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第5章第3节 导数在研究函数中应用
题型1 利用导数研究函数的单调性 题型2 利用导数求解函数的单调性和单调区间
题型3 由函数的单调性求解函数或参数（导数法） 题型4 利用导数研究函数的极值
题型5 函数在某点取得极值的条件 题型6 利用导数求解函数的极值
题型7 由函数的极值求解函数或参数 题型8 利用导数研究函数的最值
题型9 利用导数求解函数的最值
▉题型1 利用导数研究函数的单调性
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
1．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，f'（x）为其导函数．当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＞0，且f（1）＝0，则不等式f（x）＞0的解集为（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
2．已知函数f（x）的定义域为R且导函数为f′（x），函数y＝（x+2） f′（x）的图象如图，则下列说法正确的是（　　）
A．函数f（x）的增区间是（﹣2，0），（2，+∞）
B．函数f（x）的减区间是（﹣∞，﹣2），（2，+∞）
C．x＝2是函数的极大值点
D．x＝0是函数的极大值点
3．在一款保温杯中注入一定质量的温水，一段时间内杯中水的温度关于时间t的函数y＝f（t）的图象如图所示，在这段时间内任取三个时间点t1，t2，t3，其中t1＜t2＜t3，且t1+t3＝2t2，记f′（t）为f（t）的导函数，则下列判断错误的是（　　）
A．f（t1）＞f（t2）＞f（t3）
B．f（t1）+f（t3）＞2f（t2）
C．f'（t1）＞f'（t2）＞f'（t3）
D．f（t）的解析式可能是f（t）＝ae﹣t+b（a，b＞0）
4．已知a＝e0.1﹣1，，c＝ln1.1，则（　　）
A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b
5．已知函数f（x）及其导数f′（x）的定义域均为R，f′（x）在R上单调递增，f′（1+x）为奇函数，若，4b＝5，3c＝4，则（　　）
A．f（a）＜f（b）＜f（c） B．f（b）＜f（a）＜f（c）
C．f（b）＜f（c）＜f（a） D．f（c）＜f（b）＜f（a）
6．已知函数f（x）＝ax2﹣lnx，a∈R．
（1）讨论f（x）的单调区间；
（2）若a＞0，且当x∈（0，1]时，f（x）≥1恒成立，求a的取值范围．
7．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），满足f（x）﹣f′（x）＞ex﹣e，且f（1）＝e+2，则不等式ef（lnx）﹣e2lnx≥2x的解集为　 ．
8．函数y＝x3+x2﹣5x﹣5的单调递减区间是　 　 ．
9．已知函数f（x）＝alnx+x2，其中a∈R．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a＝1时，证明：f（x）≤x2+x﹣1；
（3）求证：对任意的n∈N*且n≥2，都有：．
（其中e≈2.7183为自然对数的底数）．
10．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），其导函数为g（x），且．
（1）求g（x）的单调区间与最大值；
（2）已知关于x的方程g（x）＝a恰有两个实数根x1，x2，若x2≥2x1，求lnx1+lnx2的取值范围；
（3）证明：．
▉题型2 利用导数求解函数的单调性和单调区间
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
11．已知函数f（x）＝axex﹣lnx﹣x+1，则“”是“f（x）在[1，+∞）上单调递增”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
（多选）12．设函数f（x）＝x3﹣6x2+9x﹣4，则（　　）
A．f（x）的极小值点为3
B．当0＜x＜1时，f（x3）＞f（x）
C．当1＜x＜2时，﹣4＜f（x+1）＜﹣2
D．f（x）有3个零点
（多选）13．下列函数在区间[1，4]上不单调递增的是（　　）
A． B．
C．f（x）＝xlnx D．f（x）＝x﹣lnx2
（多选）14．题图为y＝f′（x）的图像，下列判断中正确的是（　　）
A．函数y＝f（x）在区间（﹣3，0）上是严格减函数
B．函数y＝f（x）在区间（1，3）上是严格减函数
C．函数y＝f（x）在区间（0，2）上是严格增函数
D．函数y＝f（x）在区间（3，4）上是严格增函数
15．已知函数f（x）＝ln（2﹣x）﹣ln（2+x）．
（1）求不等式f（x）＞﹣ln3的解集；
（2）设函数g（x）＝a﹣2x，若存在x1，x2∈[0，2），使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数a的取值范围；
（3）已知函数h（x）＝lnx﹣（x﹣1）在区间（1，+∞）上单调递减．试判断：f（1）+f（）+f（）+…+f（）+2n＞0（n∈N*）是否恒成立？请说明理由．
16．函数f（x）＝lnx﹣2x．
（1）求y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
（2）求f（x）的单调区间．
17．已知函数f（x）＝kax+a﹣x（a＞1）是定义在R上的偶函数，且．
（1）判断f（x）在区间[0，+∞）上的单调性，并证明；
（2）求f（x）的值域；
（3）若g（x）＝a2x+a﹣2x﹣mf（x），求g（x）的最小值．
18．已知函数f（x）＝﹣x2+8x+alnx在区间（4，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（　　）
A．[0，+∞） B．[﹣1，+∞） C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]
19．若函数f（x）＝m﹣x2+2lnx在区间上有两个零点，则实数m的取值范围为（　　）
A．（1，4） B．（1，4]
C．（4，e2﹣2） D．（1，e2﹣2）
20．已知函数．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设，若对任意x∈[e，+∞），e﹣xg（x）lnx﹣g（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．
21．已知函数f（x）＝x2﹣（2a+1）x+alnx，a＞0．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：当时，f（x）在上没有零点．
22．函数f（x）＝sinx．
（1）令，若函数F（x）存在唯一零点，求实数a的取值范围；
（2）若，求函数g（x）的值域．
23．已知函数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：方程f（x）＝f（a）有两个根x1，x2（x1＜x2）；
（3）在（2）的条件下，证明：．
24．a，b，c为三个互异的正数，满足，则（　　）
A．c﹣1＞a﹣b B．c﹣1＜b﹣a C．a＞b D．a+c＜2b
25．拉格朗日中值定理是微分学里的关键定理，具体内容为：若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，则在区间（a，b）内至少存在一个点x0∈（a，b），使得（f′（x0）是f（x）在x0处的导数值），其中x0称为函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上的中值点．现在有这样的问题：若函数f（x）＝cosx在区间上的“中值点”个数为m，函数g（x）＝xex（其中e为自然对数的底数）在区间[0，1]上的“中值点”的个数为n，则有m+n＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．0
▉题型3 由函数的单调性求解函数或参数（导数法）
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
26．已知函数若f（x）在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（　　）
A．（0，1] B．（1，+∞） C．（0，1） D．[1，+∞）
27．已知a＝3，b＝log23×log27，c＝2log26，则（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c
28．若关于x的不等式k（x2+2x）≤lnx+1的解集中恰有2个整数，则k的取值范围是　 　 ．
29．已知函数，则不等式f（3x+1）+f（x）＞4的解集为 　 ．
30．已知函数在x∈（0，+∞）上单调递增，则ab的最小值是　 　．
31．已知函数．
（1）若函数f（x）为增函数，求实数a的取值范围；
（2）若函数g（x）＝f（x）﹣（2a+2）x，求函数g（x）的单调区间．
32．已知函数f（x）＝ax2﹣xlnx，a∈R．
（1）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；
（2）若过点（0，1）可作曲线y＝f（x）的两条切线l1，l2，记直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，求k1+k2的取值范围．
33．设ξ∈N*，η∈N*，函数h（x）在x＝0处的[ξ，η]阶帕德逼近定义为，且h（0）＝R（0），h′（0）＝R′（0），h″（0）＝R″（0）， ，h（ξ+η）（0）＝R（ξ+η）（0）．其中h″（x）＝[h′（x）]′，h （x）＝[h″（x）]′， ，h（ξ+η）（x）＝[h（ξ+η﹣1）（x）]′．已知函数f（x）＝2ex+x2+1，记R（x）为f（x）在x＝0处的[1，1]阶帕德逼近．
（1）求R（x）的解析式．
（2）证明：当x∈（0，1）时，．
（3）设正项数列{tn}的前n项和为Tn，且，2t1＝1，证明：．
34．已知函数f（x）＝ln（1+x）+x﹣asinx，a＞0．
（1）若函数f（x）在（﹣1，0）单调增，求实数a的取值范围；
（2）当时，f（x）≤0，求实数a的值；
（3）求证：．
35．已知函数，若f（x）在区间上存在单调递增区间，求a的取值范围．
▉题型4 利用导数研究函数的极值
【知识点的认识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
36．已知函数f（x）＝x3+ax2+b在x＝﹣2时取得极大值4，则a+b＝ 　 　 ．
（多选）37．三次函数f（x）＝x2（x﹣3）的性质，下列说法正确的是（　　）
A．函数f（x）在x＝0处的切线方程为y＝0
B．f（x）的极小值点为x＝0
C．当﹣4＜a＜0时，方程f（x）＝a有三个实根
D．f（x）的图象关于点（1，﹣2）对称
（多选）38．已知函数f（x）＝2x3﹣6x+1，则（　　）
A．g（x）＝f（x）﹣1为奇函数
B．f（x）的单调递增区间为（﹣1，1）
C．f（x）的极小值为﹣3
D．若关于x的方程f（x）﹣m＝0恰有3个不等的实根，则m的取值范围为（﹣3，5）
39．已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣a3．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
40．已知函数f（x）＝e2x﹣aex﹣a2x．
（1）当a＝﹣2时，求f（x）的极值；
（2）当x≥0时，f（x）≥kx2+b；
（ⅰ）若k＝1，b＝0，求a的最大值；
（ⅱ）若k＝2，b＝﹣2，求整数a的最大值．
41．已知函数为奇函数，且a，k∈R．函数h（x）＝lnx+cosx．
（1）求a，k的值．
（2）（ⅰ）设t是函数h（x）的一个极值点，证明：tsint＝1；
（ⅱ）证明：函数h（x）有且仅有一个零点x0.（参考数据：，，，，ln2≈0.693，ln3≈1.099）
42．定义：如果函数f（x）在定义域内，存在极大值f（x1）和极小值f（x2），且存在一个常数k，使f（x1）﹣f（x2）＝k（x1﹣x2）成立，则称函数f（x）为极值可差比函数，常数k称为该函数的极值差比系数．已知函数f（x）＝x
（1）当时，求k；
（2）是否存在a使f（x）的极值差比系数为2﹣a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（3）若，求f（x）的极值差比系数的取值范围．
▉题型5 函数在某点取得极值的条件
【知识点的认识】
极值的判断首先要求：1、该处函数值有意义，2、该处函数连续．求极值的时候F'（X）＝0是首先考虑的，但是对于F'（X）无意义的点也要讨论，只要该点有函数值且函数连续、两边导函数值异号，就可以确定该点是极值点．具备了这些条件，我们进一步判定极大值和极小值：当这个点左边的导函数大于0时，即左边单调递增，右边的导函数小于0时，即右边单调递减，此时这个点就是极大值，你可以把他理解成波峰的那个点；那么波谷的那个点就是极小值，情况相反．
43．“”是“函数f（x）＝ax3﹣x2+x有极值”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
44．如图是y＝f（x）的导函数f′（x）的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（　　）
A．当x＝3时，f（x）取得极小值
B．f（x）在[﹣2，1]上是增函数
C．当x＝1时，f（x）取得极大值
D．f（x）在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数
45．如图是函数f（x）的导函数f′（x）的部分图象，则f（x）的一个极大值点为（　　）
A．x1 B．x2 C．x3 D．x4
46．定义在区间[﹣1，3]上的函数f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则函数f（x）的极大值点为 　1　 ．
47．若a＞0，b＞0，且函数f（x）＝4x3﹣ax2﹣bx﹣2在x＝1处有极值，则ab的最大值　18　 ．
48．设f（x）x3ax2+2bx+c的两个极值点分别是x1，x2，若x1∈（﹣2，﹣1），x2∈（﹣1，0），则2a+b的取值范围是（　　）
A．（1，7） B．（2，7） C．（1，5） D．（2，5）
49．已知函数f（x）＝x3+bx2+xc+d（b、c、d为常数），当k∈（﹣∞，0）∪（4，+∞）时，f（x）﹣k＝0只有一个实根，当k∈（0，4）时，f（x）﹣k＝0有3个相异实根，现给出下列4个命题；
①函数f（x）有2个极值点；
②函数f（x）有3个极值点；
③f（x）＝4和f′（x）＝0有一个相同的实根；
④f（x）＝0和f′（x）＝0有一个相同的实根；
其中正确命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
43．“”是“函数f（x）＝ax3﹣x2+x有极值”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
44．如图是y＝f（x）的导函数f′（x）的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（　　）
A．当x＝3时，f（x）取得极小值
B．f（x）在[﹣2，1]上是增函数
C．当x＝1时，f（x）取得极大值
D．f（x）在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数
45．如图是函数f（x）的导函数f′（x）的部分图象，则f（x）的一个极大值点为（　　）
A．x1 B．x2 C．x3 D．x4
46．定义在区间[﹣1，3]上的函数f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则函数f（x）的极大值点为 　 　　 ．
47．若a＞0，b＞0，且函数f（x）＝4x3﹣ax2﹣bx﹣2在x＝1处有极值，则ab的最大值　 　 ．
48．设f（x）x3ax2+2bx+c的两个极值点分别是x1，x2，若x1∈（﹣2，﹣1），x2∈（﹣1，0），则2a+b的取值范围是（　　）
A．（1，7） B．（2，7） C．（1，5） D．（2，5）
49．已知函数f（x）＝x3+bx2+xc+d（b、c、d为常数），当k∈（﹣∞，0）∪（4，+∞）时，f（x）﹣k＝0只有一个实根，当k∈（0，4）时，f（x）﹣k＝0有3个相异实根，现给出下列4个命题；
①函数f（x）有2个极值点；
②函数f（x）有3个极值点；
③f（x）＝4和f′（x）＝0有一个相同的实根；
④f（x）＝0和f′（x）＝0有一个相同的实根；
其中正确命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
▉题型6 利用导数求解函数的极值
【知识点的认识】
1、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
2、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
50．若函数在x＝2时取得极小值，则f（x）的极大值为（　　）
A． B．1 C． D．e
51．已知函数f（x）＝x2+aln（x+1），a∈R．
（1）若函数f（x）有两个不同的极值点，求a的取值范围；
（2）求函数的单调递减区间．
52．已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣1，g（x）＝ln（x+2）﹣x﹣1（e为自然对数的底数，a∈R），函数f（x）的极值点为0．
（1）求a的值；
（2）证明：对 x∈（﹣2，+∞），f（x）＞g（x）；
（3）已知数列{an}的前n项和，证明：．
▉题型7 由函数的极值求解函数或参数
【知识点的认识】
1、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
2、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
53．已知函数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
▉题型8 利用导数研究函数的最值
【知识点的认识】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
54．已知m，n为实数，f（x）＝ex﹣mx+n﹣1，若f（x）≥0对x∈R恒成立，则的最小值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
55．函数f（x）＝2x+sinx在区间[0，π]上的（　　）
A．最小值为0，最大值为π+1
B．最小值为0，最大值为2π
C．最小值为π+1，最大值为2π
D．最小值为0，最大值为2
56．已知函数f（x）＝ax3﹣x2﹣3x+b，且当x＝3时，f（x）有极值﹣5．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[﹣4，4]上的最大值和最小值．
57．已知函数f（x）＝x2﹣ax，g（x）＝lnx．
（1）当a＝1时，求证：f（x）≥x g（x）；
（2）设，若对任意的a∈（1，2），总存在，使不等式成立，求实数k的取值范围．
58．已知函数f（x）＝（x+a）ln（x+1）（a∈R）．
（1）当a＝0时，讨论f（x）的单调性；
（2）当a＝1时，判断函数y＝f（x）﹣sinx在区间[0，+∞）上的零点个数；
（3）当x∈（0，π]时，sinx＞m（2﹣x）ln（x+1）恒成立，求实数m的取值范围．
▉题型9 利用导数求解函数的最值
【知识点的认识】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
59．已知函数f（x）＝ex，g（x）＝lnx，若a＞0，axa﹣1g（x）≤f（x）对于任意x＞1都成立，则a的最大值为e ．
60．已知函数其中a＞0．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
（2）若f（x）有3个不同的零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），
（i）证明：；
（ii）若x1，x2，x3成等差数列，求该数列的公差．第5章第3节 导数在研究函数中应用
题型1 利用导数研究函数的单调性 题型2 利用导数求解函数的单调性和单调区间
题型3 由函数的单调性求解函数或参数（导数法） 题型4 利用导数研究函数的极值
题型5 函数在某点取得极值的条件 题型6 利用导数求解函数的极值
题型7 由函数的极值求解函数或参数 题型8 利用导数研究函数的最值
题型9 利用导数求解函数的最值
▉题型1 利用导数研究函数的单调性
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
1．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，f'（x）为其导函数．当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＞0，且f（1）＝0，则不等式f（x）＞0的解集为（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
【答案】D
【解答】解：由f（x）＞0可知，x≠0，
当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＞0，
令g（x），则g′（x）0，
所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，
因为f（x）为奇函数，即f（﹣x）＝﹣f（x），
所以g（﹣x）＝﹣xf（﹣x）＝xf（x）＝g（x），即g（x）为偶函数，
故x＜0时，g（x）单调递减，
又f（1）＝0可知，f（﹣1）＝﹣f（1）＝0，
所以g（1）＝g（﹣1）＝0，
由f（x）＞0可知x≠0，
故xg（x）＞0，
解得，x＞1或﹣1＜x＜0．
故选：D．
2．已知函数f（x）的定义域为R且导函数为f′（x），函数y＝（x+2） f′（x）的图象如图，则下列说法正确的是（　　）
A．函数f（x）的增区间是（﹣2，0），（2，+∞）
B．函数f（x）的减区间是（﹣∞，﹣2），（2，+∞）
C．x＝2是函数的极大值点
D．x＝0是函数的极大值点
【答案】D
【解答】解：有图可得：当x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜0时，f′（x）＜0，0＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0，
所以函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
因此函数f（x）在x＝0处取得极大值，在x＝2处取得极小值．
故选：D．
3．在一款保温杯中注入一定质量的温水，一段时间内杯中水的温度关于时间t的函数y＝f（t）的图象如图所示，在这段时间内任取三个时间点t1，t2，t3，其中t1＜t2＜t3，且t1+t3＝2t2，记f′（t）为f（t）的导函数，则下列判断错误的是（　　）
A．f（t1）＞f（t2）＞f（t3）
B．f（t1）+f（t3）＞2f（t2）
C．f'（t1）＞f'（t2）＞f'（t3）
D．f（t）的解析式可能是f（t）＝ae﹣t+b（a，b＞0）
【答案】C
【解答】解：对于A，由图可知f（t）是减函数，故A正确；
对于B，由图可知，f（t）的下降幅度随t增大而逐渐平缓，
所以区间（t1，t2）内温度下降的量比（t2，t3）内温度下降的量更大，
即f（t1）﹣f（t2）＞f（t2）﹣f（t3），
所以f（t1）+f（t3）＞2f（t2），故B正确；
对于C，由图，由曲线的切线斜率可知f'（t1）＜f'（t2）＜f'（t3）＜0，故C错误；
对于D，曲线的变化趋势符合指数型函数f（t）＝ae﹣t+b（a，b＞0），故D正确．
故选：C．
4．已知a＝e0.1﹣1，，c＝ln1.1，则（　　）
A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b
【答案】A
【解答】解：令，则，
令φ（x）＝ex（x﹣1）2﹣1，则φ′（x）＝ex（x﹣1）（x+1），
当x∈（0，1）时，φ′（x）＜0，所以φ（x）在（0，1）上单调递减，
所以φ（x）＜φ（0）＝0，即f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上单调递减，
所以f（0.1）＜f（0），即，所以，即a＜b；
令g（x）＝ex﹣ln（x+1）﹣1，x∈（0，1），则，
令，则，所以ω（x）在（0，1）上单调递增，
所以ω（x）＞ω（0）＝0，即g′（x）＞0，所以g（x）在（0，1）上单调递增，
所以g（0.1）＞g（0）＝0，即e0.1﹣ln1.1﹣1＞0，所以e0.1﹣1＞ln1.1，即a＞c．
所以c＜a＜b．
故选：A．
5．已知函数f（x）及其导数f′（x）的定义域均为R，f′（x）在R上单调递增，f′（1+x）为奇函数，若，4b＝5，3c＝4，则（　　）
A．f（a）＜f（b）＜f（c） B．f（b）＜f（a）＜f（c）
C．f（b）＜f（c）＜f（a） D．f（c）＜f（b）＜f（a）
【答案】C
【解答】解：因为f′（1+x）为奇函数，所以f′（1+x）＝﹣f′（1﹣x），
令x＝0，则f′（1）＝﹣f′（1），故f′（1）＝0，
又f′（x）在R上单调递增，所以当x＜1时，f′（x）＜0，则f（x）单调递减；
当x＞1时，f′（x）＞0，则f（x）单调递增；
又因为f′（1+x）＝﹣f′（1﹣x），则f′（1+x）+f′（1﹣x）＝0，
f（1+x）﹣f（1﹣x）＝C（C∈R）．①
在①式中令x＝0，可得f（1）﹣f（1）＝C，故C＝0，
所以f（1+x）＝f（1﹣x），
因为，
所以，
因为f（1+x）＝f（1﹣x），
所以，
因为4（ln2）（ln4）≤（ln2+ln4）2＝（ln8）2＜（ln9）2＝4（ln3）2，
由于ln2≠ln4，故上式等号不成立，则（ln2）（ln4）＜（ln3）2，
又ln3＞0，ln2＞0，所以，即log34＜log23，即c＜log23，
同理可得b＜c，所以1＜b＜c＜log23，
所以f（b）＜f（c）＜f（log23），即f（b）＜f（c）＜f（a）．
故选：C．
6．已知函数f（x）＝ax2﹣lnx，a∈R．
（1）讨论f（x）的单调区间；
（2）若a＞0，且当x∈（0，1]时，f（x）≥1恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增．
（2）．
【解答】解：（1）由题意，，
当a≤0时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，由f′（x）＝0，得或（舍），
则时，f′（x）＜0，时，f′（x）＞0，
所以f（x）在上单调递减，在上单调递增；
当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增．
（2）由（1），当a＞0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增，
若，即，f（x）在上单调递减，在上单调递增．
所以f（x）min＝f（），解得，
若，即，所以f（x）在（0，1]上单调递减，
∴f（x）min＝f（1）＝a≥1，不合题意；
综上，a的取值范围为．
7．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），满足f（x）﹣f′（x）＞ex﹣e，且f（1）＝e+2，则不等式ef（lnx）﹣e2lnx≥2x的解集为　（1，e]　 ．
【答案】（1，e]．
【解答】解：设，
则，
由已知当x＞0时，f（x）﹣f′（x）＞ex﹣e，
即f'（x）﹣f（x）+ex﹣e＜0，又ex＞0，
所，
所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，
又f（1）＝e+2，所以，
由ef（lnx）﹣e2lnx≥2x，则，
因为x＞0，所以f（lnx）﹣elnxx ，
即，
又因为g（x）在（0，+∞）上单调递减，
所以0＜lnx≤1 1＜x≤e，
所以不等式的解集为（1，c]．
故答案为：（1，e]．
8．函数y＝x3+x2﹣5x﹣5的单调递减区间是　（，1）　 ．
【答案】（，1）
【解答】解：∵f′（x）＝3x2+2x﹣5，
∴由3x2+2x﹣5＜0可得：
∴x∈（，1）．
故答案为：（，1）．
9．已知函数f（x）＝alnx+x2，其中a∈R．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a＝1时，证明：f（x）≤x2+x﹣1；
（3）求证：对任意的n∈N*且n≥2，都有：．
（其中e≈2.7183为自然对数的底数）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）函数f（x） 的定义域为（0，+∞），f'（x），
①当a≥0时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，
②当a＜0时，令f'（x）＝0，解得x．
当时，a+2x2＜0，所以f'（x）＜0，所以f（x）在上单调递减；
当时，a+2x2＞0，所以f'（x）＞0，所以f（x）在上单调递增．
综上，当a≥0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＜0时，函数f（x）在上单调递减，在上单调递增．
（2）当a＝1时，f（x）＝lnx+x2，要证明f（x）≤x2+x﹣1，
即证lnx≤x﹣1，即lnx﹣x+1≤0．即lnx﹣x+1≤0．
设g（x）＝lnx﹣x+1则g'（x），令g′（x）＝0得，x＝1．
当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0．所以x＝1为极大值点，也为最大值点
所以g（x）≤g（1）＝0，即lnx﹣x+1≤0．故f（x）≤x2+x﹣1．
（3）证明：由（2）lnx≤x﹣1，（当且仅当x＝1时等号成立）令，则 ，
所以 ，
即，所以
10．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），其导函数为g（x），且．
（1）求g（x）的单调区间与最大值；
（2）已知关于x的方程g（x）＝a恰有两个实数根x1，x2，若x2≥2x1，求lnx1+lnx2的取值范围；
（3）证明：．
【答案】（1）g（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞），g（x）的最大值为．
（2）[3ln2，+∞）；
（3）证明：设
，
设F（x）＝xln（x+2）﹣（x+2）lnx，则，
设，则，
所以G（x）单调递减，G（x）＜G（1）＝0，
所以单调递减，
因为F（2）＝2ln4﹣4ln2＝0，
所以φ（x）在（0，2）单调递增，在（2，+∞）单调递减，
所以φ（x）≤φ（2）＝f（4）﹣f（2），
由（1）知，，所以函数单调递减，
所以，即，
所以．
【解答】解：（1）由题意可得，，x∈（0，+∞），令g′（x）＝0，解得x＝e，
所以当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以当x＝e时，g（x）取得最大值，
所以g（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞），g（x）的最大值为．
（2）依题意，，两式相除可得，，
设，则，所以，
则，
设，则，
设，则，
所以m（x）在[2，+∞）上单调递增，所以，
即h′（x）＞0，所以h（x）在[2，+∞）上单调递增，所以h（x）≥h（2）＝3ln2．
所以lnx1+lnx2的取值范围为[3ln2，+∞）．
（3）证明：设
，
设F（x）＝xln（x+2）﹣（x+2）lnx，则，
设，则，
所以G（x）在（1，+∞）上单调递减，G（x）＜G（1）＝0，
所以单调递减，
因为F（2）＝2ln4﹣4ln2＝0，
所以φ（x）在（0，2）单调递增，在（2，+∞）单调递减，
所以φ（x）≤φ（2）＝f（4）﹣f（2），
由（1）知，，所以函数单调递减，
所以，即，
所以．
▉题型2 利用导数求解函数的单调性和单调区间
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
11．已知函数f（x）＝axex﹣lnx﹣x+1，则“”是“f（x）在[1，+∞）上单调递增”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解答】解：f（x）＝axex﹣lnx﹣x+1＝aelnx+x﹣（lnx+x）+1，
设 t＝lnx+x，x≥1，易知t＝lnx+x在[1，+∞）上单调递增，则t≥1，
y＝aet﹣t+1，t≥1，
由复合函数的单调性法则：同增异减，可得：
要使f（x）在[1，+∞）上单调递增，只需y＝aet﹣t+1在t≥1上也单调递增，
即y′＝aet﹣1≥0对任意t≥1恒成立，
即对任意t≥1恒成立，
即，由于条件也是“”，
所以“”是“f（x） 在[1，+∞） 上单调递增”的充要条件．
故选：C．
（多选）12．设函数f（x）＝x3﹣6x2+9x﹣4，则（　　）
A．f（x）的极小值点为3
B．当0＜x＜1时，f（x3）＞f（x）
C．当1＜x＜2时，﹣4＜f（x+1）＜﹣2
D．f（x）有3个零点
【答案】AC
【解答】解：由f′（x）＝3x2﹣12x+9＝3（x﹣1）（x﹣3），
当x＞3或x＜1时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0，
可得f（x）在（﹣∞，1）和（3，+∞）上单调递增，在（1，3）上单调递减，
所以x＝3是函数f（x）的极小值点，选项A正确；
当0＜x＜1时，又x3﹣x＝x（x2﹣1）＝x（x﹣1）（x+1）＜0，
所以0＜x3＜x＜1，而f（x）在（0，1）上单调递增，所以f（x3）＜f（x），选项B错误；
当1＜x＜2时，2＜x+1＜3，
所以f（2）＞f（x+1）＞f（3），所以﹣4＜f（x+1）＜﹣2，选项C正确；
D：由f（x）的单调性可知，f（x）的极大值点是1，极小值点是3，
而f（0）＝﹣4＜0，f（1）＝0，f（3）＝﹣4，f（4）＝0，f（5）＝16＞0，
所以f（x）有2个零点，选项D错误．
故选：AC．
（多选）13．下列函数在区间[1，4]上不单调递增的是（　　）
A． B．
C．f（x）＝xlnx D．f（x）＝x﹣lnx2
【答案】ABD
【解答】解：对于A，的定义域为（﹣∞，2）∪（2，+∞），f（x）在（1，2）上单调递增，在（2，4）上单调递增，满足在[1，4]上不单调递增，故A正确；
对于B，，f（x）在[1，4]上单调递减，满足在[1，4]上不单调递增，故B正确；
对于C，f′（x）＝lnx+1＞0，则f（x）在[1，4]上单调递增，不满足题意，故C错误；
对于D，，f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，4）上单调递增，满足在[1，4]上不单调递增，故D正确．
故选：ABD．
（多选）14．题图为y＝f′（x）的图像，下列判断中正确的是（　　）
A．函数y＝f（x）在区间（﹣3，0）上是严格减函数
B．函数y＝f（x）在区间（1，3）上是严格减函数
C．函数y＝f（x）在区间（0，2）上是严格增函数
D．函数y＝f（x）在区间（3，4）上是严格增函数
【答案】AC
【解答】解：对A：在区间（﹣3，0）上f′（x）＜0，则函数f（x）在区间（﹣3，0）是严格减函数，故A正确；
对B：在区间（1，3）上f′（x）有正有负，故B错误；
对C：在区间（0，2）上f′（x）＞0，则函数f（x）在区间（0，2）是严格增函数，故C正确；
对D：在区间（3，4）上f′（x）有正有负，故D错误．
故选：AC．
15．已知函数f（x）＝ln（2﹣x）﹣ln（2+x）．
（1）求不等式f（x）＞﹣ln3的解集；
（2）设函数g（x）＝a﹣2x，若存在x1，x2∈[0，2），使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数a的取值范围；
（3）已知函数h（x）＝lnx﹣（x﹣1）在区间（1，+∞）上单调递减．试判断：f（1）+f（）+f（）+…+f（）+2n＞0（n∈N*）是否恒成立？请说明理由．
【答案】（1）（﹣2，1）；
（2）（﹣∞，4）；
（3）恒成立，理由见解析．
【解答】解：（1）由得﹣2＜x＜2，
又f（x），所以，
解得﹣2＜x＜1，即不等式f（x）＞﹣ln3的解集为（﹣2，1）；
（2）当0≤x＜2时，在区间[0，2）上单调递减，
又0≤x＜2时，，所以f（x）的值域为（﹣∞，0]，
因为g（x）＝a﹣2x在区间[0，2）上单调递减，所以g（x）的值域为（a﹣4，a﹣1]．
若存在x1，x2∈[0，2），使得f（x1）＝g（x2）成立，只需a﹣4＜0，即a＜4，
所以实数a的取值范围为{a|a＜4}；
（3）恒成立，理由如下：
因为，
所以
，
因为h（x）＝lnx﹣（x﹣1）在区间（1，+∞）上单调递减，
所以当x＞1时，h（x）＜h（1）＝0，所以h（2n+1）＜0，
即ln（2n+1）﹣[（2n+1）﹣1]＜0，即ln（2n+1）﹣2n＜0，
所以﹣ln（2n+1）+2n＞0，
即恒成立．
16．函数f（x）＝lnx﹣2x．
（1）求y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
（2）求f（x）的单调区间．
【答案】（1）x+y+1＝0；
（2）f（x）的单调递增区间是（0，），单调递减区间是（，+∞）．
【解答】解：（1）
k＝ f′（1）＝﹣1，f（1）＝﹣2，切点（1，﹣2），
所以y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2＝﹣（x﹣1），即x+y+1＝0；
（2）f（x）的定义域为（0，+∞），
令f′（x）＞0，得 ，令f′（x）＜0，得
所以f（x）的单调递增区间是（0，），单调递减区间是（，+∞）．
17．已知函数f（x）＝kax+a﹣x（a＞1）是定义在R上的偶函数，且．
（1）判断f（x）在区间[0，+∞）上的单调性，并证明；
（2）求f（x）的值域；
（3）若g（x）＝a2x+a﹣2x﹣mf（x），求g（x）的最小值．
【答案】（1）f（x）在区间[0，+∞）上单调递增．
证明：由于函数f（x）是定义在R上的偶函数，因此f（﹣x）＝ka﹣x+ax＝f（x）＝kax+a﹣x，
因此（k﹣1）（ax﹣a﹣x）＝0，所以k﹣1＝0，
解得k＝1，因此函数f（x）＝ax+a﹣x，
又因为，
解得a＝2或（舍），因此函数f（x）＝2x+2﹣x，
函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，
设0≤x1＜x2，
因此，
又因为0≤x1＜x2，因此，因此f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
因此函数f（x）在[0，+∞）上单调递增；
（2）[2，+∞）．
（3）．
【解答】解：（1）函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，证明如下：
由于函数f（x）是定义在R上的偶函数，因此f（﹣x）＝ka﹣x+ax＝f（x）＝kax+a﹣x，
因此（k﹣1）（ax﹣a﹣x）＝0，所以k﹣1＝0，
解得k＝1，因此函数f（x）＝ax+a﹣x，
又因为，
解得a＝2或（舍），因此函数f（x）＝2x+2﹣x，
函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，
设0≤x1＜x2，
因此，
又因为0≤x1＜x2，因此，因此f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
因此函数f（x）在[0，+∞）上单调递增；
（2）根据第一问知f（x）在[0，+∞）上单调递增，又因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，
因此f（x）min＝f（0）＝2，因此函数f（x）的值域为[2，+∞）；
（3）根据题意知g（x）＝22x+2﹣2x﹣m （2x+2﹣x），令t＝2x+2﹣x，t∈[2，+∞），
因此t2＝（2x+2﹣x）2＝22x+2﹣2x+2，因此函数y＝g（x）＝t2﹣mt﹣2，
当，即m＞4时，y＝t2﹣mt﹣2在上单调递减，
在上单调递增，所以g（x）的最小值为；
当，即m≤4时，y＝t2﹣mt﹣2在[2，+∞）上单调递增，
所以g（x）的最小值为22﹣2m﹣2＝2﹣2m．
综上，．
18．已知函数f（x）＝﹣x2+8x+alnx在区间（4，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（　　）
A．[0，+∞） B．[﹣1，+∞） C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]
【答案】C
【解答】解：因为函数f（x）＝﹣x2+8x+alnx在区间（4，+∞）上是减函数，
所以x∈（4，+∞），0恒成立．
所以x∈（4，+∞），a≤2x2﹣8x恒成立．
设g（x）＝2x2﹣8x，x∈（4，+∞），
因为对称轴为x＝2，所以g（x）＝2x2﹣8x在（4，+∞）为增函数，
所以g（x）＞g（4）＝0，所以a≤0．
故选：C．
19．若函数f（x）＝m﹣x2+2lnx在区间上有两个零点，则实数m的取值范围为（　　）
A．（1，4） B．（1，4]
C．（4，e2﹣2） D．（1，e2﹣2）
【答案】B
【解答】解：令f（x）＝m﹣x2+2lnx＝0，则m＝x2﹣2lnx，
令g（x）＝x2﹣2lnx，则由知，
g（x）在上单调递减，在[1，e]上单调递增，
且[g（x）]min＝g（1）＝1，，g（e）＝e2﹣2，
因为，e2﹣2＞5，因此，
所以若函数f（x）在上有两个零点，
则实数m的取值范围为（1．
故选：B．
20．已知函数．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设，若对任意x∈[e，+∞），e﹣xg（x）lnx﹣g（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增；
（2）（﹣∞，e2]．
【解答】解：（1）函数，其定义域为（0，+∞），∴，
当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，令f'（x）＝0，解得，
当时，f'（x）＜0，当时，f'（x）＞0，
∴f（x）在上单调递减，在上单调递增，
综上所述，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增；
（2）由题意，∴，
∵x∈[e，+∞），∴不等式可化为，即，
设φ（x）＝xex，则当x＜0时，φ（x）＜0；当x＝0时，φ（x）＝0；当x＞0时，φ（x）＞0，
φ'（x）＝（x+1）ex，当x＞﹣1时，φ'（x）＞0，∴φ（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，
当a≤0时，∵x∈[e，+∞），∴lnx＞1，故，
当a＞0时，∵x∈[e，+∞），∴lnx＞1，∴，∴在[e，+∞）上恒成立，
即a≤x2lnx在[e，+∞）上恒成立，
设h（x）＝x2lnx，x∈[e，+∞），则h'（x）＝2xlnx+x＝x（2lnx+1）＞0，
∴h（x）在[e，+∞）上单调递增，∴h，
∴0＜a≤e2，
综上实数a的取值范围是（﹣∞，e2]．
21．已知函数f（x）＝x2﹣（2a+1）x+alnx，a＞0．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：当时，f（x）在上没有零点．
【答案】（1）当时，f（x）在（0，a）和单调递增，在单调递减；
当时，f（x）在和（a，+∞）单调递增，在单调递减；
当时，f（x）在（0，+∞）单调递增；
（2）由（1）知，时，f（x）在（0，a）单调递增，单调递减，
所以，
令g（x）＝lnx﹣x﹣1，，则，
所以g（x）在单调递增，
所以，
所以g（a）＜0，f（x）＜0恒成立，所以f（x）在没有零点．
【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
，
令f'（x）＝0，则x＝a或，
当时，x∈（0，a），f′（x）＞0，f（x）单调递增，
，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当时，，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
x∈（a，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）单调递增，
综上所述，当时，f（x）在（0，a）和单调递增，在单调递减；
当时，f（x）在和（a，+∞）单调递增，在单调递减；
当时，f（x）在（0，+∞）单调递增；
（2）由（1）知，时，f（x）在（0，a）单调递增，单调递减，
所以，
令g（x）＝lnx﹣x﹣1，，则，
所以g（x）在单调递增，
所以，
所以g（a）＜0，f（x）＜0恒成立，所以f（x）在没有零点．
22．函数f（x）＝sinx．
（1）令，若函数F（x）存在唯一零点，求实数a的取值范围；
（2）若，求函数g（x）的值域．
【答案】（1）[﹣1，1）∪{}．
（2）[0，π﹣1]．
【解答】解：（1）函数f（x）＝sinx，则f′（x）＝cosx，
所以．
由F（x）＝0，得，
函数F（x）存在唯一零点，则函数与y的图象只有一个交点，
因为，所以，
由正弦函数的图象可知：或，
解得﹣1≤a＜1或，即实数a的取值范围是[﹣1，1）∪{}．
（2）由g（x）＝（x+1）f（x）﹣x＝（x+1）sinx﹣x，
，
当时，，，xcosx 0，
所以g′（x）＜0，故函数g（x）在上单调递减；
当时，，，xcosx 0，
所以g′（x）＞0，故函数g（x）在上单调递增．
又由于，g（0）＝0，，
故g（x）的值域为[0，π﹣1]．
23．已知函数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：方程f（x）＝f（a）有两个根x1，x2（x1＜x2）；
（3）在（2）的条件下，证明：．
【答案】（1）f（x）在（a，1）上单调递减，在（0，a），（1，+∞）上单调递增；
（2）证明：令g（x）＝f（x）﹣f（a），则g′（x）＝f′（x），
由（1）可知，g（x）在（a，1）上单调递减，在（0，a），（1，+∞）上单调递增，
故g（1）＝f（1）﹣f（a）＜0，又x→+∞，g（x）→+∞，
所以存在x2∈（1，+∞），有g（x2）＝0，
又g（a）＝0，
故g（x）存在两个零点x1＝a和x2；
（3）证明：由a∈（0，1），则有，
又由f（x）在（1，+∞）上递增，
即证，
先证f（a）＜f（2﹣a），
令，
h（a）＜0，即证2（a﹣1）+ln（2﹣a）﹣lna＞0，
令φ（a）＝2（a﹣1）+ln（2﹣a）﹣lna，
，
所以φ（a）在（0，1）上递减，
又φ（1）＝0，则φ（a）＞φ（1）＝0，得证；
再证，
令，
令，即证，
又，
所以η（t）在（0，1）上递增，
故η（t）＜η（1）＝0，
综上，．
【解答】解：（1）因为函数，定义域为（0，+∞），
所以，
因为0＜a＜1，
所以当a＜x＜1时，f′（x）＜0，当0＜x＜a或x＞1时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（a，1）上单调递减，在（0，a），（1，+∞）上单调递增；
（2）证明：令g（x）＝f（x）﹣f（a），则g′（x）＝f′（x），
由（1）可知，g（x）在（a，1）上单调递减，在（0，a），（1，+∞）上单调递增，
故g（1）＝f（1）﹣f（a）＜0，又x→+∞，g（x）→+∞，
所以存在x2∈（1，+∞），有g（x2）＝0，
又g（a）＝0，
故g（x）存在两个根x1＝a和x2；
（3）证明：由a∈（0，1），则有，
又由f（x）在（1，+∞）上递增，
即证，
先证f（a）＜f（2﹣a），
令，
h（a）＜0，即证2（a﹣1）+ln（2﹣a）﹣lna＞0，
令φ（a）＝2（a﹣1）+ln（2﹣a）﹣lna，
，
所以φ（a）在（0，1）上递减，
又φ（1）＝0，则φ（a）＞φ（1）＝0，得证；
再证，
令，
令，即证，
又，
所以η（t）在（0，1）上递增，
故η（t）＜η（1）＝0，
综上，．
24．a，b，c为三个互异的正数，满足，则（　　）
A．c﹣1＞a﹣b B．c﹣1＜b﹣a C．a＞b D．a+c＜2b
【答案】A
【解答】解：，∴c﹣lnc＝a﹣lna，f（x）＝x﹣lnx，
，x＝1，f（x）在（0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增，
∴0＜a＜1＜c，画出y＝4x与y＝2x+2的图象，
两个图象交于（1，4），4b＝2a+2，当a＜1，b＜1时，c﹣1＞0，a﹣b＜0，
∴c﹣1＞a﹣b，当a＞1，b＞1时，c﹣a＞0，1﹣b＜0，∴c﹣1＞a﹣b．
故选：A．
25．拉格朗日中值定理是微分学里的关键定理，具体内容为：若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，则在区间（a，b）内至少存在一个点x0∈（a，b），使得（f′（x0）是f（x）在x0处的导数值），其中x0称为函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上的中值点．现在有这样的问题：若函数f（x）＝cosx在区间上的“中值点”个数为m，函数g（x）＝xex（其中e为自然对数的底数）在区间[0，1]上的“中值点”的个数为n，则有m+n＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】B
【解答】解：设f（x）在区间上的“中值点”为x0，f′（x）＝﹣sinx，
则，因此，而，则方程有唯一解，即m＝1；
设g（x）在[0，1]上的“中值点”为x1，g′（x）＝（x+1）ex，
于是，即，
令函数h（x）＝（x+1）ex﹣e，0＜x＜1，h′（x）＝（x+2）ex＞0，
则函数h（x）＝（x+1）ex﹣e在（0，1）上单调递增，h（0）＝1﹣e＜0，h（1）＝e＞0，
所以h（x）在（0，1）上有唯一零点，即方程在（0，1）上有唯一解，则n＝1，
所以m+n＝2．
故选：B．
▉题型3 由函数的单调性求解函数或参数（导数法）
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
26．已知函数若f（x）在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（　　）
A．（0，1] B．（1，+∞） C．（0，1） D．[1，+∞）
【答案】D
【解答】解：f（x）＝alnxx2﹣2x，f'（x）x﹣2，x∈（0，+∞），
若f（x）在（0，+∞）上单调递增，则f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，
即x2﹣2x+a≥0，a≥﹣x2+2x，x∈（0，+∞），
令g（x）＝﹣x2+2x，x∈（0，+∞），
其对称轴为x＝1，所以g（x）的最大值为g（1）＝1，
故只需a≥1．即a∈[1，+∞）．
故答案为：D．
27．已知a＝3，b＝log23×log27，c＝2log26，则（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c
【答案】A
【解答】解：a＝3＝log22×log28，b＝log23×log27，c＝2log26＝log24×log26，
令f（x）＝log2x×log2（10﹣x），0＜x＜10，
则f（10﹣x）＝log2（10﹣x）×log2x＝f（x），
所以f（x）的图象关于直线x＝5对称，
当x∈（1，5）时，，
令g（x）＝xlog2x，x＞1，
则g（x）在（1，+∞）上单调递增，
当x∈（1，5）时，x（10﹣x）＞0，10﹣x＞x，
则g（10﹣x）＞g（x），所以f′（x）＞0，f（x）单调递增，则f（2）＜f（3）＜f（4），即a＜b＜c．
故选：A．
28．若关于x的不等式k（x2+2x）≤lnx+1的解集中恰有2个整数，则k的取值范围是　{k|}　 ．
【答案】{k|}．
【解答】解：∵x＞0，不等式k（x2+2x）≤lnx+1可化为，
令f（x），则，
由f′（x）＜0解得x＞1，f（x）单调递减，
由f′（x）＞0解得0＜x＜1，f（x）单调递增，
令g（x）＝k（x+2），则g（x）的图象恒过（﹣2，0），若解集恰有2个整数，
当k≤0时，有无数个整数解，不满足题意；
当k＞0时，则两个整数为1和2，故2满足不等式且3不满足不等式，即8k≤ln2+1且15k＞ln3+1，
解得，
故答案为：{k|}．
29．已知函数，则不等式f（3x+1）+f（x）＞4的解集为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由，可得x∈R，所以函数f（x）的定义域为R，
由已知，，
则，
因为函数在R上递增且恒大于0，函数y＝log2025x在（0，+∞）上递增，
故函数在R上为增函数，又y＝2025x与y＝﹣2025﹣x均为增函数，
故函数在R上递增，
由不等式f（3x+1）+f（x）＞4，等价于f（3x+1）+f（x）＞f（x）+f（﹣x），即f（3x+1）＞f（﹣x），
可得3x+1＞﹣x，解得．
故答案为：．
30．已知函数在x∈（0，+∞）上单调递增，则ab的最小值是　　 ．
【答案】．
【解答】解：由题意函数在R上单调递增，
所以f'（x）＝（x﹣2b）ex﹣ax+2ab＝（ex﹣a）（x﹣2b）≥0在R上恒成立，
因为ex的值域是（0，+∞），要使这个乘积恒非负，那么ex﹣a与x﹣2b需同号，
当a＞0时，令ex＝a，即x＝lna，此时要让（ex﹣a）（x﹣2b）恒非负，
则lna＝2b，所以．
令，
g'（x），g'（）＝0，
g（x）在上单调递减，上单调递增，
则，所以ab的最小值为．
故答案为：．
31．已知函数．
（1）若函数f（x）为增函数，求实数a的取值范围；
（2）若函数g（x）＝f（x）﹣（2a+2）x，求函数g（x）的单调区间．
【答案】（1）[﹣1，7]．
（2）当a＞﹣1时，g（x）增区间为（﹣∞，﹣1）和（a，+∞），减区间为（﹣1，a）；
当a＝﹣1时，g（x）增区间为（﹣∞，+∞），无减区间；
当a＜﹣1时，g（x）增区间为（﹣∞，a）和（﹣1，+∞），减区间为（a，﹣1）．
【解答】解：（1）已知函数，为增函数，
所以f′（x）＝x2+（1﹣a）x+a+2≥0在x上恒成立，
所以Δ＝（1﹣a）2﹣4（a+2）≤0，
则a2﹣6a﹣7≤0，
可得﹣1≤a≤7，
即实数a的取值范围[﹣1，7]．
（2）函数g（x）＝f（x）﹣（2a+2）x，
则，
所以g′（x）＝x2+（1﹣a）x﹣a＝（x﹣a）（x+1），
当a＝﹣1时，则g′（x）＝（x+1）2≥0，g（x）增区间为（﹣∞，+∞），无减区间；
当a＞﹣1时，令g′（x）＞0，则x＜﹣1或x＞a，令g′（x）＜0，则﹣1＜x＜a，
所以g（x）增区间为（﹣∞，﹣1）和（a，+∞），减区间为（﹣1，a）；
当a＜﹣1时，令g′（x）＞0，则x＜a或x＞﹣1，令g′（x）＜0，则a＜x＜﹣1，
所以g（x）增区间为（﹣∞，a）和（﹣1，+∞），减区间（a，﹣1）；
综上：
当a＞﹣1时，g（x）增区间为（﹣∞，﹣1）和（a，+∞），减区间为（﹣1，a）；
当a＝﹣1时，g（x）增区间为（﹣∞，+∞），无减区间；
当a＜﹣1时，g（x）增区间为（﹣∞，a）和（﹣1，+∞），减区间为（a，﹣1）．
32．已知函数f（x）＝ax2﹣xlnx，a∈R．
（1）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；
（2）若过点（0，1）可作曲线y＝f（x）的两条切线l1，l2，记直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，求k1+k2的取值范围．
【答案】（1）[，+∞）；
（2）（﹣∞，﹣2ln2）．
【解答】解：（1）因为函数f（x）在定义域内单调递增，
所以f′（x）＝2ax﹣lnx﹣1≥0在（0，+∞）上恒成立，
所以在（0，+∞）上恒成立，
令，则，
当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以当x＝1时，，
所以，即a的取值范围是[，+∞）．
（2）设切点为（t，f（t））（t＞0），
则k＝f′（t）＝2at﹣lnt﹣1，
所以切线方程为y﹣f（t）＝k（x﹣t），
又切线过点（0，1），所以1﹣f（t）＝﹣kt，即1﹣at2+tlnt＝﹣（2at﹣lnt﹣1）t，
化简可得at2﹣t+1＝0，
因为存在两条切线，所以方程有两个不等的正根，
故，解得，
此时，
所以k1+k2＝2at1﹣lnt1﹣1+2at2﹣lnt2﹣1＝2a（t1+t2）﹣ln（t1t2）﹣2
，
由，可知，
所以k1+k2的取值范围为（﹣∞，﹣2ln2）．
33．设ξ∈N*，η∈N*，函数h（x）在x＝0处的[ξ，η]阶帕德逼近定义为，且h（0）＝R（0），h′（0）＝R′（0），h″（0）＝R″（0）， ，h（ξ+η）（0）＝R（ξ+η）（0）．其中h″（x）＝[h′（x）]′，h （x）＝[h″（x）]′， ，h（ξ+η）（x）＝[h（ξ+η﹣1）（x）]′．已知函数f（x）＝2ex+x2+1，记R（x）为f（x）在x＝0处的[1，1]阶帕德逼近．
（1）求R（x）的解析式．
（2）证明：当x∈（0，1）时，．
（3）设正项数列{tn}的前n项和为Tn，且，2t1＝1，证明：．
【答案】（1）；
（2）证明见解析．
（3）证明见解析．
【解答】解：（1）由题意得，
因为f（x）＝2ex+x2+1，所以f′（x）＝2ex+2x，f″（x）＝2ex+2，
则f（0）＝3，f′（0）＝2，f″（0）＝4，
由f（0）＝R（0），得λ0＝3，
所以，
则，由f′（0）＝R′（0），得λ1﹣3μ1＝2，
所以，由f″（0）＝R″（0），得﹣2μ1（λ1﹣3μ1）＝4，
解得λ1＝﹣1，μ1＝﹣1，
所以；
（2）当x∈（0，1）时，要证，
即证，也就是证，
令，则，
所以φ（x）在（0，1）上单调递增，
则，即，所以；
（3）由，得，
因为，所以．
因为tn＞0，所以，则．
令函数ω（x）＝（1﹣x）ex，x∈（0，+∞），则ω′（x）＝﹣xex＜0，
所以ω（x）在（0，+∞）上单调递减，所以ω（x）＜（1﹣0）e0＝1，
所以，即tn+1＜tn，
因为，所以．
由（2）得，
设函数K（x）＝x+1﹣ex，K′（x）＝1﹣ex．
当x＜0时，K′（x）＞0，K（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
当x＞0时，K′（x）＜0，K（x）在（0，+∞）上单调递减，
所以K（x）≤K（0）＝0，即x+1≤ex，当且仅当x＝0时，等号成立，
所以，即，即，
所以，即，
所以．
令，则，
所以d（x）在上单调递增，故d（x）≥d（0）＝0，
所以，则，所以，
所以，即，所以，则，
所以，
所以，即．
34．已知函数f（x）＝ln（1+x）+x﹣asinx，a＞0．
（1）若函数f（x）在（﹣1，0）单调增，求实数a的取值范围；
（2）当时，f（x）≤0，求实数a的值；
（3）求证：．
【答案】（1）（0，2]；
（2）a＝2；
（3）证明见解析．
【解答】解：（1）据题意函数f（x）＝ln（1+x）+x﹣asinx，a＞0，
可得，，
则当x∈（﹣1，0）时，f″（x）≤0，则f′（x）在区间（﹣1，0）上单调递减，所以f′（x）min＝f′（0）＝2﹣a，
由于f（x）在区间（﹣1，0）上单调递增，则f′（x）≥0恒成立，即2﹣a≥0，故0＜a≤2，
故实数a的取值范围为（0，2]；
（2）下面证明：当a＝2时，f（x）≤0恒成立，此时f（x）＝ln（1+x）+x﹣2sinx，
由（1）知，当x∈（﹣1，0）时，f（x）≤f（0）＝0，符合；
当时，f（x）＝ln（1+x）+x﹣asinx，a＞0，
，
，
，
则f″（x）在区间上单调递增，由于f″（0）＝﹣1＜0，
，则存在，使f″（t）＝0，
则f''（x）＜0，0＜x＜t，即f′（x）在区间（0，t）上单调递减，，即在区间上单调递增，又f′（0）＝0，，
所以f′（x）≤0对恒成立，
即f（x）在区间上单调递减，故f（x）≤f（0）＝0．
综上，a＝2．
（3）证明：由（2）知：ln（1+x）+x＜2sinx对恒成立，
令，，
所以
．
35．已知函数，若f（x）在区间上存在单调递增区间，求a的取值范围．
【答案】．
【解答】解：已知函数，
则，
又f（x）在上存在单调递增区间，
则当时，f′（x）＞0有解，
即有解，
因为，
所以，
则，
即，
故a的取值范围是．
▉题型4 利用导数研究函数的极值
【知识点的认识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
36．已知函数f（x）＝x3+ax2+b在x＝﹣2时取得极大值4，则a+b＝ 　3　 ．
【答案】3
【解答】解：由题意可知f′（x）＝3x2+2ax，
因为函数f（x）＝x3+ax2+b在x＝﹣2时取得极大值4，
所以，
解之得，
检验：此时f′（x）＝3x（x+2），
令f′（x）＞0 x＞0或x＜﹣2，
令f′（x）＜0 x＞﹣2，
所以f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递增，在（﹣2，0）上单调递减，
即，满足题意，
故a+b＝3．
故答案为：3．
（多选）37．三次函数f（x）＝x2（x﹣3）的性质，下列说法正确的是（　　）
A．函数f（x）在x＝0处的切线方程为y＝0
B．f（x）的极小值点为x＝0
C．当﹣4＜a＜0时，方程f（x）＝a有三个实根
D．f（x）的图象关于点（1，﹣2）对称
【答案】ACD
【解答】解：对于选项A：因为f（x）＝x2（x﹣3）＝x3﹣3x2的定义域为R，
且f'（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2），
可得f（0）＝0，f'（0）＝0，即切点坐标为（0，0），切线斜率为0，
所以函数f（x）在x＝0处的切线方程为y＝0，故A正确；
对于选项B：令f'（x）＞0，解得x＞2或x＜0；令f'（x）＜0，解得0＜x＜2；
可知f（x）在（2，+∞），（﹣∞，0）上单调递增，在（0，2）上单调递减，
所以f（x）的极小值点为x＝2，极大值点为x＝0，故B错误；
对于选项C：因为f（2）＝﹣4，f（0）＝0，结合选项B可得函数f（x）的图象：
由图可知：当﹣4＜a＜0时，y＝f（x）与y＝a有三个交点，
即方程f（x）＝a有三个实根，故C正确；
对于选项D：因为f（1+x）+f（1﹣x）＝（1+x）3﹣3（1+x）2+（1﹣x）3﹣3（1﹣x）2
＝1+3x+3x2+x3﹣3（1+2x+x2）+1﹣3x+3x2﹣x3﹣3（1﹣2x+x2）＝﹣4，
所以f（x）的图象关于点（1，﹣2）对称，故D正确．
故选：ACD．
（多选）38．已知函数f（x）＝2x3﹣6x+1，则（　　）
A．g（x）＝f（x）﹣1为奇函数
B．f（x）的单调递增区间为（﹣1，1）
C．f（x）的极小值为﹣3
D．若关于x的方程f（x）﹣m＝0恰有3个不等的实根，则m的取值范围为（﹣3，5）
【答案】ACD
【解答】解：由f（x）＝2x3﹣6x+1，得f′（x）＝6x2﹣6＝6（x﹣1）（x+1），
对于A，由g（x）＝f（x）﹣1＝2x3﹣6x，定义域为R，关于原点对称，
且g（﹣x）＝2（﹣x）3﹣6（﹣x）＝﹣2x3+6x＝﹣g（x），故g（x）为奇函数，A正确；
对于B，由f′（x）＝6（x﹣1）（x+1）＞0，解得x＜﹣1或x＞1，
即函数f（x）的递增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），B错误；
对于C，由f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的递减区间为（﹣1，1），
结合B选项中的解答，函数f（x）的极小值为f（1）＝﹣3，C正确；
对于D，结合B，C选项的解答可知：函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在区间（﹣1，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，
极大值为f（﹣1）＝5，极小值为f（1）＝﹣3，
又由关于x的方程f（x）﹣m＝0恰有3个不等的实根，
即函数y＝f（x）与y＝m的图象有3个不同的交点，可得﹣3＜m＜5，
所以实数m的取值范围为（﹣3，5），所以D正确．
故选：ACD．
39．已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣a3．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
【答案】（1）y＝（e﹣1）x﹣1；
（2）a的取值范围是（1，+∞）．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝ex﹣x﹣1，
∴f（1）＝e﹣2，f'（x）＝ex﹣1，∴切点坐标为（1，e﹣2），∴所求切线的斜率＝f′（1）＝e﹣1，
∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（e﹣2）＝（e﹣1）（x﹣1），整理得y＝（e﹣1）x﹣1．
（2）f（x）＝ex﹣ax﹣a3，∴f'（x）＝ex﹣a，
当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增，此时f（x）无极值；
当a＞0时，令f'（x）＝ex﹣a＝0，得x＝lna，
当x＜lna时，f′（x）＜0，f（x）的减区间为（﹣∞，lna），
当x＞lna时，f′（x）＞0，f（x）的增区间为（lna，+∞），
∴f（x）的极小值f（lna）＝a﹣alna﹣a3＜0，即a2+lna﹣1＞0，
令g（a）＝a2+lna﹣1，则g′（a）＝2a0，
∴g（a）在（0，+∞）上单调递增，且g（1）＝0，
不等式a2+lna﹣1＞0，等价于g（a）＞g（1），∴a＞1，
∴a的取值范围是（1，+∞）．
40．已知函数f（x）＝e2x﹣aex﹣a2x．
（1）当a＝﹣2时，求f（x）的极值；
（2）当x≥0时，f（x）≥kx2+b；
（ⅰ）若k＝1，b＝0，求a的最大值；
（ⅱ）若k＝2，b＝﹣2，求整数a的最大值．
【答案】（1）极小值为3，无极大值；
（2）（ⅰ）1；（ⅱ）1．
【解答】解：（1）当a＝﹣2时，f（x）＝e2x+2ex﹣4x，
则f′（x）＝2e2x+2ex﹣4＝2（ex+2）（ex﹣1），
令f′（x）＞0，得x＞0，令f′（x）＜0，得x＜0，
所以函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
则x＝0时，f（x）取得极小值为f（0）＝3，无极大值．
（2）由f（x）≥kx2+b，得e2x﹣aex﹣a2x﹣kx2﹣b≥0在x≥0时恒成立，
设g（x）＝e2x﹣aex﹣a2x﹣kx2﹣b，则g（x）≥0在x≥0时恒成立．
（ⅰ）当k＝1，b＝0时，即为g（x）＝e2x﹣aex﹣a2x﹣x2≥0对于x≥0恒成立，
则g（0）＝1﹣a≥0，即a≤1，
取a＝1，下面证明g（x）＝e2x﹣ex﹣x﹣x2≥0对于x≥0恒成立，
因为g（x）＝e2x﹣ex﹣x﹣x2，所以g′（x）＝2e2x﹣ex﹣1﹣2x，
设h（x）＝2e2x﹣ex﹣1﹣2x，x≥0，则h′（x）＝4e2x﹣ex﹣2，
设u（x）＝4e2x﹣ex﹣2，x≥0，则u′（x）＝8e2x﹣ex＞0，
所以函数u（x）在[0，+∞）上单调递增，则u（x）＝h′（x）≥u（0）＝1＞0，
则函数h（x）在[0，+∞）上单调递增，即h（x）＝g′（x）≥h（0）＝0，
所以函数g（x）在[0，+∞）上单调递增，则g（x）≥g（0）＝0，
即g（x）＝e2x﹣ex﹣x﹣x2≥0对于x≥0恒成立．
综上所述，a的最大值为1．
（ⅱ）当k＝2，b＝﹣2时，即为g（x）＝e2x﹣aex﹣a2x﹣2x2+2≥0对于x≥0恒成立，
则g（0）＝3﹣a≥0，即a≤3，由题意a为整数，
当a＝3时，g（x）＝e2x﹣3ex﹣9x﹣2x2+2，则g（1）＝e2﹣3e﹣9＜0，不满足题意；
当a＝2时，g（x）＝e2x﹣2ex﹣4x﹣2x2+2，则g（1）＝e2﹣2e﹣4＜0，不满足题意；
取a＝1，下面证明g（x）＝e2x﹣ex﹣x﹣2x2+2≥0对于x≥0恒成立，
因为g（x）＝e2x﹣ex﹣x﹣2x2+2，则g′（x）＝2e2x﹣ex﹣1﹣4x，
设m（x）＝2e2x﹣ex﹣1﹣4x，x≥0，
则m′（x）＝4e2x﹣ex﹣4，由（ⅰ）知，函数u（x）＝4e2x﹣ex﹣2在[0，+∞）上单调递增，
则m′（x）在[0，+∞）上单调递增，又m′（0）＝﹣1，m′（1）＝4e2﹣e﹣4＞0，
所以存在x0∈（0，1），使得，即，
则x∈[0，x0）时，m′（x）＜0，x∈（x0，+∞）时，m′（x）＞0，
所以函数m（x）在[0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
因为m（0）＝0，m（x0）＜m（0）＝0，m（1）＝2e2﹣e﹣5＞0，
所以存在x1∈（x0，1），使得，即，
则x∈[0，x1）时，m（x）＝g′（x）＜0，x∈（x1，+∞）时，m（x）＝g′（x）＞0，
所以函数g（x）在[0，x1）上单调递减，在（x1，+∞）上单调递增，
则，
由（ⅰ）知，e2x﹣ex﹣x﹣x2≥0对于x≥0恒成立，
而x1∈（x0，1），则，
则，
综上所述，整数a的最大值为1．
41．已知函数为奇函数，且a，k∈R．函数h（x）＝lnx+cosx．
（1）求a，k的值．
（2）（ⅰ）设t是函数h（x）的一个极值点，证明：tsint＝1；
（ⅱ）证明：函数h（x）有且仅有一个零点x0.（参考数据：，，，，ln2≈0.693，ln3≈1.099）
【答案】（1）k＝1，a＝3或k＝﹣1，a＝﹣3；
（2）证明：（i）函数h（x）＝lnx+cosx的定义域为（0，+∞），求导得，
令h′（x）＝0，得，所以，即tsint＝1，得证；
（ii）因为，
，
由零点存在定理可知，存在，使得h（x0）＝0，
唯一性：，作出与y＝sinx大致图象如下，
因为，，，
存在，使得h′（x1）＝0，即，所以，
当时，，h′（x1）＜0，当x∈（x1，π）时，，h′（x）＞0，
故函数h（x）在上单调递减，在（x1，π）上单调递增，
当时，，
设g（x）＝﹣lnsinx+cosx，，则，
因为，所以，，即，
所以，即g′（x）＞0，所以g（x）在上单调递增，
所以，
即时，h（x）min＞0，作出y＝﹣lnx与y＝cosx的大致图象如下，
观察图象可知，当时h（x）min＞0，当x∈[π，+∞）时，h（x）＞0，
综上，
当时，h（x）＞0，函数h（x）无零点，
当时，单调递减，
当x→0时，h′（0）→+∞；当时，，
存在唯一实数，使得x∈（0，m）时h′（x）＞0，时h′（x）＜0，
所以h（x）≤h（m），又h（x）在上单调递减，，
所以h（m）＞0，则h（x）在（0，m）上有一个零点，在上无零点，
故h（x）在上只有一个零点，即时，函数h（x）有唯一的零点，
综上，函数h（x）有且仅有一个零点x0．
【解答】解：（1）由2x﹣k≠0，得2x≠k，
若k＞0，则定义域为{x|x≠log2k}，要使其关于原点对称，
因此log2k＝0，解得k＝1，此时，
由f（﹣x）＝﹣f（x），得，得，
因此a+3 2x＝a 2x+3，整理得（a﹣3）（2x﹣1）＝0对任意x≠0恒成立，则a＝3；
若k≤0，则定义域为R，则f（0）＝0，即，
解得a＝﹣3，此时，
由f（﹣x）＝﹣f（x），得，得，
所以1﹣k 2x＝2x﹣k，整理得（k+1）（2x﹣1）＝0，对任意x∈R恒成立，则k＝﹣1，
综上，k＝1，a＝3或k＝﹣1，a＝﹣3；
（2）证明：（i）函数h（x）＝lnx+cosx的定义域为（0，+∞），求导得，
令h′（x）＝0，得，因此，即tsint＝1，得证；
（ii）因为，
，
由零点存在定理可知，存在，使得h（x0）＝0，
唯一性：，作出与y＝sinx大致图象如下，
因为，，，
存在，使得h′（x1）＝0，即，因此，
当时，，h′（x1）＜0，当x∈（x1，π）时，，h′（x）＞0，
故函数h（x）在上单调递减，在（x1，π）上单调递增，
当时，，
设g（x）＝﹣lnsinx+cosx，，则，
因为，因此，，即，
因此，即g′（x）＞0，因此g（x）在上单调递增，
因此，
即时，h（x）min＞0，作出y＝﹣lnx与y＝cosx的大致图象如下，
观察图象可知，当时，h（x）min＞0，当x∈[π，+∞）时，h（x）＞0，
综上，
当时，h（x）＞0，函数h（x）无零点，
当时，单调递减，
当x→0时，h′（0）→+∞；当时，，
存在唯一实数，使得x∈（0，m）时h′（x）＞0，时h′（x）＜0，
因此h（x）≤h（m），又h（x）在上单调递减，，
因此h（m）＞0，则h（x）在（0，m）上有一个零点，在上无零点，
故h（x）在上只有一个零点，即时，函数h（x）有唯一的零点，
综上，函数h（x）有且仅有一个零点x0．
42．定义：如果函数f（x）在定义域内，存在极大值f（x1）和极小值f（x2），且存在一个常数k，使f（x1）﹣f（x2）＝k（x1﹣x2）成立，则称函数f（x）为极值可差比函数，常数k称为该函数的极值差比系数．已知函数f（x）＝x
（1）当时，求k；
（2）是否存在a使f（x）的极值差比系数为2﹣a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（3）若，求f（x）的极值差比系数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）不存在，理由见解析；
（3）．
【解答】解：（1）当时，，
所以，
当时，f′（x）＞0；当时，f′（x）＜0，
所以f（x）在和（2，+∞）上单调递增，在上单调递减，
所以f（x）极大值，f（x）极小值，
所以，
因此f（x）是极值可差比函数，
其中．
（2）f（x）的定义域为（0，+∞），，
假设f（x）是极值可差比函数，且极值差比系数为2﹣a，
设f（x）的极大值点为x1，极小值点为x2．
则，得a＞2，由（1）分析可得x1＜x2，
又x1x2＝1，则0＜x1＜1＜x2．
由于
．
由题则有：，
从而，
结合x1x2＝1，得（*）．
令，则，
所以g（x）在（1，+∞）上单调递增，有g（x）＞g（1）＝0，
因此（*）方程在x2＞1时无解，即不存在a使f（x）的极值差比系数为2﹣a．
（3）由（2）知f（x）极值差比系数为，又x1+x2＝a，
则f（x）极值差比系数为．
令，t∈（0，1），则极值差比系数可化为，
注意到，又，可得，
令，则，
设，，
所以h（t）在上单调递减，
当时，，从而p′（t）＞0，
所以p（t）在上单调递增，所以，
即．
故f（x）的极值差比系数的取值范围为
▉题型5 函数在某点取得极值的条件
【知识点的认识】
极值的判断首先要求：1、该处函数值有意义，2、该处函数连续．求极值的时候F'（X）＝0是首先考虑的，但是对于F'（X）无意义的点也要讨论，只要该点有函数值且函数连续、两边导函数值异号，就可以确定该点是极值点．具备了这些条件，我们进一步判定极大值和极小值：当这个点左边的导函数大于0时，即左边单调递增，右边的导函数小于0时，即右边单调递减，此时这个点就是极大值，你可以把他理解成波峰的那个点；那么波谷的那个点就是极小值，情况相反．
43．“”是“函数f（x）＝ax3﹣x2+x有极值”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：由题意函数f（x）＝ax3﹣x2+x有极值，
可得f′（x）＝3ax2﹣2x+1要有变号零点，
当a＝0，f′（x）＝﹣2x+1＝0，x，有变号零点，符合题意；
当a≠0，f′（x）＝3ax2﹣2x+1＝0，
即要Δ＝4﹣12a＞0，解得a，
综上，a或a＝0，
可得“”是“函数f（x）＝ax3﹣x2+x有极值”的充分不必要条件．
故选：A．
44．如图是y＝f（x）的导函数f′（x）的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（　　）
A．当x＝3时，f（x）取得极小值
B．f（x）在[﹣2，1]上是增函数
C．当x＝1时，f（x）取得极大值
D．f（x）在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数
【答案】D
【解答】解：如图是y＝f（x）的导函数f′（x）的图象，
对于A，f′（3）≠0，不满足取极值的必要条件，故A错误；
对于B，当﹣2＜x＜﹣1时，f′（x）＜0，这表明f（x）在（﹣2，﹣1）上单调递增，故B错误；
对于C，f′（1）≠0，不满足取极值的必要条件，故C错误；
对于D，当﹣1＜x＜2时，f′（x）＞0，当2＜x＜4时，f′（x）＜0，
所以f（x）在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数，故D正确．
故选：D．
45．如图是函数f（x）的导函数f′（x）的部分图象，则f（x）的一个极大值点为（　　）
A．x1 B．x2 C．x3 D．x4
【答案】B
【解答】解：由图象可得f（x2）＝f（x3）＝f（x4）＝0，
且在（x1，x2）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
在（x2，x3）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
在（x3，+∞）上，f′（x）≥0，f（x）单调递增，
所以只有x2是f（x）的极大值点．
故选：B．
46．定义在区间[﹣1，3]上的函数f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则函数f（x）的极大值点为 　1　 ．
【答案】1．
【解答】解：结合在区间[﹣1，3]上的函数f（x）的导函数y＝f′（x）的图象可知极大值点在导函数f′（x）的零点处，且满足零点的左侧为正，右侧为负，
由导函数的图象可知，这样的极大值点为1，
故答案为：1．
47．若a＞0，b＞0，且函数f（x）＝4x3﹣ax2﹣bx﹣2在x＝1处有极值，则ab的最大值　18　 ．
【答案】18
【解答】解：f′（x）＝12x2﹣2ax﹣b，
因为f（x）在x＝1处有极值，
所以f′（1）＝0，即12﹣2a﹣b＝0，也即2a+b＝12．
又a＞0，b＞0，
所以2a b36，当且仅当2a＝b＝6，即a＝3，b＝6时取等号．
所以ab≤18，即ab的最大值为18．
故答案为：18．
48．设f（x）x3ax2+2bx+c的两个极值点分别是x1，x2，若x1∈（﹣2，﹣1），x2∈（﹣1，0），则2a+b的取值范围是（　　）
A．（1，7） B．（2，7） C．（1，5） D．（2，5）
【答案】B
【解答】解：由题意，f′（x）＝x2+ax+2b．
∵f（x）x3ax2+2bx+c的两个极值点分别是x1，x2，x1∈（﹣2，﹣1），x2∈（﹣1，0）
∴，
对应的平面区域如图所示，三个顶点坐标为（1，0），（2，0），（3，1），则
在（1，0）处，2a+b＝2，在（3，1）处，2a+b＝7，
∴2a+b的取值范围是（2，7）．
故选：B．
49．已知函数f（x）＝x3+bx2+xc+d（b、c、d为常数），当k∈（﹣∞，0）∪（4，+∞）时，f（x）﹣k＝0只有一个实根，当k∈（0，4）时，f（x）﹣k＝0有3个相异实根，现给出下列4个命题；
①函数f（x）有2个极值点；
②函数f（x）有3个极值点；
③f（x）＝4和f′（x）＝0有一个相同的实根；
④f（x）＝0和f′（x）＝0有一个相同的实根；
其中正确命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：∵函数f（x）＝x3+bx2+xc+d，∴f′（x）＝3x2+2bx+c
由题意，当k∈（﹣∞，0）∪（4，+∞）时，f（x）﹣k＝0只有一个实根，当k∈（0，4）时，f（x）﹣k＝0有3个相异实根，故函数即为极大值，又有极小值，且极大值为4，极小值为0，故①正确，②错误；
f（x）﹣4＝0与f'（x）＝0有一个相同的实根，即极大值点，故③正确；
f（x）＝0与f'（x）＝0有一个相同的实根，即极小值点，故④正确，
故正确命题的个数是3个
故选：C．
43．“”是“函数f（x）＝ax3﹣x2+x有极值”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：由题意函数f（x）＝ax3﹣x2+x有极值，
可得f′（x）＝3ax2﹣2x+1要有变号零点，
当a＝0，f′（x）＝﹣2x+1＝0，x，有变号零点，符合题意；
当a≠0，f′（x）＝3ax2﹣2x+1＝0，
即要Δ＝4﹣12a＞0，解得a，
综上，a或a＝0，
可得“”是“函数f（x）＝ax3﹣x2+x有极值”的充分不必要条件．
故选：A．
44．如图是y＝f（x）的导函数f′（x）的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（　　）
A．当x＝3时，f（x）取得极小值
B．f（x）在[﹣2，1]上是增函数
C．当x＝1时，f（x）取得极大值
D．f（x）在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数
【答案】D
【解答】解：如图是y＝f（x）的导函数f′（x）的图象，
对于A，f′（3）≠0，不满足取极值的必要条件，故A错误；
对于B，当﹣2＜x＜﹣1时，f′（x）＜0，这表明f（x）在（﹣2，﹣1）上单调递增，故B错误；
对于C，f′（1）≠0，不满足取极值的必要条件，故C错误；
对于D，当﹣1＜x＜2时，f′（x）＞0，当2＜x＜4时，f′（x）＜0，
所以f（x）在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数，故D正确．
故选：D．
45．如图是函数f（x）的导函数f′（x）的部分图象，则f（x）的一个极大值点为（　　）
A．x1 B．x2 C．x3 D．x4
【答案】B
【解答】解：由图象可得f（x2）＝f（x3）＝f（x4）＝0，
且在（x1，x2）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
在（x2，x3）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
在（x3，+∞）上，f′（x）≥0，f（x）单调递增，
所以只有x2是f（x）的极大值点．
故选：B．
46．定义在区间[﹣1，3]上的函数f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则函数f（x）的极大值点为 　1　 ．
【答案】1．
【解答】解：结合在区间[﹣1，3]上的函数f（x）的导函数y＝f′（x）的图象可知极大值点在导函数f′（x）的零点处，且满足零点的左侧为正，右侧为负，
由导函数的图象可知，这样的极大值点为1，
故答案为：1．
47．若a＞0，b＞0，且函数f（x）＝4x3﹣ax2﹣bx﹣2在x＝1处有极值，则ab的最大值　18　 ．
【答案】18
【解答】解：f′（x）＝12x2﹣2ax﹣b，
因为f（x）在x＝1处有极值，
所以f′（1）＝0，即12﹣2a﹣b＝0，也即2a+b＝12．
又a＞0，b＞0，
所以2a b36，当且仅当2a＝b＝6，即a＝3，b＝6时取等号．
所以ab≤18，即ab的最大值为18．
故答案为：18．
48．设f（x）x3ax2+2bx+c的两个极值点分别是x1，x2，若x1∈（﹣2，﹣1），x2∈（﹣1，0），则2a+b的取值范围是（　　）
A．（1，7） B．（2，7） C．（1，5） D．（2，5）
【答案】B
【解答】解：由题意，f′（x）＝x2+ax+2b．
∵f（x）x3ax2+2bx+c的两个极值点分别是x1，x2，x1∈（﹣2，﹣1），x2∈（﹣1，0）
∴，
对应的平面区域如图所示，三个顶点坐标为（1，0），（2，0），（3，1），则
在（1，0）处，2a+b＝2，在（3，1）处，2a+b＝7，
∴2a+b的取值范围是（2，7）．
故选：B．
49．已知函数f（x）＝x3+bx2+xc+d（b、c、d为常数），当k∈（﹣∞，0）∪（4，+∞）时，f（x）﹣k＝0只有一个实根，当k∈（0，4）时，f（x）﹣k＝0有3个相异实根，现给出下列4个命题；
①函数f（x）有2个极值点；
②函数f（x）有3个极值点；
③f（x）＝4和f′（x）＝0有一个相同的实根；
④f（x）＝0和f′（x）＝0有一个相同的实根；
其中正确命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：∵函数f（x）＝x3+bx2+xc+d，∴f′（x）＝3x2+2bx+c
由题意，当k∈（﹣∞，0）∪（4，+∞）时，f（x）﹣k＝0只有一个实根，当k∈（0，4）时，f（x）﹣k＝0有3个相异实根，故函数即为极大值，又有极小值，且极大值为4，极小值为0，故①正确，②错误；
f（x）﹣4＝0与f'（x）＝0有一个相同的实根，即极大值点，故③正确；
f（x）＝0与f'（x）＝0有一个相同的实根，即极小值点，故④正确，
故正确命题的个数是3个
故选：C．
▉题型6 利用导数求解函数的极值
【知识点的认识】
1、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
2、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
50．若函数在x＝2时取得极小值，则f（x）的极大值为（　　）
A． B．1 C． D．e
【答案】D
【解答】解：易知f（x）的定义域为R，
可得，
若函数f（x）在x＝2时取得极小值，
此时f′（2）＝0，
即4+2（b﹣2）+1﹣b＝0，
解得b＝﹣1，
所以，
因为，
所以，
令f′（x）＝0，
解得x＝1或x＝2，
当x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当1＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以当x＝1时，f（x）取得极大值，极大值．
故选：D．
51．已知函数f（x）＝x2+aln（x+1），a∈R．
（1）若函数f（x）有两个不同的极值点，求a的取值范围；
（2）求函数的单调递减区间．
【答案】（1）；
（2）当a＞8时，函数g（x）在上单调递减；
当a＝8时，函数g（x）无单调递减区间；
当0＜a＜8时，函数g（x）在上单调递减；
当a≤0时，函数g（x）在（﹣1，1）上单调递减．
【解答】解：（1）易知f（x）的定义域为（﹣1，+∞），
可得，
令f′（x）＝0，可得2x2+2x+a＝0，
因为函数f（x）有两个不同的极值点，
所以2x2+2x+a＝0有两个大于﹣1的不等实根，
此时，
解得，
则a的取值范围为；
（2）因为，
可得g′（x）＝2x，
令g'（x）＝0，
解得或x＝1，
当a＞8时，，
令g′（x）＜0，
解得，
所以函数g（x）在上单调递减；
当a＝8时，，
令g′（x）＜0，
解得x∈ ，
所以函数g（x）无单调递减区间；
当0＜a＜8时，，
令g′（x）＜0，
解得，
所以函数g（x）在上单调递减；
当a≤0时，，
令g′（x）＜0，
解得﹣1＜x＜1，
所以函数g（x）在（﹣1，1）上单调递减．
综上所述：当a＞8时，函数g（x）在上单调递减，
当a＝8时，函数g（x）无单调递减区间，
当0＜a＜8时，函数g（x）在上单调递减，
当a≤0时，函数g（x）在（﹣1，1）上单调递减．
52．已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣1，g（x）＝ln（x+2）﹣x﹣1（e为自然对数的底数，a∈R），函数f（x）的极值点为0．
（1）求a的值；
（2）证明：对 x∈（﹣2，+∞），f（x）＞g（x）；
（3）已知数列{an}的前n项和，证明：．
【答案】（1）a＝1；
（2）证明见解析；
（3）证明见解析．
【解答】解：（1）由f（x）＝ex﹣ax﹣1，得f′（x）＝ex﹣a，
因为函数f（x）的极值点为0，所以f′（0）＝e0﹣a＝0，解得a＝1．
若a＝1，f′（x）＝ex﹣1，当x＜0时，f′（x）＜0，当x＞0时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
所以0是函数f（x）的极值点，符合题意．
综上，a＝1．
（2）证明：令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝ex﹣x﹣1﹣[ln（x+2）﹣x﹣1]＝ex﹣ln（x+2），x∈（﹣2，+∞），则．
易知h′（x）在（﹣2，+∞）上单调递增，，
所以 x0∈（﹣1，0），使得h′（x0）＝0．
当﹣2＜x＜x0时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；
当x＞x0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
所以h（x）的极小值为h（x0），也是h（x）的最小值．
由h′（x0）＝0，得，且x0∈（﹣1，0），
所以，
当且仅当x0＝﹣1时等号成立，但x0∈（﹣1，0），所以等号不成立，即h（x0）＞0．
所以h（x）≥h（x0）＞0，即f（x）＞g（x）．
（3）证明：当n≥2时，，
当n＝1时，a1＝S1＝ln2，满足上式，
所以．
由（2）知对 x∈（﹣2，+∞），f（x）＞g（x），即ex＞ln（x+2），
取，则，所以，即．
所以．
▉题型7 由函数的极值求解函数或参数
【知识点的认识】
1、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
2、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
53．已知函数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
【答案】（1）当时，f（x）在（0，1）和单调递减，在单调递增；
当时，f（x）在（0，+∞）单调递减；
当时，f（x）在和（1，+∞）单调递减，在单调递增．
（2）．
【解答】解：（1）由题可得，，x∈（0，+∞），
令f′（x）＝0，解得x＝1或，
当，即时，则f'（x）≤0，所以f（x）在（0，+∞）单调递减；
当，即时，
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当若，即时，
当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
综上，当时，f（x）在（0，1）和单调递减，在单调递增；
当时，f（x）在（0，+∞）单调递减；
当时，f（x）在和（1，+∞）单调递减，在单调递增．
（2）由（1）可知，当时，f（x）在（0，+∞）单调递减，没有极小值，不符合题意；
当时，f（x）在（0，1）和单调递减，在单调递增，
x＝1为f（x）的极小值点，此时极小值f（1）＝﹣2a+1＞0，不符合题意；
当时，f（x）在和（1，+∞）单调递减，在单调递增，
为f（x）的极小值点，
所以，
由f（x）的极小值小于0可得﹣（2a+1）ln（2a）﹣1+2a＜0，
设g（x）＝﹣（x+1）lnx﹣1+x（x＞1），则，
所以g（x）在（1，+∞）上单调递减，g（x）＜g（1）＝0，
即可知﹣（2a+1）ln（2a）﹣1+2a＜0成立，满足题意．
综上，a的取值范围是．
▉题型8 利用导数研究函数的最值
【知识点的认识】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
54．已知m，n为实数，f（x）＝ex﹣mx+n﹣1，若f（x）≥0对x∈R恒成立，则的最小值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解答】解：f（x）＝ex﹣mx+n﹣1，f'（x）＝ex﹣m，
当m≤0时，f'（x）＞0恒成立，则f（x）单调递增，f（0）＝n，显然f（x）≥0不恒成立，
当m＞0时，x∈（﹣∞，lnm）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；x∈（lnm，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，
∴f（x）min＝f（lnm）＝m﹣mlnm+n﹣1，
∵f（x）≥0恒成立，∴m﹣mlnm+n﹣1≥0，
∴n≥mlnm﹣m+1，
∴，
令，
在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，
∴h（m）min＝h（1）＝0．
故选：B．
55．函数f（x）＝2x+sinx在区间[0，π]上的（　　）
A．最小值为0，最大值为π+1
B．最小值为0，最大值为2π
C．最小值为π+1，最大值为2π
D．最小值为0，最大值为2
【答案】B
【解答】解：f′（x）＝2+cosx＞0，
所以f（x）在区间[0，π]上单调递增，
因此f（x）的最小值为f（0）＝0，最大值为f（π）＝2π．
故选：B．
56．已知函数f（x）＝ax3﹣x2﹣3x+b，且当x＝3时，f（x）有极值﹣5．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[﹣4，4]上的最大值和最小值．
【答案】（1）；
（2）最大值为，最小值为．
【解答】解：（1）由f（x）＝ax3﹣x2﹣3x+b，得f′（x）＝3ax2﹣2x﹣3，
又当x＝3时，f（x）有极值﹣5，
所以，解得，
所以f′（x）＝x2﹣2x﹣3＝（x+1）（x﹣3），当x∈（﹣1，3）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（3，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
所以当x＝3时，f（x）有极小值﹣5．
所以．
（2）由（1）知f′（x）＝（x+1）（x﹣3）．
令f′（x）＝0，得x1＝﹣1，x2＝3，
f′（x），f（x）的值随x的变化情况如下表：
x ﹣4 （﹣4，﹣1） ﹣1 （﹣1，3） 3 （3，4） 4
f′（x） + 0 ﹣ 0 +
f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值﹣5 单调递增
由表可知f（x）在[﹣4，4]上的最大值为，最小值为．
57．已知函数f（x）＝x2﹣ax，g（x）＝lnx．
（1）当a＝1时，求证：f（x）≥x g（x）；
（2）设，若对任意的a∈（1，2），总存在，使不等式成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解答】解：（1）证明：要证f（x）≥x g（x），只需证x﹣1≥lnx，
令h（x）＝x﹣1﹣lnx，x∈（0，+∞），，
由x∈（0，1）时，h'（x）＜0，x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，
所以h（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，
∴h（x）≥h（1）＝0，即x﹣1﹣lnx≥0，
∴f（x）≥x g（x）．
（2）由题意得，，
∵，显然，r'（x）＞0，
∴r（x）在区间上为增函数，
∴时，，
∴，
设，有φ（a）＞0在a∈（1，2）时恒成立，
∵，
①k＝0时，∵，显然φ'（a）＜0，
∴φ（a）在a∈（1，2）时单调递减，
此时φ（a）＜φ（1）＝0不符合；
②k＜0时，∵，显然φ'（a）＜0，
∴φ（a）在a∈（1，2）时单调递减，
此时φ（a）＜φ（1）＝0不符合；
③k＞0时，∵，
若，显然φ'（a）＜0，则φ（a）在区间（1，2）上单调递减，
此时φ（a）＜φ（1）＝0不符合；
若，显然当时，φ'（a）＜0，
则φ（a）在区间上单调递减，
此时φ（a）＜φ（1）＝0，不符合；
若时，则φ（a）在区间（1，2）上单调递增，
此时φ（a）＞φ（1）＝0，符合．
综上得，
解得，
即实数k的取值范围为．
58．已知函数f（x）＝（x+a）ln（x+1）（a∈R）．
（1）当a＝0时，讨论f（x）的单调性；
（2）当a＝1时，判断函数y＝f（x）﹣sinx在区间[0，+∞）上的零点个数；
（3）当x∈（0，π]时，sinx＞m（2﹣x）ln（x+1）恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）在（0，+∞）上单调递增，在（﹣1，0）上单调递减；
（2）1个零点；
（3）．
【解答】解：（1）由题意函数f（x）＝（x+a）ln（x+1）（a∈R），
当a＝0时，f（x）＝xln（x+1）（x＞﹣1），，
记（x＞﹣1），则，
所以当x∈（﹣1，+∞）时，t′（x）＞0，则f′（x）单调递增，
又f′（0）＝0，所以当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，在（﹣1，0）上单调递减；
（2）当a＝1时，y＝f（x）﹣sinx＝（x+1）ln（x+1）﹣sinx，x∈[0，+∞），
所以y′＝ln（x+1）+1﹣cosx，当x≥0时，ln（x+1）≥0，1﹣cosx≥0，
所以y′＝ln（x+1）+1﹣cosx≥0，
所以函数y＝f（x）﹣sinx在区间[0，+∞）上单调递增，
又f（0）﹣sin0＝0，所以函数y＝f（x）﹣sinx在区间[0，+∞）上只有一个零点；
（3）由题意当x∈（0，π]时，sinx＞m（2﹣x）ln（x+1）恒成立，
可令F（x）＝sinx﹣m（2﹣x）ln（x+1），x∈（0，π]，则F（x）＞0对x∈（0，π]恒成立，
①当m≤0时，F（π）＝sinπ﹣m（2﹣π）ln（π+1）＝﹣m（2﹣π）ln（π+1）≤0，
与F（x）＞0矛盾，不成立，
②当时，若x∈（0，2），
令h（x）＝x﹣2mln（x+1），则，
所以h（x）在（0，2）上单调递增，
又h（0）＝0，所以h（x）＞0，即，
所以，令，则g′（x）＝cosx+x﹣1，
令r（x）＝g′（x）＝cosx+x﹣1，则r′（x）＝﹣sinx+1≥0，所以r（x）即g′（x）在（0，2）上单调递增，
又g′（0）＝0，当x∈（0，2）时，g′（x）＞0，所以g（x）在（0，2）上单调递增，
所以g（x）＞g（0）＝0，所以，
所以，
若x∈[2，π]，sinx≥0，而m（2﹣x）ln（x+1）≤0，等号不同时成立，
所以sinx＞m（2﹣x）ln（x+1）恒成立，
③当时，若，则m（2﹣x）＞x+1，
即m（2﹣x）ln（x+1）＞（x+1）ln（x+1），
结合（2）的结论可知当x＞0时，（x+1）ln（x+1）＞sinx，
故m（2﹣x）ln（x+1）＞sinx，
所以时，存在x∈（0，π]使得F（x）＜0，故不成立，
综上所述，实数m的取值范围为．
▉题型9 利用导数求解函数的最值
【知识点的认识】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
59．已知函数f（x）＝ex，g（x）＝lnx，若a＞0，axa﹣1g（x）≤f（x）对于任意x＞1都成立，则a的最大值为e ．
【答案】e．
【解答】解：axa﹣1g（x）≤f（x）等价于axalnx≤xex，即xalnxa≤xex，变形为．
设h（x）＝xex（x＞0），h′（x）＝（x+1）ex＞0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，
当x＞1时，lnxa＞0，由h（lnxa）≤h（x）可得lnxa≤x，即对任意x＞1都成立，
设，，
当1＜x＜e时，m′（x）＜0，m（x）单调递减，当x＞e时，m′（x）＞0，m（x）单调递增，
所以m（x）的最小值为m（e）＝e，所以a≤e，即a的最大值为e．
故答案为：e．
60．已知函数其中a＞0．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
（2）若f（x）有3个不同的零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），
（i）证明：；
（ii）若x1，x2，x3成等差数列，求该数列的公差．
【答案】（1）y＝（e﹣2）x；
（2）（i）证明：当x≤0时，f（x）＝aex+2x单调递增，且f（0）＝a，
当x＞0时，f′（x）＝aex﹣2，
若a≥2，因为ex＞1，所以f′（x）＞0，
即f（x）在（0，+∞）上单调递增，且ae0﹣2×0＝a，
从而f（x）在R上单调递增，不可能有3个零点，不符合题意；
若0＜a＜2，令f′（x）＝0，可得，
当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
又当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，当x→+∞时，f（x）→+∞，
所以要使f（x）有3个零点，
必须，即，
解得：，得证；
（ii）．
【解答】解：（1）当a＝1时，，
当x＞0时，f′（x）＝ex﹣2，
所以f′（1）＝e﹣2，又f（1）＝e﹣2，
故所求切线方程为y＝（e﹣2）（x﹣1）+e﹣2，即y＝（e﹣2）x；
（2）（i）证明：当x≤0时，f（x）＝aex+2x单调递增，且f（0）＝a，
当x＞0时，f′（x）＝aex﹣2，
若a≥2，因为ex＞1，所以f′（x）＞0，
即f（x）在（0，+∞）上单调递增，且ae0﹣2×0＝a，
从而f（x）在R上单调递增，不可能有3个零点，不符合题意；
若0＜a＜2，令f′（x）＝0，可得，
当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
又当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，当x→+∞时，f（x）→+∞，
所以要使f（x）有3个零点，
必须，即，
解得：，得证；
（ii）由题可知，
所以，
则①，②，
设公差为d（d＞0），即x2﹣x1＝x3﹣x2＝d，
由①可得，
由②可得，
则，化简得（ed）2﹣2ed﹣1＝0，
解得（负值舍去），
即公差．

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