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第4章第4节 数学归纳法
题型1 数学归纳法 题型2 数学归纳法的适用条件与步骤
题型3 数学归纳法证明命题
▉题型1 数学归纳法
【知识点的认识】
1．数学归纳法
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：
（1）证明当n＝n0时命题成立；
（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立．
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．
2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．
（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．
在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．
（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．
在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．
完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．
3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
①明确初始值n0并验证真假．（必不可少）
②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式．
③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．
④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．
1．用数学归纳法证明1n（n∈N*，且n≥2），第一步要证的不等式是　 ．
2．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34， ，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”．
（1）某学生发现以下特征：a1a4﹣a2a3＝1，a2a5﹣a3a4＝﹣1，a3a6﹣a4a5＝1，a4a7﹣a5a6＝﹣1， ，由此可归纳出一个结论？能否给出证明？
（2）证明：．
3．数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定的命题在整个（或者局部）自然数范围内成立，证明分为下面两个步骤：1．证明当n＝n0（n0∈N）时命题成立；2．假设n＝k（k∈N，且k≥n0）时命题成立，推导出在n＝k+1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有自然数n都成立．已知有穷递增数列{an}，a1＝﹣1，a2＞0，n∈N*且n≥3．定义：集合，若对 （x1，y1）∈A， （x2，y2）∈A，使得x1x2+y1y2＝0，则称{an}具有性质T．
（1）若数列﹣1，1，2，m（m＞2）具有性质T，求实数m的值；
（2）若{an}具有性质T，且a2＝1，a3＝2，
（ⅰ）猜想当n≥2时{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想；
（ⅱ）求（n≥2）．
4．设数列{an}满足an+1＝an2﹣nan+1，n＝1，2，3，…．
（1）当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出{an}的一个通项公式；
（2）当a1≥3时，用数学归纳法证明对所有n≥1，有an≥n+2．
▉题型2 数学归纳法的适用条件与步骤
【知识点的认识】
1．数学归纳法
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：
（1）证明当n＝n0时命题成立；
（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立．
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．
2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．
（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．
在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．
（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．
在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．
完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．
3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
①明确初始值n0并验证真假．（必不可少）
②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式．
③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．
④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．
5．用数学归纳法证明：（n+1）（n+2） … （n+n）＝2n×1×3×5×…×（2n﹣1）（n∈N*），从n＝k到n＝k+1，等式的左边需要增乘的代数式是 （　　）
A．2k+1 B． C． D．2（2k+1）
（多选）6．对于不等式，某同学用数学归纳法证明的过程如下：
①当n＝1时，，不等式成立；
②假设当n＝k（n∈N*）时，不等式成立，即，
则当n＝k+1时，．
故当n＝k+1时，不等式成立．
则下列说法错误的是（　　）
A．过程全部正确
B．n＝1的验证不正确
C．n＝k的归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k+1的推理不正确
7．用数学归纳法证明不等式的过程中，由n＝k递推到n＝k+1时，不等式左边增加了（　　）
A． B．
C． D．
8．用数学归纳法证明“”的过程中，从n＝k（k≥2，k∈N*）到n＝k+1时，不等式左边增加的项数为（　　）
A．2k﹣1项 B．2k﹣1项 C．2k项 D．2k+1项
9．用数学归纳法证明“不等式对一切正整数n恒成立”的第二步中，已经假设n＝k时不等式成立，推理n＝k+1成立的步骤中用到了放缩法，这个放缩过程主要是证明（　　）
A．
B．
C．
D．
10．已知x＞﹣1且x≠0，用数学归纳法证明命题：“当n∈Z且n＞1时，（1+x）n＞1+nx”，第一步应验证的不等式为 　（1+x）2＞1+2x ．
11．对于不等式n+2（n∈N*），某同学用数学归纳法证明的过程如下：
①当n＝1时，1+2，不等式成立．
②假设当n＝k（n∈N*）时，不等式成立，即k+2，则当n＝k+1时，（k+1）+2．
故当n＝k+1时，不等式成立．则上述证法（　　）
A．过程全部正确
B．n＝1的验证不正确
C．n＝k的归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k+1的推理不正确
12．利用数学归纳法证明不等式（n∈N*）的过程，由n＝k到n＝k+1时，左边增加了（　　）
A．k项 B．22k项 C．2k﹣1项 D．3 22k项
▉题型3 数学归纳法证明命题
【知识点的认识】
1．数学归纳法
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：
（1）证明当n＝n0时命题成立；
（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立．
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．
2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．
（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．
在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．
（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．
在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．
完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．
13．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn+1．
（1）求出数列{an}的前三项；
（2）根据数列{an}的前三项猜想出其一个通项公式，并用数学归纳法证明．
14．已知正数数列{an}前n项和为Sn，且任意n∈N*，an与2的等差中项等于Sn与2的正的等比中项．
（1）求a1，a2，a3；
（2）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
15．如图，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、…、Pn（xn，yn）（0＜y1＜y2＜…＜yn）是曲线C：y上的n个点，点Ai（ai，0）（i＝1，2，3，…，n）在x轴的正半轴上，且△Ai﹣1AiPi是等腰直角三角形，其中Pi为直角顶点，A0是坐标原点．
（1）写出a1、a2、a3；
（2）猜想点An（an，0）（n∈N*）的横坐标an关于n的表达式，并用数学归纳法证明．
16．已知数列{an}的通项公式an＝2n﹣1，其前n项和为Sn．
（1）求Sn；
（2）若bn＝（1）（1）…（1），试猜想数列{bn}的通项公式，并用数学归纳法证明．
17．观察下列不等式：
5+3≥8，25+9≥32，125+27≥128，625+81≥512，……．
（Ⅰ）根据这些不等式，归纳出一个关于正整数n的命题；
（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中得到的命题．
18．已知z＝cosθ+isinθ（其中i是虚数单位）．
（1）计算：z2，z3；
（2）猜想：zn（n∈N*）的表达式，并用数学归纳法证明；
（3）计算：的值．
19．用数学归纳法证明：（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n×1×3×…×（2n﹣1）（n∈N*）．
20．已知数列{an}满足，且a1＝3．
（1）写出a2，a3，a4的值，猜想出数列{an}的一个通项公式，并用数学归纳法证明；
（2）令，设数列{bn}的前n项和为Tn，证明：．
21．在无穷数列{an}中，若存在m∈R，对于{an}中的任意一项ak（k≥3），都有ak＝mak﹣1﹣ak﹣2成立，则称数列{an}为A数列，m称为该A数列的特征值．
（1）若无穷数列{an}是首项与公差都是1的等差数列，那么数列{an}是否为A数列？若是，求出该数列的特征值；若不是，请说明理由；
（2）若数列{an}是特征值为3的A数列，且a2＞a1＞0，用数学归纳法证明：对任意n≥2且n∈N*，不等式an+1＞2an＞0恒成立．
22．记Sn为等差数列{an}的前n项和，且S4＝20，a5＝10．
（1）求Sn；
（2）用数学归纳法证明：．
23．用数学归纳法证明：（12+1）+（22+2）+ +（n2+n）n（n+1）（n+2）（n为正整数）．
24．按要求证明下列命题：
（1）（用分析法证明）已知a，b是不相等的正数，求证：a3+b3＞a2b+ab2；
（2）（用数学归纳法证明）﹣1+3﹣5+ +（﹣1）n（2n﹣1）＝（﹣1）nn（n∈N*）．
25．设数列{an}满足a1＝3，an+1＝3an﹣4n．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．第4章第4节 数学归纳法
题型1 数学归纳法 题型2 数学归纳法的适用条件与步骤
题型3 数学归纳法证明命题
▉题型1 数学归纳法
【知识点的认识】
1．数学归纳法
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：
（1）证明当n＝n0时命题成立；
（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立．
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．
2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．
（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．
在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．
（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．
在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．
完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．
3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
①明确初始值n0并验证真假．（必不可少）
②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式．
③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．
④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．
1．用数学归纳法证明1n（n∈N*，且n≥2），第一步要证的不等式是　　 ．
【答案】
【解答】解：1n（n∈N*，且n≥2），
左侧的表达式的分母可知第k项是由1，2，3，到2k﹣1，结束；
第一步要证的不等式是：．
故答案为：．
2．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34， ，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”．
（1）某学生发现以下特征：a1a4﹣a2a3＝1，a2a5﹣a3a4＝﹣1，a3a6﹣a4a5＝1，a4a7﹣a5a6＝﹣1， ，由此可归纳出一个结论？能否给出证明？
（2）证明：．
【答案】（1），证明见解析；
（2）证明见解析．
【解答】解：（1），证明如下：
①当n＝1时，a1a4﹣a2a3＝1显然成立，
②假设当n＝k时，，即成立，
则当n＝k+1时，ak+1ak+4﹣ak+2ak+3＝ak+1ak+4﹣（ak+ak+1）ak+3＝ak+1ak+4﹣ak+1ak+3﹣akak+3＝ak+1（ak+4﹣ak+3）﹣akak+3＝ak+1ak+2﹣akak+3，
故当n＝k+1时等式也成立，
根据①和②，可知等式对任意正整数n都成立；
（2）证明：③当n＝1时，左，右，显然成立，
④假设当n＝k时，，即，
则当n＝k+1时，
．
故当n＝k+1时等式成立，
根据③和④，可知等式对任意正整数n都成立．
3．数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定的命题在整个（或者局部）自然数范围内成立，证明分为下面两个步骤：1．证明当n＝n0（n0∈N）时命题成立；2．假设n＝k（k∈N，且k≥n0）时命题成立，推导出在n＝k+1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有自然数n都成立．已知有穷递增数列{an}，a1＝﹣1，a2＞0，n∈N*且n≥3．定义：集合，若对 （x1，y1）∈A， （x2，y2）∈A，使得x1x2+y1y2＝0，则称{an}具有性质T．
（1）若数列﹣1，1，2，m（m＞2）具有性质T，求实数m的值；
（2）若{an}具有性质T，且a2＝1，a3＝2，
（ⅰ）猜想当n≥2时{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想；
（ⅱ）求（n≥2）．
【答案】（1）4；
（2）（ⅰ）；（ⅱ）．
【解答】解：有穷递增数列{an}，a1＝﹣1，a2＞0，n∈N*且n≥3．定义：集合，
若对 （x1，y1）∈A， （x2，y2）∈A，使得x1x2+y1y2＝0，则称{an}具有性质T．
（1）若数列﹣1，1，2，m（m＞2）具有性质T，
当（x1，y1）＝（﹣1，m）时，取（x2，y2）＝（m，1），满足题意；
当（x1，y1）＝（1，m）时，取（x2，y2）＝（m，﹣1），满足题意；
当（x1，y1）＝（2，m）时，2x2+my2＝0，此时x2，y2中有且仅有一个数为﹣1，
若x2＝﹣1，则，不满足题意；
若y2＝﹣1，则m＝2x2＝2或4或2m，
又因为m＞2，故m＝4；
综上所述，m＝4．
（2）（ⅰ）若{an}具有性质T，且a2＝1，a3＝2，
猜想．
运用数学归纳法证明如下：
当n＝2时，满足题意；
假设n＝k时，成立，则当n＝k+1时，
若（x1，y1）＝（﹣1，ak+1），则取（x2，y2）＝（ak+1，1）满足题意；
若（x1，y1）＝（ai，ak+1），i＝2，3， ，k+1，则x2，y2中有且仅有一个数为﹣1，
当x2＝﹣1时，设y2＝aj，j＝2，3， ，k+1，则﹣ai+ak+1aj＝0，
故，当且仅当i＝k+1，j＝2时，取得等号；
当y2＝﹣1时，设x2＝aj，j＝2，3， ，k+1，则，
记i+j﹣4＝p，则j＝p﹣i+4；
因为对任意的i＝2，3， ，k+1，都有j＝p﹣i+4＝p﹣k+3，p﹣k+4， ，p+2在2，3，4， ，k+1中取到，
则，即p＝k﹣1；
故i+j＝k+3，故成立；
综上，．
（ⅱ）因为n≥2时，，
故
．
4．设数列{an}满足an+1＝an2﹣nan+1，n＝1，2，3，…．
（1）当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出{an}的一个通项公式；
（2）当a1≥3时，用数学归纳法证明对所有n≥1，有an≥n+2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由a1＝2，则a2＝a12﹣a1+1＝4﹣2+1＝3，
则a3＝a22﹣2a2+1＝9﹣6+1＝4，
a4＝a32﹣3a3+1＝16﹣12+1＝5．
猜想：an＝n+1．
（2）证明：当n＝1时，a1≥3＝1+2，不等式成立；
假设n＝k（k≥1）时不等式成立，即ak≥k+2，
则ak+1＝ak2﹣kak+1＝ak（ak﹣k）+1≥（k+2）（k+2﹣k）+1＝2k+5＞k+3，
即n＝k+1时，不等式仍成立．
综上，对于所有n≥1，都有an≥n+2．
▉题型2 数学归纳法的适用条件与步骤
【知识点的认识】
1．数学归纳法
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：
（1）证明当n＝n0时命题成立；
（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立．
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．
2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．
（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．
在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．
（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．
在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．
完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．
3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
①明确初始值n0并验证真假．（必不可少）
②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式．
③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．
④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．
5．用数学归纳法证明：（n+1）（n+2） … （n+n）＝2n×1×3×5×…×（2n﹣1）（n∈N*），从n＝k到n＝k+1，等式的左边需要增乘的代数式是 （　　）
A．2k+1 B． C． D．2（2k+1）
【答案】D
【解答】解：用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）＝2n×1×3×5×…×（2n﹣1）（n∈N*）时，
n＝k时，左侧＝（k+1）（k+2）…（k+k），
n＝k+1时，左侧＝（k+1+1）（k+1+2）…（k+1+k﹣1）（k+1+k）（k+1+k+1），
从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式是2（2k+1）．
故选：D．
（多选）6．对于不等式，某同学用数学归纳法证明的过程如下：
①当n＝1时，，不等式成立；
②假设当n＝k（n∈N*）时，不等式成立，即，
则当n＝k+1时，．
故当n＝k+1时，不等式成立．
则下列说法错误的是（　　）
A．过程全部正确
B．n＝1的验证不正确
C．n＝k的归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k+1的推理不正确
【答案】ABC
【解答】解：适合命题的第一个自然数n＝1，验证n＝1时过程正确；
假设当n＝k（n∈N*）时，不等式成立，即，该假设正确；
在n＝k+1时，没有应用n＝k时的假设，即从n＝k到n＝k+1的推理不正确，
故D错误，ABC正确．
故选：ABC．
7．用数学归纳法证明不等式的过程中，由n＝k递推到n＝k+1时，不等式左边增加了（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：当n＝k时，左端，
那么当n＝k+1时左端，
故由k到k+1时不等式左端的变化是增加了两项，同时减少了这一项，
即，
故选：D．
8．用数学归纳法证明“”的过程中，从n＝k（k≥2，k∈N*）到n＝k+1时，不等式左边增加的项数为（　　）
A．2k﹣1项 B．2k﹣1项 C．2k项 D．2k+1项
【答案】C
【解答】解：由题意知，假设n＝k时，不等式左边为，
当n＝k+1时，不等式左边为，
相比n＝k时增加了，共2k项．
故选：C．
9．用数学归纳法证明“不等式对一切正整数n恒成立”的第二步中，已经假设n＝k时不等式成立，推理n＝k+1成立的步骤中用到了放缩法，这个放缩过程主要是证明（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解答】解：假设n＝k时不等式成立，即不等式，
n＝k+1时，不等式成立：即不等式，
即不等式，
所以利用放缩过程主要是证明：0．
即．
故选：B．
10．已知x＞﹣1且x≠0，用数学归纳法证明命题：“当n∈Z且n＞1时，（1+x）n＞1+nx”，第一步应验证的不等式为 　（1+x）2＞1+2x ．
【答案】（1+x）2＞1+2x．
【解答】解：x＞﹣1且x≠0，用数学归纳法证明命题：“当n∈Z且n＞1时，（1+x）n＞1+nx”，第一步应验证的不等式为：（1+x）2＞1+2x，
故答案为：（1+x）2＞1+2x．
11．对于不等式n+2（n∈N*），某同学用数学归纳法证明的过程如下：
①当n＝1时，1+2，不等式成立．
②假设当n＝k（n∈N*）时，不等式成立，即k+2，则当n＝k+1时，（k+1）+2．
故当n＝k+1时，不等式成立．则上述证法（　　）
A．过程全部正确
B．n＝1的验证不正确
C．n＝k的归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k+1的推理不正确
【答案】D
【解答】解：n＝1的验证及归纳假设都正确，
但从n＝k到n＝k+1的推理中没有使用归纳假设，只是通过不等式的放缩法直接证明，
不符合数学归纳法证题的要求．
故选：D．
12．利用数学归纳法证明不等式（n∈N*）的过程，由n＝k到n＝k+1时，左边增加了（　　）
A．k项 B．22k项 C．2k﹣1项 D．3 22k项
【答案】D
【解答】解：n＝k时，左边为，
当n＝k+1时，左边为，
左边增加了，共有[22（k+1）﹣1]﹣（22k﹣1）＝3 22k．
故选：D．
▉题型3 数学归纳法证明命题
【知识点的认识】
1．数学归纳法
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：
（1）证明当n＝n0时命题成立；
（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立．
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．
2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．
（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．
在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．
（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．
在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．
完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．
13．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn+1．
（1）求出数列{an}的前三项；
（2）根据数列{an}的前三项猜想出其一个通项公式，并用数学归纳法证明．
【答案】（1），，；
（2）猜想，证明详见解析．
【解答】解：（1）当n＝1时，Sn+1，
则，解得；
当n＝2时，
则，将a1代入得，解得，
当n＝3时，
则，解得；
（2）由（1）可以猜想，
证明：当n＝1，2，3时，等式成立；
假设当n＝k（k＞3，k∈N*）时，等式也成立，即ak，
又因为，
将代入上式解得ak+1，
故n＝k+1时，命题成立，
综上所述，当n∈N*时，
则．
14．已知正数数列{an}前n项和为Sn，且任意n∈N*，an与2的等差中项等于Sn与2的正的等比中项．
（1）求a1，a2，a3；
（2）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
【答案】（1）a1＝2，a2＝6，a3＝10；（2）an＝4n﹣2，证明过程见解析．
【解答】解：（1）由an与2的等差中项等于Sn与2的正的等比中项，得，
可得．
当n＝1时，，解得a1＝2；
当n＝2时，，解得a2＝6；
当n＝3时，，解得a3＝10．
（2）由（1）猜想an＝4n﹣2．
利用数学归纳法证明如下：
当n＝1时，a1＝4×1﹣2＝2，满足an＝4n﹣2；
假设n＝k时成立，即ak＝4k﹣2，则，
则当n＝k+1时，，
可得，
解得ak+1＝4k+2，故n＝k+1时也成立．
综上所述：an＝4n﹣2．
15．如图，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、…、Pn（xn，yn）（0＜y1＜y2＜…＜yn）是曲线C：y上的n个点，点Ai（ai，0）（i＝1，2，3，…，n）在x轴的正半轴上，且△Ai﹣1AiPi是等腰直角三角形，其中Pi为直角顶点，A0是坐标原点．
（1）写出a1、a2、a3；
（2）猜想点An（an，0）（n∈N*）的横坐标an关于n的表达式，并用数学归纳法证明．
【答案】（1）a1＝2，a2＝6，a3＝12；（2）an＝n（n+1）；证明见解答．
【解答】解（1）a1＝2，a2＝6，a3＝12；
（2）依题意，得 ，，
由此及3xn得 ，即（an﹣an﹣1）2＝2（an﹣1+an）．
由（1）可猜想：an＝n（n+1）n∈N*，
下面用数学归纳法予以证明：
（1）当n＝1时，命题显然成立；
（2）假定当n＝k时命题成立，即有an＝k（k+1），
则当n＝k+1时，由归纳假设及（ak+1﹣ak）2＝2（ak+ak+1）得：
[ak+1﹣k（k+1）]2＝2[k（k+1）+ak+1]，
即（ak+1）2﹣2（k2+k+1）ak+1+[k（k﹣1）] [（k+1）（k+2）]＝0，
解之得ak+1＝（k+1）（k+2），（ak+1＝k（k﹣1）＜ak不合题意，舍去），
即当n＝k+1时，命题成立．
由（1）、（2）知：命题成立．
16．已知数列{an}的通项公式an＝2n﹣1，其前n项和为Sn．
（1）求Sn；
（2）若bn＝（1）（1）…（1），试猜想数列{bn}的通项公式，并用数学归纳法证明．
【答案】（1）n2，（2）bn，并利用数学归纳法即可证明．
【解答】解：（1）数列{an}的通项公式an＝2n﹣1，
则an+1﹣an＝2（n+1）﹣1﹣（2n﹣1）＝2，
当n＝1时，a1＝1，
∴数列{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列，
∴Snn2，
（2）由（1）可得，
∴11，
∴bn＝（1）（1）…（1）＝（1）（1）…（1），
∴b1，b2，b3，b4，
于是猜想bn，
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，b1，等式成立，
②假设n＝k时，成立，即bk＝（1）（1）…（1），
那么当n＝k+1时，bk＝（1）（1）…（1） （1） （1）
，
∴当n＝k+1时也成立，
由①②可得bn，对任意n∈N*都成立．
17．观察下列不等式：
5+3≥8，25+9≥32，125+27≥128，625+81≥512，……．
（Ⅰ）根据这些不等式，归纳出一个关于正整数n的命题；
（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中得到的命题．
【答案】（Ⅰ）5n+3n≥22n+1（n为正整数）．
（Ⅱ）证明过程见解析．
【解答】解：（Ⅰ）不等式可写为：5+3≥23，52+32≥25，53+33≥27，54+34≥29，
所以归纳得到命题：5n+3n≥22n+1（n为正整数）．
证明：（Ⅱ）①当n＝1时，易知命题成立；
②假设当n＝k时，命题成立，即5k+3k≥22k+1，
则当n＝k+1时，5k+1+3k+1＝5×5k+3×3k＝（4+1）×5k+（4﹣1）×3k＝4×（5k+3k）+5k﹣3k≥4×22k+1+5k﹣3k≥22（k+1）+1，
即n＝k+1时，命题也成立，
由①②可知，5n+3n≥22n+1．
18．已知z＝cosθ+isinθ（其中i是虚数单位）．
（1）计算：z2，z3；
（2）猜想：zn（n∈N*）的表达式，并用数学归纳法证明；
（3）计算：的值．
【答案】（1）cos2θ+isin2θ；（2）证明详见解析．（3）22022．
【解答】解：（1）z2＝（cosθ+isinθ）2＝（cos2θ﹣sin2θ）+2isinθcosθ＝cos2θ+isin2θ，
z3＝（cosθ+isinθ）2 （cosθ+isinθ）＝（cos2θ+isin2θ） （cosθ+isinθ）＝（cos2θcosθ﹣sin2θsinθ）+i（sin2θcosθ+cos2θsinθ）＝cos3θ+isin3θ．
（2）猜想：zn＝cosnθ+isinnθ（n∈N*），
证明：当n＝1时，z1＝cosθ+isinθ，猜想成立，
假设当n＝k时，zk＝coskθ+isinkθ成立，
当n＝k+1时，zk+1＝zk z＝（coskθ+isinkθ） （cosθ+isinθ）＝（coskθcosθ﹣sinkθsinθ）+i（sinkθcosθ+coskθsinθ）＝cos（k+1）θ+isin（k+1）θ，
即当n＝k+1时猜想成立，
综上所述，对一切的n∈N*，都有zn＝cosnθ+isinnθ．
（3），
故．
19．用数学归纳法证明：（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n×1×3×…×（2n﹣1）（n∈N*）．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：①当n＝1时，左边＝1＝1＝2，右边＝21×1＝2，左边＝右边，∴等式成立，
②假设当n＝k时命题成立，即（k+1）（k+2） （k+k）＝2k×1×3×…×（2k﹣1），
则当n＝k+1时，左边＝（k+1+1）（k+1+2） （k+1+k﹣1）（k+1+k）（k+1+k+1）
＝（k+1）（k+2） （k+k） 2k×1×3×…×（2k﹣1）
＝2k×1×3×…×（2k﹣1） 2 （2k+1）
＝2k+1×1×3×…×[（2k+1）﹣1）]＝右边，
∴当n＝k+1时，等式成立，
由①②知，对 n∈N*命题成立．
20．已知数列{an}满足，且a1＝3．
（1）写出a2，a3，a4的值，猜想出数列{an}的一个通项公式，并用数学归纳法证明；
（2）令，设数列{bn}的前n项和为Tn，证明：．
【答案】（1）a2＝4，a3＝5，a4＝6，an＝n+2，证明过程见解析；
（2）证明过程见解析．
【解答】解：（1）由，a1＝3＝1+2，
得2+2，
3+2，
4+2．
故可猜想数列{an}的一个通项公式为：an＝n+2；
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，a1＝3＝1+2，等式成立．
②假设当n＝k（k∈N*）时等式成立，即ak＝k+2，
那么，当n＝k+1时，
＝（k+2）2﹣k（k+2）﹣k﹣1＝k2+4k+4﹣k2﹣2k﹣k﹣1＝k+3＝（k+1）+2，
即当n＝k+1时等式也成立．
综上①、②所述，对于 n∈N*，都有an＝n+2；
证明：（2）∵an＝n+2，
∴，
∴
．
故得证．
21．在无穷数列{an}中，若存在m∈R，对于{an}中的任意一项ak（k≥3），都有ak＝mak﹣1﹣ak﹣2成立，则称数列{an}为A数列，m称为该A数列的特征值．
（1）若无穷数列{an}是首项与公差都是1的等差数列，那么数列{an}是否为A数列？若是，求出该数列的特征值；若不是，请说明理由；
（2）若数列{an}是特征值为3的A数列，且a2＞a1＞0，用数学归纳法证明：对任意n≥2且n∈N*，不等式an+1＞2an＞0恒成立．
【答案】（1）数列{an}为A数列，其特征值为2．理由见解答．
（2）证明见解答．
【解答】（1）解：在无穷数列{an}中，若存在m∈R，对于{an}中的任意一项ak（k≥3），
都有ak＝mak﹣1﹣ak﹣2成立，则称数列{an}为A数列，m称为该A数列的特征值．
因为{an}是首项与公差都是1的等差数列，
所以an＝n．
假设数列{an}为A数列，则 m∈R，ak＝mak﹣1﹣ak﹣2（k≥3）恒成立，
得k＝m（k﹣1）﹣（k﹣2），即（m﹣2）k+2﹣m＝0恒成立，
所以，所以m＝2，
所以数列{an}为A数列，其特征值为2．
（2）证明：因为{an}是特征值为3的A数列，且a2＞a1＞0，
所以对于{an}中的任意一项ak（k≥3），都有ak＝3ak﹣1﹣ak﹣2成立．
下用数学归纳法证明：对任意n≥2且n∈N*，不等式an+1＞2an＞0恒成立．
①当n＝2时，a3＝3a2﹣a1＝2a2+（a2﹣a1）＞2a2＞0，即a3＞2a2＞0，
所以n＝2时结论成立．
②假设当n＝k（k≥2）时，不等式ak+1＞2ak＞0成立，
所以ak+1﹣ak＞ak＞0，
所以ak+2＝3ak+1﹣ak＝2ak+1+（ak+1﹣ak）＞2ak+1＞0，即ak+2＞2ak+1＞0，
所以n＝k+1时结论也成立．
由①②可知，对任意n≥2且n∈N*，不等式an+1＞2an＞0恒成立．
22．记Sn为等差数列{an}的前n项和，且S4＝20，a5＝10．
（1）求Sn；
（2）用数学归纳法证明：．
【答案】（1）．（2）证明详见解析．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
∵S4＝20，a5＝10，
∴，解得，
∴．
（2）证明：当n＝1时，，
假设n＝k时不等式成立，即，
当n＝k+1时，
，即n＝k+1时不等式成立，
由（1）（2）可知，对于任意n∈N+，不等式都成立，即得证．
23．用数学归纳法证明：（12+1）+（22+2）+ +（n2+n）n（n+1）（n+2）（n为正整数）．
【答案】证明见解答．
【解答】证明：（1）当n＝1时，左边＝2，右边，等式成立．……（2分）
（2）假设当n＝k（k≥1）时，等式成立，
即，……（4分）
那么当n＝k+1时，（6分）
（9分）
．……（10分）
这就是说，当n＝k+1时，等式也成立．……（11分）
根据（1）和（2），可知等式对任意正整数n都成立．……（12分）
24．按要求证明下列命题：
（1）（用分析法证明）已知a，b是不相等的正数，求证：a3+b3＞a2b+ab2；
（2）（用数学归纳法证明）﹣1+3﹣5+ +（﹣1）n（2n﹣1）＝（﹣1）nn（n∈N*）．
【答案】（1）（2）证明见解答．
【解答】（1）证明：要证明 a3+b3＞a2b+ab2，
只需证明（a+b）（a2﹣ab+b2）＞ab（a+b），………（2分）
只需证明（a+b）（a2﹣ab+b2）﹣ab（a+b）＞0，………（4分）
只需证明（a+b）（a2﹣2ab+b2）＞0，………（6分）
只需证明（a+b）（a﹣b）2＞0，………（8分）
而已知a，b是不相等的正数，所以（a+b）（a﹣b）2＞0成立，
故a3+b3＞a2b+ab2成立． ………（9分）
（2）证明：①当n＝1时，左边＝﹣1，右边＝﹣1，所以等式成立． ……（11分）
②假设当n＝k时，等式成立，
即﹣1+3﹣5+ +（﹣1）k（2k﹣1）＝（﹣1）kk成立．………（13分）
那么，当n＝k+1时，﹣1+3﹣5+ +（﹣1）k+1（2（k+1）﹣1）＝（﹣1）kk+（﹣1）k+1（2（k+1）﹣1）………（15分）
而（﹣1）kk+（﹣1）k+1（2（k+1）﹣1）＝﹣（﹣1）k+1k+（﹣1）k+1（2k+1）＝（﹣1）k+1（k+1）………（17分）
这就是说，当n＝k+1时等式成立．
根据（1）和（2），可知﹣1+3﹣5+ +（﹣1）n（2n﹣1）＝（﹣1）nn对任意正整数都成立． ……（18分）
25．设数列{an}满足a1＝3，an+1＝3an﹣4n．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
【答案】（1）an＝2n+1，证明见解答．
（2）Sn＝（2n﹣1）2n+1+2．
【解答】解：（1）法一：数列{an}满足a1＝3，an+1＝3an﹣4n，
则a2＝3a1﹣4＝5，a3＝3a2﹣4×2＝7，…，
猜想{an}的通项公式为an＝2n+1．
证明如下：（i）当n＝1，2，3时，显然成立，
（ii）假设n＝k时，ak＝2k+1（k∈N+）成立，
当n＝k+1时，ak+1＝3ak﹣4k＝3（2k+1）﹣4k＝2k+3＝2（k+1）+1，故n＝k+1时成立，
由（i）（ii）知，an＝2n+1，猜想成立，
所以{an}的通项公式an＝2n+1．
法二：数列{an}满足a1＝3，an+1＝3an﹣4n，
则a2＝3a1﹣4＝5，a3＝3a2﹣4×2＝7，…，
猜想{an}的通项公式为an＝2n+1．
证明：设an+1+α（n+1）+β＝3（an+αn+β），
可得an+1＝3an+2αn+2β﹣α，
∴，解得，
∴an+1﹣2（n+1）﹣1＝3（an﹣2n﹣1），（不能说明{an﹣2n﹣1}是等比数列）
∵a1＝3，a1﹣2×1﹣1＝0，并且a2﹣2×2﹣1＝0，所以an＝2n+1恒成立．
所以an＝2n+1．
（2）令bn＝2nan＝（2n+1） 2n，则数列{2nan}的前n项和
Sn＝3×21+5×22+…+（2n+1）2n，…①
两边同乘2得，2Sn＝3×22+5×23+…+（2n+1）2n+1，…②
①﹣②得，﹣Sn＝3×2+2×22+…+2×2n﹣（2n+1）2n+1
＝6（2n+1）2n+1，
所以Sn＝（2n﹣1）2n+1+2．

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