列{an}满足a1＝2，设甲： p，q∈N*，ap+q＝ap+aq，乙：{an}为等差数列．则甲是乙的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：令q＝1，p＝n，则an+1＝an+a1，因为a1＝2，
所以an+1﹣an＝2，即{an}为等差数列，充分性成立．
若{an}为等差数列，设公差为d，
则ap+q＝2+（p+q﹣1）d，ap+aq＝2+（p﹣1）d+2+（q﹣1）d＝4+（p+q﹣2）d，
当d≠2时，ap+q≠ap+aq，必要性不成立，
故甲是乙的充分不必要条件．
故选：A．
2．记Sn为数列{an}的前n项和，Tn为数列{Sn}的前n项和，且数列{Sn}是一个首项不等于公差的等差数列，则下列结论正确的是（　　）
A．{an}和均是等差数列
B．{an}是等差数列，不是等差数列
C．{an}不是等差数列，是等差数列
D．{an}和均不是等差数列
【答案】C
【解答】解：Sn为数列{an}的前n项和，Tn为数列{Sn}的前n项和，
数列{Sn}是一个首项不等于公差的等差数列，
∵数列{Sn}是一个首项不等于公差的等差数列，
设Sn＝S1+（n﹣1）d且S1≠d，
∴a1＝S1，a2＝S2﹣S1＝d，a3＝S3﹣S2＝d，
又S1≠d，∴a1，a2，a3不成等差数列，∴{an}不是等差数列；
∵，∴，
∴，
∴是以S1为首项，以为公差的等差数列．
故选：C．
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，a1＝2，若也为等差数列，则d的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】C
【解答】解：等差数列{an}中，前n项和Sn＝na1n（n﹣1）d＝2nn（n﹣1）d，
an＝a1+（n﹣1）d＝2+（n﹣1）d，所以Sn﹣andn2+（2d）n+d﹣2，
若也为等差数列，
则为完全平方，
则，
解得d＝4．
故选：C．
（多选）4．记数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝An+B，A、B为常数．下列选项正确的是（　　）
A．若A+B＝1，则a1＝1
B．若A＝2，则a2＝2
C．存在常数A、B，使数列{an}是等比数列
D．对任意常数A、B，数列{an}都是等差数列
【答案】ABC
【解答】解：对于A，若A+B＝1，则a1＝S1＝A+B＝1，故A正确；
对于B，若A＝2，则a2＝S2﹣S1＝（2A+B）﹣（A+B）＝A＝2，故B正确；
对于C，由Sn＝An+B得a1＝S1＝A+B，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝（An+B）﹣[A（n﹣1）+B]＝A，
所以，当B＝0，A≠0时，数列{an}是公比为1的等比数列，故C正确；
对于D，由上知，当n≥2时an＝A，若B≠0，则a2﹣a1＝A﹣（A+B）＝﹣B≠a3﹣a2＝0，
此时，数列{an}不是等差数列，故D错误．
故选：ABC．
（多选）5．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有如下问题：把100个面包分给5个人，每人分得面包数均为正整数且构成等差数列，则（　　）
A．五人中必有一人分得20个面包
B．五人中若有一人分得16个面包，则必有一人分得24个面包
C．若分得面包较多的三份之和是较少两份之和的3倍，则最少一人分得10个面包
D．某人最多分得36个面包
【答案】ABC
【解答】解：设等差数列并列出方程 设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，
因为把100个面包分给5个人，每人分得面包数均为正整数且构成等差数列，
所以S5＝100，
根据等差数列前n项和公式Sn＝na1，可得，
化简得a1+2d＝20，即a3＝20，
对于选项A，由a3＝20可知，五人中必有一人分得20个面包，所以选项A正确；
对于选项B，若有一人分得16个面包，因为a3＝20，
所以16可能是a1或a5，
若a1＝16，则16+2d＝20，解得d＝2，那么a5＝a1+4d＝16+4×2＝24；
若a5＝16，则a1+4d＝16，又a1+2d＝20，联立可得，两式相减得2d＝﹣4，解得d＝﹣2，
则a1＝24，a3＝20，a5＝16，所以必有一人分得24个面包，选项B正确；
对于选项C，若分得面包较多的三份之和是较少两份之和的3倍，
即a3+a4+a5＝3（a1+a2），
因为a3＝20，所以20+（20+d）+（20+2d）＝3[（20﹣2d）+（20﹣d）]，
展开得60+3d＝3（40﹣3d），即60+3d＝120﹣9d，移项得12d＝60，解得d＝5，
则a1＝a3﹣2d＝20﹣2×5＝10，所以最少一人分得10个面包，选项C正确；
对于选项D，因为每人分得面包数均为正整数，所以a1＞0，d＞0，由a1+2d＝20，
可得a1＝20﹣2d，则20﹣2d＞0，解得d＜10．a5＝a1+4d＝20﹣2d+4d＝20+2d，
因为d＜10，所以a5＜20+2×10＝40，所以某人最多分得39个面包，选项D错误．
故选：ABC．
6．已知在等差数列{an}中，a1＝3且a1+a6＝a4+13，则数列{an}的通项公式an＝　5n﹣2　 ．
【答案】5n﹣2．
【解答】解：设等差数列公差为d，由a1＝3且a1+a6＝a4+13，
可得a1+a6﹣a4＝a1+a1+5d﹣（a1+3d）＝a1+2d＝a3，
又a1+a6＝a4+13，所以a3＝13，
则；
故等差数列{an}的通项公式为an＝a1+（n﹣1）d＝3+5（n﹣1）＝5n﹣2．
故答案为：5n﹣2．
7．设Tn为数列{an}的前n项积，若Tn+an＝m，其中常数m＞0，数列为等差数列，则m＝ 　1或2　 ．
【答案】1或2．
【解答】解：当n≥2时，，
所以，
由数列为等差数列，则为常数d，
①若d＝0，则an﹣1＝1（n≥2）恒成立，即an＝1（n≥1）恒成立，
所以m＝2；
②若d≠0，则，
所以，
解得m＝d＝1，
综上所述，m＝1或m＝2．
故答案为：1或2．
8．已知数列{an}的前n项和，则a1﹣a2+a3﹣a4+ +a2023﹣a2024+a2025＝　2025　 ．
【答案】2025．
【解答】解：数列{an}的前n项和，
根据数列 {an} 的前 n 项和为：
，
当 n＝1 时，a1＝S1＝1，
当 n≥2 时，，
n＝1时也适合上式，
故an＝2n﹣1，则{an} 是等差数列，公差为d＝2，
∴a1﹣a2+a3﹣a4+ +a2023﹣a2024+a2025＝a1+1012d＝2025．
故答案为：2025．
9．在数列{an}中，a1＝0，a2＝4，且an+2＝2an+1﹣an+2．
（1）证明：{an+1﹣an}是等差数列；
（2）求{an}的通项公式．
【答案】（1）因为（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an）＝an+2﹣2an+1+an＝（2an+1﹣an+2）﹣2an+1+an＝2，
且a2﹣a1＝4，
所以数列{an+1﹣an}是以4为首项，2为公差的等差数列；
（2）．
【解答】解：（1）证明：因为数列{an}中，a1＝0，a2＝4，且an+2＝2an+1﹣an+2，
则（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an）＝an+2﹣2an+1+an＝（2an+1﹣an+2）﹣2an+1+an＝2，
且a2﹣a1＝4，
所以数列{an+1﹣an}是以4为首项，2为公差的等差数列；
（2）由（1）得：an+1﹣an＝4+（n﹣1）×2＝2n+2，
所以a2﹣a1＝4，a3﹣a2＝6，a4﹣a3＝8，…，an﹣an﹣1＝2n，
则，
又a1＝0，所以．
10．已知数列{an}，{bn}都是等差数列，公差分别为d1，d2，数列{cn}满足cn＝an+2bn．
（1）数列{cn}是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，说明理由．
（2）若a1＝5，b1＝﹣8，d1＝﹣2，d2＝3，求数列{cn}的通项公式，并求．
【答案】（1）数列{cn}是等差数列．
证明如下：
cn+1﹣cn＝（an+1+2bn+1）﹣（an+2bn）＝（an+1﹣an）+2（bn+1﹣bn）＝d1+2d2，
∴数列{cn}是以a1+2b1为首项，d1+2d2为公差的等差数列．
（2）cn＝4n﹣15，．
【解答】解：（1）数列{cn}是等差数列．
证明如下：
cn+1﹣cn＝（an+1+2bn+1）﹣（an+2bn）＝（an+1﹣an）+2（bn+1﹣bn）＝d1+2d2，
∴数列{cn}是以a1+2b1为首项，d1+2d2为公差的等差数列．
（2）∵a1＝5，b1＝﹣8，d1＝﹣2，d2＝3，
∴cn＝5﹣16+（n﹣1）（﹣2+2×3）＝4n﹣15，c2n﹣1＝8n﹣19，{c2n﹣1}仍为等差数列，
∴Sn＝c1+c3+c5+…+c2n﹣1
4n2﹣15n．
11．记首项为1的数列{an}的前n项的积为Tn，且{Tn+1﹣Tn}是以2为首项，2为公差的等差数列．
（1）求{Tn}的通项公式；
（2）求{an}的通项公式；
（3）求{an}中的最大项．
【答案】（1）．
（2）．
（3）a2＝3．
【解答】解：（1）首项为1的数列{an}的前n项的积为Tn，且{Tn+1﹣Tn}是以2为首项，2为公差的等差数列，
∴Tn+1﹣Tn＝2+2（n﹣1）＝2n，结合题意知T1＝1，
∴当n≥2时，Tn＝T1+（T2﹣T1）+（T3﹣T2）+ +（Tn﹣Tn﹣1）＝1+2（1+2+ +n﹣1）
，T1＝1也适合，
∴；
（2）由题意知，
则n≥2时，，
a1＝1也适合该式，
∴；
（3）由（2）知，
令，
则，
当1＜x＜2时，f′（x）＞0；当x＞2时，f′（x）＜0；
故f（x）在（1，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，
由此可得a1＜a2＞a3＞a4＞…，
∴{an}中的最大项为．
12．已知数组An：a1，a2， ，an，如果数组Bn：b1，b2， ，bn满足b1＝an，且bk+bk﹣1＝ak+ak﹣1，其中k＝2，3， ，n，则称Bn为An的“兄弟数组”．
（1）写出数组A6：4，2，3，7，1，8的“兄弟数组”B6；
（2）若A11的“兄弟数组”是B11，试证明：b11，a11，a1成等差数列；
（3）若n为偶数，且An的“兄弟数组”是Bn，求证：bn＝a1．
【答案】（1）B6：8，﹣2，7，3，5，4；
（2）证明见解答；
（3）证明见解答．
【解答】解：（1）由A0知：a1＝4，a2＝2，a3＝3，a4＝7，a5＝1，a6＝8，
∵b1＝a6＝8，b2+b1＝a2+a1，
∴b2＝2+4﹣8＝﹣2，
∵b3+b2＝a3+a2，
∴b3＝3+2+2＝7，同理可得：b4＝3，b5＝5，b6＝4，
∴B6：8，﹣2，7，3，5，4．
（2）证明：对于数组A11及其“兄弟数组”B11，
∵b1＝a11…①，b1+b2＝a1+a2…②，b2+b3＝a2+a3…③，b3+b4＝a3+a4…④，……，b10+b11＝a10+a11… ，
将上述几个等式中的第②④⑥⑧⑩个等式的两边分别乘以﹣1，再与其他等式相加得：
b1﹣（b1+b2）+（b2﹣b1）﹣ +（b10+b11）＝a11﹣（a1+a2）+（a2+a3）﹣ +（a10+a11），
即b11＝a11﹣a1+a11＝2a11﹣a1，
∴a1+b11＝2a11，
∴b11，a11，a1成等比数列，
（3）证明：∵b1＝an，b1+b2＝a1+a2，b2+b3＝a2+a3，……，bn﹣1+bn＝an﹣1+an，
由于n为偶数，将上述n个等式中的第2，4，6，…，n这个等式的两边分别乘以﹣1，再与其他等式相加得：
b1﹣（b1+b2）+（b2+b3）﹣ ﹣（bn﹣1+bn）＝an﹣（a1+a2）+（a2+a3）﹣ ﹣（an﹣1+an），
即﹣bn＝﹣a1，
∴bn＝a1．
▉题型2 等差中项及其性质
【知识点的认识】
等差数列
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1n（n﹣1）或Sn （n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数）
等差数列的性质
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
13．已知等差数列{an}中，a4+a8＝a7+8，则a5＝（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解答】解：因为等差数列{an}中，a4+a8＝a7+8，
所以a4+a8＝a5+a7，
所以a5＝8．
故选：D．
14．在等差数列{an}中，公差d≠0，a2是a1与a4的等比中项，已知数列，…成等比数列，则数列{kn}的通项公式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：∵在等差数列{an}中，公差d≠0，a2是a1与a4的等比中项，
∴a1a4，∴（a1+d）2，
解得a1＝d，
∴an＝na1，
新数列，…，记为{bn}，
则{bn}为等比数列，
∴公比q3，
∴bn+2，
∵a1+（kn﹣1）d＝a1 kn，
∴kn＝3n+1．
故选：B．
15．在公差不为0的等差数列{an}中，若a3是ax与ay的等差中项，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：公差不为0的等差数列{an}中，若a3是ax与ay的等差中项，则2a3＝ax+ay，
所以x+y＝6，x＞0，y＞0，
则（）（x+y）（5）（5+2），
当且仅当y＝2x，即x＝2，y＝4时取等号．
故选：A．
16．若三个数a﹣2，5，2a成等差数列，则a＝（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【解答】解：由三个数a﹣2，5，2a成等差数列，
可得：a﹣2+2a＝2×5 a＝4．
故选：D．
17．在等差数列{an}中，若a3+a5+a7+a9+a11＝100，则a1+a13的值为（　　）
A．20 B．30 C．40 D．50
【答案】C
【解答】解：由题意．
故选：C．
18．设公差d≠0的等差数列{an}中，满足a3a8，则的值为 　　 ．
【答案】
【解答】解：根据题意，设等差数列{an}的公差为d，
若a3a8，则（a1+4d）2＝（a1+2d）（a1+7d），
变形可得a1＝2d，
则an＝a1+（n﹣1）d＝（n+1）d（d≠0），
．
故答案为：．
19．数学兴趣小组对具有线性相关的两个变量x和y进行了统计分析，得到了下表：
x 4 6 8 10 12
y a 2 b c 6
并由表中数据求得y关于x的回归方程为0.65x﹣1.8，若a，b，c成等差数列，则b＝　3　 ．
【答案】3．
【解答】解：根据题意，（4+6+8+10+12）＝8，将其代入回归方程得0.65×8﹣1.8＝3.4，
所以（a+b+c+2+6）＝3.4，故a+b+c＝9，
又因为2b＝a+c，所以b＝3．
故答案为：3．
20．已知{an}是公差为2的等差数列，其前n项和为Sn，S4是a2与a21的等差中项，则an＝　2n+1　 ；设，若对 k∈N*，使得bk≤λ恒成立，则λ的取值范围为 　{λ|}　 ．
【答案】an＝2n+1；{λ|}．
【解答】解：由题意知{an}是公差为2的等差数列，S4是a2与a21的等差中项，
则2S4＝a2+a21，即8a1+24＝a1+2+a1+40，∴a1＝3，
故an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
故，
则，
当n≤2时，bn+1＞bn，数列的项增大；当n≥3时，bn+1＜bn，数列的项是减小的；
故为数列{bn}的最大值项，
对 k∈N*，使得bk≤λ恒成立，则，
即λ的取值范围为{λ|}．
故答案为：an＝2n+1；{λ|}．
21．已知，，则a，b的等差中项为（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解答】解：由已知可得，．
设a，b的等差中项为m，
根据等差中项的定义，有．
故选：B．
22．《莱恩德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道类似这样的题目，请给出答案：把75个面包分给5个人，使每个人所得面包数量成等差数列，且较小的三份之和恰好等于最大的一份，则最大的一份为 　27　 ．
【答案】27．
【解答】解：不妨设5人所得面包数从小到大排列为a1＜a2＜a3＜a4＜a5，公差为d＞0，
则由题意有a1+a2+a3+a4+a5＝5a3＝75，a1+a2+a3＝a5，
所以解得a3＝15，
又15+2d＝a3+2d＝a5＝a1+a2+a3＝3a3﹣3d＝45﹣3d，
所以d＝6，
所以则最大的一份为a5＝a3+2d＝15+12＝27．
故答案为：27．
23．已知等差数列{an}的公差为正数，a2与a8的等差中项为8，且a3a7＝28．
（1）求{an}的通项公式；
（2）从{an}中依次取出第3项，第6项，第9项，…，第3n项，按照原来的顺序组成一个新数列{bn}，判断938是不是数列{bn}中的项？并说明理由．
【答案】（1）an＝3n﹣7；
（2）938是数列{bn}中的项．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
根据等差中项的性质可得a2与a8的等差中项为a5，所以a5＝8，
又因为a3a7＝28，即（a5﹣2d）（a5+2d）＝28．
所以d2＝9，d＝±3，因为公差为正数，所以d＝3．则a5＝a1+4d＝8，则a1＝﹣4，
∴{an}的通项公式．
（2）结合（1）可知．
令938＝9n﹣7，即n＝105∈N*，符合题意，即b105＝938．
所以938是数列{bn}中的项．
▉题型3 由等差数列中若干项求通项公式或其中的项
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为am，则第n项为an＝am+（n﹣m）d．
24．等差数列{an}中，若a1＝12，a7＝36，则公差d的值为（　　）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解答】解：等差数列{an}中，若a1＝12，a7＝36，
由a7＝a1+6d＝12+6d＝36，解得d＝4．
故选：D．
25．已知Sn是数列{an}的前n项和，是等差数列，若S3＝12，S6＝60，则a9＝（　　）
A．18 B．24 C．32 D．42
【答案】C
【解答】解：Sn是数列{an}的前n项和，是等差数列，S3＝12，S6＝60，
∴，，∴的公差为2，
∴，
∴Sn＝2n（n﹣1），
∴a9＝S9﹣S8＝144﹣112＝32．
故选：C．
26．某市为了改善当地生态环境，2014年投入资金160万元治理，以后每年投入资金比上一年增加20万元，从2021年开始每年投入资金比上一年增加10%，到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为（　　）
（其中1.13＝1.331，1.14≈1.464，1.15≈1.611）
A．2559万元 B．3040万元 C．2969万元 D．3005万元
【答案】C
【解答】解：2014年投入资金160万元，以后每年投入资金比上一年增加20万元，成等差数列，
则2020年投入资金160+（7﹣1）×20＝280万元，
2014年至2020年共7年投资总额为160+180+200+220+240+260+280＝1540万元，
从2021年开始每年投入资金比上一年增加10%，
则从2021年至2024年投入资金成首项为280，公比为1.1，项数为4的等比数列，
∴从2021年至2024年投入资金总额为万元，
∴到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为1540+1429＝2969万元．
故选：C．
27．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S14＝14，则a7+a8＝ 　2　 ．
【答案】2．
【解答】解：由数列{an}为等差数列，
可得a1+a14＝a7+a8，
则，
所以a7+a8＝2．
故答案为：2．
28．在等差数列{an}中，数列{an}的前n项和为Sn，S7＝28，a1+a4＝5，若4an+am＝a17（m，n∈N*），则n2+m2的最小值为 　17　 ．
【答案】17．
【解答】解：S7＝28，
则7a4＝28，解得a4＝4，
而a1+a4＝5，则a1＝1，
数列{an}的公差，则an＝n，
因为4an+am＝a17，
所以4n+m＝17，
而m，n∈N*，则或或或，
所以当时，n2+m2的最小值为42+12＝17．
故答案为：17．
29．（1）已知数列{an}的前n项和，求{an}的通项公式；
（2）已知等差数列{an}满足a1+a5＝8，a4＝7，求数列{an}的通项公式．
【答案】（1）；
（2）an＝3n﹣5．
【解答】解：（1）因为，
当n＝1时，a1＝S1＝2﹣3+1＝0，
当n≥2时，，
故，
所以，
（2）设等差数列{an}公差为d，
因为a1+a5＝8，
则a2+a4＝8，又a4＝7，
则a2＝1，所以，
则an＝a2+3（n﹣2）＝1+3n﹣6＝3n﹣5
30．写出一个同时满足下列条件①②③的数列{an}的通项公式an＝n﹣4 （答案不唯一）　 ．
①是常数，m，n∈N*且m≠n；
②a6＝2a5；
③{an}的前n项和存在最小值．
【答案】n﹣4 （答案不唯一）
【解答】解：因为是常数，m，n∈N*且m≠n，考虑等差数列，
因为a6＝2a5；，
所以a1+5d＝2a1+8d，即a1+3d＝a4＝0，
又{an}的前n项和存在最小值，可考虑等差数列的前几项为负数，d＞0，
故符合题意的an＝n﹣4（答案不唯一）．
故答案为：n﹣4 （答案不唯一）．
31．记数列{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2，且a2是a1和a4的等比中项．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}满足：b1＝a1﹣1，b2＝a3+3，bn+2＝3bn+1﹣2bn﹣10，
（i）求证：{bn+1﹣bn﹣10}为等比数列；
（ⅱ）求bn取最大值时n的值．
【答案】（1）an＝2n．
（2）（i）证明过程见解答；
（ii）n＝4．
【解答】解：（1）设{an}的公差为d，则（a1+d）2＝a1（a1+3d），
∴d2﹣a1d＝0，即d2﹣2d＝0，
∵d≠0，∴d＝2，
∴an＝2+（n﹣1）×2＝2n．
（2）（i）证明：b1＝a1﹣1＝1，b2＝a3+3＝9，
而bn+2＝3bn+1﹣2bn﹣10，
∴bn+2﹣bn+1﹣10＝2（bn+1﹣bn﹣10），
∵b2﹣b1﹣10＝﹣2≠0，bn+1﹣bn﹣10≠0，
∴2，
∴{bn+1﹣bn﹣10}为等比数列且公比为2，首项为﹣2．
（ii）由（i）可得bn+1﹣bn﹣10＝﹣2×2n﹣1，
∴bn+1﹣bn＝10﹣2n，
∴当1≤n≤3时，bn+1﹣bn＞0，
当n≥4时，bn+1﹣bn＜0，
∴b1＜b2＜b3＜b4＞b5＞…＞bn＞…，
∴bn取最大值时n＝4．
32．设{an}为递增的等差数列，其前n项和为Sn，已知a1＝6，且．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求使Sn＞3an成立的n的最小值．
【答案】（I）an＝2n+4；
（Ⅱ）5．
【解答】解：（I）{an}为递增的等差数列，a1＝6，且，
所以2×（5）＝（6+2d）2，
解得d＝2或d＝﹣3（舍），
故an＝6+2（n﹣1）＝2n+4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，Sn＝6n+n（n﹣1）＝n2+5n，
若Sn＞3an，则n2+5n＞6n+12，
解得n＞4，
故n的最小值为5．
33．已知等差数列{an}中，a1+a4＝10，a2＝4．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求a1+a3+a5+ +a19的值．
【答案】（I）an＝2n．（II）200．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
由题意得，
解得a1＝2，d＝2，
所以an＝2n．
（Ⅱ）因为a1，a3，…，a19构成首项为a1，公差为2d的等差数列，a19是其第10项，
所以a1+a3+a5+ +a1920+10×9×2＝200．
34．已知等差数列{an}满足a3＝7，a2+a6＝20．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若等比数列{bn}的前n项和为Sn，且b1＝a1，b32＝a6，bn+1＞bn，求满足Sn≤2021的n的最大值．
【答案】（1）an＝3n﹣2．
（2）n的最大值为10．
【解答】解：（1）数列{an}为等差数列，首项为：a1，公差为d，
因为a3＝7，a2+a6＝20．
所以，解得：，
所以an＝3n﹣2．
（2）设等比数列{bn}的公比为q，
因为b1＝a1，b32＝a6，即b1＝1，（b1q2）2＝16，解得b1＝1，q＝2，或q＝﹣2，
因为bn+1＞bn，所以q＝2，
所以Sn2n﹣1，
因为Sn≤2021，即2n﹣1≤2021，解得n≤10，
所以n的最大值为10．
35．已知等差数列{an}满足a1+a2＝10，a4﹣a3＝2．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d．
∵a4﹣a3＝2，所以d＝2
∵a1+a2＝10，所以2a1+d＝10
∴a1＝4，
∴an＝4+2（n﹣1）＝2n+2（n＝1，2，…）
（II）设等比数列{bn}的公比为q，
∵b2＝a3＝8，b3＝a7＝16，
∴
∴q＝2，b1＝4
∴128，而128＝2n+2
∴n＝63
∴b6与数列{an}中的第63项相等
▉题型4 等差数列通项公式的应用
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为am，则第n项为an＝am+（n﹣m）d．
36．已知等差数列{an}中，a3+a8＝﹣6，Sn是数列{an}的前n项和，则S10的值为（　　）
A．﹣60 B．﹣30 C．30 D．60
【答案】B
【解答】解：根据题意，等差数列{an}中，a3+a8＝﹣6，
则S1030．
故选：B．
37．已知等差数列{an}满足a1＞1，a50≤﹣71，a100＞﹣200，且数列{an}在区间[﹣8，1]中的项比在区间（﹣47，﹣38）中的项多2项，则an＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为数列{an}为等差数列，所以相邻两项间的差的绝对值相等，
因为1﹣（﹣8）＝﹣38﹣（﹣47）＝9，且数列{an}在区间[﹣8，1]中的项比在区间（﹣47，﹣38）中的项多2项，
所以1，﹣8，﹣38，﹣47均为数列{an}中的项，
设数列{an}的公差为d，可知d＜0，
由1，﹣8，﹣38，﹣47四个数后一项与前一项的差依次为﹣9，﹣30，﹣9，
因为这三个数均为d的整数倍，所以﹣3是d的整数倍，
设，m∈N*，因为a50≤﹣71，a100＞﹣200，
所以a1+49d≤﹣71，a1+99d＞﹣200，
则a1≤﹣71﹣49d，a1＞﹣99d﹣200，可得﹣71﹣49d＞﹣99d﹣200，
又由a1＞1，可得﹣71﹣49d＞1，
解得，
则，
所以，
因为m∈N*，所以m＝2，，
因为a1+49d≤﹣71，a1＞1，所以，
又因为数列中存在，
即，
而当，此
时不满足a1＞1，
当，
此时满足，
而，
上时不满足，
故，则．
故答案为：．
38．将数列an＝3n﹣2与数列bn＝4n﹣3的公共项从小到大排列得到数列{cn}，则使得cn＞2025成立的n的最小值为 　170　 ．
【答案】170．
【解答】解：数列an＝3n﹣2与数列bn＝4n﹣3的公共项从小到大排列得到数列{cn}，
则数列{cn}是以1为首项，以12为公差的等差数列，
则cn＝1+12（n﹣1）＝12n﹣11，
若cn＞2025，则12n﹣11＞2025，
所以n，
故n的最小值为170．
故答案为：170．
39．已知等差数列{an}和等比数列{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且，则（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【解答】解：若等比数列{bn}的公比q≠1，则Tn，此时不可能有且成立．
因此，等比数列{bn}的公比q＝1，设b1＝k（k≠0），则Tn＝b1+b2+…+bn＝kn，
结合，可得等差数列{an}的前n项和Sn＝kn（2n+1），
所以a3＝S3﹣S2＝3k（2×3+1）﹣2k（2×2+1）＝11k，结合b5＝k，可得11．
故选：C．
40．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则立夏日影长为（　　）
A．1.5尺 B．2.5尺 C．3.5尺 D．4.5尺
【答案】D
【解答】解：设数列为an，公差为d，
a1+a4+a7＝3a1+9d＝31.5，
S9＝9a1+36d＝85.5，
解得a1＝13.5，d＝﹣1，
∴立夏日影长为a10＝4.5．
故选：D．
41．已知数列是正整数1，2，3， ，n的一个全排列，若对每个k∈{2，3， n}都有|ak﹣ak﹣1|＝2或3，则称An为H数列
（1）列出所有H数列A5的情形；
（2）写出一个满足a5k＝5k（k＝1，2， ，405）的H数列A2025的通项公式；
（3）在H数列A2025中，记bk＝a5k（k＝1，2， ，405），若数列{bk}是公差为d的等差数列，求证：d＝5或d＝﹣5．
【答案】（1）答案见解析；
（2）答案见解析；
（3）证明见解析．
【解答】解：（1）若a1＝1，则a2＝3或a2＝4，
当a1＝1，a2＝4时，a3＝2，a4＝5，a5＝3，此时A5为1，4，2，5，3，
当a1＝1，a2＝3时，a3＝5，a4＝2，a5＝4，此时A5为1，3，5，2，4，
同理可得A5可能为：4，1，3，5，2或4，2，5，3，1或5，2，4，1，3或5，3，1，4，2，
或2，4，1，3，5或2，5，3，1，4或3，5，2，4，1或3，1，4，2，5；
（2）若将A5：3，1，4，2，5记为A2025的第一组数，
构造数列满足an+5＝an+5，
则对任意的k∈{1，2，3 ，405}，i∈{2，3，4，5}，
|a5k+i﹣a5k+i﹣1|＝|（ai+5k）﹣（ai﹣1+5k）|＝|ai﹣ai﹣1|＝2或3，
当i＝1时，|a5k+1﹣a5k|＝|（a1+5k）﹣（a5+5k﹣5）|＝|a1﹣a5+5|＝3符合要求，
∴a5k+1＝a1+5k＝3+5k；a5k+2＝a2+5k＝1+5k；a5k+3＝a3+5k＝4+5k，
a5k+4＝a4+5k＝2+5k；a5k+5＝a5+5k＝5+5k．
综上所述：，k∈N，
同理可得若将A5：2，4，1，3，5记为的第一组数，则，k∈N，
（3）∵{bk}为等差数列∴d＝bk+1﹣bk＝a5k+5﹣a5k．
∵a5k+5﹣a5k＝（a5k+5﹣a5k﹣4）+（a5k+4﹣a5k+3）+（a5k+3﹣a5k+2）+（a5k+2﹣a5k+1）+（a5k+1﹣a5k），
且由|ak﹣ak﹣1|＝2或3，可得ak﹣ak﹣1＝±2或±3，
∴d＝2x+3y（x，y∈Z） 且|x|+|y|＝5，
∴（|x|，|y|）＝（0，5），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（5，0）
①若（|x|，|y|）＝（0，5），则d＝±15，b405＝b1±404d＝b1±6060 A2025，不符题意，
②若（|x|，|y|）＝（2，3），则d＝±13，±5，
当d＝±13时，b405＝b1±404d A2025，不符题意，
当d＝±5时，b405＝b1±404＝b1+2020或b1﹣2020，
所以可以找到这样的A2025使之成立（例如第 （2）问中的结论），
③若（|x|，|y|）＝（1，4），则 d＝±10，±14，b405＝b1±404d A2025，不符题意，
④若（|x|，|y|）＝（4，1），则d＝±5，±11，
当d＝±11时，b405＝b1±404d A2025，不符题意，
当d＝±5时，同③可以找到这样的A2025使之成立 （例如第（2）问中的结论），
⑤若（|x|，|y|）＝（3，2），则d＝±12，0，可得b405＝b1±404d A2025，不符题意，
⑥若（|x|，|y|）＝（5，0），则d＝±10，b405＝b1±404d A2025，不符题意，
综上所述，若{bk}为等差数列，则d＝5或d＝﹣5．
▉题型5 求等差数列的前n项和
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1n（n﹣1）d或者Sn
（多选）42．我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走d里，九天他共行走了一千二百六十里，求d的值．关于该问题，下列结论正确的是（　　）
A．d＝10
B．此人第三天行走了一百二十里
C．此人前七天共行走了九百一十里
D．此人有连续的三天共行走了四百零五里
【答案】ABC
【解答】解：有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，
以后每天比前一天多走d里，九天他共行走了一千二百六十里，
由题意，设此人第一天走a1＝2里，第n天走an里，
{an}为等差数列，a1＝100，S9＝1260，数列{an}的前n项和为Sn，
∴，
∴9a1+36d＝9×100+36d＝1260，解得d＝10，故A正确；
∴，
∴a3＝10×3+90＝120（里），故B正确；
∵，a7＝10×7+90＝160（里），
∴（里），故C正确；
设连续三天为k，k+1，k+2，所以ak+ak+1+ak+2＝3ak+1＝405（里），即ak+1＝135（里），
∴ak+1＝10（k+1）+90＝10k+100＝135（里），解得k＝3.5，故D错误．
故选：ABC．
43．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a7+a8+a9＝24，则S15＝（　　）
A．240 B．180 C．120 D．60
【答案】C
【解答】解：等差数列{an}中，由S3＝6，a7+a8+a9＝3a8＝24，得a8＝8，
故15a8＝120．
故选：C．
44．现有十个盒子，总质量为35千克，这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列，构成一个等差数列，且排在前三位的三个盒子的总质量不低于排在后三位的三个盒子的总质量的两倍，则质量最重的盒子最少是（　　）
A．2千克 B．3千克 C．5千克 D．7千克
【答案】C
【解答】解：设该等差数列为{an}，公差为d，d＜0，
则a1+a2+a3≥2（a8+a9+a10），
由等差中项可知3a2≥2×3a9，
∴a1+d≥2（a1+8d），∴a1≤﹣15d，
又∵，
即2a1+9d＝7，则，
∴，
∴9a1≤﹣105+30a1，∴﹣21a1≤﹣105，
∴，
∴质量最重的盒子最少是5千克．
故选：C．
45．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S7＝28，S10＝35，则a10＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解答】解：根据题意，设等差数列{an}的公差为d，
若S7＝28，S10＝35，即，解可得，
故a10＝a1+9d＝2．
故选：A．
46．在等差数列{an}中，已知a1+a3+a5+…+a99＝50，公差d＝1，那么这个数列前100项的和等于（　　）
A．51 B．100 C．150 D．200
【答案】C
【解答】解：在等差数列{an}中，a1+a3+a5+…+a99＝50，公差d＝1，
∵a2+a4+ +a100＝a1+a3+a5+ +a99+50d＝50+50×1＝100，
∴a1+a2+a3+ +a100＝（a1+a3+a5+ +a99）+（a2+a4+a6+ +a100）＝50+100＝150．
故选：C．
47．已知一座能容纳800人的学术报告厅共20排座位，从第二排起，每排比前一排多2个座位，则第1排的座椅数为（　　）
A．21 B．39 C．41 D．43
【答案】A
【解答】解：由题意得，从前到后，每一排的座位数构成等差数列{an}，
则公差d＝2，S20＝800，
由等差数列的求和公式可得，，
∴a1＝21．
故选：A．
48．已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，S9＝9，则的最小值为（　　）
A．9 B． C． D．8
【答案】C
【解答】解：因为正项等差数列{an}的前n项和为Sn，且S9＝9，
所以，所以a1+a9＝2，
所以a3+a7＝a1+a9＝2，又因为a3，a7＞0，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为．
故选：C．
49．已知等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：根据题意，等差数列{an}、{bn}，有，
所以．
故选：D．
50．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，d为其公差，且S5＝S7＞S6，给出以下命题：①d＞0；②S12＝0；③使得Sn取得最小值时的n为6；④满足Sn＞0成立的最小n值为13．其中正确命题有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解答】解：Sn为等差数列{an}的前n项和，d为其公差，且S5＝S7＞S6，
对于①，∵S5＝S7＞S6，
∴S7﹣S6＝a7＞0，S6﹣S5＝a6＜0，
∴d＝a7﹣a6＞0，故①正确；
对于②，∵S5＝S7，∴S5＝S7，∴S7﹣S5＝a6+a7＝0，
∴，故②正确；
对于③，∵a6＜0，a7＞0，d＞0，∴{an}为单调递增数列，
∴等差数列{an}中前6项均小于0，
则使得Sn取得最小值时的n为6，故③正确；
对于④，∵S12＝0，且{an}为单调递增数列，且a13＞0，
∴S13＞0，且满足Sn＞0成立的最小n值为13．故④正确．
故选：D．
51．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，3S4＝4S3+12，则公差d＝　2　 ．
【答案】2．
【解答】解：根据题意，等差数列{an}中，
由a1＝1，3S4＝4S3+12，则3×（4a1+6d）＝4×（3a1+3d）+12，
变形可得d＝2．
故答案为：2．
52．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S19＞0，a7+a14＜0，则当Sn取得最大值时，n＝　10　 ．
【答案】10．
【解答】解：因为{an}是等差数列，
所以由，
由a7+a14＜0 a10+a11＜0，而a10＞0，所以a11＜0，
因此该数列是递减数列，显然当n＝10时，Sn取得最大值．
故答案为：10．
▉题型6 由等差数列的前n项和求解数列
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1n（n﹣1）d或者Sn
（多选）53．记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝﹣10，是公差为1的等差数列，则（　　）
A．{an}是等差数列
B．a10＝﹣1
C．Sn≥S5
D．当Sn＞0时，n的最小值为12
【答案】ACD
【解答】解：Sn为数列{an}的前n项和，a1＝﹣10，是公差为1的等差数列，
∴（n﹣1）＝n﹣11，
∴，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝（n2﹣11n）﹣[（n﹣1）2﹣11（n﹣1）]＝2n﹣12，
a1＝﹣10满足上式，
∴an＝2n﹣12，an+1﹣an＝2，
∴{an}是等差数列，故A正确；
a10＝2×10﹣12＝8，故B错误；
令an＝2n﹣12≤0，得n≤6，
∴数列{an}的前5项为负，第6项为0，第7项起为正，
∴Sn≥S5正确，故C正确；
令Sn＞0，得n2﹣11n＞0，解得n＜0（舍），或n＞11，
∵n∈N*，∴n＝12时，Sn＞0，
∴当Sn＞0时，n的最小值为12，故D正确．
故选：ACD．
54．已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a8＝1，S7＝﹣49．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列的前n项和为Tn．求Tn的最小值．
【答案】（1）an＝2n﹣15；
（2）﹣91．
【解答】解：（1）数列{an}为等差数列，若a8＝a1+7d＝1，S7＝7a1+21d＝﹣49，
解得a1＝﹣13，d＝2，
则an＝﹣13+2（n﹣1）＝2n﹣15；
（2）由（1）可得，Sn＝﹣13nn2﹣14n，
则n﹣14，
Tn，
结合二次函数性质可知，n＝13或n＝14时，Tn取得最小值﹣91．
55．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，d为其公差，且S9＞S8＞S10，给出以下命题：①d＜0；②|a10|＞|a9|；③满足Sn＜0成立的最小的n值为18；④使得Sn取得最大值时的n为9．其中正确命题的序号为（　　）
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【解答】解：Sn为等差数列{an}的前n项和，d为其公差，且S9＞S8＞S10，
∴，
∴|a10|＞|a9|，d＝a10﹣a9＜0，故①②均正确；
由，得，
∴满足Sn＜0成立的最小的n值为18，故③正确；
由a9＞0＞a10可知，等差数列{an}的前9项为正，从第10项开始为负，
∴使得Sn取得最大值时的n为9．故④正确．
故选：D．
56．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S8﹣S5＞S5﹣S2”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解答】解：根据题意，数列{an}是等差数列，S8﹣S5＝a6+a7+a8＝3a1+18d，S5﹣S2＝a3+a4+a5＝3a1+9d，
因为d＞0，则（S8﹣S5）﹣（S5﹣S2）＝3a1+18d﹣3a1﹣9d＝9d＞0，所以S8﹣S5＞S5﹣S2，所以充分性成立，
反之：由S8﹣S5＞S5﹣S2，可得a6+a7+a8＞a3+a4+a5，
又由等差数列的性质，可得3a7＞3a4，即a7＞a4，则a7﹣a4＝3d＞0，所以必要性成立；
所以“d＞0”是“S8﹣S5＞S5﹣S2”的充要条件．
故选：C．
57．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项积为Tn，且Sn+Tn＝1，则a5＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项积为Tn，且Sn+Tn＝1，
令n＝1得S1＝T1且，
由数列{Sn}的前n项积为Tn，得，
代入Sn+Tn＝1得：
当n≥2时，有，
两边同时除以Tn得：，
∴是等差数列，且首项，公差为1，
∴，
∴．
故选：D．
▉题型7 等差数列前n项和的性质
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1n（n﹣1）d或者Sn
58．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：因为等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，
所以到，
因为，所以，即，故D正确．
故选：D．
59．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为An和Bn，若，则满足的正整数n的个数为　2　 ．
【答案】2．
【解答】解：设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为An＝kn（3n+75），Bn＝kn（2n+5）（k≠0为常数）．
a2n＝A2n﹣A2n﹣1＝k[2n（6n+75）﹣（2n﹣1）（6n+72）]＝k（12n+72），
bn＝Bn﹣Bn﹣1＝k[kn（2n+5）﹣（n﹣1）（2n+3）]＝k（4n+3），
故，分离常数得．
因，故4n+3是63的正因数．
63的正因数为1，3，7，9，21，63，结合n为正整数，
当4n+3＝7时，n＝1；
当4n+3＝63时，n＝15．
符合条件的正整数n共2个．
故答案为：2．
60．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若，则 　　 ．
【答案】．
【解答】解：，
，
，
所以，
由得，得，
所以．
故答案为：．第4章第2节 等差数列
题型1 等差数列的概念与判定 题型2 等差中项及其性质
题型3 由等差数列中若干项求通项公式或其中的项 题型4 等差数列通项公式的应用
题型5 求等差数列的前n项和 题型6 由等差数列的前n项和求解数列
题型7 等差数列前n项和的性质
▉题型1 等差数列的概念与判定
【知识点的认识】
等差数列
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1n（n﹣1）或Sn （n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数）
1．已知数列{an}满足a1＝2，设甲： p，q∈N*，ap+q＝ap+aq，乙：{an}为等差数列．则甲是乙的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．记Sn为数列{an}的前n项和，Tn为数列{Sn}的前n项和，且数列{Sn}是一个首项不等于公差的等差数列，则下列结论正确的是（　　）
A．{an}和均是等差数列
B．{an}是等差数列，不是等差数列
C．{an}不是等差数列，是等差数列
D．{an}和均不是等差数列
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，a1＝2，若也为等差数列，则d的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．8
（多选）4．记数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝An+B，A、B为常数．下列选项正确的是（　　）
A．若A+B＝1，则a1＝1
B．若A＝2，则a2＝2
C．存在常数A、B，使数列{an}是等比数列
D．对任意常数A、B，数列{an}都是等差数列
（多选）5．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有如下问题：把100个面包分给5个人，每人分得面包数均为正整数且构成等差数列，则（　　）
A．五人中必有一人分得20个面包
B．五人中若有一人分得16个面包，则必有一人分得24个面包
C．若分得面包较多的三份之和是较少两份之和的3倍，则最少一人分得10个面包
D．某人最多分得36个面包
6．已知在等差数列{an}中，a1＝3且a1+a6＝a4+13，则数列{an}的通项公式an＝　 　 ．
7．设Tn为数列{an}的前n项积，若Tn+an＝m，其中常数m＞0，数列为等差数列，则m＝ 　 　 ．
8．已知数列{an}的前n项和，则a1﹣a2+a3﹣a4+ +a2023﹣a2024+a2025＝　 　 ．
9．在数列{an}中，a1＝0，a2＝4，且an+2＝2an+1﹣an+2．
（1）证明：{an+1﹣an}是等差数列；
（2）求{an}的通项公式．
10．已知数列{an}，{bn}都是等差数列，公差分别为d1，d2，数列{cn}满足cn＝an+2bn．
（1）数列{cn}是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，说明理由．
（2）若a1＝5，b1＝﹣8，d1＝﹣2，d2＝3，求数列{cn}的通项公式，并求．
11．记首项为1的数列{an}的前n项的积为Tn，且{Tn+1﹣Tn}是以2为首项，2为公差的等差数列．
（1）求{Tn}的通项公式；
（2）求{an}的通项公式；
（3）求{an}中的最大项．
12．已知数组An：a1，a2， ，an，如果数组Bn：b1，b2， ，bn满足b1＝an，且bk+bk﹣1＝ak+ak﹣1，其中k＝2，3， ，n，则称Bn为An的“兄弟数组”．
（1）写出数组A6：4，2，3，7，1，8的“兄弟数组”B6；
（2）若A11的“兄弟数组”是B11，试证明：b11，a11，a1成等差数列；
（3）若n为偶数，且An的“兄弟数组”是Bn，求证：bn＝a1．
▉题型2 等差中项及其性质
【知识点的认识】
等差数列
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1n（n﹣1）或Sn （n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数）
等差数列的性质
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
13．已知等差数列{an}中，a4+a8＝a7+8，则a5＝（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
14．在等差数列{an}中，公差d≠0，a2是a1与a4的等比中项，已知数列，…成等比数列，则数列{kn}的通项公式为（　　）
A． B．
C． D．
15．在公差不为0的等差数列{an}中，若a3是ax与ay的等差中项，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
16．若三个数a﹣2，5，2a成等差数列，则a＝（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
17．在等差数列{an}中，若a3+a5+a7+a9+a11＝100，则a1+a13的值为（　　）
A．20 B．30 C．40 D．50
18．设公差d≠0的等差数列{an}中，满足a3a8，则的值为 　 ．
19．数学兴趣小组对具有线性相关的两个变量x和y进行了统计分析，得到了下表：
x 4 6 8 10 12
y a 2 b c 6
并由表中数据求得y关于x的回归方程为0.65x﹣1.8，若a，b，c成等差数列，则b＝ 　 ．
20．已知{an}是公差为2的等差数列，其前n项和为Sn，S4是a2与a21的等差中项，则an＝　 ；设，若对 k∈N*，使得bk≤λ恒成立，则λ的取值范围为 　 ．
21．已知，，则a，b的等差中项为（　　）
A． B． C．1 D．
22．《莱恩德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道类似这样的题目，请给出答案：把75个面包分给5个人，使每个人所得面包数量成等差数列，且较小的三份之和恰好等于最大的一份，则最大的一份为 　 　 ．
23．已知等差数列{an}的公差为正数，a2与a8的等差中项为8，且a3a7＝28．
（1）求{an}的通项公式；
（2）从{an}中依次取出第3项，第6项，第9项，…，第3n项，按照原来的顺序组成一个新数列{bn}，判断938是不是数列{bn}中的项？并说明理由．
▉题型3 由等差数列中若干项求通项公式或其中的项
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为am，则第n项为an＝am+（n﹣m）d．
24．等差数列{an}中，若a1＝12，a7＝36，则公差d的值为（　　）
A． B．2 C．3 D．4
25．已知Sn是数列{an}的前n项和，是等差数列，若S3＝12，S6＝60，则a9＝（　　）
A．18 B．24 C．32 D．42
26．某市为了改善当地生态环境，2014年投入资金160万元治理，以后每年投入资金比上一年增加20万元，从2021年开始每年投入资金比上一年增加10%，到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为（　　）
（其中1.13＝1.331，1.14≈1.464，1.15≈1.611）
A．2559万元 B．3040万元 C．2969万元 D．3005万元
27．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S14＝14，则a7+a8＝ 　 　 ．
28．在等差数列{an}中，数列{an}的前n项和为Sn，S7＝28，a1+a4＝5，若4an+am＝a17（m，n∈N*），则n2+m2的最小值为 　 　 ．
29．（1）已知数列{an}的前n项和，求{an}的通项公式；
（2）已知等差数列{an}满足a1+a5＝8，a4＝7，求数列{an}的通项公式．
30．写出一个同时满足下列条件①②③的数列{an}的通项公式an＝ 　 ．
①是常数，m，n∈N*且m≠n；
②a6＝2a5；
③{an}的前n项和存在最小值．
31．记数列{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2，且a2是a1和a4的等比中项．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}满足：b1＝a1﹣1，b2＝a3+3，bn+2＝3bn+1﹣2bn﹣10，
（i）求证：{bn+1﹣bn﹣10}为等比数列；
（ⅱ）求bn取最大值时n的值．
32．设{an}为递增的等差数列，其前n项和为Sn，已知a1＝6，且．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求使Sn＞3an成立的n的最小值．
33．已知等差数列{an}中，a1+a4＝10，a2＝4．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求a1+a3+a5+ +a19的值．
34．已知等差数列{an}满足a3＝7，a2+a6＝20．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若等比数列{bn}的前n项和为Sn，且b1＝a1，b32＝a6，bn+1＞bn，求满足Sn≤2021的n的最大值．
35．已知等差数列{an}满足a1+a2＝10，a4﹣a3＝2．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？
▉题型4 等差数列通项公式的应用
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为am，则第n项为an＝am+（n﹣m）d．
36．已知等差数列{an}中，a3+a8＝﹣6，Sn是数列{an}的前n项和，则S10的值为（　　）
A．﹣60 B．﹣30 C．30 D．60
37．已知等差数列{an}满足a1＞1，a50≤﹣71，a100＞﹣200，且数列{an}在区间[﹣8，1]中的项比在区间（﹣47，﹣38）中的项多2项，则an＝　 ．
38．将数列an＝3n﹣2与数列bn＝4n﹣3的公共项从小到大排列得到数列{cn}，则使得cn＞2025成立的n的最小值为 ．
39．已知等差数列{an}和等比数列{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且，则（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
40．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则立夏日影长为（　　）
A．1.5尺 B．2.5尺 C．3.5尺 D．4.5尺
41．已知数列是正整数1，2，3， ，n的一个全排列，若对每个k∈{2，3， n}都有|ak﹣ak﹣1|＝2或3，则称An为H数列
（1）列出所有H数列A5的情形；
（2）写出一个满足a5k＝5k（k＝1，2， ，405）的H数列A2025的通项公式；
（3）在H数列A2025中，记bk＝a5k（k＝1，2， ，405），若数列{bk}是公差为d的等差数列，求证：d＝5或d＝﹣5．
▉题型5 求等差数列的前n项和
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1n（n﹣1）d或者Sn
（多选）42．我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走d里，九天他共行走了一千二百六十里，求d的值．关于该问题，下列结论正确的是（　　）
A．d＝10
B．此人第三天行走了一百二十里
C．此人前七天共行走了九百一十里
D．此人有连续的三天共行走了四百零五里
43．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a7+a8+a9＝24，则S15＝（　　）
A．240 B．180 C．120 D．60
44．现有十个盒子，总质量为35千克，这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列，构成一个等差数列，且排在前三位的三个盒子的总质量不低于排在后三位的三个盒子的总质量的两倍，则质量最重的盒子最少是（　　）
A．2千克 B．3千克 C．5千克 D．7千克
45．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S7＝28，S10＝35，则a10＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
46．在等差数列{an}中，已知a1+a3+a5+…+a99＝50，公差d＝1，那么这个数列前100项的和等于（　　）
A．51 B．100 C．150 D．200
47．已知一座能容纳800人的学术报告厅共20排座位，从第二排起，每排比前一排多2个座位，则第1排的座椅数为（　　）
A．21 B．39 C．41 D．43
48．已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，S9＝9，则的最小值为（　　）
A．9 B． C． D．8
49．已知等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若，则（　　）
A． B． C． D．
50．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，d为其公差，且S5＝S7＞S6，给出以下命题：①d＞0；②S12＝0；③使得Sn取得最小值时的n为6；④满足Sn＞0成立的最小n值为13．其中正确命题有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
51．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，3S4＝4S3+12，则公差d＝　 　 ．
52．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S19＞0，a7+a14＜0，则当Sn取得最大值时，n＝　 ．
▉题型6 由等差数列的前n项和求解数列
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1n（n﹣1）d或者Sn
（多选）53．记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝﹣10，是公差为1的等差数列，则（　　）
A．{an}是等差数列
B．a10＝﹣1
C．Sn≥S5
D．当Sn＞0时，n的最小值为12
54．已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a8＝1，S7＝﹣49．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列的前n项和为Tn．求Tn的最小值．
55．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，d为其公差，且S9＞S8＞S10，给出以下命题：①d＜0；②|a10|＞|a9|；③满足Sn＜0成立的最小的n值为18；④使得Sn取得最大值时的n为9．其中正确命题的序号为（　　）
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
56．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S8﹣S5＞S5﹣S2”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
57．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项积为Tn，且Sn+Tn＝1，则a5＝（　　）
A． B． C． D．
▉题型7 等差数列前n项和的性质
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1n（n﹣1）d或者Sn
58．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若，则（　　）
A． B． C． D．
59．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为An和Bn，若，则满足的正整数n的个数为　 　 ．
60．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若，则 　 ．

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