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第7章第2节 任意角的三角函数
题型1 任意角的三角函数的定义 题型2 三角函数值的符号
题型3 诱导公式 题型4 运用诱导公式化简求值
题型5 同角三角函数间的基本关系 题型6 同角正弦、余弦的平方和为1
题型7 同角正弦、余弦的商为正切
▉题型1 任意角的三角函数的定义
【知识点的认识】
任意角的三角函数
1定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sin α＝y，cos α＝x，tan α．
2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．
1．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（2a，a﹣2），且，则实数a的值是（　　）
A．﹣4和 B． C．﹣4 D．1
【答案】B
【解答】解：终边经过点P（2a，a﹣2），
则0，①
所以a＞0，
①式整理可得，5a2+16a﹣16＝0，解得（负值舍去）．
故选：B．
2．若角α的顶点是坐标原点O，始边与x轴非负半轴重合，点在角α的终边上，则sinα﹣tanα＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：设|OP|＝r，则r＝3，所以，，
故．
故选：B．
3．角α的终边落在射线y＝3x（x≤0）上，则cosα的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由题意角α的终边落在射线y＝3x（x≤0）上，
在角α终边上取一点P（﹣1，﹣3），
则，
可得．
故选：A．
4．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若角α终边有一点P（2，y），且，则y＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．2
【答案】B
【解答】解：角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若角α终边有一点P（2，y），且，
即，解得y＝﹣1．
故选：B．
5．已知角θ的终边经过点P（3a﹣9，log2a﹣2），若cosθ＞0，且sinθ＜0，则实数a的取值范围是（　　）
A．（1，3） B．（2，4） C．（3，4） D．（4，6）
【答案】B
【解答】解：由三角函数定义可得P在第四象限，
，解得2＜a＜4，
故a的取值范围是（2，4）．
故选：B．
6．已知角α的终边经过点（3，﹣4），则sinα+cosα的值为　　 ．
【答案】
【解答】解：∵已知角α的终边经过点（3，﹣4），则 x＝3，y＝﹣4，r＝5，
∴sinα，cosα，
sinα+cosα，
故答案为：．
7．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，若角α的终边经过点P（3，﹣4），则sinα+cosα＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由题可知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，角α的终边经过点P（3，﹣4），
则，
所以．
故答案为：．
8．单位圆上一点P从（0，1）出发，逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】点P从点（0，1）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，所以∠QOx＝150°（O为坐标原点），
所以Q点坐标为（cos150°，sin150°），即为（，）．
故选：D．
9．下列命题中，正确的是（　　）
A．第三象限角大于第二象限角
B．若P（2a，a）a≠0是角α终边上一点，则
C．若α、β的终边不相同，则cosα≠cosβ
D．的解集为
【答案】D
【解答】解：对于A，若α＝﹣150°，β＝120°，α，β分别为第三象限以及第二象限的角，但是α＜β，故A错误，
对于B，，故B错误，
对于C，当α＝﹣β+2kπ，k∈Z时，cosα＝cosβ，故C错误，
对于D，得，所以D正确．
故选：D．
▉题型2 三角函数值的符号
【知识点的认识】
三角函数值符号记忆口诀
记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦（为正）．即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
10．“点P（sinθ，tanθ）在第二象限”是“角θ为第三象限角”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解答】解：若点P（sinθ，tanθ）在第二象限，则sinθ＜0，tanθ＞0，则角θ为第三象限角，故充分性成立，
若角θ为第三象限角，则sinθ＜0，tanθ＞0，则点P（sinθ，tanθ）在第二象限，故必要性成立．
故选：C．
（多选）11．若cosθ tanθ＜0，则角θ的终边可能落在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】CD
【解答】解：因为cosθ tanθ＜0，所以或，
当时，为第三象限角，
当，θ为第四象限角．
故选：CD．
12．若0，则θ为（　　）
A．第一、二象限角 B．第二、三象限角
C．第一、三象限角 D．第一、四象限角
【答案】D
【解答】解：因为，
所以cosθ＞0且tanθ≠0．
由象限角的概念可知θ的终边在第一象限或第四象限．
故选：D．
▉题型3 诱导公式
【知识点的认识】
三角函数作为一个类，有着很多共通的地方，在一定条件下也可以互相转化，熟悉这些函数间的关系，对于我们解题大有裨益．
公式
①正弦函数：表达式为y＝sinx；
有sin（π+x）＝sin（﹣x）＝﹣sinx；sin（π﹣x）＝sinx，sin（x）＝sin（x）＝cosx
②余弦函数：表达式为y＝cosx；
有cos（π+x）＝cos（π﹣x）＝﹣cosx，cos（﹣x）＝cosx，cos（x）＝sinx
③正切函数：表达式为y＝tanx；
tan（﹣x）＝﹣tanx，tan（x）＝cotx，tan（π+x）＝tanx
④余切函数：表达式为y＝cotx；
cot（﹣x）＝﹣cotx，cot（x）＝tanx，cot（π+x）＝cotx．
13．已知，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：设θα，则cosθ，αθ，
则sin（θ）＝sin（π﹣θ）＝sinθ，
∵，∴θ∈（，），
则sinθ，
故选：C．
14．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合终边在直线2x﹣y＝0上，则（　　）
A．﹣2 B．2 C．0 D．
【答案】B
【解答】解：由已知可得，tanθ＝2，
则原式2．
故选：B．
▉题型4 运用诱导公式化简求值
【知识点的认识】
利用诱导公式化简求值的思路
1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．
2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．
3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．
4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．
15．平面直角坐标系中，若角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（﹣1，2）．
（1）求sinα和tanα的值；
（2）若，化简并求值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵，由三角函数的定义得，tanα＝﹣2；
（2）∵，
∴．
16．已知函数．
（1）化简f（θ）；
（2）若f（θ）＝sinθ，求tanθ+sinθcosθ的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式
；
（2）由（1）知，
则，
则，
故．
17．已知tanα＝﹣2，则（　　）
A． B． C．﹣2 D．2
【答案】C
【解答】解：因为tanα＝﹣2，
则原式．
故选：C．
18．sin390°＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：sin390°＝sin（360°+30°）＝sin30°，
故选：A．
19．已知，且，则cos（α﹣π）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵，
∴，
∴．
故选：D．
20．已知函数，若f（x）的周期为π，则f（2024π）＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：已知函数，
又f（x）的周期为π，
则，
所以ω＝1，
则，
则．
故答案为：．
21． 　　 ．
【答案】
【解答】解：原式．
故答案为：．
22．已知，则的值为 　0　 ．
【答案】0．
【解答】解：因为sin（α），
所以sin（α）﹣cos（α）
．
故答案为：0．
23．化简求值：
（1）；
（2）；
（3）若sin（3π﹣α）＝﹣3cos（α﹣6π），求的值．
【答案】（1）﹣1；
（2）﹣sinα；
（3）﹣8．
【解答】解：（1）；
（2）原式；
（3）由sin（3π﹣α）＝﹣3cos（α﹣6π），得sinα＝﹣3cosα，
所以，又sinα＝﹣3cosα，
所以．
24．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过函数f（x）＝ax﹣3﹣5（a＞0且a≠1）的定点M．
（1）求定点M的坐标；
（2）求的值．
【答案】（1）（3，﹣4）；
（2）．
【解答】解：（1）由题意令x﹣3＝0，则x＝3，则f（3）＝ax﹣3﹣5＝﹣4，
∴定点M的坐标为（3，﹣4）．
（2）由（1）可得tan，
所以
．
．
25．已知．
（1）若角θ的终边在第二象限，求的值；
（2）若将角θ的终边顺时针旋转得到角φ的终边，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解答】解：因为，
（1）若角θ的终边在第二象限，
则cos2θ，
所以cosθ，sinθ，
则cosθ+sinθ；
（2）若将角θ的终边顺时针旋转得到角φ的终边，则，
所以tanφ7，
则．
▉题型5 同角三角函数间的基本关系
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos _α ，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin _α ，cos（π+α）＝﹣cos _α ，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin _α ，cos（﹣α）＝cos _α ．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos _α ．
公式五：sin（α）＝cosα ，cos（α）＝sinα．
公式六：sin（α）＝cos α ，cos（α）＝﹣sin α
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cos αcosβ +sin αsinβ ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cos αcosβ ﹣sin αsinβ ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sin αcosβ +cos αsinβ ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sin αcosβ ﹣cos αsinβ ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sin _α cos _α ；
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α ＝2cos2α﹣1 ＝1﹣2sin2α ；
（3）T2α：tan 2α．
26．若tanθ＝2，则1+2sin2θ的值等于（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解答】解：因为tanθ＝2，
则1+2sin2θ．
故选：B．
27．已知，则（　　）
A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5
【答案】C
【解答】解：由已知可得，则tanα＝3，
所以．
故选：C．
28．已知α是第三象限的角，tan（π+α）＝2，则sinα＝　　 ，　　 ．
【答案】．
【解答】解：∵α是第三象限角，tanα＝2，
∴，，
∴，且．
故答案为：．
（多选）29．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，下列正确的选项为（　　）
A．若角α的终边在第一象限，则角α为锐角
B．若，则
C．若角α的终边过点P（﹣3，﹣4），则
D．若角α是三角形中一个内角且满足tanα＝﹣2，则
【答案】BD
【解答】解：A：当时，终边在第一象限，却不是锐角，所以A错误；
B：因为sin2α+cos2α＝1，，所以，所以B正确；
C：因为角α的终边过点P（﹣3，﹣4），所以，所以C错误；
D：由tanα＝﹣2，则α为钝角，于是cosα＜0，
由，得5cos2α＝1，则，所以，所以D正确．
故选：BD．
30．已知．
（1）化简f（α）；
（2）若f（α）＝2，求3sin2α﹣4sinαcosα+5cos2α的值．
【答案】（1）f（α）＝tanα；
（2）．
【解答】解：（1）；
（2）由题意f（α）＝tanα＝2，
可得3sin2α﹣4sinαcosα+5cos2α
．
31．若，则sinθ﹣cosθ＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为，则sinθ＞0，cosθ＞0，
又因为，则cosθ＝2sinθ，
且cos2θ+sin2θ＝4sin2θ+sin2θ＝5sin2θ＝1，
解得或（舍去），
所以．
故答案为：．
32．（1）已知tanα＝2，求的值；
（2）已知，且，求cosα的值．
【答案】（1）；（2）．
【解答】解：（1）；
（2）∵，
∴，
∴，
∴．
▉题型6 同角正弦、余弦的平方和为1
【知识点的认识】
同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
同角正弦和余弦的平方和为1．
（多选）33．已知，，则（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解答】解：对于A，因为，所以（sinx+cosx）2，所以，故A错误；
对于B，因为（cosx﹣sinx）2＝1﹣2sinxcosx，且，所以cosx＞0，sinx＜0，，结合，解得，，所以，故B正确；
对于C，由B知，，故C正确；
对于D，，故D错误．
故选：BC．
（多选）34．已知，0≤α≤π，则下列选项中正确的有（　　）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解答】解：由，可得，
则，
解之得，或
又0≤α≤π，则，故选项A判断正确；
则，，故选项B判断正确；
，故选项C判断错误；
，故选项D判断正确．
故选：ABD．
35．若，则tanα＝（　　）
A．﹣3 B． C． D．3
【答案】D
【解答】解：∵，
∴，，
∴．
故选：D．
▉题型7 同角正弦、余弦的商为正切
【知识点的认识】
同角三角函数的基本关系
（2）商数关系：tanα．
同角正弦和余弦的商为正切．
36．在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点，则tanα＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：若角α的终边经过点，
则tanα．
故选：B．
37．（1）已知，α在第二象限，求sinα，tanα的值；
（2）已知tanα＝﹣2，求的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵，α在第二象限，
∴，；
（2）由，
∴．第7章第2节 任意角的三角函数
题型1 任意角的三角函数的定义 题型2 三角函数值的符号
题型3 诱导公式 题型4 运用诱导公式化简求值
题型5 同角三角函数间的基本关系 题型6 同角正弦、余弦的平方和为1
题型7 同角正弦、余弦的商为正切
▉题型1 任意角的三角函数的定义
【知识点的认识】
任意角的三角函数
1定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sin α＝y，cos α＝x，tan α．
2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．
1．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（2a，a﹣2），且，则实数a的值是（　　）
A．﹣4和 B． C．﹣4 D．1
2．若角α的顶点是坐标原点O，始边与x轴非负半轴重合，点在角α的终边上，则sinα﹣tanα＝（　　）
A． B． C． D．
3．角α的终边落在射线y＝3x（x≤0）上，则cosα的值为（　　）
A． B． C． D．
4．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若角α终边有一点P（2，y），且，则y＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．2
5．已知角θ的终边经过点P（3a﹣9，log2a﹣2），若cosθ＞0，且sinθ＜0，则实数a的取值范围是（　　）
A．（1，3） B．（2，4） C．（3，4） D．（4，6）
6．已知角α的终边经过点（3，﹣4），则sinα+cosα的值为　 ．
7．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，若角α的终边经过点P（3，﹣4），则sinα+cosα＝ 　　 ．
8．单位圆上一点P从（0，1）出发，逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
9．下列命题中，正确的是（　　）
A．第三象限角大于第二象限角
B．若P（2a，a）a≠0是角α终边上一点，则
C．若α、β的终边不相同，则cosα≠cosβ
D．的解集为
▉题型2 三角函数值的符号
【知识点的认识】
三角函数值符号记忆口诀
记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦（为正）．即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
10．“点P（sinθ，tanθ）在第二象限”是“角θ为第三象限角”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
（多选）11．若cosθ tanθ＜0，则角θ的终边可能落在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．若0，则θ为（　　）
A．第一、二象限角 B．第二、三象限角
C．第一、三象限角 D．第一、四象限角
▉题型3 诱导公式
【知识点的认识】
三角函数作为一个类，有着很多共通的地方，在一定条件下也可以互相转化，熟悉这些函数间的关系，对于我们解题大有裨益．
公式
①正弦函数：表达式为y＝sinx；
有sin（π+x）＝sin（﹣x）＝﹣sinx；sin（π﹣x）＝sinx，sin（x）＝sin（x）＝cosx
②余弦函数：表达式为y＝cosx；
有cos（π+x）＝cos（π﹣x）＝﹣cosx，cos（﹣x）＝cosx，cos（x）＝sinx
③正切函数：表达式为y＝tanx；
tan（﹣x）＝﹣tanx，tan（x）＝cotx，tan（π+x）＝tanx
④余切函数：表达式为y＝cotx；
cot（﹣x）＝﹣cotx，cot（x）＝tanx，cot（π+x）＝cotx．
13．已知，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
14．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合终边在直线2x﹣y＝0上，则（　　）
A．﹣2 B．2 C．0 D．
▉题型4 运用诱导公式化简求值
【知识点的认识】
利用诱导公式化简求值的思路
1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．
2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．
3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．
4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．
15．平面直角坐标系中，若角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（﹣1，2）．
（1）求sinα和tanα的值；
（2）若，化简并求值．
16．已知函数．
（1）化简f（θ）；
（2）若f（θ）＝sinθ，求tanθ+sinθcosθ的值．
17．已知tanα＝﹣2，则（　　）
A． B． C．﹣2 D．2
18．sin390°＝（　　）
A． B． C． D．
19．已知，且，则cos（α﹣π）＝（　　）
A． B． C． D．
20．已知函数，若f（x）的周期为π，则f（2024π）＝ 　　 ．
21． 　 ．
22．已知，则的值为 　 ．
23．化简求值：
（1）；
（2）；
（3）若sin（3π﹣α）＝﹣3cos（α﹣6π），求的值．
24．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过函数f（x）＝ax﹣3﹣5（a＞0且a≠1）的定点M．
（1）求定点M的坐标；
（2）求的值．
．
25．已知．
（1）若角θ的终边在第二象限，求的值；
（2）若将角θ的终边顺时针旋转得到角φ的终边，求的值．
▉题型5 同角三角函数间的基本关系
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos _α ，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin _α ，cos（π+α）＝﹣cos _α ，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin _α ，cos（﹣α）＝cos _α ．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos _α ．
公式五：sin（α）＝cosα ，cos（α）＝sinα．
公式六：sin（α）＝cos α ，cos（α）＝﹣sin α
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cos αcosβ +sin αsinβ ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cos αcosβ ﹣sin αsinβ ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sin αcosβ +cos αsinβ ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sin αcosβ ﹣cos αsinβ ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sin _α cos _α ；
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α ＝2cos2α﹣1 ＝1﹣2sin2α ；
（3）T2α：tan 2α．
26．若tanθ＝2，则1+2sin2θ的值等于（　　）
A．2 B． C． D．
27．已知，则（　　）
A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5
28．已知α是第三象限的角，tan（π+α）＝2，则sinα＝　　 ，　　 ．
（多选）29．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，下列正确的选项为（　　）
A．若角α的终边在第一象限，则角α为锐角
B．若，则
C．若角α的终边过点P（﹣3，﹣4），则
D．若角α是三角形中一个内角且满足tanα＝﹣2，则
30．已知．
（1）化简f（α）；
（2）若f（α）＝2，求3sin2α﹣4sinαcosα+5cos2α的值．
31．若，则sinθ﹣cosθ＝　　 ．
32．（1）已知tanα＝2，求的值；
（2）已知，且，求cosα的值．
▉题型6 同角正弦、余弦的平方和为1
【知识点的认识】
同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
同角正弦和余弦的平方和为1．
（多选）33．已知，，则（　　）
A．
B．
C．
D．
（多选）34．已知，0≤α≤π，则下列选项中正确的有（　　）
A． B．
C． D．
35．若，则tanα＝（　　）
A．﹣3 B． C． D．3
▉题型7 同角正弦、余弦的商为正切
【知识点的认识】
同角三角函数的基本关系
（2）商数关系：tanα．
同角正弦和余弦的商为正切．
36．在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点，则tanα＝（　　）
A． B． C． D．
37．（1）已知，α在第二象限，求sinα，tanα的值；
（2）已知tanα＝﹣2，求的值．

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