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第4章第3节 等比数列
题型1 数列的函数特性 题型2 数列的单调性
题型3 数列的最大项最小项 题型4 等比数列的概念与判定
题型5 等比中项及其性质 题型6 由等比数列中若干项求通项公式或其中的项
题型7 等比数列通项公式的应用 题型8 数列的应用
题型9 数列的求和 题型10 数列求和的其他方法
题型11 数列递推式 题型12 数列与函数的综合
题型13 数列的极限 题型14 数列与不等式的综合
▉题型1 数列的函数特性
【知识点的认识】
1、等差数列的通项公式：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式Sn＝na1n（n﹣1）d或者Sn
2、等比数列的通项公式：an＝a1qn
﹣1；前n项和公式Sn
（q≠1）
3、用函数的观点理解等差数列、等比数列
（1）对于等差数列，
an
＝a1+（n﹣1）d＝dn+（a1﹣d），当d≠0时，an
是n的一次函数，对应的点（n，an
）是位于直线上的若干个点．当d＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d＝0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数．
若等差数列的前n项和为Sn
，则Sn
＝pn2+qn（p、q∈R）．当p＝0时，{an
}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题．
（2）对于等比数列：
an＝a1qn
﹣1．可用指数函数的性质来理解．
当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等比数列是递增数列；
当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{an
}是递减数列．
当q＝1时，是一个常数列．
当q＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列．
1．已知数列1、、2、、4、…，根据该数列的规律，16是该数列的（　　）
A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项
【答案】C
【解答】解：设该数列为{an}，则，，，，，
根据以上规律可额，由可得n＝9．
因此16是该数列的第9项．
故选：C．
2．对于函数y＝f（x），部分x与y的对应关系如表：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 3 7 5 9 6 1 8 2 4
数列{xn}满足：x1＝1，且对于任意n∈N*，点（xn，xn+1）都在函数y＝f（x）的图象上，则x1+x2+ +x2024＝（　　）
A．7569 B．7576 C．7584 D．7590
【答案】D
【解答】解：x1＝1，
x2＝f（x1）＝f（1）＝3，
x3＝f（x2）＝f（3）＝5，
x4＝f（x3）＝f（5）＝6，
x5＝f（x4）＝f（6）＝1， ，
则数列{xn}是周期为4的周期数列，
故x1+x2+ +x2024＝506×（1+3+5+6）＝7590．
故选：D．
3．已知数列{an}的通项公式是an，那么这个数列是（　　）
A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列
【答案】A
【解答】解：an+1﹣an0，
∴an+1＞an．
an＞0．
数列是递增数列．
故选：A．
▉题型2 数列的单调性
【知识点的认识】
数列的单调性是指数列是递增还是递减的性质．
由于数列{an
}中的每一项an
与它的序号n是一一对应的，所以数列{an
}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an
，记为an
＝f（n）．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一系列函数值f（1），f（2），…，f（n），…就是数列{an
}．
4．已知数列{an}是无穷项等比数列，公比为q，则“q＞1”是“数列{an}单调递增”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】D
【解答】解：根据题意，对于等比数列{an}，若a1＜0，q＞1，则数列{an}单调递减，
故q＞1不能推出数列{an}单调递增，即充分性不成立；
若等比数列{an}单调递增，则a1＞0，q＞1，或a1＜0，0＜q＜1，不能推出q＞1，
即必要性不成立；
故“q＞1”是“数列{an}单调递增”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
5．已知数列{an}满足an+an+3＝an+1+an+2对任意n∈N*成立．数列{bn}为周期数列，即存在k∈N*，使得bn+k＝bn对任意n∈N*成立．给出下列两个结论：
①对任意{an}，存在{bn}，使得{an+bn}为递增数列；
②对任意{an}，存在{bn}，使得{an+bn}为等差数列．
则下列判断正确的是（　　）
A．①②都正确 B．①正确，②错误
C．①②都错误 D．①错误，②正确
【答案】D
【解答】解：对于①，不妨取，
因为数列{bn}为周期数列，即存在k∈N*，使得bn+k＝bn对任意n∈N*成立，
所以a1+b1＝ak+1+bk+1，此时数列{an+bn}不是递增数列，①错；
对于②，因为an+an+3＝an+1+an+2，则an+3﹣an+1＝an+2﹣an，
令cn＝an+2﹣an，则cn+1＝cn，
则数列{cn}为常数列，不妨设cn＝t，即an+2﹣an＝t，
所以数列{an}的奇数项和偶数项分别成公差为t的等差数列，
当n为奇数时，设n＝2k﹣1（k∈N*），可得，
则，
当n为偶数时，设n＝2k（k∈N*），可得，
则，
不妨取，则，
显然对任意的n∈N*，bn+2＝bn，即数列{bn}是周期为2的周期数列，
此时，
即{an+bn}为等差数列，故对任意{an}，存在{bn}，使得{an+bn}为等差数列，②对．
故选：D．
6．已知数列{an}的通项公式为，若{an}是递增数列，则λ的取值范围是（　　）
A．（0，+∞） B． C． D．（1，+∞）
【答案】C
【解答】解：由题可得an+1＞an恒成立，即λ（n+1）2﹣2（n+1）﹣λn2+2n＞0，
即对任意n∈N*恒成立，
又因为函数为（0，+∞）上的单调递减函数，
所以，所以．
故选：C．
7．已知{an}是各项都为正整数的递减数列，若a1+a2+…+an＝100，则n的最大值为 　13　 ；当n取最大值时，a1的最小值为 　14　 ．
【答案】13；14
【解答】解：当n≥14且n∈N*时，a1+a2+…+an≥a1+a2+…+a14≥14+13+…+1105，
而a1+a2+…+an＝100，矛盾，所以n≤13，
又因为数列22，12，11，10，9，8，7，6，5，4，3，2，1满足题意，
所以n的最大值为13．
当n＝13时，由已知可得：a1≥13，
当a1＝13时，数列只能为13，12，11，10，9，8，7，6，5，4，3，2，1，
而13+12+11+…+191≠100，与a1+a2+…+an＝100矛盾，
所以当a1＝14时，存在数列14，13，12，11，10，9，8，7，6，4，3，2，1满足题意，
所以当n取最大值时，a1的最小值为14．
故答案为：13；14．
8．若等比数列{an}中，首项为a1，公比为q，则下列条件中，使数列{an}递减数列的充要条件是 　③　 ．
①|q|＜1
②a1＞0，q＜1
③a1＞0，0＜q＜l或a1＜0，q＞1
④q＞1
【答案】③．
【解答】解：因为等比数列{an}为递减数列，所以an＜an﹣1，即，（n≥2，n∈N*）
所以，所以q＞0，所以a1（q﹣1）＜0
所以a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1，必要性得证；
反之，当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，an﹣an﹣1，
所以数列{an}为递减数列，充分性得证；
所以数列{an}递减数列的充要条件是：a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1．
故答案为：③．
▉题型3 数列的最大项最小项
【知识点的认识】
数列的最大项最小项是指数列中的最大值和最小值．
由于数列{an
}中的每一项an
与它的序号n是一一对应的，所以数列{an
}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an
，记为an
＝f（n）．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一系列函数值f（1），f（2），…，f（n），…就是数列{an
}．
9．已知数列{an}的通项公式为，前n项和为Sn，则下列结论错误的是（　　）
A．{an}的最小项是a7＝﹣5，最大项是a8＝6
B．当n＝7时，Sn最小
C． n∈N*，an＜an+1
D． n∈N*，an＜an+1
【答案】C
【解答】解：数列{an}的通项公式为，
可得，
故数列{an}在1≤n≤7，n≥8是单调递减数列，
当1≤n≤7时，，当n≥8时，0＜an≤a8＝6，
又a7＝﹣5，所以{an}的最小项是a7＝﹣5，最大项是a8＝6，故A正确；
a1＞0，a2＝0，当3≤n≤7时，an＜0，所以当n＝7时，Sn最小，故B正确；
由，所以a8＞a9，故C错误；
由a7＝﹣5，a8＝6，所以a7＜a8，故D正确．
故选：C．
10．若数列{an}满足，d为常数），则称数列{an}为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且b1+b2+…+b2026＝20260，则b1b2026的最大值是　100　 ．
【答案】100．
【解答】解：由“调和数列”的定义，正项数列为调和数列，则为常数，
即bn+1﹣bn为常数，故数列{bn}是等差数列．
等差数列{bn}的前2026项和为20260，由前n项和公式得，
化简得b1+b2026＝20．
因{bn}是正项数列，故b1＞0，b2026＞0，由基本不等式得，
当且仅当b1＝b2026＝10时，等号成立．
故答案为：100．
11．数列的最大项为第k项，则k＝ 　5或6　 ．
【答案】5或6．
【解答】解：根据题意可知，数列的最大项为第k项，
所以，即，即5≤k≤6，
由于k是正整数，所以k＝5或6．
故答案为：5或6．
▉题型4 等比数列的概念与判定
【知识点的认识】
等比数列
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1 时，an为常数列．
12．在正项数列{an}中，设甲：am+n＝aman，乙：{an}是等比数列，则（　　）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】A
【解答】解：根据题意，正项数列{an}中，有a1＞0，
若甲：am+n＝aman，令m＝1，有an+1＝ana1，
故数列{an}是等比数列，乙成立，充分性成立，
反之，数列{an}是等比数列，设其公比为q，则，
所以，，
得，
当时，am+n＝aman；
当时，am+n＝aman不成立，即必要性不成立，
所以甲是乙的充分不必要条件．
故选：A．
13．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝an+1﹣2且a1＝1，则（　　）
A．数列{an}是等比数列 B．
C．a4+a7＜a5+a6 D．数列{Sn}是等比数列
【答案】B
【解答】解：由Sn＝an+1﹣2，得Sn﹣1＝an﹣2（n≥2），
两式相减得Sn﹣Sn﹣1＝an+1﹣2﹣（an﹣2）（n≥2），
所以an＝an+1﹣an（n≥2），
所以an+1＝2an（n≥2），所以，
又S1＝a2﹣2，又a1＝1，所以a2＝3，所以，
所以an
所以数列{an}不是等比数列，选选A错误；
由A可知，数列{an}去掉第一项，可构成以a2＝3为首项，2为公比的等比数列，
所以，选项B正确；
，
所以a4+a7＞a5+a6，选选C错误；
由C可得S1＝1，S2＝3+1＝4，S3＝4+6＝10，
所以，所以数列{Sn}不是等比数列，故D错误．
故选：B．
（多选）14．已知数列{an}是等比数列，则下列结论中正确的是（　　）
A．数列是等比数列
B．若a1＞a2＞a3，则数列{an}是递减数列
C．若a3＝4，a7＝16，则a5＝±8
D．数列{an+an+1}是等比数列
【答案】AB
【解答】解：对A：，故数列是以为首项，q2为公比的等比数列，故A正确；
对B：若a1＞a2＞a3，则，
若a1＞0，则1＞q＞q2，解得0＜q＜1，
则，此时数列{an}是递减数列；
若a1＜0，则1＜q＜q2，解得q＞1，
则，此时数列{an}是递减数列；
故数列{an}是递减数列，故B正确；
对C：，则q4＝4，故q2＝2（负值舍去），
故，故C错误；
对D：若，则，
此时数列{an+an+1}不是等比数列，故D错误．
故选：AB．
（多选）15．设数列{an}，{bn}都是等比数列，则下列选项中一定是等比数列的有（　　）
A．{an+bn} B．{an﹣bn} C．{anbn} D．
【答案】CD
【解答】解：设等比数列{an}，{bn}的公比分别为q，p．
则q，p，
an+bn与an﹣bn可能为0，有可能不是等比数列，故AB错误；
，故{anbn}是等比数列，故C正确；
，故是等比数列，故D正确．
故答案为：CD．
（多选）16．下列命题中错误的是（　　）
A．若a，b，c是等差数列，则log2a，log2b，log2c是等比数列
B．若a，b，c是等比数列，则log2a，log2b，log2c是等差数列
C．若a，b，c是等差数列，则2a，2b，2c是等比数列
D．若a，b，c是等比数列，则2a，2b，2c是等差数列
【答案】ABD
【解答】解：当a＜0时，log2a不存在，因此AB均错；
选项C，若 a，b，c 是等差数列，则（2b）2＝22b＝2a+c＝2a 2c，
显然2a，2b，2c均为正数，因此2a，2b，2c成等比数列，C正确；
选项D，例如a＝1，b＝2，c＝4，它们成等比数列，
但2a＝2，2b＝4，2c＝16，它们不成等差数列，D错．
故选：ABD．
17．已知数列{an}中a1＝1，an+1＝2an+3，n∈N*．
（1）证明数列{an+3}是等比数列；
（2）若数列{bn}的通项公式为bn＝（n+1） （an+3），求数列{bn}的前n项和Sn．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解答】解：（1）证明：数列{an}中a1＝1，an+1＝2an+3，n∈N*，
可得an+1+3＝2（an+3），即，为常数，
故数列{an+3}是首项为4，公比为2的等比数列．
（2）由等比数列的通项公式可得，即，
所以，
故，
所以，
两式相减得，﹣Sn＝8+8+16+...+2n+1﹣（n+1） 2n+2＝4（n+1） 2n+2＝﹣n 2n+2，
所以．
▉题型5 等比中项及其性质
【知识点的认识】
等比数列
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1 时，an为常数列．
在两个数a和b中，插入一个数G使a、G、b成等比数列，那么G叫做a、b的等比中项．
有 G2＝a b （ab≠0）
18．已知等比数列{an}中，a1，a5是方程x2﹣5x+3＝0的两根，则a3＝（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【解答】解：等比数列{an}中，a1，a5是方程x2﹣5x+3＝0的两根，
∴a1a5＝3，
∵a1+a5＝5＞0，
则a3．
故选：C．
19．已知实数﹣1，x，﹣4成等比数列，则x＝（　　）
A．﹣8 B．±8 C．﹣2 D．±2
【答案】D
【解答】解：实数﹣1，x，﹣4成等比数列，
可得x2＝（﹣1）×（﹣4）＝4，解得x＝±2．
故选：D．
20．已知等差数列{an}中，a3＝1，公差，则a2与a6的等比中项是（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【解答】解：等差数列{an}中，a3＝1，公差，
则a2，a6＝a3+3d＝1，
所以a2a6，
所以a2与a6的等比中项为．
故选：D．
21．设等比数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a4恰为a3和a5的等差中项，则（　　）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
由等比数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a4恰为a3和a5的等差中项，
可得：a3+a5＝2（a2+a4），，
所以．
故选：D．
22．已知等差数列{an}的公差为﹣2，若a1，a3，a4成等比数列，Sn是{an}的前n项和，则S9等于（　　）
A．8 B．6 C．﹣10 D．0
【答案】D
【解答】解：∵等差数列{an}的公差为﹣2，且a1，a3，a4成等比数列，
∴，
∴，化为2a1＝16，解得a1＝8，
Sn是{an}的前n项和，
则．
故选：D．
23．在各项为正的等比数列{an}中，a8与a10的等比中项为2，则log2a6+log2a12＝（　　）
A．4 B．3 C．1 D．2
【答案】D
【解答】解：根据题意，在各项为正的等比数列{an}中，a8与a10的等比中项为2，
则有，
所以log2a6+log2a12＝log2（a6 a12）＝log2（a8 a10）＝log24＝2．
故选：D．
24．在1与4中间插入3个数，使这5个数成等比数列，则插入的3个数的乘积为　8　 ．
【答案】8．
【解答】解：由题意，设插入的3个数为x，y，z，
则1，x，y，z，4成等比数列，
设此等比数列的公比为q，
可得y＝1×q2＝q2＞0，
又y2＝1×4，解得y＝2，
又由于xz＝y2＝4，
可得xyz＝8．
故答案为：8．
25．在等比数列{an}中a1+a2+a3＝5，a5+a6+a7＝10，则a9+a10+a11＝　20　 ．
【答案】20．
【解答】解：等比数列{an}中a1+a2+a3＝5，a5+a6+a7＝10，
设公比为q，
可得a5+a6+a7＝q4（a1+a2+a3），即10＝5q4，解得q4＝2，
故a9+a10+a11＝q4（a5+a6+a7）＝2×10＝20．
故答案为：20．
26．已知正项等比数列{an}的公比不为1，若在{an}的前20项中随机抽取4项，则这4项按原来的顺序仍然成等比数列的概率为 　　 ．（用最简分数作答）
【答案】．
【解答】解：设正项等比数列{an}的首项为a1＝2，公比q≠1，则．
①当公比为q时，设选出来的四项为；
由，则，解得1≤m≤17，所以m∈{1，2，…，17}，此时有17种情况；
②当公比为q2时，设选出来的四项为；
由，则，解得1≤m≤14，
所以m∈{1，2，…，14}，此时有14种情况；
③当公比为qn时，设选出来的四项为am，，，，m∈N*；
由，则，
解得1≤m≤20﹣3n，1≤n≤6，
所以m∈{1，2，…，20﹣3n}，此时有20﹣3n种情况；
这是一个首项为b1＝17，公差d＝﹣3的等差数列，
那么按原来顺序仍然成等比数列的组合数的总和．
在{an}的前20项中随机抽取4项，共有种取法；
故这4项按原来的顺序仍然成为等比数列的概率为．
故答案为：．
27．已知等比数列{an}的前n项乘积为Tn，若T2＝T4，则T6＝　1　 ．
【答案】1．
【解答】解：等比数列{an}中，因为T2＝T4，即a1a2＝a1a2a3a4，显然an≠0，所以a3a4＝1，
则a3a4＝a1a6＝a2a5＝1，故T6＝a1a2a3 a6＝1．
故答案为：1．
▉题型6 由等比数列中若干项求通项公式或其中的项
【知识点的认识】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1 qn﹣1
3．等比数列的常用性质
（1）通项公式的推广：an＝am qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak al＝am an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an bn}，仍是等比数列．
28．已知递增的等比数列{an}满足a6+a8＝10，a3a11＝9，则{an}的公比q＝（　　）
A．6 B．3 C．2 D．
【答案】B
【解答】解：因为递增的等比数列{an}满足a6+a8＝10，a3a11＝9，
可得a6a8＝a3a11＝9，a6+a8＝10，解得或（舍），
即，则，
又{an}为递增的等比数列，所以q＝3．
故选：B．
29．已知等比数列{an}中，a3＝3，a7＝27，则a5＝（　　）
A．15 B．9 C．﹣9 D．±9
【答案】B
【解答】解：设公比为q（q≠0），则，
因为a3＝3，a7＝27，
由等比中项的性质可得，故a5＝9．
故选：B．
30．已知等比数列{an}满足a1+a2+a4＝2，公比q＝2，则a6+a7+a9＝（　　）
A．32 B．64 C．128 D．256
【答案】B
【解答】解：因为a1+a2+a4＝2且q＝2，
所以．
故选：B．
31．已知等比数列{an}的公比为q，则“q＝3”是“a4，6a3，a5”成等差数列的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解答】解：等比数列{an}的公比为q，a4，6a3，a5成等差数列，
则a4+a5＝12a3，
∴，
∴q+q2＝12，解得q＝3或﹣4，
∴“q＝3”是“a4，6a3，a5”成等差数列的充分不必要条件．
故选：A．
（多选）32．2，m，8为等比数列的前三项，则m的可能值为（　　）
A．4 B．5 C．﹣4 D．﹣5
【答案】AC
【解答】解：由2，m，8为等比数列的前三项，得m2＝16，
∴m＝﹣4或m＝4．
故选：AC．
（多选）33．设公比为q的等比数列{an}的前n项积为Tn，若8T5＝T8，则（　　）
A．当a1＝2时，q＝1
B．a7＝2
C．当q≠1时，{log2|Tn|}为等差数列
D．
【答案】BD
【解答】解：公比为q的等比数列{an}中，
由8T5＝T8可得，则a7＝2，故B正确；
当a1＝2时，，所以q＝1或﹣1，故A不正确；
当q≠1时，log2|q|≠0，0，
则log2|Tn+1|﹣log2|Tn|不为常数，故{log2|Tn|}不为等差数列，故C不正确；
，当且仅当a6＝a8＝a7＝2时等号成立，故D正确．
故选：BD．
34．在等比数列{an}中，已知a1a3＝9，a2+a4＝9，则a4＝ 　6　 ．
【答案】6
【解答】解：在等比数列{an}中，a1a3＝9，a2+a4＝9，
∴，
∴，
∵1+q2＞0，∴，
则a43×2＝6．
故答案为：6．
35．在正项等比数列{an}中，a2a6＝4，a5＝1，则公比q＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：在正项等比数列{an}中，a2a6＝4，a5＝1，
由等比中项定义可知，可得a4＝±2，
所以a4＝2（负值舍），则．
故答案为：．
36．已知{an}是各项均为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn，且a2＝3，a1，a3，a7成等比数列．则数列{an}的通项公式为 an＝n+1　 ；若定义在数列{an}中，使log3（an+1）为整数的an叫做“调和数”，则在区间[1，2024]内所有“调和数”之和为 　1086　 ．
【答案】an＝n+1；1086
【解答】解：因为a1，a3，a7成等比数列，所以，
因为{an}是各项均为正数，公差不为0的等差数列，
所以，所以d＝1，a1＝2，
故an＝a1+（n﹣1）d＝2+n﹣1＝n+1．
设b＝log3（an+1），所以，令1≤b≤2022，且b为整数，
又由，36＝729，37＝2187，36＜2022＜37，
所以b可以取1，2，3，4，5，6，此时an分别为31﹣1，32﹣1，33﹣1，34﹣1，35﹣1，36﹣1，
所以区间[1，2024]内所有“调和数”之和
＝（31+32+33+34+35+36）﹣61086．
故答案为：an＝n+1；1086．
37．设公比为正的等比数列{an}前n项和为Sn，S3＝7a1，且a1，a3，20+a2成等差数列．
（1）求{an}的通项；
（2）若数列{bn}满足bn＝bn+1+bnbn+1log2an，b1＝1，求数列{bn}的前n项和Tn．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）因为等比数列公比q＞0，，
所以q2+q+1＝7 （q﹣2）（q+3）＝0，即q＝2，
由a1，a3，20+a2是等差数列，所以2a3＝20+a2+a1 8a1＝20+2a1+a1 a1＝4，
所以．
（2）因为bn＝bn+1+bnbn+1log2an，所以，
所以，故，
累加法得出，
，
．
▉题型7 等比数列通项公式的应用
【知识点的认识】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1 qn﹣1
3．等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．G2＝a b （ab≠0）
4．等比数列的常用性质
（1）通项公式的推广：an＝am qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak al＝am an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或 {an}是递增数列；或 {an}是递减数列；q＝1 {an}是常数列；q＜0 {an}是摆动数列．
38．设等比数列{an}的公比为q，若a1+a5＝4，a2a4＝4，则q＝（　　）
A．1 B．﹣2 C．或2 D．﹣1或1
【答案】D
【解答】解：等比数列{an}中，a1a5＝4，
所以a2a4＝4，因为a1+a5＝4，解得a5＝a1＝2，
由等比数列的性质可得，q4＝1，所以q＝﹣1或q＝1．
故选：D．
39．已知等比数列{an}中，a1+a3＝2，a4+a6＝16，则a10+a12＝（　　）
A．26 B．32 C．512 D．1024
【答案】D
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
因为a1+a3＝2，a4+a6＝16，
所以，，
由，则q3＝8，得q＝2，
解得，
所以．
故选：D．
40．已知等比数列{an}的首项为1，公比为e，则数列{lnan}（n∈N*）的前10项和为（　　）
A．15 B．35 C．45 D．55
【答案】C
【解答】解：因为等比数列{an}的首项为1，公比为e，
所以an＝en﹣1，lnan＝n﹣1，
故该数列的前10项和为45．
故选：C．
41．已知等比数列{an}中，a5＝9，a3a8＝81a2，则a2a6＝ 　27　 ．
【答案】27．
【解答】解：因为等比数列{an}中，a5＝9，a3a8＝81a2，
所以a5a6＝81a2，可得q49，q2＝3，
故a2a6＝a5a3＝（a5）2 27．
故答案为：27．
42．已知等比数列{an}满足a2+a3＝20，a1a4＝64，q＞1，则数列{an}的通项公式an＝ 　4n﹣1 ．
【答案】4n﹣1．
【解答】解：等比数列{an}满足a2+a3＝20，a1a4＝64，q＞1，
由题意得，结合q＞1，解得，
则．
故答案为：4n﹣1．
43．对数列{an}，a1＝2，对于任意的n，m∈N+，都有am an＝am+n，若对于任意的n∈N+恒成立，则λ的最大值为　　 ．
【答案】．
【解答】解：数列{an}，a1＝2，对于任意的n，m∈N+，都有am an＝am+n，
令m＝1，则an+1＝an a1＝2an，所以数列{an}为等比数列，且a1＝2，公比q＝2，
所以．
对数列，由．
随着n的增大，的值越来越大．
且当n＝2时，，当n＝1时，；
所以数列的最小值为：．
由对于任意的n∈N+恒成立，则λ的最大值为．
故答案为：．
44．在等比数列{an}中，已知公比q＞0，且a2＝1，a3+a4＝12．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列前10项的和S10．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）由题意知，
∵a2＝1，
∴q2+q﹣12＝0，即（q+4）（q﹣3）＝0，
∵q＞0，
∴q＝3，
∴；
（2）∵，
∴．
▉题型8 数列的应用
【知识点的认识】
1、数列与函数的综合
2、等差数列与等比数列的综合
3、数列的实际应用
数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．
45．如果数列{an}对任意的n∈N*，都有an+2﹣an+1＞an+1﹣an，则称数列{an}为“快速增长数列”．若数列{an}为“快速增长数列”，且任意项an∈Z，a1＝1，a2＝3，ak＝2025，则正整数k的最大值为　63　 ．
【答案】63．
【解答】解：设bn＝an+1﹣an，则b1＝a2﹣a1＝2，
根据“快速增长数列”定义an+2﹣an+1＞an+1﹣an，可得bn+1＞bn，
则{bn}是严格递增的正整数数列，
为使k最大，需让数列增长最慢，则满足条件的差分数列{bn}序列应为b1＝2．b2＝3，b3＝4，…，bk﹣1＝k，﹣，bn＝n+1（n≥1），
即差分数列{bn}为公差为1，首项为2的等差数列，
所以当k≥2，ak＝（ak﹣ak﹣1）+（ak﹣1﹣ak﹣2）+．+（a2﹣a1）+a1≥（bk﹣1+bk﹣2+…b2+b1）+a1
，
所以ak＝2025，则，
当k＝63时，，
当k＝64时，，
所以正整数k的最大值为63．
故答案为：63．
（多选）46．如图，曲线下有一系列正三角形，设第n个正三角形Qn﹣1PnQn（Q0为坐标原点）的边长为an，则（　　）
A．a2＝1
B．记Sn为数列{an}的前n项和，则Pn+1为
C．记Sn为数列{an}的前n项和，则
D．数列{an}的前n项和为
【答案】BCD
【解答】解：A．由题意可知△Q0P1Q1为等边三角形，如图，OQ1＝a1，则，
因为点P1在曲线上，可得，解得或a1＝0（舍），
又由题意可知△Q1P2Q2为边长为a2的等边三角形，则Q1Q2＝a2，
则，可得，
解得或（舍），故A错误；
B．由△Qn﹣1PnQn为边长为an的等边三角形，可得，故B正确；
CD．由点Pn+1在曲线上，则，整理得，
当n≥2时，可得，
所以，
可化为，
因为an＞0，则an+1+an＞0，所以，n≥2
又因为，符合上式，故，
则数列{an}是以为首项，为公差的等差数列，
所以数列{an}的通项公式为，，
所以，故D正确．
则，
，
所以，故C选项正确．
故选：BCD．
47．△A1B1C1的内角A1，B1，C1的对边分别为a1，b1，c1，且a1＝7，b1＝5，c1＝3．
（1）求角A1；
（2）记．
（i）求证：以a2，b2，c2为三边可构成△A2B2C2（其中A2，B2，C2分别为边a2，b2，c2所对的角），且a2为三角形的最长边；
（ii）记，同样可得：以a3，b3，c3为三边可构成△A3B3C3（其中A3，B3，C3分别为边a3，b3，c3所对的角），如此往复构造可得一系列△A2B2C2、△A3B3C3、 、△AnBn n，求数列{An}的通项公式．
【答案】（1）；
（2）（i）因为，则，且，
所以，
又，
，
从而a2＞b2，a2＞c2，
因为，
所以
，
所以以a2，b2，c2为三边可构成△A2B2C2（其中A2，B2，C2分别为边a2，b2，c2所对的角），且a2为三角形的最长边；
（ii）．
【解答】（1）解：在△A1B1C1中，由余弦定理得：，
因为A1∈（0，π），所以．
（2）（i）证明：因为，则，且，
所以，
又，
，
从而a2＞b2，a2＞c2，
因为，
所以
，
所以以a2，b2，c2为三边可构成△A2B2C2（其中A2，B2，C2分别为边a2，b2，c2所对的角），且a2为三角形的最长边；
（ii）解：依题意有；，
设，
显然，
在△An+1Bn+1Cn+1中，由余弦定理得：
，
因为
＝2sinYnsinZn（sinYnsinZn﹣cosYncosZn）
＝2sinYnsinZn[﹣cos（Yn+Zn）]
所以cosAn+1＝﹣cos（Yn+Zn）＝cosXn．
又在（0，π）上单调递减，
故，
因为，所以是等比数列，
即，故数列{An}的通项公式：．
48．已知数列a1，a2， ，an（n≥3）满足如下条件：
①ai∈N，i＝1，2， ，n；
②0＝a1＜a2＜ ＜an；
③存在正整数i（2≤i≤n），使得ai＝2026；
④对任意正整数i，j，k满足1≤i＜j＜k≤n，都有ai+ak≤2aj．
（1）若n＝3，求a3的最大值；
（2）设n的最大值为m，求m的值；
（3）当n取最大值m时，求am的最小值．
【答案】（1）4052；
（2）13；
（3）2058．
【解答】解：（1）若n＝3，当a3＝2026时，只需a1+a3≤2a2，
即0+2026≤2a2，解得a2≥1013，如等差数列0，1013，2026满足题意条件；
当a2＝2026时，只需a1+a3≤2a2，
即0+a3≤2×2026，解得a3≤4052，如等差数列0，2026，4052满足题意条件；
综上可知，a3的最大值为4052．
（2）由性质④对任意正整数i，j，k满足1≤i＜j＜k≤n，ai+ak≤2aj，
令k＝n，i分别取值1，2，3， ，n﹣2，可得，
所以，
各式相加得，
即；可变形为2n﹣2（an﹣an﹣1）≤an，
由性质①ai∈～N，i＝1，2， ，n与性质②0＝a1＜a2＜ ＜an，可得an﹣an﹣1≥1（n≥2），
故任意n≥2，都有，
又因为性质③存在正整数i（2≤i≤n），使得ai＝2026，可知a2≤ai＝2026，
所以2n﹣2≤4052，解得n≤13；
当n＝13时，数列0，2026，3039，3546，3799，3926，3989，4021，4037，4045，4049，4051，4052符合题意，
所以n的最大值m＝13．
（3）由（2）知m＝13，故n＝13．
由a12≤a13﹣1，a11≤a12﹣1≤a13﹣2，
由性质④对任意正整数i，j，k满足1≤i＜j＜k≤n，都有ai+ak≤2aj，
可得下列不等式，记为系列不等式（*）
a10≤2a11﹣a13≤a13﹣4，a9≤2a10﹣a13≤a13﹣8，a8≤2a9﹣a13≤a13﹣16，
a7≤2a8﹣a13≤a13﹣32，a6≤2a7﹣a13≤a13﹣64，a5≤2a6﹣a13≤a13﹣128，
a4≤2a5﹣a13≤a13﹣256，a3≤2a4﹣a13≤a13﹣512，a2≤2a3﹣a13≤a13﹣1024，
由（2）知任意n≥2，都有，则，
又因为a13＝a13+a1≤2a2，故2a2≥a13≥2048，解得a2≥1024．
下面结合a2，a13的取值情况讨论．
若a2＝1024且上述系列不等式（*）均取等号时，a13＝2048，
此时a7＝2016，a8＝2032，可知此时数列中不含2026，故不合题意；
①当a13＝2048时，由a7≤2a8﹣a13≤a13﹣32＝2016，且数列{an}递增，
故若ai＝2026，则i≥8．
若a8＝2026时，此时a8＜a13﹣16（即不等式a8≤2a9﹣a13≤a13﹣16一侧取不到等号），
故由上述系列不等式（*）依次可得
a7≤2a8﹣a13＜a13﹣32，a6≤2a7﹣a13＜a13﹣64，
a5≤2a6﹣a13＜a13﹣128，a4≤2a5﹣a13＜a13﹣256，
a3≤2a4﹣a13＜a13﹣512，a2≤2a3﹣a13＜a13﹣1024＝1024，
故a2＜1024，这与a2≥1024矛盾，故不合题意；
若ai＝2026（i＝9，10，11，12）时，由a8＜ai＝2026＜a13﹣16，
同理可得a2＜1024，故也不合题意；
②当2049≤a13≤2057时，由a7≤a13﹣32≤2025，且数列{an}递增，
故若ai＝2026，同样可得i≥8．
但因为，又由，
则由系列不等式（*）可得，
，即；
由，即，
同理依次可得
，，，
，由数列{an}递增，
则任意i≥8，ai≥a8＞2032，这与存在i≥8，ai＝2026矛盾，不合题意；
③当，同上可得a8＞2032，又由a6≤a13﹣64＝1994，
故若ai＝2026，则i＝7，满足a7≤a13﹣32≤2026，
当a7＝a13﹣32＝2026时，上述系列不等式（*）均取等号时，此时a2＝1034＞1024，
此时数列0，1034，1546，1802，1930，1994，2026，2042，2050，2054，2056，2057，2058满足题意，
故am的最小值为2058．
49．现计划将某山体的一面绿化，自山顶向山底栽种10排塔松，第1排栽种6棵，第2排比第1排多栽种2棵，第3排比第2排多栽种4棵，…，第n排比第n﹣1排多栽种2（n﹣1）棵（2≤n≤10且n∈N*），则第10排栽种塔松的棵数为（　　）
A．90棵 B．92棵 C．94棵 D．96棵
【答案】D
【解答】解：设第n排栽种的塔松的数量为an（n＝1，2，3， ，10），
由题意知a1＝6，a2﹣a1＝2，a3﹣a2＝4， ，a10﹣a9＝18，
所以．
故选：D．
50．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原三角形（图①）的边长为1，记第n个图形的周长为an，数列{an}的前n项和为Sn，则使得Sn＞72成立的n的最小值为（参考数据：log32≈0.63）（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解答】解：观察图形知，从第二个图形开始，每一个图形的边数是前一个图形的4倍，边长是前一个图形的，
因此从第二个图形开始，每一个图形的周长是前一个图形周长的，
∴数列{an}是以a1＝3为首项，以为公比的等比数列，，
由Sn＞72得，，
∴，
即，
则n（log34﹣1）＞2，
即n（2log32﹣1）＞2，
解得，
∴使得Sn＞72成立的n的最小值为8．
故选：C．
▉题型9 数列的求和
【知识点的认识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
51．已知数列{an}的通项公式为，函数，求f′（1）＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：由，
可得，
则函数，
导数为，
．
故答案为：．
52．已知数列{an}的前n项和Sn，满足，若Tn是数列{Sn}的前n项和，则T2n＝ 　（1）　 ．
【答案】（1）．
【解答】解：由，可得S1a1a1，解得a1，
当n为偶数时，Snan，Sn﹣1an﹣1，
相减可得anan+an﹣1，即an﹣1；
当n为奇数（大于2）时，Snan，Sn﹣1an﹣1，
相减可得anan﹣an﹣1，
可得2an+an﹣1，
即为2×（）+an﹣1，解得an﹣1，
则an，
即有Sn，
T2n＝（S1+S3+S5+...+S2n﹣1）+（S2+S4+...+S2n）0（1）．
故答案为：（1）．
▉题型10 数列求和的其他方法
【知识点的认识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
53．数列{an}的前n项和为Sn，，则S2026＝（　　）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【解答】解：因为数列{an}的前n项和为Sn，，
所以当n为奇数时，，
因为函数的最小正周期为8，
所以当n为奇数时，an+1+8+an+8＝an+1+an．
又，
，
所以a8+a7+a6+a5+a4+a3+a2+a1＝0，
所以．
故选：C．
▉题型11 数列递推式
【知识点的认识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an．
在数列{an
}中，前n项和Sn
与通项公式an
的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an
的表达式，则an
不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
54．在数列{an}中，若a2＝2，an＝（n+2）（an+1﹣an），则a2026＝（　　）
A．1014 B．1013 C．2023 D．2024
【答案】A
【解答】解：因为an＝（n+2）（an+1﹣an），
所以（n+3）an＝（n+2）an+1，
所以，所以数列是常数列，
因为a2＝2，所以，所以a2026＝1014．
故选：A．
55．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列{an}满足：a1＝3，，则a157＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：由题意可知a1＝3，a2＝10，a3＝5，a4＝16，a5＝8，a6＝4，
a7＝2，a8＝1，a9＝4，a10＝2，a11＝1，……，
可知数列从a6开始，是以3为周期的数列，
所以根据“冰霓猜想”可知a157＝a7+3×50＝a7＝2．
故选：B．
▉题型12 数列与函数的综合
【知识点的认识】
数列的函数特性：
等差数列和等比数列的通项公式及前n项和公式中共涉及五个量a1，an
，q，n，Sn
，知三求二，体现了方程的思想的应用．解答数列与函数的综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题．
56．已知函数f（x）＝tanx﹣kx．
（1）若k＝2，求函数f（x）在区间上的单调区间；
（2）若k＝1，函数f（x）在区间（0，+∞）的零点从小到大依次构成数列{an}；
（i）证明：函数f（x）在区间有唯一零点，且an+π＜an+1；
（ii）令bn＝an+1﹣an，判断并证明数列{bn}的单调性．
【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为，；
（2）（i）证明：当k＝1时，，x∈（0，+∞），
则，
∴对于任意n∈N*，f（x）在区间上单调递增，
又f（nπ）＝﹣nπ＜0，当时，f（x）→+∞，
∴f（x）在区间内有唯一零点，则，
∴an+π和an+1都在区间内，
又tan（an+π）＝tanan＝an＜an+1＝tanan+1，∴an+π＜an+1．
（ⅱ）数列{bn}是递减数列，证明如下：
要证明数列{bn}是递减数列，即证当n≥2时，bn＜bn﹣1，
即证当n≥2时，an+1﹣an＜an﹣an﹣1，即证，
记cn＝an﹣nπ，则an＝cn+nπ，∴只需证明当n≥2时，．
由（ⅰ）知，∴，且tancn＝tan（an﹣nπ）＝tanan＝an．
∴f（cn）＝tancn﹣cn＝an﹣cn＝nπ，则，n≥2，
∴
，
设函数，n≥2，
则，
∵在区间上单调递增，
∴当，即x＞cn﹣1时，，即h′（x）＞0，
∴h（x）在x＞cn﹣1时单调递增，则h（cn+1）＞h（cn﹣1）＝0，
即，∴．
又∵f（x）在上单调递增，且，∴，
综上所述，数列{bn}是递减数列．
【解答】解：（1）当k＝2时，，，
则，
令f′（x）＞0，得或，
令f′（x）＜0，得，
∴函数f（x）在上的单调递减区间为，
单调递增区间为，．
（2）（i）证明：当k＝1时，，x∈（0，+∞），
则，
∴对于任意n∈N*，f（x）在区间上单调递增，
又f（nπ）＝﹣nπ＜0，当时，f（x）→+∞，
∴f（x）在区间内有唯一零点，则，
∴an+π和an+1都在区间内，
又tan（an+π）＝tanan＝an＜an+1＝tanan+1，∴an+π＜an+1．
（ⅱ）数列{bn}是递减数列，证明如下：
要证明数列{bn}是递减数列，即证当n≥2时，bn＜bn﹣1，
即证当n≥2时，an+1﹣an＜an﹣an﹣1，即证，
记cn＝an﹣nπ，则an＝cn+nπ，∴只需证明当n≥2时，．
由（ⅰ）知，∴，且tancn＝tan（an﹣nπ）＝tanan＝an．
∴f（cn）＝tancn﹣cn＝an﹣cn＝nπ，则，n≥2，
∴
，
设函数，n≥2，
则，
∵在区间上单调递增，
∴当，即x＞cn﹣1时，，即h′（x）＞0，
∴h（x）在x＞cn﹣1时单调递增，则h（cn+1）＞h（cn﹣1）＝0，
即，∴．
又∵f（x）在上单调递增，且，∴，
综上所述，数列{bn}是递减数列．
57．若，数列{an}满足，则f（a1）+f（a2）+…+f（a2024）的值是（　　）
A．2024 B．4048 C．3006 D．2025
【答案】B
【解答】解：若，
可得f（x）+f（1﹣x）＝x+πsin（x）1﹣x+πsin（x）4，
由数列{an}满足，
则S＝f（a1）+f（a2）+…+f（a2024）＝f（）+f（）+...+f（），
又S＝f（）+f（）+...+f（），
相加可得2S＝4+4+...+4＝4×2024，则S＝4048．
故选：B．
58．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）＝axg（x）（a＞0且a≠1），，若数列的前n项和大于1000，则n的最小值为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【解答】解：由f（x）＝axg（x）且g（x）≠0，得．
由f'（x）g（x）＞f（x）g'（x），得，
即，故（ax）'＞0，即axlna＞0．
因ax＞0，故lna＞0，得a＞1．
由，得，即2a2﹣5a+2＝0，解得a＝2或．
结合a＞1，取a＝2，故．
数列是首项为2、公比为2的等比数列，其前n项和．
令2n+1﹣2＞1000，即2n+1＞1002．
因210＝1024，故n+1≥10，得n≥9．
故选：D．
▉题型13 数列的极限
【知识点的认识】
1、数列极限的定义：
一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限趋近于某个常数a（即|an
﹣a|无限地接近于0），那么就说数列{an}以a为极限，记作an＝a．（注：a不一定是{an
}中的项 ）
2、几个重要极限：
3、数列极限的运算法则：
4、无穷等比数列的各项和：
（1）公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项的和，当n无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做SSn．
（2）
59．设数列的前n项和为Sn，数学家墨卡托、牛顿、GregorySaint﹣Vincen曾分别独立发现当n足够大时，Sn会趋向于一常数ln2，先给出以下三个数学事实：①；②如果求数列前n项和Sn时存在给其中的某些项用括号括起后得到Sn′，，则；③．基于以上数学事实我们可以推出：将数列{an}的项按某种规律重新排列（如：将第m个偶数项排到第2m+1个奇数项后）后前n项和Sn′′在n足够大时（　　）
A．最终一定趋于ln2
B．最终一定不趋于任何一个常数
C．最终一定趋于某一常数但不一定是ln2
D．以上均不正确
【答案】D
【解答】解：数列的前n项和为Sn，
即，
则，
两式相加得：．．．，
是将{an}中第m个偶数项排到原来第2m个奇数项后得到的一个重新排序，
但此时前n项和趋向于，故A、B两项错误；
若将{an}中第p个偶数项排到原来第2p﹣1个奇数项并适当添加括号后得到：
...，
已知③，把上式放缩可得：
Jn，
即Jn→+∞．
故：Jn→+∞，由事实②：去掉括号后仍有J′n→+∞，此时前n项和不趋向于某一常数，故C错误．
故选：D．
▉题型14 数列与不等式的综合
【知识点的认识】
证明与数列求和有关的不等式基本方法：
（1）直接将数列求和后放缩；
（2）先将通项放缩后求和；
（3）先将通项放缩后求和再放缩；
（4）尝试用数学归纳法证明．
常用的放缩方法有：
，，，
[]
（n≥2），
（）（n≥2），
，
2（）2（）．
．
60．已知{an}的通项公式为an＝﹣3n2+λn（λ∈R），若数列{an}为递减数列，则实数λ的取值范围是　（﹣∞，9）　 ．
【答案】（﹣∞，9）．
【解答】解：根据题意，若数列{an}为递减数列，且an＝﹣3n2+λn，
则当n≥1时，有an+1﹣an＝﹣6n﹣3+λ＜0，变形可得λ＜6n+3，
又由n≥1，必有λ＜9，即λ的取值范围为（﹣∞，9）．
故答案为：（﹣∞，9）．第4章第3节 等比数列
题型1 数列的函数特性 题型2 数列的单调性
题型3 数列的最大项最小项 题型4 等比数列的概念与判定
题型5 等比中项及其性质 题型6 由等比数列中若干项求通项公式或其中的项
题型7 等比数列通项公式的应用 题型8 数列的应用
题型9 数列的求和 题型10 数列求和的其他方法
题型11 数列递推式 题型12 数列与函数的综合
题型13 数列的极限 题型14 数列与不等式的综合
▉题型1 数列的函数特性
【知识点的认识】
1、等差数列的通项公式：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式Sn＝na1n（n﹣1）d或者Sn
2、等比数列的通项公式：an＝a1qn
﹣1；前n项和公式Sn
（q≠1）
3、用函数的观点理解等差数列、等比数列
（1）对于等差数列，
an
＝a1+（n﹣1）d＝dn+（a1﹣d），当d≠0时，an
是n的一次函数，对应的点（n，an
）是位于直线上的若干个点．当d＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d＝0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数．
若等差数列的前n项和为Sn
，则Sn
＝pn2+qn（p、q∈R）．当p＝0时，{an
}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题．
（2）对于等比数列：
an＝a1qn
﹣1．可用指数函数的性质来理解．
当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等比数列是递增数列；
当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{an
}是递减数列．
当q＝1时，是一个常数列．
当q＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列．
1．已知数列1、、2、、4、…，根据该数列的规律，16是该数列的（　　）
A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项
2．对于函数y＝f（x），部分x与y的对应关系如表：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 3 7 5 9 6 1 8 2 4
数列{xn}满足：x1＝1，且对于任意n∈N*，点（xn，xn+1）都在函数y＝f（x）的图象上，则x1+x2+ +x2024＝（　　）
A．7569 B．7576 C．7584 D．7590
3．已知数列{an}的通项公式是an，那么这个数列是（　　）
A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列
▉题型2 数列的单调性
【知识点的认识】
数列的单调性是指数列是递增还是递减的性质．
由于数列{an
}中的每一项an
与它的序号n是一一对应的，所以数列{an
}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an
，记为an
＝f（n）．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一系列函数值f（1），f（2），…，f（n），…就是数列{an
}．
4．已知数列{an}是无穷项等比数列，公比为q，则“q＞1”是“数列{an}单调递增”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
5．已知数列{an}满足an+an+3＝an+1+an+2对任意n∈N*成立．数列{bn}为周期数列，即存在k∈N*，使得bn+k＝bn对任意n∈N*成立．给出下列两个结论：
①对任意{an}，存在{bn}，使得{an+bn}为递增数列；
②对任意{an}，存在{bn}，使得{an+bn}为等差数列．
则下列判断正确的是（　　）
A．①②都正确 B．①正确，②错误
C．①②都错误 D．①错误，②正确
6．已知数列{an}的通项公式为，若{an}是递增数列，则λ的取值范围是（　　）
A．（0，+∞） B． C． D．（1，+∞）
7．已知{an}是各项都为正整数的递减数列，若a1+a2+…+an＝100，则n的最大值为 　 　 ；当n取最大值时，a1的最小值为 　 　．
8．若等比数列{an}中，首项为a1，公比为q，则下列条件中，使数列{an}递减数列的充要条件是 　　 　 ．
①|q|＜1
②a1＞0，q＜1
③a1＞0，0＜q＜l或a1＜0，q＞1
④q＞1
▉题型3 数列的最大项最小项
【知识点的认识】
数列的最大项最小项是指数列中的最大值和最小值．
由于数列{an
}中的每一项an
与它的序号n是一一对应的，所以数列{an
}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an
，记为an
＝f（n）．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一系列函数值f（1），f（2），…，f（n），…就是数列{an
}．
9．已知数列{an}的通项公式为，前n项和为Sn，则下列结论错误的是（　　）
A．{an}的最小项是a7＝﹣5，最大项是a8＝6
B．当n＝7时，Sn最小
C． n∈N*，an＜an+1
D． n∈N*，an＜an+1
10．若数列{an}满足，d为常数），则称数列{an}为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且b1+b2+…+b2026＝20260，则b1b2026的最大值是　　 　 ．
11．数列的最大项为第k项，则k＝ 　　 　　 ．
▉题型4 等比数列的概念与判定
【知识点的认识】
等比数列
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1 时，an为常数列．
12．在正项数列{an}中，设甲：am+n＝aman，乙：{an}是等比数列，则（　　）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
13．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝an+1﹣2且a1＝1，则（　　）
A．数列{an}是等比数列 B．
C．a4+a7＜a5+a6 D．数列{Sn}是等比数列
（多选）14．已知数列{an}是等比数列，则下列结论中正确的是（　　）
A．数列是等比数列
B．若a1＞a2＞a3，则数列{an}是递减数列
C．若a3＝4，a7＝16，则a5＝±8
D．数列{an+an+1}是等比数列
（多选）15．设数列{an}，{bn}都是等比数列，则下列选项中一定是等比数列的有（　　）
A．{an+bn} B．{an﹣bn} C．{anbn} D．
（多选）16．下列命题中错误的是（　　）
A．若a，b，c是等差数列，则log2a，log2b，log2c是等比数列
B．若a，b，c是等比数列，则log2a，log2b，log2c是等差数列
C．若a，b，c是等差数列，则2a，2b，2c是等比数列
D．若a，b，c是等比数列，则2a，2b，2c是等差数列
17．已知数列{an}中a1＝1，an+1＝2an+3，n∈N*．
（1）证明数列{an+3}是等比数列；
（2）若数列{bn}的通项公式为bn＝（n+1） （an+3），求数列{bn}的前n项和Sn．
▉题型5 等比中项及其性质
【知识点的认识】
等比数列
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1 时，an为常数列．
在两个数a和b中，插入一个数G使a、G、b成等比数列，那么G叫做a、b的等比中项．
有 G2＝a b （ab≠0）
18．已知等比数列{an}中，a1，a5是方程x2﹣5x+3＝0的两根，则a3＝（　　）
A．3 B． C． D．
19．已知实数﹣1，x，﹣4成等比数列，则x＝（　　）
A．﹣8 B．±8 C．﹣2 D．±2
20．已知等差数列{an}中，a3＝1，公差，则a2与a6的等比中项是（　　）
A．3 B． C． D．
21．设等比数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a4恰为a3和a5的等差中项，则（　　）
A．5 B．6 C．8 D．9
22．已知等差数列{an}的公差为﹣2，若a1，a3，a4成等比数列，Sn是{an}的前n项和，则S9等于（　　）
A．8 B．6 C．﹣10 D．0
23．在各项为正的等比数列{an}中，a8与a10的等比中项为2，则log2a6+log2a12＝（　　）
A．4 B．3 C．1 D．2
24．在1与4中间插入3个数，使这5个数成等比数列，则插入的3个数的乘积为　　 　　 ．
25．在等比数列{an}中a1+a2+a3＝5，a5+a6+a7＝10，则a9+a10+a11＝　 　 ．
26．已知正项等比数列{an}的公比不为1，若在{an}的前20项中随机抽取4项，则这4项按原来的顺序仍然成等比数列的概率为 　　 　．（用最简分数作答）
27．已知等比数列{an}的前n项乘积为Tn，若T2＝T4，则T6＝　 　 ．
▉题型6 由等比数列中若干项求通项公式或其中的项
【知识点的认识】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1 qn﹣1
3．等比数列的常用性质
（1）通项公式的推广：an＝am qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak al＝am an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an bn}，仍是等比数列．
28．已知递增的等比数列{an}满足a6+a8＝10，a3a11＝9，则{an}的公比q＝（　　）
A．6 B．3 C．2 D．
29．已知等比数列{an}中，a3＝3，a7＝27，则a5＝（　　）
A．15 B．9 C．﹣9 D．±9
30．已知等比数列{an}满足a1+a2+a4＝2，公比q＝2，则a6+a7+a9＝（　　）
A．32 B．64 C．128 D．256
31．已知等比数列{an}的公比为q，则“q＝3”是“a4，6a3，a5”成等差数列的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
（多选）32．2，m，8为等比数列的前三项，则m的可能值为（　　）
A．4 B．5 C．﹣4 D．﹣5
（多选）33．设公比为q的等比数列{an}的前n项积为Tn，若8T5＝T8，则（　　）
A．当a1＝2时，q＝1
B．a7＝2
C．当q≠1时，{log2|Tn|}为等差数列
D．
34．在等比数列{an}中，已知a1a3＝9，a2+a4＝9，则a4＝ 　　 　 ．
35．在正项等比数列{an}中，a2a6＝4，a5＝1，则公比q＝ 　　 　 ．
36．已知{an}是各项均为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn，且a2＝3，a1，a3，a7成等比数列．则数列{an}的通项公式为　 　 ；若定义在数列{an}中，使log3（an+1）为整数的an叫做“调和数”，则在区间[1，2024]内所有“调和数”之和为 　　 　 ．
37．设公比为正的等比数列{an}前n项和为Sn，S3＝7a1，且a1，a3，20+a2成等差数列．
（1）求{an}的通项；
（2）若数列{bn}满足bn＝bn+1+bnbn+1log2an，b1＝1，求数列{bn}的前n项和Tn．
▉题型7 等比数列通项公式的应用
【知识点的认识】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1 qn﹣1
3．等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．G2＝a b （ab≠0）
4．等比数列的常用性质
（1）通项公式的推广：an＝am qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak al＝am an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或 {an}是递增数列；或 {an}是递减数列；q＝1 {an}是常数列；q＜0 {an}是摆动数列．
38．设等比数列{an}的公比为q，若a1+a5＝4，a2a4＝4，则q＝（　　）
A．1 B．﹣2 C．或2 D．﹣1或1
39．已知等比数列{an}中，a1+a3＝2，a4+a6＝16，则a10+a12＝（　　）
A．26 B．32 C．512 D．1024
40．已知等比数列{an}的首项为1，公比为e，则数列{lnan}（n∈N*）的前10项和为（　　）
A．15 B．35 C．45 D．55
41．已知等比数列{an}中，a5＝9，a3a8＝81a2，则a2a6＝ 　 　　 ．
42．已知等比数列{an}满足a2+a3＝20，a1a4＝64，q＞1，则数列{an}的通项公式an＝ 　　 　．
43．对数列{an}，a1＝2，对于任意的n，m∈N+，都有am an＝am+n，若对于任意的n∈N+恒成立，则λ的最大值为　　 　 ．
44．在等比数列{an}中，已知公比q＞0，且a2＝1，a3+a4＝12．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列前10项的和S10．
▉题型8 数列的应用
【知识点的认识】
1、数列与函数的综合
2、等差数列与等比数列的综合
3、数列的实际应用
数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．
45．如果数列{an}对任意的n∈N*，都有an+2﹣an+1＞an+1﹣an，则称数列{an}为“快速增长数列”．若数列{an}为“快速增长数列”，且任意项an∈Z，a1＝1，a2＝3，ak＝2025，则正整数k的最大值为　　 　　 ．
（多选）46．如图，曲线下有一系列正三角形，设第n个正三角形Qn﹣1PnQn（Q0为坐标原点）的边长为an，则（　　）
A．a2＝1
B．记Sn为数列{an}的前n项和，则Pn+1为
C．记Sn为数列{an}的前n项和，则
D．数列{an}的前n项和为
47．△A1B1C1的内角A1，B1，C1的对边分别为a1，b1，c1，且a1＝7，b1＝5，c1＝3．
（1）求角A1；
（2）记．
（i）求证：以a2，b2，c2为三边可构成△A2B2C2（其中A2，B2，C2分别为边a2，b2，c2所对的角），且a2为三角形的最长边；
（ii）记，同样可得：以a3，b3，c3为三边可构成△A3B3C3（其中A3，B3，C3分别为边a3，b3，c3所对的角），如此往复构造可得一系列△A2B2C2、△A3B3C3、 、△AnBn n，求数列{An}的通项公式．
48．已知数列a1，a2， ，an（n≥3）满足如下条件：
①ai∈N，i＝1，2， ，n；
②0＝a1＜a2＜ ＜an；
③存在正整数i（2≤i≤n），使得ai＝2026；
④对任意正整数i，j，k满足1≤i＜j＜k≤n，都有ai+ak≤2aj．
（1）若n＝3，求a3的最大值；
（2）设n的最大值为m，求m的值；
（3）当n取最大值m时，求am的最小值．
49．现计划将某山体的一面绿化，自山顶向山底栽种10排塔松，第1排栽种6棵，第2排比第1排多栽种2棵，第3排比第2排多栽种4棵，…，第n排比第n﹣1排多栽种2（n﹣1）棵（2≤n≤10且n∈N*），则第10排栽种塔松的棵数为（　　）
A．90棵 B．92棵 C．94棵 D．96棵
50．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原三角形（图①）的边长为1，记第n个图形的周长为an，数列{an}的前n项和为Sn，则使得Sn＞72成立的n的最小值为（参考数据：log32≈0.63）（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
▉题型9 数列的求和
【知识点的认识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
51．已知数列{an}的通项公式为，函数，求f′（1）＝　　 　 ．
52．已知数列{an}的前n项和Sn，满足，若Tn是数列{Sn}的前n项和，则T2n＝ 　 　 ．
▉题型10 数列求和的其他方法
【知识点的认识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
53．数列{an}的前n项和为Sn，，则S2026＝（　　）
A． B．0 C． D．
▉题型11 数列递推式
【知识点的认识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an．
在数列{an
}中，前n项和Sn
与通项公式an
的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an
的表达式，则an
不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
54．在数列{an}中，若a2＝2，an＝（n+2）（an+1﹣an），则a2026＝（　　）
A．1014 B．1013 C．2023 D．2024
55．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列{an}满足：a1＝3，，则a157＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
▉题型12 数列与函数的综合
【知识点的认识】
数列的函数特性：
等差数列和等比数列的通项公式及前n项和公式中共涉及五个量a1，an
，q，n，Sn
，知三求二，体现了方程的思想的应用．解答数列与函数的综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题．
56．已知函数f（x）＝tanx﹣kx．
（1）若k＝2，求函数f（x）在区间上的单调区间；
（2）若k＝1，函数f（x）在区间（0，+∞）的零点从小到大依次构成数列{an}；
（i）证明：函数f（x）在区间有唯一零点，且an+π＜an+1；
（ii）令bn＝an+1﹣an，判断并证明数列{bn}的单调性．
57．若，数列{an}满足，则f（a1）+f（a2）+…+f（a2024）的值是（　　）
A．2024 B．4048 C．3006 D．2025
58．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）＝axg（x）（a＞0且a≠1），，若数列的前n项和大于1000，则n的最小值为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
▉题型13 数列的极限
【知识点的认识】
1、数列极限的定义：
一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限趋近于某个常数a（即|an
﹣a|无限地接近于0），那么就说数列{an}以a为极限，记作an＝a．（注：a不一定是{an
}中的项 ）
2、几个重要极限：
3、数列极限的运算法则：
4、无穷等比数列的各项和：
（1）公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项的和，当n无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做SSn．
（2）
59．设数列的前n项和为Sn，数学家墨卡托、牛顿、GregorySaint﹣Vincen曾分别独立发现当n足够大时，Sn会趋向于一常数ln2，先给出以下三个数学事实：①；②如果求数列前n项和Sn时存在给其中的某些项用括号括起后得到Sn′，，则；③．基于以上数学事实我们可以推出：将数列{an}的项按某种规律重新排列（如：将第m个偶数项排到第2m+1个奇数项后）后前n项和Sn′′在n足够大时（　　）
A．最终一定趋于ln2
B．最终一定不趋于任何一个常数
C．最终一定趋于某一常数但不一定是ln2
D．以上均不正确
▉题型14 数列与不等式的综合
【知识点的认识】
证明与数列求和有关的不等式基本方法：
（1）直接将数列求和后放缩；
（2）先将通项放缩后求和；
（3）先将通项放缩后求和再放缩；
（4）尝试用数学归纳法证明．
常用的放缩方法有：
，，，
[]
（n≥2），
（）（n≥2），
，
2（）2（）．
．
60．已知{an}的通项公式为an＝﹣3n2+λn（λ∈R），若数列{an}为递减数列，则实数λ的取值范围是　 　　 ．

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