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第5章第2节 导数的运算
题型1 基本初等函数的导数 题型2 导数的加法与减法法则
题型3 导数的乘法与除法法则 题型4 简单复合函数的导数
题型5 利用导数研究曲线上某点切线方程 题型6 利用导数求解曲线在某点上的切线方程
题型7 由函数的切线方程求解函数或参数 题型8 导数与曲线在某点上的法线
▉题型1 基本初等函数的导数
【知识点的认识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
1．已知函数f（x）＝cosx，则f′（）等于（　　）
A． B． C． D．
2．下列求导结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．（e2x）′＝e2x
3．已知函数y＝f（x）的定义域是R，其导函数f'（x）满足f'（x）＝f'（x+1），且有f（0）＝0，f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（22）+…+f（29）＝（　　）
A．1022 B．1024 C．2046 D．2048
4．已知函数f（x）＝sin2x﹣cos2x（x∈R），f′（x）是f（x）的导数，则以下结论中正确的是（　　）
A．函数是奇函数
B．函数f（x）与f'（x）的值域相同
C．函数f（x）的图象关于直线对称
D．函数f（x）在区间上单调递增
5．下列结论中正确的是（　　）
A．若，则
B．若y＝sin（2x），则y'＝2cos（2x）
C．若y＝ln（5x），则
D．若y＝e2x，则y'＝e2x
▉题型2 导数的加法与减法法则
【知识点的认识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
（多选）6．下列求导运算正确的有（　　）
A．（π10）′＝10π9
B．
C．[cos（4x﹣5）]′＝﹣4sin（4x﹣5）
D．（x3log2x）′＝3x2log2x+x2ln2
7．若函数f（x）在R上可导，f（x）＝2xf′（e）+lnx，则f′（e）＝　 ．
8．已知函数f（x）＝x3f′（1）﹣4lnx+2，则f（2）＝　 ．
▉题型3 导数的乘法与除法法则
【知识点的认识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）
⑦[logax）]′*（logae）（a＞0且a≠1）
⑧[lnx]′．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
9．若函数，则导函数f′（x）＝（　　）
A． B． C． D．
10．函数y的导数为（　　）
A．y′ B．y′
C．y′ D．y′
11．已知f（x）＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）（x﹣6）（x﹣7），则f′（4）＝ 　 ．
▉题型4 简单复合函数的导数
【知识点的认识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
12．已知函数g（x）＝ex+e﹣x，若f′（x+1）＝xg′（x）+g（x），x∈R，且f（1）＝1，若f（a2﹣1）+f（b2+3）＝2，则满足条件的点（a，b）在平面直角坐标系中构成的图象为（　　）
A．圆 B．双曲线 C．一个点 D．不存在
13．已知函数，则f′（2）＝ ．
14．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）＜x（f′（x）﹣1）（f′（x）为f（x）的导函数），且f（1）＝0，则（　　）
A．f（2）＜2 B．f（2）＞2 C．f（3）＜3 D．f（3）＞3
15．（　　）
A．e B．2e C．e2x D．
16．已知f（x）＝2xlnx﹣f′（1）x3，则f（1）＝ 　 ．
17．已知函数f（x）满足，则 ．
（多选）18．下列命题正确的是（　　）
A．
B．已知函数f（x）在R上可导，若f′（1）＝2，则
C．已知函数，若f′（x0）＝2，则x0＝1
D．设函数φ（x）的导函数为φ′（x），且，则φ′（1）＝1
19．求下列函数的导数：
（1）y＝x2025﹣log2025x；
（2）y＝sin2x+3x；
（3）．
20．函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，f（x）＝f（﹣x）+2x，且T（x）＝f′（1+x）为奇函数， 　 　 ．
▉题型5 利用导数研究曲线上某点切线方程
【知识点的认识】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
21．过坐标原点（0，0）且与曲线y＝ex相切的直线方程是 ．
22．若曲线y＝ex﹣a（a＞0）在x＝0处的切线也是曲线y＝ln（x+b）（b＞0）的切线，则a+b＝　 ．
23．已知函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y＝2x+1，则f（1）+f'（1）＝　 ．
24．已知曲线y＝x3﹣2x2+2x+1．
（1）求曲线在点P（0，1）处的切线方程；
（2）求曲线过点P（0，1）的切线方程．
25．若曲线y＝ex+m与y＝ln（x+n）+1有公共的切线，则n﹣m的最大值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
▉题型6 利用导数求解曲线在某点上的切线方程
【知识点的认识】
曲线在某点上的切线方程可以通过该点的导数值和坐标求得．
26．若曲线y＝ex+x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x+1）+a的切线，则a＝（　　）
A．0 B．ln2 C．1 D．e
27．函数f（x）＝ex（3x﹣2）在x＝0处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为　 ．
28．已知函数的图象在x＝1处的切线与直线x+3y﹣2＝0垂直，则a＝　 　 ．
29．函数f（x）＝3x+lnx在点P（x0，y0）处的切线斜率为4，则x0＝ ．
30．曲线y＝ex在A（x1，y1）处的切线与曲线y＝lnx+m相切于点B（x2，y2），若x1＜x2且，则实数m的值为 ．
31．已知函数．
（1）若y＝f（x）﹣ex在x＝1处的切线方程为y＝（2﹣e）x﹣1，求a，b的值；
（2）当a＝﹣4时， x1∈（0，6]，总存在x2∈[1，4]，使得g（x2）＜f（x1）成立，求b的取值范围；
（3）当a＝﹣4时，有三个不同零点，求b的取值范围．
32．已知函数f（x）＝﹣x2+3x，则函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（　　）
A．x+y﹣3＝0 B．x﹣y+1＝0 C．x+y﹣2＝0 D．x﹣y﹣1＝0
33．已知A（x1，y1），B（x2，y2）为曲线y＝ex上两个不同的点，曲线y＝ex在点A，B处的切线相交于点C（x0，y0），且这两条切线的斜率之积为1，则的最小值为（　　）
A． B． C．e D．
34．已知函数f（x）＝|lnx|图象的两条切线相互垂直，并分别交y轴于A，B两点，则|AB|＝（　　）
A．2 B．e C．3 D．e+1
35．将曲线y＝e2x（e为自然对数的底数）绕坐标原点顺时针旋转θ后第一次与x轴相切，则tanθ＝（　　）
A．e B．e2 C．2e D．2e2
36．已知P（x0，y0）是抛物线y2＝2px（p＞0）上的一点，过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得，在y2＝2px两边同时对x求导，得2yy'＝2p，则，所以过点P的切线的斜率，试用上述方法求出双曲线在处的切线方程为（　　）
A．2x﹣y＝0 B．
C． D．
▉题型7 由函数的切线方程求解函数或参数
【知识点的认识】
通过函数的切线方程可以求解函数的具体参数或确定函数的特定值．
37．已知直线li：y＝aix+bi（i＝1，2）是函数y＝ex﹣2与y＝lnx的两条公切线，式子的值为的是（　　）
A．a1 a2 B．a1+a2 C．b1 b2 D．b1+b2
38．已知函数f（x）＝ex+asinx﹣cosx在点（0，0）处的切线方程为y＝（2﹣lna）x，a∈R．
（1）求a的值；
（2）求函数的最小值．
39．若曲线y＝ln（x+2a）的一条切线为y＝ex﹣2b（e为自然对数的底数），其中a，b为正实数，则的取值范围是（　　）
A．[2，e） B．（e，4] C．[4，+∞） D．[e，+∞）
40．已知函数f（x）在点x＝2处的切线方程为2x+y﹣1＝0，则f'（2）+f（2）＝ ．
41．已知直线y＝kx（k≠0）与曲线y＝2x4﹣3x3相切，则k＝ ．
▉题型8 导数与曲线在某点上的法线
【知识点的认识】
曲线在某点上的法线方程可以通过该点的导数值求得，法线的斜率是切线斜率的负倒数．
42．与曲线在某点处的切线垂直，且过该点的直线称为曲线在某点处的法线，若曲线y＝x4的法线的纵截距存在，则其最小值为（　　）
A． B．1 C． D．
43．求曲线在点处的切线方程．第5章第2节 导数的运算
题型1 基本初等函数的导数 题型2 导数的加法与减法法则
题型3 导数的乘法与除法法则 题型4 简单复合函数的导数
题型5 利用导数研究曲线上某点切线方程 题型6 利用导数求解曲线在某点上的切线方程
题型7 由函数的切线方程求解函数或参数 题型8 导数与曲线在某点上的法线
▉题型1 基本初等函数的导数
【知识点的认识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
1．已知函数f（x）＝cosx，则f′（）等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵f（x）＝cosx，
∴f′（x）＝﹣sinx，
∴f′（）＝﹣sin
故选：C．
2．下列求导结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．（e2x）′＝e2x
【答案】C
【解答】解：对于选项A，，A错误；
对于选项B，，B错误；
对于选项C，，C正确；
对于选项D，（e2x）′＝2e2x，D错误．
故选：C．
3．已知函数y＝f（x）的定义域是R，其导函数f'（x）满足f'（x）＝f'（x+1），且有f（0）＝0，f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（22）+…+f（29）＝（　　）
A．1022 B．1024 C．2046 D．2048
【答案】C
【解答】解：导函数f'（x）满足f'（x）＝f'（x+1），
设f（x）＝ax+b，
f（0）＝0，f（1）＝2，
则，解得a＝2，b＝0，
故f（x）＝2x，
f（1）+f（2）+f（22）+...+f（29）＝2+22+23+...+210．
故选：C．
4．已知函数f（x）＝sin2x﹣cos2x（x∈R），f′（x）是f（x）的导数，则以下结论中正确的是（　　）
A．函数是奇函数
B．函数f（x）与f'（x）的值域相同
C．函数f（x）的图象关于直线对称
D．函数f（x）在区间上单调递增
【答案】D
【解答】解：由题意，f（x）＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，f'（x）＝2sin2x，
对A，为偶函数，故A错误；
对B，易知f（x）的值域为[﹣1，1]，f′（x）的值域为[﹣2，2]，故B错误；
对C，，故C错误；
对D，，
则，
故y＝cos2x单调递减，故f（x）在区间上单调递增，故D正确．
故选：D．
5．下列结论中正确的是（　　）
A．若，则
B．若y＝sin（2x），则y'＝2cos（2x）
C．若y＝ln（5x），则
D．若y＝e2x，则y'＝e2x
【答案】B
【解答】解：A：是常数，所以y'＝0，不正确；
B：y'＝cos（2x） （2x）'＝2cos2x，正确；
C：，不正确；
D：y'＝e2x （2x）'＝2e2x，不正确．
故选：B．
▉题型2 导数的加法与减法法则
【知识点的认识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
（多选）6．下列求导运算正确的有（　　）
A．（π10）′＝10π9
B．
C．[cos（4x﹣5）]′＝﹣4sin（4x﹣5）
D．（x3log2x）′＝3x2log2x+x2ln2
【答案】BC
【解答】解：对于A，因为常数的导数为0，所以（π10）′＝0，选项A错误；
对于B，（）′，选项B正确；
对于C，[cos（4x﹣5）]′＝﹣sin（4x﹣5） （4x﹣5）′＝﹣4sin（4x﹣5），选项C正确；
对于D，（x3log2x）′＝3x2log2x+x3 3x2log2x，选项D错误．
故选：BC．
7．若函数f（x）在R上可导，f（x）＝2xf′（e）+lnx，则f′（e）＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为f（x）＝2xf′（e）+lnx，
所以，
把x＝e代入得，
解得．
故答案为：．
8．已知函数f（x）＝x3f′（1）﹣4lnx+2，则f（2）＝　18﹣4ln2　 ．
【答案】18﹣4ln2．
【解答】解：由题意知，令x＝1，
得f′（1）＝3f′（1）﹣4，解得f′（1）＝2，
所以f（x）＝2x3﹣4lnx+2，
所以f（2）＝2×23﹣4ln2+2＝18﹣4ln2．
故答案为：18﹣4ln2．
▉题型3 导数的乘法与除法法则
【知识点的认识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）
⑦[logax）]′*（logae）（a＞0且a≠1）
⑧[lnx]′．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
9．若函数，则导函数f′（x）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：若函数，则导函数f′（x）．
故选：C．
10．函数y的导数为（　　）
A．y′ B．y′
C．y′ D．y′
【答案】B
【解答】解：∵，
∴
．
故选：B．
11．已知f（x）＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）（x﹣6）（x﹣7），则f′（4）＝ 　﹣36　 ．
【答案】﹣36．
【解答】解：因为f（x）＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）（x﹣6）（x﹣7）
＝（x2﹣8x+7）（x2﹣8x+12）（x2﹣8x+15）（x﹣4），
所以f′（x）＝[（x2﹣8x+7）（x2﹣8x+12）（x2﹣8x+15）]′（x﹣4）+[（x2﹣8x+7）（x2﹣8x+12）（x2﹣8x+15）]，
所以f′（4）＝（42﹣8×4+7）（42﹣8×4+12）（42﹣8×4+15）
＝﹣9×（﹣4）×（﹣1）＝﹣36．
故答案为：﹣36．
▉题型4 简单复合函数的导数
【知识点的认识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
12．已知函数g（x）＝ex+e﹣x，若f′（x+1）＝xg′（x）+g（x），x∈R，且f（1）＝1，若f（a2﹣1）+f（b2+3）＝2，则满足条件的点（a，b）在平面直角坐标系中构成的图象为（　　）
A．圆 B．双曲线 C．一个点 D．不存在
【答案】C
【解答】解：由题意函数g（x）＝ex+e﹣x，f′（x+1）＝xg′（x）+g（x），x∈R，
可得f′（x+1）＝xg′（x）+g（x）＝（xg（x））′，
所以f（x+1）＝xg（x）+c．
又f（1）＝1，所以f（1）＝0 g（0）+c＝1 c＝1．
所以f（x+1）＝xg（x）+1 f（x）＝（x﹣1）g（x﹣1）+1＝（x﹣1）（ex﹣1+e1﹣x）+1．
因为f（1+x）+f（1﹣x）＝x（ex+e﹣x）+1+（﹣x） （e﹣x+ex）+1＝2．
又f（a2﹣1）+f（b2+3）＝2，
所以a2﹣1+b2+3＝2 a2+b2＝0 a＝b＝0．
所以点（a，b）在平面直角坐标系中构成的图象为1个点．
故选：C．
13．已知函数，则f′（2）＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为函数，
所以，
令x＝1，可得，
解得f（1）＝3，
所以，
解得f′（1）＝4，
所以，
所以．
故答案为：．
14．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）＜x（f′（x）﹣1）（f′（x）为f（x）的导函数），且f（1）＝0，则（　　）
A．f（2）＜2 B．f（2）＞2 C．f（3）＜3 D．f（3）＞3
【答案】D
【解答】解：因为f（x）的定义域为（0，+∞），且f（x）＜x（f′（x）﹣1），即f（x）＝xf′（x）﹣x，
所以xf′（x）﹣f（x）﹣x＞0，
两边都除以x2，得0，
即0，所以函数g（x）lnx在定义域（0，+∞）上单调递增，
又因为g（1）ln1＝0，所以g（2）ln2＞0，即f（2）＞2ln2，选项A、B不能判断；
g（3）ln3＞0，即f（3）＞3ln3＞3，选项C错误、D正确．
故选：D．
15．（　　）
A．e B．2e C．e2x D．
【答案】D
【解答】解：∵等价于y＝e2x在x＝x0处的导数，且（e2x）′＝2e2x，
∴y＝e2x在x＝x0处的导数为2．
故选：D．
16．已知f（x）＝2xlnx﹣f′（1）x3，则f（1）＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为函数f（x）＝2xlnx﹣f′（1）x3，
所以f′（x）＝2（lnx+1）﹣3f′（1）x2，
令x＝1，可得f′（1）＝2（ln1+1）﹣3f′（1），
解得，
所以，
所以f（1）＝0．
故答案为：．
17．已知函数f（x）满足，则 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由f（x）＝f′（）cosx﹣sinx，得f′（x）＝﹣f′（）sinx﹣cosx，
所以f′（）＝﹣f′（）sincos，
所以f′（），
所以f′（）．
故答案为：．
（多选）18．下列命题正确的是（　　）
A．
B．已知函数f（x）在R上可导，若f′（1）＝2，则
C．已知函数，若f′（x0）＝2，则x0＝1
D．设函数φ（x）的导函数为φ′（x），且，则φ′（1）＝1
【答案】AC
【解答】解：A：，故A正确；
B：2f′（1）＝4，故B错误；
C：，则，
由f′（x0）＝2，得，即，解得x0＝1或（舍去），故C正确；
D：由，得φ′（x）＝x2﹣xφ′（1）﹣1，故φ′（1）＝12﹣φ′（1）﹣1＝﹣φ′（1），所以φ′（1）＝0，故D错误．
故选：AC．
19．求下列函数的导数：
（1）y＝x2025﹣log2025x；
（2）y＝sin2x+3x；
（3）．
【答案】（1）．
（2）2cos2x+3xln3．
（3）．
【解答】解：（1）函数定义域为x∈（0，+∞），根据求导法则及复合函数求导规则，
．
（2）函数定义域为x∈R，根据求导法则及复合函数求导规则，
y′＝（sin2x+3x）′＝（sin2x）′+（3x）′＝cos2x （2x）′+3xln3＝2cos2x+3xln3．
（3）函数定义域为x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），根据求导法则及复合函数求导规则，
．
20．函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，f（x）＝f（﹣x）+2x，且T（x）＝f′（1+x）为奇函数， 　﹣625　 ．
【答案】﹣625．
【解答】解：由f（x）＝f（﹣x）+2x，得f′（x）＝﹣f′（﹣x）+2，
∴f′（0）＝﹣f′（﹣0）+2，得f′（0）＝1，
又∵T（x）＝f′（1+x）为奇函数，∴f′（1+x）＝﹣f′（1﹣x），
因此f′（﹣x）＝﹣f′（2+x），故f′（2）＝﹣f′（0）＝﹣1，
∴f′（x）＝﹣f′（﹣x）+2＝﹣[﹣f′（x+2）]+2＝f′（x+2）+2，
可得f′（x+2）﹣f′（x）＝﹣2，
∴{f′（2n）}，n∈N*是首项为﹣1，公差为﹣2的等差数列，
∴，
故答案为：﹣625．
▉题型5 利用导数研究曲线上某点切线方程
【知识点的认识】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
21．过坐标原点（0，0）且与曲线y＝ex相切的直线方程是y＝ex ．
【答案】y＝ex
【解答】解：设切点坐标为（a，ea），
又切线过（0，0），得到切线的斜率k，
又f′（x）＝ex，把x＝a代入得：斜率k＝f′（a）＝ea，
则ea，由于ea＞0，则得到a＝1，
即切点坐标为（1，e），
所以切线方程为：y＝ex．
故答案为：y＝ex．
22．若曲线y＝ex﹣a（a＞0）在x＝0处的切线也是曲线y＝ln（x+b）（b＞0）的切线，则a+b＝　2　 ．
【答案】2．
【解答】解：因为y＝ex﹣a（a＞0）的导数为y′＝ex，
所以当x＝0时，则y′＝1，
所以曲线y＝ex﹣a（a＞0）在x＝0处的切线为y﹣（1﹣a）＝x，即y＝x+1﹣a，
因为y＝ln（x+b）的导数为，
又y＝x+1﹣a也是y＝ln（x+b）的切线，
令，可得x＝1﹣b，则y＝0，
即切点（1﹣b，0）在直线y＝x+1﹣a上，
所以1﹣b+1﹣a＝0，所以a+b＝2．
故答案为：2．
23．已知函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y＝2x+1，则f（1）+f'（1）＝　5　 ．
【答案】5．
【解答】解：由函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y＝2x+1，得f'（1）＝2，
将点M的坐标代入切线方程，可得f（1）＝2×1+1＝3，
因此，f（1）+f'（1）＝5．
故答案为：5．
24．已知曲线y＝x3﹣2x2+2x+1．
（1）求曲线在点P（0，1）处的切线方程；
（2）求曲线过点P（0，1）的切线方程．
【答案】（1）2x﹣y+1＝0；
（2）2x﹣y+1＝0和x﹣y+1＝0．
【解答】解：（1）由题意得y′＝3x2﹣4x+2，
则在点P（0，1）处的切线的斜率k＝y′|x＝0＝2，
所以曲线在点P（0，1）处的切线方程为y＝2x+1，即2x﹣y+1＝0．
（2）设曲线y＝x3﹣2x2+2x+1与过点P（0，1）的切线相切于点Q（x0，y0），
设切线的斜率为k，则由点斜式得直线方程为y﹣1＝k（x﹣0），
又因为切点为Q（x0，y0），
则，解得k＝1或k＝2，
则曲线过点P（0，1）处的切线方程为2x﹣y+1＝0和x﹣y+1＝0．
25．若曲线y＝ex+m与y＝ln（x+n）+1有公共的切线，则n﹣m的最大值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
【答案】D
【解答】解：因为y＝ex+m与y＝ln（x+n）+1的导数分别为y′＝ex+m与y′，
设直线l与y＝ex+m相切于，
所以切线l：，
直线l与y＝ln（x+n）+1相切于（x2，ln（x2+n）+1），
则切线l：，
所以，
则m﹣n+1＝（x2+n）ln（x2+n）﹣ln（x2+n）．
令t＝x2+n，f（t）＝tlnt﹣lnt＝（t﹣1）lnt（t＞0），
则在（0，+∞）单调递增，且f′（1）＝0，
所以当x∈（0，1）时，f′（t）＜0，f（t）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，f′（t）＞0，f（t）单调递增，
所以f（t）min＝f（1）＝0，于是有m﹣n+1≥0，
即n﹣m≤1．
故选：D．
▉题型6 利用导数求解曲线在某点上的切线方程
【知识点的认识】
曲线在某点上的切线方程可以通过该点的导数值和坐标求得．
26．若曲线y＝ex+x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x+1）+a的切线，则a＝（　　）
A．0 B．ln2 C．1 D．e
【答案】B
【解答】解：由y＝ex+x，得y'＝ex+1，，
故曲线y＝ex+x在（0，1）处的切线方程为y＝2x+1；
由y＝ln（x+1）+a，得，
设切线与曲线y＝ln（x+1）+a相切的切点为（x0，ln（x0+1）+a），
由两曲线有公切线得，解得，则切点为，
切线方程为，
根据两切线重合，所以a﹣ln2＝0，解得a＝ln2．
故选：B．
27．函数f（x）＝ex（3x﹣2）在x＝0处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为　2　 ．
【答案】2
【解答】解：由题意可得，f′（x）＝ex（3x﹣2）+3ex＝ex（3x+1），则f′（0）＝1，
又f（0）＝﹣2，所以f（x）在x＝0处的切线方程为y+2＝x，即y＝x﹣2，
令x＝0，得y＝﹣2；令y＝0，得x＝2，
则切线与坐标轴所围成的三角形的面积为．
故答案为：2．
28．已知函数的图象在x＝1处的切线与直线x+3y﹣2＝0垂直，则a＝　1　 ．
【答案】1．
【解答】解：因为，所以f′（x），
又函数的图象在x＝1处的切线与直线x+3y﹣2＝0垂直，
所以f′（1）＝1+2a＝3，所以a＝1．
故答案为：1．
29．函数f（x）＝3x+lnx在点P（x0，y0）处的切线斜率为4，则x0＝　1　 ．
【答案】1．
【解答】解：函数f（x）＝3x+lnx，则，
根据题意有，解得x0＝1．
故答案为：1．
30．曲线y＝ex在A（x1，y1）处的切线与曲线y＝lnx+m相切于点B（x2，y2），若x1＜x2且，则实数m的值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：函数y＝ex在A（x1，y1）处的切线斜率为，
则切线方程为，
函数y＝lnx+m在B（x2，y2）处的切线斜率为，
则切线方程为，即，
由题意有①，且②，
故，y2﹣y1，
从而，
整理得，
所以x1＝﹣1，即．
代入式②，得，即．
故答案为：．
31．已知函数．
（1）若y＝f（x）﹣ex在x＝1处的切线方程为y＝（2﹣e）x﹣1，求a，b的值；
（2）当a＝﹣4时， x1∈（0，6]，总存在x2∈[1，4]，使得g（x2）＜f（x1）成立，求b的取值范围；
（3）当a＝﹣4时，有三个不同零点，求b的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）根据题意可得，
则y′＝x+a﹣ex，所以y′|x＝1＝1+a﹣e，
因为y＝f（x）﹣ex在x＝1处的切线方程为y＝（2﹣e）x﹣1，
可得1+a﹣e＝2﹣e，解得a＝1，
将x＝1代入切线方程y＝（2﹣e）x﹣1，可得y＝1﹣e，
即，解得，所以；
（2）当a＝﹣4时，，
因为函数f（x）的图像象开口向上，对称轴为x＝4，
所以f（x）min＝f（4）＝﹣8﹣2b，
又因为，所以，
当1≤x＜3时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
当3＜x≤4时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
因为，可得，
所以，则，解得，
所以b的取值范围为．
（3）当a＝﹣4时，可得，
因为h（x）＝0有三个不同零点，所以有三个不相等实根，
即y＝b与的图象有三个交点，
设，
可得，
当0＜x＜1时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增；
当1＜x＜3时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减；
当x＞3时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，
又由，
且x→0时，φ（x）→﹣∞；x→+∞时，φ（x）→+∞，
所以，
所以实数b的取值范围为．
32．已知函数f（x）＝﹣x2+3x，则函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（　　）
A．x+y﹣3＝0 B．x﹣y+1＝0 C．x+y﹣2＝0 D．x﹣y﹣1＝0
【答案】B
【解答】解：因为f（x）＝﹣x2+3x，所以f′（x）＝﹣2x+3，
所以f（1）＝2，f′（1）＝1，
所以所求切线方程为y﹣2＝x﹣1，即为x﹣y+1＝0．
故选：B．
33．已知A（x1，y1），B（x2，y2）为曲线y＝ex上两个不同的点，曲线y＝ex在点A，B处的切线相交于点C（x0，y0），且这两条切线的斜率之积为1，则的最小值为（　　）
A． B． C．e D．
【答案】B
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
易知在A（x1，y1）处的切线方程，
在B（x2，y2）处的切线方程，
∵这两条切线的斜率之积为1，∴，
∵切线相交于点C（x0，y0），
∴联立解得，，
，
即，
当时取等，
∴的最小值为．
故选：B．
34．已知函数f（x）＝|lnx|图象的两条切线相互垂直，并分别交y轴于A，B两点，则|AB|＝（　　）
A．2 B．e C．3 D．e+1
【答案】A
【解答】解：因为f（x）＝|lnx|，
又y＝﹣lnx的导数为y′；y＝lnx的导数为y′，
设切点分别为（x1，﹣lnx1），（x2，lnx2），
则，所以x1x2＝1，
又切线分别为y+lnx1（x﹣x1），
y﹣lnx2（x﹣x2），
所以可得A（0，1﹣lnx1），B（0，lnx2﹣1），
所以|AB|＝|2﹣（lnx1+lnx2）|＝|2﹣ln（x1x2）|＝2．
故选：A．
35．将曲线y＝e2x（e为自然对数的底数）绕坐标原点顺时针旋转θ后第一次与x轴相切，则tanθ＝（　　）
A．e B．e2 C．2e D．2e2
【答案】C
【解答】解：设直线y＝kx与曲线y＝e2x相切，设切点为（x0，y0），
求导得y′＝2e2x，
则曲线y＝e2x在点（x0，y0）处切线的斜率为，
又y0，y0＝kx0，
解得，
所以k＝2e，
所以切点为，
将曲线y＝e2x（e为自然对数的底数） 绕坐标原点顺时针旋转θ后第一次与x轴相切，
则．
故选：C．
36．已知P（x0，y0）是抛物线y2＝2px（p＞0）上的一点，过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得，在y2＝2px两边同时对x求导，得2yy'＝2p，则，所以过点P的切线的斜率，试用上述方法求出双曲线在处的切线方程为（　　）
A．2x﹣y＝0 B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：由双曲线，得到y2＝2x2﹣2，
根据题意，两边同时对x求导得：2yy′＝4x，解得y′，
由，得到过P得切线的斜率k＝2，
则所求的切线方程为：y2（x），即2x﹣y0．
故选：B．
▉题型7 由函数的切线方程求解函数或参数
【知识点的认识】
通过函数的切线方程可以求解函数的具体参数或确定函数的特定值．
37．已知直线li：y＝aix+bi（i＝1，2）是函数y＝ex﹣2与y＝lnx的两条公切线，式子的值为的是（　　）
A．a1 a2 B．a1+a2 C．b1 b2 D．b1+b2
【答案】A
【解答】解：先求y＝ex﹣2的切线方程设切点为，
对y＝ex﹣2求导，可得y'＝ex﹣2，所以切线斜率，
根据点斜式方程可得切线方程为，即，
再求y＝lnx的切线方程，设切点为（x2，lnx2），
对y＝lnx求导，可得，所以切线斜率，
同样根据点斜式方程，切线方程为，即，
因为两条切线为同一条直线，所以斜率相等且截距相等，
则可得方程组，
由（1）式可得x1＝2﹣lnx2，将其代入（2）式：，
即，
移项可得，
则lnx2﹣1＝0或，
当lnx2﹣1＝0时，lnx2＝1，解得x2＝e，
当时，x2＝1，
当x2＝e时，，切线方程为，此时，b1＝0，
当x2＝1时，k2＝1，切线方程为y＝x+ln1﹣1＝x﹣1，此时a2＝1，b2＝﹣1，
A选项：，A选项正确；
B选项：，B选项错误；
C选项：，C选项错误；
D选项：，D选项错误．
故选：A．
38．已知函数f（x）＝ex+asinx﹣cosx在点（0，0）处的切线方程为y＝（2﹣lna）x，a∈R．
（1）求a的值；
（2）求函数的最小值．
【答案】（1）1；
（2）0．
【解答】解：（1）依题意，f'（x）＝ex+acosx+sinx，
f'（0）＝1+a，
所以2﹣lna＝a+1，也即a+lna﹣1＝0．
令h（x）＝x+lnx﹣1，则h（x）单调递增，
又h（1）＝0，所以a有唯一解，故a的值为1．
（2）依题意，，
所以，
记φ（x）＝x+cosx﹣1，则φ'（x）＝1﹣sinx≥0，所以φ（x）单调递增，
又φ（0）＝0，所以x∈（﹣∞，0）时，φ（x）＜0，g（x）单调递减；x∈（0，+∞）时，φ（x）＞0，g（x）单调递增，
所以g（x）≥g（0）＝0，即g（x）的最小值为0．
39．若曲线y＝ln（x+2a）的一条切线为y＝ex﹣2b（e为自然对数的底数），其中a，b为正实数，则的取值范围是（　　）
A．[2，e） B．（e，4] C．[4，+∞） D．[e，+∞）
【答案】C
【解答】解：，令，则，有，
即，即ae+b＝1，
又a，b为正实数，则，
当且仅当，即时，等号成立．，
故的取值范围是[4，+∞）．
故选：C．
40．已知函数f（x）在点x＝2处的切线方程为2x+y﹣1＝0，则f'（2）+f（2）＝ 　﹣5　 ．
【答案】﹣5．
【解答】解：由题意函数f（x）在点x＝2处的切线方程为y＝﹣2x+1，
所以f′（2）+f（2）＝﹣2+（﹣2×2+1）＝﹣5．
故答案为：﹣5．
41．已知直线y＝kx（k≠0）与曲线y＝2x4﹣3x3相切，则k＝　﹣1　 ．
【答案】﹣1．
【解答】解：设直线y＝kx（k≠0）与函数f（x）＝2x4﹣3x3相切，切点为，
因为f′（x）＝8x3﹣9x2，
所以切线斜率为：，
所以切线方程为：，
由切线过点（0，0），得：，
所以，
解得：x0＝0或x0＝1，
所以k＝f′（0）＝0（舍去）或k＝f′（1）＝﹣1．
故答案为：﹣1．
▉题型8 导数与曲线在某点上的法线
【知识点的认识】
曲线在某点上的法线方程可以通过该点的导数值求得，法线的斜率是切线斜率的负倒数．
42．与曲线在某点处的切线垂直，且过该点的直线称为曲线在某点处的法线，若曲线y＝x4的法线的纵截距存在，则其最小值为（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解答】解：在曲线y＝x4上任取一点P（t，t4），对函数y＝x4求导得y′＝4x3，则，
若曲线y＝x4的法线的纵截距存在，则t≠0，
所以，曲线y＝x4在点P处的法线方程为，
即，所以，曲线y＝x4在点P处的法线的纵截距为，
令s＝t2＞0，令，其中s＞0，
则，令f′（s）＝0，可得，
当时，f′（s）＜0，此时，函数f（s）单调递减，
当时，f′（s）＞0，此时，函数f（s）单调递增，
所以，．
故选：A．
43．求曲线在点处的切线方程．
【答案】x+9y﹣6＝0．
【解答】解：因为，所以，
所以曲线在点处的切线方程为：
，即为x+9y﹣6＝0．

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