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第5章第1节 导数的概念及其意义
题型1 变化的快慢与变化率 题型2 平均变化率
题型3 瞬时变化率 题型4 变化率的极限与导数的概念
题型5 含Δx表达式的极限计算与导数的关系 题型6 导数与切线的斜率
题型7 函数图象趋势与导数大小的关系 题型8 极限及其运算
▉题型1 变化的快慢与变化率
【知识点的认识】
1、平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即．
2、瞬时变化率：
变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：．当△x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某一点的变化率．
3、导数的概念：
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即
f′（x0）
1．如果质点A运动的位移S（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为，那么该质点在t＝3秒时的瞬时速度为（　　）（单位：米/秒）
A． B． C． D．
2．一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为s＝t2+2t，设其在t∈[2，3]内的平均速度为v1，在t＝3时的瞬时速度为v2，则（　　）
A． B． C． D．
3．物体甲、乙在时间0到t1范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
C．在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
4．某品牌汽车在启动后的行驶路程s（单位：米）关于时间t（单位：秒）的关系满足：s＝2.75t2，t∈[0，20]，则第5秒时汽车的瞬时速度为 　 　 ．
5．某物体运动ts后，其位移（单位：m）为．在2≤t≤4这段时间里，该物体的平均速度为（　　）
A．5m/s B．6m/s C．8m/s D．10m/s
▉题型2 平均变化率
【知识点的认识】
平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即．
6．已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣3，则f（x）从1到1+Δx的平均变化率为（　　）
A．Δx+3 B．2Δx﹣1 C．Δx D．（Δx）2﹣Δx
7．函数y＝x2在x0到x0+△x之间的平均变化率为k1，在x0﹣△x到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为（　　）
A．k1＞k2 B．k1＜k2 C．k1＝k2 D．不确定
8．若，则等于（　　）
A．2k B．k
C． D．以上都不是
9．函数在区间[1，16]上的平均变化率为（　　）
A． B． C． D．
10．端午节前，小鲁购进了一批粽子进行销售，第一天销售了256个，第二、三天的销售量持续走高，第三天的销售量达到400个，则第二、三天销售量的平均增长率为 %．
11．函数f（x）＝x2﹣1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为　 ．
▉题型3 瞬时变化率
【知识点的认识】
1、平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即．
2、瞬时变化率：
变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：．当△x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某一点的变化率．
12．某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）与时间t（单位：s）之间的关系为，则t＝8s时，弹簧振子的瞬时速度为（　　）
A．﹣3πmm/s B．0mm/s C．3πmm/s D．12mm/s
13．已知某物体在运动过程中，其位移S（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系式S（t）＝sint﹣2cost+t+1，则该物体在时的瞬时速度为（　　）
A．3m/s B．2m/s C． D．1m/s
14．李师傅饮酒后，其血液中的乙醇含量y（单位：mg/mL）与酒后代谢时间x（单位：h）的函数关系满足y＝0.8×0.6x+1，则当x＝1时，李师傅血液中的乙醇含量的瞬时变化率的（　　）
A．0.8×0.62×ln0.6 B．0.8×0.62
C．0.8×0.6×ln0.6 D．
（多选）15．已知某物体运动的位移S（单位：m）与时间t（单位：s）的函数关系为，则下列说法正确的是（　　）
A．该物体在2s到4s这段时间内的平均速度为3m/s
B．该物体在t＝3s这个时刻的瞬时速度为3m/s
C．该物体在0s到8s这段时间内的平均速度为1m/s
D．该物体在t＝5s这个时刻的瞬时速度为8m/s
16．日常生活中的饮用水是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用（单位；元）为，则净化到纯净度为99%左右时净化费用的变化率大约是净化到纯净度为90%左右时净化费用变化率的（　　）
A．10倍 B．25倍 C．50倍 D．100倍
17．烧水时，水温随着时间的推移而变化．假设水的初始温度为20℃，加热后的温度函数T（t）＝100﹣ke﹣0.1t（k是常数，t表示加热的时间，单位：min），加热到第10min时，水温的瞬时变化率是 ℃/min．
▉题型4 变化率的极限与导数的概念
【知识点的认识】
导数的概念：
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即
f′（x0）
18．若，则f′（2）＝（　　）
A．12 B．6 C．3 D．﹣3
19．若函数f（x）＝（1﹣3x）5，则（　　）
A．80 B．﹣80 C．240 D．﹣240
20．已知，，则sinx0＝（　　）
A． B． C．1 D．0
22．若，则f′（1）＝ 　 　 ．
23．已知函数f（x）＝2x3，则　 　 ．
（多选）24．已知f（x），g（x）在R上连续且可导，且f'（x0）≠0，下列关于导数与极限的说法中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
25．定义：设二元函数z＝f（x，y）在点（x0，y0）的附近有定义，当y固定在y0而x在x0处有改变量Δx时，相应的二元函数z＝f（x，y）有改变量Δz＝f（x0+Δx，y0）﹣f（x0，y0），如果存在，那么称此极限为二元函数z＝f（x，y）在点（x0，y0）处对x的偏导数，记作fx（x0，y0）．若z＝f（x，y）在区域D内每一个点（x，y）对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于x，y的二元函数，它就被称为二元函数z＝f（x，y）对自变量x的偏导函数，记作fx（x，y）．已知F（x，y）＝x2+y2﹣xy，若F（x，y）＝1，则Fx（x，y）+Fy（x，y）的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，2] B．[﹣2，2] C．（0，2] D．[2，+∞）
▉题型5 含Δx表达式的极限计算与导数的关系
【知识点的认识】
导数的概念：
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即
f′（x0）
26．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且，则f′（2）＝（　　）
A．2 B．1 C．4 D．8
27．已知函数，则 　 ．
28． 　　 ．
29．设函数f（x）满足f′（x0）＝1，则 ．
▉题型6 导数与切线的斜率
【知识点的认识】
导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）．
30．已知曲线f（x）＝x+alnx在点（1，1）处的切线与直线3x﹣y+1＝0垂直，则a的值为（　　）
A．3 B． C． D．
31．已知曲线y＝e2ax在点（0，1）处的切线与以（1，2）为方向向量的直线垂直，则a＝　 ．
32．已知函数的图象在点（1，f（1））处的切线与直线9x+4y﹣1＝0垂直，则正实数m的值为（　　）
A． B．1 C． D．2
33．已知0＜x1＜x2＜x3＜3π，函数f（x）＝cosx的图象在点（xi，cosxi）（i＝1，2，3）处的切线均经过坐标原点O，则（　　）
A．x1tanx1＜x2tanx2 B．x1tanx1＞x2tanx2
C． D．
34．已知直线l与曲线f（x）＝ex+sinx在点（0，f（0））处的切线垂直，则直线l的斜率为（　　）
A．﹣1 B．1 C． D．2
35．已知曲线上一点，则曲线C在点P处的切线的倾斜角为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．120°
36．曲线y＝xex﹣x在点P处切线的斜率为﹣1，则P的坐标为（　　）
A．（﹣1，﹣1） B． C．（1，e﹣1） D．（1，2e﹣1）
37．设f（x）的导函数为f′（x），曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线3x﹣2y﹣3＝0垂直，则f′（2）＝（　　）
A． B． C． D．
38．曲线的图像上有一动点，则在此动点处切线的斜率的取值范围为 ．
39．曲线的切线斜率的最小值为 ．
40．我们将含参数的一类函数构成的集合称为函数簇，记为Ω．例如：Ω＝{fk（x）|fk（x）＝kx，k为参数}是一个函数簇．若函数簇Ω中的每一个函数都存在极小值点x0，且当参数k变化时，由所有的点（x0，f（x0））构成一条曲线y＝g（x），则称函数簇Ω存在包络函数g（x）．已知函数簇为参数}，若“k∈M”是“Ω存在包络函数g（x）”的充要条件，则M＝ 　 ；函数g（x）的表达式为 ．
41．若函数f（x）＝（lnx）2+ax2+x3在点（2，f（2）），（4，f（4））处的切线互相平行，则a＝　 ．
42．设函数y＝f（x）图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别为KA，KB，规定：（|AB|为线段AB的长度）叫做曲线y＝f（x）在点A与点B间的“弯曲度”．
①存在函数，使得图象上任意不同两点间的“弯曲度”是一个常数；
②抛物线y＝x2上存在不同的A，B两点，使得φ（A，B）＞2；
③A，B是函数y＝ex图象上任意不同的两点，则φ（A，B）≤1．
上述说法中所有正确结论的序号是 ．
▉题型7 函数图象趋势与导数大小的关系
【知识点的认识】
导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）．
43．已知函数f（x）的图象如图所示，则其导函数f′（x）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
44．已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则f（x）的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
45．已知函数f（x）的图象如图所示，f'（x）是f（x）的导函数，则下列数值排序正确的是（　　）
A．0＜f'（4）＜f（4）﹣f（3）＜f'（3）
B．0＜f'（3）＜f'（4）＜f（4）﹣f（3）
C．0＜f（4）﹣f（3）＜f'（4）＜f'（3）
D．0＜f'（4）＜f'（3）＜f（4）﹣f（3）
（多选）46．如图是导函数y＝f′（x）的图象，则下列说法正确的是（　　）
A．（﹣1，3）为函数y＝f（x）的单调递增区间
B．（0，3）为函数y＝f（x）的单调递减区间
C．函数y＝f（x）在x＝3处取得极大值
D．函数y＝f（x）在x＝5处取得极小值
▉题型8 极限及其运算
【知识点的认识】
1．数列极限
（1）数列极限的表示方法：
（2）几个常用极限：
③对于任意实常数，
当|a|＜1时，an＝0，
当|a|＝1时，若a＝1，则an＝1；若a＝﹣1，则an＝（﹣1）n不存在
当|a|＞1时，an＝不存在．
（3）数列极限的四则运算法则：
如果，那么
特别地，如果C是常数，那么．
（4）数列极限的应用：
求无穷数列的各项和，特别地，当|q|＜1时，无穷等比数列的各项和为S（|q|＜1）．
（化循环小数为分数方法同上式）
注：并不是每一个无穷数列都有极限．a
2．函数极限；
（1）当自变量x无限趋近于常数x0（但不等于x0）时，如果函数f（x）无限趋进于一个常数a，就是说当x趋近于x0时，函数f（x）的极限为a．记作a或当x→x0时，f（x）→a．
注：当x→x0时，f（x）是否存在极限与f（x）在x0处是否定义无关，因为x→x0并不要求x＝x0．（当然，f（x）在x0是否有定义也与f（x）在x0处是否存在极限无关．函数f（x）在x0有定义是存在的既不充分又不必要条件．）
如P（x）在x＝1处无定义，但存在，因为在x＝1处左右极限均等于零．
（2）函数极限的四则运算法则：
如果，那么
特别地，如果C是常数，那么
．
注：①各个函数的极限都应存在．
②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况．
（3）几个常用极限：
3．函数的连续性：
（1）如果函数f（x），g（x）在某一点x＝x0连续，那么函数f（x）±g（x），f（x），g（x），（g（x）≠0）在点 x＝x0处都连续．
（2）函数f（x）在点x＝x0处连续必须满足三个条件：
①函数f（x）在点x＝x0处有定义；②存在；③函数f（x）在点x＝x0处的极限值等于该点的函数值，即．f（x0）．
（3）函数f（x）在点x＝x0处不连续（间断）的判定：
如果函数f（x）在点x＝x0处有下列三种情况之一时，则称x0为函数f（x）的不连续点．
①f（x）在点x＝x0处没有定义，即f（x0）不存在；②不存在；③存在，但f（x0）．
47．已知函数，则（　　）
A．1 B． C．2 D．4
（多选）48．设f（x）在x0处可导，下列式子中与f′（x0）相等的是（　　）
A．
B．
C．
D．
49．设函数f（x）满足2，则f'（x0）＝（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
50．设函数f（x）＝aex﹣2x2，若对任意x0∈（0，1），皆有成立，则实数a的取值范围是 　 ．
（多选）51．对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）＝kx+b（k，b为常数）对任给的正数m，
存在相应的x0∈D使得当x∈D且x＞x0时，总有，则称直线l：y＝kx+b为曲线y＝f（x）和y＝g（x）的“分渐近线”．下列定义域均为D＝{x|x＞1}的四组函数中，曲线y＝f（x）和y＝g（x）存在“分渐近线”的是（　　）
A．f（x）＝x2，g（x）
B．f（x）＝10﹣x+2，g（x）
C．f（x），g（x）
D．f（x），g（x）＝2（x﹣1﹣e﹣x）
52．在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式型或型极限的一种重要方法，其含义为：若函数f（x）和g（x）满足下列条件：
①且（或，）；
②在点a的附近区域内两者都可导，且g′（x）≠0；
③（A可为实数，也可为±∞）．
则．
（1）用洛必达法则求；
（2）函数（n≥2，n∈N*），判断并说明f（x）的零点个数；
（3）已知g（2x）＝g（x） cosx，g（0）＝1，，求g（x）的解析式．
参考公式：，．
53．函数极限是现代数学中非常重要的概念，函数f（x）在x＝x0处的极限定义如下： ε＞0，存在正数δ，当0＜|x﹣x0|＜δ时，均有|f（x）﹣A|＜ε，则称f（x）在x＝x0处的极限为A，记为limf（x）＝A，例如：f（x）＝2x在x＝1处的极限为2，理由是： ε＞0，存在正数，当0＜|x﹣1|＜δ时，均有，所以lim（2x）＝2．已知函数g（x）＝a（2e﹣x），，（a＞0，e为自然对数的底数）．
（1）证明：g（x）在x＝e处的极限为ae；
（2）若，h（x1）＝h（x2），x1＜x2，求的最大值；
（3）若，用函数极限的定义证明：．
54． ．
55．我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当x→0时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则 ．第5章第1节 导数的概念及其意义
题型1 变化的快慢与变化率 题型2 平均变化率
题型3 瞬时变化率 题型4 变化率的极限与导数的概念
题型5 含Δx表达式的极限计算与导数的关系 题型6 导数与切线的斜率
题型7 函数图象趋势与导数大小的关系 题型8 极限及其运算
▉题型1 变化的快慢与变化率
【知识点的认识】
1、平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即．
2、瞬时变化率：
变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：．当△x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某一点的变化率．
3、导数的概念：
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即
f′（x0）
1．如果质点A运动的位移S（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为，那么该质点在t＝3秒时的瞬时速度为（　　）（单位：米/秒）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：，
所以．
故选：D．
2．一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为s＝t2+2t，设其在t∈[2，3]内的平均速度为v1，在t＝3时的瞬时速度为v2，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：根据平均速度定义可知，
在t∈[2，3]内的平均速度为；
在t＝3时的瞬时速度为；
所以．
故选：B．
3．物体甲、乙在时间0到t1范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
C．在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
【答案】C
【解答】解：在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为，故AB错误；
在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为，
因为s2﹣s0＞s1﹣s0，t1﹣t0＞0，所以，
则在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度，故C正确，D错误．
故选：C．
4．某品牌汽车在启动后的行驶路程s（单位：米）关于时间t（单位：秒）的关系满足：s＝2.75t2，t∈[0，20]，则第5秒时汽车的瞬时速度为 　27.5米/秒　 ．
【答案】27.5米/秒．
【解答】解：由导数的实际意义可知，唯一关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度，
则s'（5）为第5秒时汽车的瞬时速度，
因为s'＝5.5t，
所以s'（5）＝5.5×5＝27.5．
故答案为：27.5米/秒．
5．某物体运动ts后，其位移（单位：m）为．在2≤t≤4这段时间里，该物体的平均速度为（　　）
A．5m/s B．6m/s C．8m/s D．10m/s
【答案】A
【解答】解：在2≤t≤4这段时间里，位移（单位：m）为．
该物体的平均速度为．
故选：A．
▉题型2 平均变化率
【知识点的认识】
平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即．
6．已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣3，则f（x）从1到1+Δx的平均变化率为（　　）
A．Δx+3 B．2Δx﹣1 C．Δx D．（Δx）2﹣Δx
【答案】C
【解答】解：函数f（x）＝x2﹣2x﹣3，
则f（x）从1到1+Δx的平均变化率．
故选：C．
7．函数y＝x2在x0到x0+△x之间的平均变化率为k1，在x0﹣△x到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为（　　）
A．k1＞k2 B．k1＜k2 C．k1＝k2 D．不确定
【答案】A
【解答】解：k12x0+△x，k22x0﹣△x．
因为k1﹣k2＝2Δx＞0，所以k1＞k2．
故选：A．
8．若，则等于（　　）
A．2k B．k
C． D．以上都不是
【答案】A
【解答】解：因为f′（x0）＝k，
所以22f′（x0）＝2k．
故选：A．
9．函数在区间[1，16]上的平均变化率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：根据题意可知，．
故选：B．
10．端午节前，小鲁购进了一批粽子进行销售，第一天销售了256个，第二、三天的销售量持续走高，第三天的销售量达到400个，则第二、三天销售量的平均增长率为　25　 %．
【答案】25．
【解答】解：设第二、三天销售量的平均增长率为x，
因为第一天销售了256个，第二、三天的销售量持续走高，第三天的销售量达到400个，
则256（1+x）2＝400，
得，
得（舍去负根），
得．
故答案为：25．
11．函数f（x）＝x2﹣1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为　2　 ．
【答案】2
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x2﹣1在区间[1，m]上的平均变化率为m+1，
则有m+1＝3，解可得：m＝2，
故答案为：2．
▉题型3 瞬时变化率
【知识点的认识】
1、平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即．
2、瞬时变化率：
变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：．当△x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某一点的变化率．
12．某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）与时间t（单位：s）之间的关系为，则t＝8s时，弹簧振子的瞬时速度为（　　）
A．﹣3πmm/s B．0mm/s C．3πmm/s D．12mm/s
【答案】C
【解答】解：由位移y是关于时间t的函数，满足，
对函数求导可得，
则该弹簧振子在t＝8s时的瞬时速度是y′|t＝8＝3πcos2π＝3π．
故选：C．
13．已知某物体在运动过程中，其位移S（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系式S（t）＝sint﹣2cost+t+1，则该物体在时的瞬时速度为（　　）
A．3m/s B．2m/s C． D．1m/s
【答案】A
【解答】解：因为S（t）＝sint﹣2cost+t+1，所以S′（t）＝cost+2sint+1，
所以，
所以该物体在时的瞬时速度为3m/s．
故选：A．
14．李师傅饮酒后，其血液中的乙醇含量y（单位：mg/mL）与酒后代谢时间x（单位：h）的函数关系满足y＝0.8×0.6x+1，则当x＝1时，李师傅血液中的乙醇含量的瞬时变化率的（　　）
A．0.8×0.62×ln0.6 B．0.8×0.62
C．0.8×0.6×ln0.6 D．
【答案】A
【解答】解：根据题意可知，y＝0.8×0.6x+1，则y′＝0.8×0.6x+1ln0.6，
则当x＝1时，瞬时变化率的数值为0.8×0.62ln0.6．
故选：A．
（多选）15．已知某物体运动的位移S（单位：m）与时间t（单位：s）的函数关系为，则下列说法正确的是（　　）
A．该物体在2s到4s这段时间内的平均速度为3m/s
B．该物体在t＝3s这个时刻的瞬时速度为3m/s
C．该物体在0s到8s这段时间内的平均速度为1m/s
D．该物体在t＝5s这个时刻的瞬时速度为8m/s
【答案】ABC
【解答】解：当t∈[0，4]时，，则S（4）＝8，S（2）＝2，所以平均速度m/s，A对；
当t∈[0，4]时，S′（t）＝t，则S′（3）＝3，所以物体在t＝3s这个时刻的瞬时速度为3m/s，B对；
该物体在0s到8s这段时间内的平均速度为m/s，C对；
由t∈（4，8]时，S（t）＝8，则S′（t）＝0，故S′（5）＝0，D错．
故选：ABC．
16．日常生活中的饮用水是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用（单位；元）为，则净化到纯净度为99%左右时净化费用的变化率大约是净化到纯净度为90%左右时净化费用变化率的（　　）
A．10倍 B．25倍 C．50倍 D．100倍
【答案】D
【解答】解：，
则净化所需费用的瞬时变化率为，
所以，，
故，
所以净化到纯净度为99%左右时净化费用的变化率大约是净化到纯净度为90%左右时净化费用变化率的100倍．
故选：D．
17．烧水时，水温随着时间的推移而变化．假设水的初始温度为20℃，加热后的温度函数T（t）＝100﹣ke﹣0.1t（k是常数，t表示加热的时间，单位：min），加热到第10min时，水温的瞬时变化率是 　　 ℃/min．
【答案】．
【解答】解：因为水的初始温度为20℃，所以T（0）＝100﹣k＝20，解得k＝80，所以T′（t）＝8e﹣0.1t，
则，所以加热到第10min时，水温的瞬时变化率是．
故答案为：．
▉题型4 变化率的极限与导数的概念
【知识点的认识】
导数的概念：
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即
f′（x0）
18．若，则f′（2）＝（　　）
A．12 B．6 C．3 D．﹣3
【答案】C
【解答】解：因为，
所以f′（2）3．
故选：C．
19．若函数f（x）＝（1﹣3x）5，则（　　）
A．80 B．﹣80 C．240 D．﹣240
【答案】D
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝（1﹣3x）5，有f（1）＝﹣32，
其导数f′（x）＝﹣15（1﹣3x）4，
所以f′（1）＝﹣15×（﹣2）4＝﹣240．
故选：D．
20．已知，，则sinx0＝（　　）
A． B． C．1 D．0
【答案】D
【解答】解：根据题意，设f（x）＝sinx，f′（x）＝cosx，
若，则有f′（x0）＝cosx0＝1，
又由，则x0＝0，
故sinx0＝sin0＝0．
故选：D．
21．已知函数f（x）＝x2+ax（a∈R），若，则a＝ 　4　 ．
【答案】4．
【解答】解：求导得f′（x）＝2x+a，
由，得f′（1）＝6，因此2+a＝6，
所以a＝4．
故答案为：4．
22．若，则f′（1）＝ 　﹣9　 ．
【答案】﹣9．
【解答】解：由导数的定义可知3，
所以f′（1）＝﹣9．
故答案为：﹣9．
23．已知函数f（x）＝2x3，则　6　 ．
【答案】6．
【解答】解：∵f（x）＝2x3，
∴f′（x）＝6x2，∴f′（1）＝6，
则f′（1）＝6．
故答案为：6．
（多选）24．已知f（x），g（x）在R上连续且可导，且f'（x0）≠0，下列关于导数与极限的说法中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解答】解：A：f′（x0），故A错误；
B：f′（t），故B正确；
C：根据极限与导数的定义可判断C正确；
D：，故D正确．
故选：BCD．
25．定义：设二元函数z＝f（x，y）在点（x0，y0）的附近有定义，当y固定在y0而x在x0处有改变量Δx时，相应的二元函数z＝f（x，y）有改变量Δz＝f（x0+Δx，y0）﹣f（x0，y0），如果存在，那么称此极限为二元函数z＝f（x，y）在点（x0，y0）处对x的偏导数，记作fx（x0，y0）．若z＝f（x，y）在区域D内每一个点（x，y）对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于x，y的二元函数，它就被称为二元函数z＝f（x，y）对自变量x的偏导函数，记作fx（x，y）．已知F（x，y）＝x2+y2﹣xy，若F（x，y）＝1，则Fx（x，y）+Fy（x，y）的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，2] B．[﹣2，2] C．（0，2] D．[2，+∞）
【答案】B
【解答】解：依题意，
，
同理可求得Fy（x，y）＝2y﹣x，所以Fx（x，y）+Fy（x，y）＝x+y，设z＝x+y，
则y＝﹣x+z，由F（x，y）＝x2+y2﹣xy＝1，
得x2+（﹣x+z）2﹣x（﹣x+z）﹣1＝0，
3x2﹣3zx+z2﹣1＝0，此方程有解，
所以Δ＝9z2﹣12（z2﹣1）＝﹣3z2+12≥0，
即z2≤4，﹣2≤z≤2．
故选：B．
▉题型5 含Δx表达式的极限计算与导数的关系
【知识点的认识】
导数的概念：
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即
f′（x0）
26．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且，则f′（2）＝（　　）
A．2 B．1 C．4 D．8
【答案】C
【解答】解：因为，所以，即，
所以f′（2）＝4．
故选：C．
27．已知函数，则 　8　 ．
【答案】8．
【解答】解：由题意可知，，
所以．
故答案为：8．
28． 　　 ．
【答案】．
【解答】解：设函数f（x）＝lnx，则；
故f′（4）．
故答案为：．
29．设函数f（x）满足f′（x0）＝1，则　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为，
所以．
故答案为：．
▉题型6 导数与切线的斜率
【知识点的认识】
导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）．
30．已知曲线f（x）＝x+alnx在点（1，1）处的切线与直线3x﹣y+1＝0垂直，则a的值为（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【解答】解：f（x）＝x+alnx的导数为f′（x）＝1，可得曲线f（x）＝x+alnx在点（1，1）的处的切线的斜率为1+a，
由切线与直线3x﹣y+1＝0垂直，
可得3 （1+a）＝﹣1，
解得a．
故选：D．
31．已知曲线y＝e2ax在点（0，1）处的切线与以（1，2）为方向向量的直线垂直，则a＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：由y＝e2ax，得y′＝2ae2ax，则y′|x＝0＝2a，
由题意可得，曲线y＝e2ax在点（0，1）处的切线的斜率为k，
即2a，可得a．
故答案为：．
32．已知函数的图象在点（1，f（1））处的切线与直线9x+4y﹣1＝0垂直，则正实数m的值为（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【解答】解：由，
得，
则，
已知直线9x+4y﹣1＝0的斜率为，可得，
整理得4m2﹣m﹣14＝0，解得m＝2（m＞0），
故正实数m的值为2．
故选：D．
33．已知0＜x1＜x2＜x3＜3π，函数f（x）＝cosx的图象在点（xi，cosxi）（i＝1，2，3）处的切线均经过坐标原点O，则（　　）
A．x1tanx1＜x2tanx2 B．x1tanx1＞x2tanx2
C． D．
【答案】D
【解答】解：对于AB，由题意知f'（x）＝﹣sinx则曲线在点（xi，cosxi）（i＝1，2，3）处的切线的斜率ki＝﹣sinxi，
，即xitanxi＝﹣1，故A，B错误；对于CD，作函数y＝tanx与的图象如图，
设交点分别为A（x1，tanx1），B（x2，tanx2），C（x3，tanx3），
过点B作x轴的平行线与y＝tanx（0＜x＜3π）的图象交于D，E两点，
则D（x2﹣π，tanx2），E（x2+π，tanx2），
由的函数图象可知tanx2﹣tanx1＞tanx3﹣tanx2，
即，所以，故C错误，D正确．
故选：D．
34．已知直线l与曲线f（x）＝ex+sinx在点（0，f（0））处的切线垂直，则直线l的斜率为（　　）
A．﹣1 B．1 C． D．2
【答案】C
【解答】解：由函数f（x）＝ex+sinx，可得f′（x）＝ex+cosx，
则f′（0）＝2，所以直线l的斜率为．
故选：C．
35．已知曲线上一点，则曲线C在点P处的切线的倾斜角为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．120°
【答案】B
【解答】解：y＝f（x），
则f'（x）＝x，
故f'（1）＝1，
倾斜角的范围为[0，π），
曲线C在点P处的切线的倾斜角为45°．
故选：B．
36．曲线y＝xex﹣x在点P处切线的斜率为﹣1，则P的坐标为（　　）
A．（﹣1，﹣1） B． C．（1，e﹣1） D．（1，2e﹣1）
【答案】B
【解答】解：由y＝xex﹣x可得：y′＝（x+1）ex﹣1，
因为曲线y＝xex﹣x在点P处切线的斜率为﹣1，
故令y′＝﹣1，则（x+1）ex＝0，故x＝﹣1，
此时，即P的坐标为．
故选：B．
37．设f（x）的导函数为f′（x），曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线3x﹣2y﹣3＝0垂直，则f′（2）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：直线3x﹣2y﹣3＝0的斜率为，
所以与直线3x﹣2y﹣3＝0垂直的直线斜率为：，
所以曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为，所以．
故选：C．
38．曲线的图像上有一动点，则在此动点处切线的斜率的取值范围为 　[﹣1，+∞）　 ．
【答案】[﹣1，+∞）．
【解答】解：因为曲线，
所以f′（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1≥﹣1，（当x＝1时，等号成立），
故在此动点处切线的斜率的取值范围为[﹣1，+∞）．
故答案为：[﹣1，+∞）．
39．曲线的切线斜率的最小值为　﹣1　 ．
【答案】﹣1．
【解答】解：y′＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1≥﹣1，
所以该曲线的切线斜率的最小值为﹣1．
故答案为：﹣1．
40．我们将含参数的一类函数构成的集合称为函数簇，记为Ω．例如：Ω＝{fk（x）|fk（x）＝kx，k为参数}是一个函数簇．若函数簇Ω中的每一个函数都存在极小值点x0，且当参数k变化时，由所有的点（x0，f（x0））构成一条曲线y＝g（x），则称函数簇Ω存在包络函数g（x）．已知函数簇为参数}，若“k∈M”是“Ω存在包络函数g（x）”的充要条件，则M＝ 　（﹣∞，0）∪（e，+∞）　 ；函数g（x）的表达式为 　，x∈（﹣∞，0）∪（1，+∞）　 ．
【答案】（﹣∞，0）∪（e，+∞）；，x∈（﹣∞，0）∪（1，+∞）．
【解答】解：由求导得：，
下面在同一个坐标系中作出函数y＝ex与y＝kx的图象，如下图，
当k＜0时，函数y＝ex与y＝kx的图象有一个交点横坐标可设x0，
当x＜x0时，，则在（﹣∞，x0）单调递减，
当x＞x0时，，则在（x0，+∞）单调递增，
此时函数在x0处取到极小值，且x0＜0，
假设函数y＝ex在点x＝m处的切线y﹣em＝em（x﹣m）过原点得：﹣em＝em（﹣m） m＝1，
即过原点的直线y＝ex与曲线y＝ex相切，且切点为（1，e），
所以当k＝e时，可知，此时函数单调递增，无极小值点，
则当k＞e时，函数y＝ex与y＝kx的图象有两个交点横坐标可设x1，x0且x1＜x0，如下图，
当x＜x1时，，则在（﹣∞，x1）单调递增，
当x1＜x＜x0时，，则在（x1，x0）单调递减，
当x＞x0时，，则在（x0，+∞）单调递增，
此时函数在x0处取到极小值，且x0＞1，
综上，k∈（﹣∞，0）∪（e，+∞）时，函数簇Q中的每一个函数都存在极小值点x0，且为充要条件，
此时，
由所有的点（x0，f（x0））构成的曲线y＝g（x）满足：
代入，
可得，且x0＜0或x0＞1，
所以函数g（x）的表达式为，x∈（﹣∞，0）∪（1，+∞）．
故答案为：（﹣∞，0）∪（e，+∞）；，x∈（﹣∞，0）∪（1，+∞）．
41．若函数f（x）＝（lnx）2+ax2+x3在点（2，f（2）），（4，f（4））处的切线互相平行，则a＝　﹣9　 ．
【答案】﹣9．
【解答】解：由题意，，所以f′（2）＝ln2+4a+12，
，
由于f（x）在点（2，f（2）），（4，f（4））处的切线互相平行，所以f′（2）＝f′（4），
即ln2+4a+12＝ln2+8a+48，即4a＝﹣36，解得a＝﹣9，检验符合．
故答案为：﹣9．
42．设函数y＝f（x）图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别为KA，KB，规定：（|AB|为线段AB的长度）叫做曲线y＝f（x）在点A与点B间的“弯曲度”．
①存在函数，使得图象上任意不同两点间的“弯曲度”是一个常数；
②抛物线y＝x2上存在不同的A，B两点，使得φ（A，B）＞2；
③A，B是函数y＝ex图象上任意不同的两点，则φ（A，B）≤1．
上述说法中所有正确结论的序号是　①③　 ．
【答案】①③．
【解答】解：对于①，取f（x）＝x，则f′（x）＝1，因A（x1，x1），B（x2，x2），有KA＝KB＝1，
所以此时φ（A，B）＝0为常数，命题①正确；
对于②，因为f（x）＝x2，所以f′（x）＝2x，又因为A（x1，），B（x2，），
φ（A，B），
又0，则2，即φ（A，B）≤2，命题②错误；
对于③，f（x）＝ex，则f′（x）＝ex，因A（x1，），B（x2，），且x1≠x2，
则φ（A，B）1，所以φ（A，B）＜1，命题③正确．
故答案为：①③．
▉题型7 函数图象趋势与导数大小的关系
【知识点的认识】
导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）．
43．已知函数f（x）的图象如图所示，则其导函数f′（x）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：根据题意，由函数的图象，f（x）在R上为增函数，
且函数在x＝0处切线的斜率为0，
故f′（x）≥0在R上恒成立，且f′（0）＝0，
分析选项：B符合．
故选：B．
44．已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则f（x）的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：由导函数图象：
，
可知原函数应是先增后减再增的，故在B、C中选择，
随着x的增大，导函数越来越大，故原函数增长越来越快，应选C．
故选：C．
45．已知函数f（x）的图象如图所示，f'（x）是f（x）的导函数，则下列数值排序正确的是（　　）
A．0＜f'（4）＜f（4）﹣f（3）＜f'（3）
B．0＜f'（3）＜f'（4）＜f（4）﹣f（3）
C．0＜f（4）﹣f（3）＜f'（4）＜f'（3）
D．0＜f'（4）＜f'（3）＜f（4）﹣f（3）
【答案】A
【解答】解：由图形可知，在点A处的切线斜率大于割线AB的斜率，割线AB的斜率大于在点B处的斜率，且都大于零，
即，
则0＜f′（4）＜f（4）﹣f（3）＜f′（3）．
故选：A．
（多选）46．如图是导函数y＝f′（x）的图象，则下列说法正确的是（　　）
A．（﹣1，3）为函数y＝f（x）的单调递增区间
B．（0，3）为函数y＝f（x）的单调递减区间
C．函数y＝f（x）在x＝3处取得极大值
D．函数y＝f（x）在x＝5处取得极小值
【答案】ACD
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，B，当﹣1＜x＜3 时，f′（x）＞0，故（﹣1，3）为函数y＝f（x）的单调递增区间，故A正确，B错误；
对于C，当﹣1＜x＜3时，f′（x）＞0，当3＜x＜5时，f′（x）＜0，故x＝3是函数的极大值点，故C正确；
对于D，当3＜x＜5时，f′（x）＜0，当x＞5时，f′（x）＞0，故x＝5是函数的极小值点，故D正确．
故选：ACD．
▉题型8 极限及其运算
【知识点的认识】
1．数列极限
（1）数列极限的表示方法：
（2）几个常用极限：
③对于任意实常数，
当|a|＜1时，an＝0，
当|a|＝1时，若a＝1，则an＝1；若a＝﹣1，则an＝（﹣1）n不存在
当|a|＞1时，an＝不存在．
（3）数列极限的四则运算法则：
如果，那么
特别地，如果C是常数，那么．
（4）数列极限的应用：
求无穷数列的各项和，特别地，当|q|＜1时，无穷等比数列的各项和为S（|q|＜1）．
（化循环小数为分数方法同上式）
注：并不是每一个无穷数列都有极限．a
2．函数极限；
（1）当自变量x无限趋近于常数x0（但不等于x0）时，如果函数f（x）无限趋进于一个常数a，就是说当x趋近于x0时，函数f（x）的极限为a．记作a或当x→x0时，f（x）→a．
注：当x→x0时，f（x）是否存在极限与f（x）在x0处是否定义无关，因为x→x0并不要求x＝x0．（当然，f（x）在x0是否有定义也与f（x）在x0处是否存在极限无关．函数f（x）在x0有定义是存在的既不充分又不必要条件．）
如P（x）在x＝1处无定义，但存在，因为在x＝1处左右极限均等于零．
（2）函数极限的四则运算法则：
如果，那么
特别地，如果C是常数，那么
．
注：①各个函数的极限都应存在．
②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况．
（3）几个常用极限：
3．函数的连续性：
（1）如果函数f（x），g（x）在某一点x＝x0连续，那么函数f（x）±g（x），f（x），g（x），（g（x）≠0）在点 x＝x0处都连续．
（2）函数f（x）在点x＝x0处连续必须满足三个条件：
①函数f（x）在点x＝x0处有定义；②存在；③函数f（x）在点x＝x0处的极限值等于该点的函数值，即．f（x0）．
（3）函数f（x）在点x＝x0处不连续（间断）的判定：
如果函数f（x）在点x＝x0处有下列三种情况之一时，则称x0为函数f（x）的不连续点．
①f（x）在点x＝x0处没有定义，即f（x0）不存在；②不存在；③存在，但f（x0）．
47．已知函数，则（　　）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】A
【解答】解：f'（1），
又由，则f′（1）＝1．
故选：A．
（多选）48．设f（x）在x0处可导，下列式子中与f′（x0）相等的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解答】解：对于A，f′（x0），故A正确；
对于B，22f′（x0），故B错误；
对于C，f′（x0），故C正确；
对于D，33，故D错误．
故选：AC．
49．设函数f（x）满足2，则f'（x0）＝（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【答案】A
【解答】解：因为f′（x0）
，
故选：A．
50．设函数f（x）＝aex﹣2x2，若对任意x0∈（0，1），皆有成立，则实数a的取值范围是 　（，+∞）　 ．
【答案】（，+∞）．
【解答】解：因为，
设F（x）＝f（x）﹣x，则F′（x0）＞0，
又因为函数f（x）＝aex﹣2x2，且对任意x0∈（0，1），皆有成立，
所以F（x）＝aex﹣2x2﹣x，x∈（0，1），且F′（x）＝aex﹣4x﹣1＞0，所以a；
设g（x），x∈（0，1），
则g′（x），
令g′（x）＝0，解得x，所以x∈（0，）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
x∈（，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以g（x）的最大值为g（），
所以实数a的取值范围是（，+∞）．
故答案为：（，+∞）．
（多选）51．对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）＝kx+b（k，b为常数）对任给的正数m，
存在相应的x0∈D使得当x∈D且x＞x0时，总有，则称直线l：y＝kx+b为曲线y＝f（x）和y＝g（x）的“分渐近线”．下列定义域均为D＝{x|x＞1}的四组函数中，曲线y＝f（x）和y＝g（x）存在“分渐近线”的是（　　）
A．f（x）＝x2，g（x）
B．f（x）＝10﹣x+2，g（x）
C．f（x），g（x）
D．f（x），g（x）＝2（x﹣1﹣e﹣x）
【答案】BD
【解答】解：f（x）和g（x）存在分渐近线的充要条件是x→∞时，f（x）﹣g（x）→0．
f（x）＝x2，g（x），当x＞1时便不符合，所以A不存在；
对于B，f（x）＝10﹣x+2，g（x）肯定存在分渐近线，因为当时，f（x）﹣g（x）→0；
对于C，f（x），g（x），，
设λ（x）＝x﹣lnx，0，且lnx＜x，
所以当x→∞时x﹣lnx越来愈大，从而f（x）﹣g（x）会越来越小，不会趋近于0，
所以不存在分渐近线；
对于D，f（x），g（x）＝2（x﹣1﹣e﹣x），当x→+∞时，，
故选：BD．
52．在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式型或型极限的一种重要方法，其含义为：若函数f（x）和g（x）满足下列条件：
①且（或，）；
②在点a的附近区域内两者都可导，且g′（x）≠0；
③（A可为实数，也可为±∞）．
则．
（1）用洛必达法则求；
（2）函数（n≥2，n∈N*），判断并说明f（x）的零点个数；
（3）已知g（2x）＝g（x） cosx，g（0）＝1，，求g（x）的解析式．
参考公式：，．
【答案】（1）1；
（2）函数f（x）仅在（﹣∞，0）上存在1个零点；
（3）g（x）．
【解答】解：（1）．
（2）因为，所以，
所以，令h（x），则h'（x）＝[]'，
当x＞0时，h'（x），函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，
当x＜0时，h'（x），函数h（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
而，f（0）＝1，所以h（0）＝1＞0，
所以当x＞0时，h（x），
所以函数f（x）仅在（﹣∞，0）上存在1个零点．
（3）因为g（2x）＝g（x） cosx，所以，
所以，，…，，
所以将各式相乘得：，
所以两侧同时运算极限得：，
即，
令，原式可化为，又因为g（0）＝1，
所以由（1）得：，由题意函数g（x）的定义域为（﹣π，π），
综上，g（x）．
53．函数极限是现代数学中非常重要的概念，函数f（x）在x＝x0处的极限定义如下： ε＞0，存在正数δ，当0＜|x﹣x0|＜δ时，均有|f（x）﹣A|＜ε，则称f（x）在x＝x0处的极限为A，记为limf（x）＝A，例如：f（x）＝2x在x＝1处的极限为2，理由是： ε＞0，存在正数，当0＜|x﹣1|＜δ时，均有，所以lim（2x）＝2．已知函数g（x）＝a（2e﹣x），，（a＞0，e为自然对数的底数）．
（1）证明：g（x）在x＝e处的极限为ae；
（2）若，h（x1）＝h（x2），x1＜x2，求的最大值；
（3）若，用函数极限的定义证明：．
【答案】（1）证明见解析．
（2）．
（3）证明见解析．
【解答】解：（1）要使得|g（x）﹣ae|＜ε，即|a（2e﹣x）﹣ae|＜ε，
即|a（e﹣x）|＜ε，即，
所以 ε＞0，存在整数，当0＜|x﹣e|＜δ时，
均有，
所以；
（2）当0＜x≤e时，，则，
所以函数h（x）在（0，e]上单调递增，
当x＞e时，单调递减，
因为h（x1）＝h（x2），x1＜x2，所以0＜x1＜e＜x2，
令h（x1）＝h（x2）＝m，
因为，x→0时，h（x）→﹣∞，x→+∞时，h（x）→﹣∞，
所以，
由h（x1）＝m，得，得lnx1＝mx1，得，得，
由h（x2）＝m，得，
所以，
令p（m）＝em（2e﹣e2m），，
则p′（m）＝（2﹣e﹣em）em+1，
令p′（m）＝0，得，
当时，p′（m）＞0，当时，p′（m）＜0，
所以函数p（m）在上单调递增，在上单调递减，
所以，
即的最大值为；
（3）因为，
所以 ε1＞0，存在正数δ1，当0＜|x﹣e|＜δ1时，均有|f（x）﹣A|＜ε1；
由（1）知，
即 ε2＞0，存在正数δ2，当0＜|x﹣e|＜δ2时，均有|f（x）﹣ae|＜ε2，
对任意正数ε，取，，
ε＞0，当0＜|x﹣e|＜δ时，
有|f（x）+g（x）﹣（A+ae）|＝|（f（x）﹣A）+（g（x）﹣ae）|
≤|f（x）﹣A|+|g（x）﹣ae|＝ε1+ε2＝ε，
所以．
54．　　 ．
【答案】．
【解答】解：，表示函数y＝lnx在x＝4处的导数，
∵y′，∴．
故答案为：．
55．我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当x→0时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则　　 ．
【答案】．
【解答】解：应用洛必达法则，计算（lnx）．
故答案为：．

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