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第7章第3节 三角函数的性质和图像
题型1 三角函数的周期性 题型2 正弦函数的图象
题型3 正弦函数的定义域和值域 题型4 正弦函数的单调性
题型5 正弦函数的奇偶性和对称性 题型6 余弦函数的图象
题型7 余弦函数的定义域和值域 题型8 余弦函数的单调性
题型9 余弦函数的对称性 题型10 正切函数的定义域和值域
题型11 正切函数的单调性和周期性 题型12 正切函数的奇偶性与对称性
题型13 五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象 题型14 函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换
题型15 由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 题型16 三角函数的恒等变换及化简求值
▉题型1 三角函数的周期性
【知识点的认识】
周期性
①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．
③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T．
1．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（，π）上单调递减的是（　　）
A．y＝|sinx| B．y＝cosx C．y＝tanx D．y＝cos
▉题型2 正弦函数的图象
【知识点的认识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R k∈Z
值域 [﹣1，1] [﹣1，1] R
单调性 递增区间： （2kπ，2kπ） （k∈Z）； 递减区间： （2kπ，2kπ） （k∈Z） 递增区间： （2kπ﹣π，2kπ） （k∈Z）； 递减区间： （2kπ，2kπ+π） （k∈Z） 递增区间： （kπ，kπ） （k∈Z）
最　值 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ（k∈Z）时， ymin＝﹣1 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ+π（k∈Z） 时， ymin＝﹣1 无最值
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（，0）（k∈Z） 无对称轴
周期 2π 2π π
2．设函数，若f（x）的图象经过点（0，1），且f（x）在[0，π]上恰有2个零点，则实数ω的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
（多选）3．关于函数f（x）＝sin2x和，则下列说法中正确的是（　　）
A．函数f（x）和g（x）有相同的最小值
B．存在直线l，使函数f（x）和g（x）的图象都关于直线l对称
C．存在点P，使函数f（x）和g（x）的图象都关于点P对称
D．函数F（x）＝f（x）﹣g（x），x∈[0，4π]有6个零点
4．已知a＝log52，b＝sin55°，c＝0.50.6，则（　　）
A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c
5．函数在[0，π]上有且仅有3个零点，则实数ω的取值范围是 　 　 ．
（多选）6．函数与直线y＝t（t为常数）公共点个数可能是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
▉题型3 正弦函数的定义域和值域
【知识点的认识】
三角函数的定义域和值域的规律方法
1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法．
（1）形如y＝asin x+bcos x+c的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；
（2）形如y＝asin2x+bsin x+c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；
（3）形如y＝asin xcos x+b（sin x±cos x）+c的三角函数，可设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求解．
7．已知函数y＝2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣1，2]，则b﹣a的值可能是（　　）
A． B． C． D．
8．已知函数f（x）（sinx+cosx）|sinx﹣cosx|，则f（x）的值域是 　　 　 ．
9．已知函数，g（x）＝2sin2x+acosx+1（a∈R）．
（1）求y＝f（x）的零点；
（2）设函数g（x）的最大值为h（a），求h（a）的解析式；
（3）若任意x1∈R，存在x2∈R，使f（x1）+1≥g（x2），求实数a的取值范围．
10．英国数学家泰勒发现了如下公式：sinx＝x，其中n!＝1×2×3×4×…×n，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：
当时，sinx＜x，sinx＞x，
（解答本题时，这些不等式根据需要可以直接使用）
（1）证明：当时，；
（2）设f（x）＝﹣2sinx，若区间[a，b]满足：当f（x）定义域为[a，b]时，值域也为[a，b]，则称区间[a，b]为f（x）的“和谐区间”．试问f（x）＝﹣2sinx是否存在“和谐区间”？若存在，求出f（x）的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由．
11．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当时，求函数f（x）的最大值与最小值；
（3）先将f（x）的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到g（x）的图象，求函数y＝g（x）的单调减区间．
▉题型4 正弦函数的单调性
【知识点的认识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
12．已知直线y＝2与函数图象的相邻两个交点间的距离为，若f（x）在（﹣m，m）（m＞0）上单调递增，则m的最大值为　 　 ．
（多选）13．下列函数中最小正周期为π，且在区间上单调递减的有（　　）
A．y＝sin2x B．y＝﹣cos2x C．y＝|sinx| D．y＝|tanx|
14．已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）若函数f（x）在区间上的值域为，求m的取值范围．
15．已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）图象的对称中心；
（Ⅲ）当时，求函数f（x）的单调区间．
16．已知的最小正周期为π．
（1）求ω的值，并求f（x）的单调递增区间；
（2）求f（x）在区间上的最大值．
17．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）在区间上单调，且，则tanφ＝（　　）
18．已知．
（1）若∥，求x的值．
（2）记，求函数y＝f（x）的单调减区间．
19．已知．
（1）写出f（x）的最小正周期及的值；
（2）求f（x）的单调递增区间及对称中心．
▉题型5 正弦函数的奇偶性和对称性
【知识点的认识】
正弦函数的对称性
正弦函数是定义域为R的奇函数，既然是奇函数，那么其图象关于原点对称，即有sin（﹣x）＝﹣sinx．另外，正弦函数具有周期性，其对称轴为x＝kπ，k∈z．
20．已知函数，下列四个结论中，正确的有（　　）
A．函数f（x）的最小正周期为2π
B．函数f（x）的图象关于直线对称
C．函数f（x）的图象关于点对称
D．函数f（x）在上单调递增
（多选）21．设f（x）是定义在R上的函数，若函数f（x+1）是偶函数，f（x+2）是奇函数，且当x∈[1，2]时，下列结论正确的是（　　）
A．函数f（x）的图象关于点（﹣2，0）对称
B．函数f（x）的最小值是
C．函数f（x）在上单调递增
D．f（﹣2.5）＞f（3.5）
22．已知，下列四个命题中正确的序号 　 　　 ．
①为函数f（x）的图象关于直线对称；
②函数f（x）在上单调递增；
③函数f（x）的图象关于点对称；
④函数f（x）在对上的值域是．
23．下列关于函数的图象，说法正确的是（　　）
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．关于直线对称 D．关于点对称
24．已知函数．
（1）求f（x）在R上的对称轴方程；
（2）若，求f（x）的值域．
25．已知偶函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，φ＜π）的图象的相邻两条对称轴间的距离为，则f（）＝（　　）
A． B． C． D．
▉题型6 余弦函数的图象
【知识点的认识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R k∈Z
值域 [﹣1，1] [﹣1，1] R
单调性 递增区间： （k∈Z）； 递减区间： （k∈Z） 递增区间： [2kπ﹣π，2kπ] （k∈Z）； 递减区间： [2kπ，2kπ+π] （k∈Z） 递增区间： （k∈Z）
最　值 x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ﹣（k∈Z）时， ymin＝﹣1 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ+π（k∈Z） 时， ymin＝﹣1 无最值
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ+，k∈Z 对称中心：（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（k∈Z） 无对称轴
周期 2π 2π π
26．已知函数在（0，π）上恰有5个零点，则ω的取值范围是 　　 　 ．
（多选）27．已知函数在区间[0，π]上有且仅有3个对称中心，则下列正确的是（　　）
A．ω的值可能是3
B．f（x）的最小正周期可能是
C．f（x）在区间上单调递减
D．f（x）图象的对称轴可能是
28．已知f（x）＝cos（2x+φ）（0≤φ＜π），且f（0）．
（1）求φ的值；
（2）设g（x）＝f（x）+f（x），求g（x）的值域和单调区间．
29．已知函数图象的相邻对称轴之间的距离为，且．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若对任意，都有2f（x）≥2c2﹣3c成立，求实数c的取值范围．
30．当x∈（0，2π）时，函数f（x）＝sinx与g（x）＝|cosx|的图象所有交点横坐标之和为（　　）
A．π B．2π C．3π D．4π
▉题型7 余弦函数的定义域和值域
【知识点的认识】
三角函数的定义域和值域的规律方法
1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法．
（1）形如y＝asin x+bcos x+c的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；
（2）形如y＝asin2x+bsin x+c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；
（3）形如y＝asin xcos x+b（sin x±cos x）+c的三角函数，可设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求解．
31．设集合M＝{y|y＝2cosx，x∈[0，5]}，N＝{x|y＝log2（x﹣1）}，则M∩N＝　 　 ．
▉题型8 余弦函数的单调性
【知识点的认识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
32．已知函数f（x）＝2cos（ωx）+2，（ω＞0）在区间上单调递减，且在区间[0，π]上有且仅有1个零点，则ω的值可以为（　　）
A． B． C． D．
▉题型9 余弦函数的对称性
【知识点的认识】
余弦函数的对称性
余弦函数y＝cosx是定义域为R的偶函数，也是周期函数，其对称轴为x＝kπ，k∈z．可以看出余弦函数在对称轴上的值为最值，也可以看做是y轴平移kπ个单位后依然还是对称轴．
（多选）33．已知函数f（x）＝cosx+cos2x，则（　　）
A．f（x）为周期函数
B．f（x）的最大值为2
C．存在t∈R，使得y＝f（x）的图象关于x＝t对称
D．存在m∈R，使得y＝f（x）的图象关于点（m，0）对称
▉题型10 正切函数的定义域和值域
【知识点的认识】
三角函数的定义域和值域的规律方法
1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法．
（1）形如y＝asin x+bcos x+c的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；
（2）形如y＝asin2x+bsin x+c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；
（3）形如y＝asin xcos x+b（sin x±cos x）+c的三角函数，可设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求解．
正切函数的值域
正切函数的值域可以从他的表达式来求，是正弦函数也余弦函数的比值，所以它的值域为R．
34．函数的定义域为（　　）
A． B．
C． D．
35．函数y＝tan（2x）的定义域是　　 　 ．
▉题型11 正切函数的单调性和周期性
【知识点的认识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
正切函数的周期性
正切函数y＝tanx的最小正周期为π，即tan（kπ+x）＝tanx．
36．已知函数，则下列命题正确的有（　　）个．
①
②f（x）在上单调递增
③为f（x）的一个对称中心
④f（x）最小正周期为π
A．0 B．1 C．2 D．3
▉题型12 正切函数的奇偶性与对称性
【知识点的认识】
三角函数的奇偶性、周期性和对称性
1．判断三角函数的奇偶性和周期性时，一般先将三角函数式化为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解．
2．求三角函数的周期主要有三种方法：（1）周期定义；（2）利用正（余）弦型函数周期公式；（3）借助函数的图象．
37．“x0＝π”是“函数y＝tanx的一个对称中心是（x0，0）”的（　　）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
38．已知函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则ω＝　　 　 ．
▉题型13 五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象
【知识点的认识】
1．五点法作y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的简图
找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点．其步骤为：
（1）先确定周期T，在一个周期内作出图象；
（2）令X＝ωx+φ，令X分别取0，，π，，2π，求出对应的x值，列表如下：
x
ωx+φ 0 π 2π
y＝Asin（ωx+φ） 0 A 0 ﹣A 0
由此可得五个关键点；
（3）描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到y＝Asin（ωx+φ）的简图．
2．振幅、周期、相位、初相
当函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），x∈（﹣∞，+∞）表示一个振动量时，则A叫做振幅，T叫做周期，f叫做频率，ωx+φ叫做相位，φ叫做初相．
函数y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝Atan （ωx+φ）的最小正周期为．
39．已知函数f（x）＝sinx﹣2|sinx|．
（Ⅰ）先补充下列表格，然后用五点法画出函数y＝f（x）在区间[0，2π]上的图象；
x 0 π 2π
sinx
f（x）＝sinx﹣2|sinx|
（Ⅱ）结合图象，写出函数的递减区间．
40．已知函数：
（1）补全下列表格，用“五点法”画出f（x）在区间[0，π]的大致图象；
0 π 2π
x
f（x）
（2）若f（x）≥1，求x的取值范围．
41．已知函数．
（1）某同学利用五点法画函数f（x）在区间上的图象．他列出表格，并填入了部分数据，请你帮他把表格填写完整，并在坐标系中画出图象；
（2）已知函数g（x）＝f（ωx）（ω＞0）．
①若函数g（x）的最小正周期为，求g（x）的单调递增区间；
②若函数g（x）在上无零点，求ω的取值范围（直接写出结论）．
x _____
0 _____ π 2π
f（x） 0 2 0 _____ 0
42．已知函数．
（1）用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数f（x）在[0，π]上的图像；
（2）先将函数y＝f（x）的图像向右平移个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图像，求g（x）在[0，2π]上的取值范围．
43．已知函数f（x）＝sin2x+2cos2x．
（1）用“五点法”作出它在一个周期内的图象；
（2）已知函数g（x）＝f（ωx）（ω＞0）．
（i）若函数g（x）的最小正周期为，求g（x）的单调递增区间；
（ii）在（i）条件下求函数g（x）在[0，]范围内的最大值与最小值．
44．已知函数．
（1）请用“五点法”画出函数f（x）在一个周期上的简图；
（2）求函数f（x）的单调增区间，并说明f（x）是由g（x）＝sinx经过怎样变换得到的？
▉题型14 函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换
【知识点的认识】
函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤
两种变换的差异
先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．
45．为了得到函数的图象，只需将函数y＝cos2x上所有的点（　　）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
46．已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期及f（x）的单调递增区间；
（2）将f（x）的图象向左平移个单位，向下平移1个单位，再把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到g（x）的图象，求g（x）的解析式及图象的对称中心；
（3）若函数g（x）在区间[0，n]上有5个零点，求n的取值范围．
47．已知函数f（x）＝tan（ωx﹣φ）（ω＞0，0＜φ＜π）与直线y＝a交于A，B两点，且线段AB长度的最小值为，若将函数f（x）的图象向左平移个单位后恰好关于原点对称，则φ的最大值为（　　）
A． B． C． D．
48．把函数y＝cosx图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数y＝f（x）的图象，则f（x）＝（　　）
A． B．
C． D．
49．已知将函数y＝sinωx+cosωx向右平移个长度单位，再将振幅缩小到原来的倍，得函数f（x），又知函数f（x）与的图象连续相邻的三个交点为A、B、C，若，则ω的值是（　　）
A． B． C． D．
50．把函数f（x）＝sin2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，则g（x）的最小正周期为（　　）
A．2π B．π C． D．
51．智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线是y＝2cos3x，通过主动降噪芯片生成的声波曲线是y＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π），则φ＝　　 　 ．
▉题型15 由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【知识点的认识】
根据图象确定解析式的方法：
在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A，k，ω由周期T确定，即由T求出，φ由特殊点确定．
（多选）52．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图像如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．f（x）的图像关于点对称
B．f（x）的图像关于直线对称
C．将函数的图像向左平移个单位长度得到函数f（x）的图像
D．若方程f（x）＝m在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
53．若函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图，则函数g（x）＝Acos（ωx+φ）图象的一条对称轴方程可能为（　　）
A．x＝﹣2 B．x＝1 C．x＝10 D．x＝13
54．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜π）的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；
（2）将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象．当时，求g（x）的取值范围．
55．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[0，π]上的单调增区间；
（3）若，求的值．
56．已知函数f（x）＝sin（ωx﹣φ）（ω＞0，|φ|）的部分图象如图所示，则下列说法正确的个数是（　　）
①函数f（x）最小正周期为3π；
②（，0）为函数f（x）的一个对称中心；
③f（0）；
④函数f（x）向右平移个单位后所得函数为偶函数．
A．1 B．2 C．3 D．4
▉题型16 三角函数的恒等变换及化简求值
【知识点的认识】
三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．
公式
①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（x）＝sin（x）＝cosx
②余弦函数有y＝cos（2kπ+x）＝cosx，cos（x）＝sinx
③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（x）＝cotx，
④余切函数有y＝cot（x）＝tanx，cot（kπ+x）＝cotx．
57．（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
58．若函数在上只有一个零点，则ω的取值范围为　　 ．
59．已知函数，，
（1）求a的值以及f（x）的对称轴；
（2）将函数f（x）图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g（x）的图象，若，求x的取值范围；
（3）已知，求cosθ的值．
（多选）60．下列各式中，值为的是（　　）
A．2sin15°cos15°
B．
C．
D．第7章第3节 三角函数的性质和图像
题型1 三角函数的周期性 题型2 正弦函数的图象
题型3 正弦函数的定义域和值域 题型4 正弦函数的单调性
题型5 正弦函数的奇偶性和对称性 题型6 余弦函数的图象
题型7 余弦函数的定义域和值域 题型8 余弦函数的单调性
题型9 余弦函数的对称性 题型10 正切函数的定义域和值域
题型11 正切函数的单调性和周期性 题型12 正切函数的奇偶性与对称性
题型13 五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象 题型14 函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换
题型15 由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 题型16 三角函数的恒等变换及化简求值
▉题型1 三角函数的周期性
【知识点的认识】
周期性
①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．
③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T．
1．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（，π）上单调递减的是（　　）
A．y＝|sinx| B．y＝cosx C．y＝tanx D．y＝cos
【答案】A
【解答】解：对于A：y＝|sinx|，将y＝sinx的图象x轴翻折到上方，可知周期T＝π，在区间（，π）上单调递减，所以A对；
对于B：y＝cosx的周期T＝2π，所以B不对．
对于C：y＝tanx的周期T＝π，在定义域内都是单调递增，所以C不对；
对于D：y＝cos的周期T，所以D不对．
故选：A．
▉题型2 正弦函数的图象
【知识点的认识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R k∈Z
值域 [﹣1，1] [﹣1，1] R
单调性 递增区间： （2kπ，2kπ） （k∈Z）； 递减区间： （2kπ，2kπ） （k∈Z） 递增区间： （2kπ﹣π，2kπ） （k∈Z）； 递减区间： （2kπ，2kπ+π） （k∈Z） 递增区间： （kπ，kπ） （k∈Z）
最　值 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ（k∈Z）时， ymin＝﹣1 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ+π（k∈Z） 时， ymin＝﹣1 无最值
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（，0）（k∈Z） 无对称轴
周期 2π 2π π
2．设函数，若f（x）的图象经过点（0，1），且f（x）在[0，π]上恰有2个零点，则实数ω的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由题意f（0）＝1，可得，
又，
可得，
所以，
由x∈[0，π]，可得，
由题意f（x）在[0，π]上恰有2个零点，
可得，
解得，即实数ω的取值范围是．
故选：B．
（多选）3．关于函数f（x）＝sin2x和，则下列说法中正确的是（　　）
A．函数f（x）和g（x）有相同的最小值
B．存在直线l，使函数f（x）和g（x）的图象都关于直线l对称
C．存在点P，使函数f（x）和g（x）的图象都关于点P对称
D．函数F（x）＝f（x）﹣g（x），x∈[0，4π]有6个零点
【答案】ABD
【解答】解：对于A，f（x）与g（x）的最小值为1，故A正确；
对于B，函数f（x）＝sin2x的对称轴为，k1∈Z，
所以，k1∈Z，
的对称轴为，
所以，k2∈Z，可知，是函数f（x）和g（x）的对称轴，故B正确；
对于C，函数f（x）＝sin2x的对称中心为2x3＝k3π，k3∈Z，所以，k3∈Z，
的对称中心为，所以，k4∈Z，
令，则，
不存在k3，k4∈Z，成立，故C错误；
对于D，令F（x）＝f（x）﹣g（x）＝0，即f（x）＝g（x），
即，即，
，解得或1，
x∈[0，4π]，则，
当时，或，
解得或，
当时，或或或，
解得或或或，
所以函数F（x）＝f（x）﹣g（x），x∈[0，4π]有6个零点，故D正确．
故选：ABD．
4．已知a＝log52，b＝sin55°，c＝0.50.6，则（　　）
A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c
【答案】C
【解答】解：，即，
，即，
，即，
故b＞c＞a．
故选：C．
5．函数在[0，π]上有且仅有3个零点，则实数ω的取值范围是 　　 ．
【答案】
【解答】解：令，则函数的零点为，k∈Z，
所以函数在y轴右侧的四个零点分别是，，，，
函数在[0，π]上有且仅有3个零点，
所以，解得．
故答案为：．
（多选）6．函数与直线y＝t（t为常数）公共点个数可能是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】ABC
【解答】解：作出的图象（实线部分），
当t＞1或t＜﹣1时，y＝sinx与y＝t没有交点；
当t＝1或t＝﹣1或t＝0时，y＝sinx与y＝t只有1个交点；
当﹣1＜t＜0时，y＝sinx与y＝t有2个交点；
当0＜t时，y＝sinx与y＝t只有1个交点；
当t＜1时，y＝sinx与y＝t有2个交点；
所以函数与直线y＝t（t为常数）公共点个数可能是0，1，2．
故选：ABC．
▉题型3 正弦函数的定义域和值域
【知识点的认识】
三角函数的定义域和值域的规律方法
1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法．
（1）形如y＝asin x+bcos x+c的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；
（2）形如y＝asin2x+bsin x+c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；
（3）形如y＝asin xcos x+b（sin x±cos x）+c的三角函数，可设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求解．
7．已知函数y＝2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣1，2]，则b﹣a的值可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由题意，y＝2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣1，2]，
得，
观察正弦函数y＝sinx的图象，可得b﹣a的最大值为的最小值为，
可得，
对比各个选项，可得b﹣a的值可能是．
故选：D．
8．已知函数f（x）（sinx+cosx）|sinx﹣cosx|，则f（x）的值域是 　　 ．
【答案】
【解答】解：，
，
画图可得f（x）的值域是，
故答案为：．
9．已知函数，g（x）＝2sin2x+acosx+1（a∈R）．
（1）求y＝f（x）的零点；
（2）设函数g（x）的最大值为h（a），求h（a）的解析式；
（3）若任意x1∈R，存在x2∈R，使f（x1）+1≥g（x2），求实数a的取值范围．
【答案】（1）x，k∈Z；
（2）h（a）；
（3）（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．
【解答】解：（1）令函数0，得2xkπ，k∈Z；
解得x，k∈Z；所以y＝f（x）的零点为x，k∈Z；
（2）因为函数g（x）＝2（1﹣cos2x）+acosx+1＝﹣2cos2x+acosx+3，
设cosx＝t，t∈[﹣1，1]，则g（x）＝s（t）＝﹣2t2+at+3＝﹣23，t∈[﹣1，1]；
当1，即a＜﹣4时，s（t）在[﹣1，1]上单调递减，最大值为h（a）＝s（﹣1）＝1﹣a；
当﹣11，即﹣4≤a≤4时，s（t）在[﹣1，1]上先增后减，最大值为h（a）＝s（）3；
当1，即a＞4时，s（t）在[﹣1，1]上单调递增，最大值为h（a）＝s（1）＝1+a；
综上，h（a）；
（3）若任意x1∈R，存在x2∈R，使f（x1）+1≥g（x2），则y＝f（x）+1的最小值不小于y＝g（x）的最小值，
因为﹣1≤sin（2x）≤1，所以y＝f（x）+1的最小值为0；
因为g（x）＝﹣2cos2x+acosx+3＝﹣23，
当0，即a＞0时，cosx＝﹣1，g（x）取得最小值为﹣2﹣a+3＝1﹣a，令1﹣a≤0，解得a≥1，所以a≥1；
当0，即a≤0时，cosx＝1，g（x）取得最小值为﹣2+a+3＝1+a，令1+a≤0，解得a≤﹣1，所以a≤﹣1；
综上实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．
10．英国数学家泰勒发现了如下公式：sinx＝x，其中n!＝1×2×3×4×…×n，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：
当时，sinx＜x，sinx＞x，
（解答本题时，这些不等式根据需要可以直接使用）
（1）证明：当时，；
（2）设f（x）＝﹣2sinx，若区间[a，b]满足：当f（x）定义域为[a，b]时，值域也为[a，b]，则称区间[a，b]为f（x）的“和谐区间”．试问f（x）＝﹣2sinx是否存在“和谐区间”？若存在，求出f（x）的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）详见解答过程；
（2）f（x）有唯一的和谐区间[﹣2，2]．
【解答】（1）证明：由已知当时，，
得，
所以当时，．
（2）假设存在，则由﹣2≤f（x）≤2知﹣2≤a＜b≤2，
若a，b≥0，则由[a，b] [0，π），知f（x）≤0，与值域是[a，b] [0，π）矛盾，
故不存在和谐区间，
同理，a，b≤0时，也不存在，
下面讨论a≤0≤b，
若，则，故f（x）最小值为﹣2，于是a＝﹣2，
所以，
所以f（x）最大值为2，故b＝2，
此时f（x）的定义域为[﹣2，2]，值域为[﹣2，2]，符合题意．
若，当时，同理可得a＝﹣2，b＝2，舍去，
当时，f（x）在[a，b]上单调递减，
所以，于是a+b＝﹣2（ sina+sinb），
若b＞﹣a即a+b＞0，则 sinb＞sin（﹣a），故 sinb+sina＞0，﹣2（ sina+sinb）＜0，
与a+b＝﹣2（sina+sinb）矛盾；
若b＜﹣a，同理，矛盾，
所以b＞﹣a，即，
由（1）知当时，，
因为，所以b＝0，从而，a＝0，从而a＝b，矛盾，
综上所述，f（x）有唯一的和谐区间[﹣2，2]．
11．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当时，求函数f（x）的最大值与最小值；
（3）先将f（x）的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到g（x）的图象，求函数y＝g（x）的单调减区间．
【答案】（1）；
（2）最大值为2；最小值为﹣1；
（3）．
【解答】解：（1）由图可得A＝2，，
则T＝π，ω＝2，f（x）＝2sin（2x+φ）（|φ|＜π），
又由，
所以，
又因为|φ|＜π，所以，
则函数f（x）的解析式为．
（2）因为，所以，
因为y＝2sinx在上单调递增，在上单调递减，
且当时，y＝﹣1；当时，y＝2；当时，，
所以f（x）min＝﹣1，f（x）max＝2，
故f（x）在上的最大值为2；最小值为﹣1．
（3）先将f（x）的图象纵坐标缩短到原来的，再向左平移个单位得到，
令，
解得，可得g（x）的减区间为．
▉题型4 正弦函数的单调性
【知识点的认识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
12．已知直线y＝2与函数图象的相邻两个交点间的距离为，若f（x）在（﹣m，m）（m＞0）上单调递增，则m的最大值为　　 ．
【答案】．
【解答】解：由正切函数的图象和性质可知，直线y＝2与函数图象的相邻两个交点间的距离为一个最小正周期，
所以，即3ω＝2，
所以，
由，解得，
所以f（x）在上单调递增，故，
解得，即m的最大值为．
故答案为：．
（多选）13．下列函数中最小正周期为π，且在区间上单调递减的有（　　）
A．y＝sin2x B．y＝﹣cos2x C．y＝|sinx| D．y＝|tanx|
【答案】BCD
【解答】解：选项A中y ＝ sin2x最小正周期为π，在上不单调递减，故A选项错误，
选项B中y＝﹣cos2x最小正周期为π，在区间上单调递减，选项B正确，
选项 C中y＝|sinx|最小正周期为π，在区间上单调递减，故选项C正确，
选项 D中y＝|tanx|的最小正周期为π，且在该区间上单调递减，故选项D正确．
因此，满足条件的函数为 B、C、D．
故选：BCD．
14．已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）若函数f（x）在区间上的值域为，求m的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）解：函数f（x）的最小正周期，
令，k∈Z，解得，k∈Z，
即f（x）的单调递减区间为；
（2）当时，，
令，即，
画出y＝2sint上的图象如图，
因为f（x）在的值域为，
所以，
解得，即m的取值范围为．
15．已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）图象的对称中心；
（Ⅲ）当时，求函数f（x）的单调区间．
【答案】（I）π；
（II）（，0），k∈Z；
（III）当时，f（x）的单调递增区间是[0，]，单调递减区间是[，]．
【解答】解：（I）函数，它的最小正周期为Tπ；
（II）令2xkπ（k∈Z），解得x（k∈Z），
故f（x）图象的对称中心为（，0），k∈Z；
（III）因为0≤x，所以0≤2x，即2x，
令2x，得0≤x，
令2x，得x，
所以函数f（x）的单调递增区间是[0，]，单调递减区间是[，]．
16．已知的最小正周期为π．
（1）求ω的值，并求f（x）的单调递增区间；
（2）求f（x）在区间上的最大值．
【答案】（1）ω＝1，；
（2）2．
【解答】解：（1）由的最小正周期为π，得，
∵ω＞0，
∴ω＝1，，
由得，
故f（x）的单调递增区间为．
（2）因为，
所以，
所以当，即时，f（x）取得最大值2．
17．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）在区间上单调，且，则tanφ＝（　　）
A． B．﹣1 C．1 D．
【答案】B
【解答】解：∵f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）在区间上单调，且，
∴，
∴，
不妨取：，
解得：符合题意，
故．
故选：B．
18．已知．
（1）若∥，求x的值．
（2）记，求函数y＝f（x）的单调减区间．
【答案】（1）xkπ，k∈Z；
（2）．
【解答】解：（1）因为，
由∥，可得：cosx＝3sinx，
可得tanx，
可得xkπ，k∈Z；
（2），
令，k∈Z，
解得，k∈Z，
可得所求减区间为．
19．已知．
（1）写出f（x）的最小正周期及的值；
（2）求f（x）的单调递增区间及对称中心．
【答案】（1）T＝π，f（）；
（2）[，kπ]，k∈Z，（，1），n∈Z．
【解答】解：（1）因为，
所以T＝π，
f（）＝3sin（）+1；
（2）3sin（2x）+1，
令，k∈Z，
解得，
故函数f（x）的单调递增区间为[，kπ]，k∈Z，
令nπ可得x，
故函数的对称中心（，1），n∈Z．
▉题型5 正弦函数的奇偶性和对称性
【知识点的认识】
正弦函数的对称性
正弦函数是定义域为R的奇函数，既然是奇函数，那么其图象关于原点对称，即有sin（﹣x）＝﹣sinx．另外，正弦函数具有周期性，其对称轴为x＝kπ，k∈z．
20．已知函数，下列四个结论中，正确的有（　　）
A．函数f（x）的最小正周期为2π
B．函数f（x）的图象关于直线对称
C．函数f（x）的图象关于点对称
D．函数f（x）在上单调递增
【答案】D
【解答】解：函数，最小正周期，A选项错误；
由，
则函数f（x）的图象不关于直线对称，B选项错误；
由，
则函数f（x）的图象不关于点对称，C选项错误；
因为函数y＝sinx在上单调递增，
时，，
所以函数f（x）在上单调递增，D选项正确．
故选：D．
（多选）21．设f（x）是定义在R上的函数，若函数f（x+1）是偶函数，f（x+2）是奇函数，且当x∈[1，2]时，下列结论正确的是（　　）
A．函数f（x）的图象关于点（﹣2，0）对称
B．函数f（x）的最小值是
C．函数f（x）在上单调递增
D．f（﹣2.5）＞f（3.5）
【答案】ACD
【解答】解：因为f（x）是定义在R上的函数，且f（x+1）是偶函数，
所以f（1﹣x）＝f（1+x），
所以函数f（x）图象既关于直线x＝1对称，
所以f（x）＝f（2﹣x），①
又f（x+2）是奇函数，
所以f（2﹣x）＝﹣f（2+x），即f（2﹣x）+f（2+x）＝0，
所以函数f（x）图象关于点（2，0）对称，
所以f（x）＝﹣f（4﹣x），②
由①②得f（2﹣x）＝﹣f（4﹣x），于是f（x+2）＝﹣f（x），
所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），所以函数f（x）是周期为4的周期函数．
当x∈[1，2]时，，作出函数f（x）的图象如图所示，
因为f（﹣4﹣x）＝f（4﹣x）＝﹣f（x），所以，f（﹣4﹣x）+f（x）＝0，
则函数f（x）的图象关于点（﹣2，0）对称，故A正确；
f（x）的最小值是﹣2，故B错误；
因为f（x）在（3，5）上单调递增，且，
所以f（x）在上单调递增，故C正确；
f（﹣2.5）＝f（1.5）＞0＞f（3.5），故D正确．
故选：ACD．
22．已知，下列四个命题中正确的序号 　③　 ．
①为函数f（x）的图象关于直线对称；
②函数f（x）在上单调递增；
③函数f（x）的图象关于点对称；
④函数f（x）在对上的值域是．
【答案】③
【解答】解：因为，
①f（）＝sin，不是函数的最值，不符合对称轴处取得函数最值，①错误；
②令，k∈Z，
则，k∈Z，
令k＝0可得一个单调递增区间为[，]，
故函数f（x）在上不单调，②错误；
③因为f（）＝sin0＝0，故函数f（x）的图象关于点对称，③正确；
④由x∈可得∈[，]，
故sin（）∈[，1]，即函数的值域是，④错误．
故答案为：③．
23．下列关于函数的图象，说法正确的是（　　）
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．关于直线对称 D．关于点对称
【答案】C
【解答】解：令4xkπ，k∈Z，解得x，k∈Z，
所以f（x）的对称中心为（，0），k∈Z，
因为和无整数解k，
所以函数f（x）不关于点和对称；故A，D错误；
令4xkπ，k∈Z，解得x，k∈Z，
当k＝0时，x，
故函数f（x）的图象关于直线x对称，
因为无整数解k，
所以函数f（x）的图象不关于直线x对称，
故B错误，C正确．
故选：C．
24．已知函数．
（1）求f（x）在R上的对称轴方程；
（2）若，求f（x）的值域．
【答案】（1）；（2）．
【解答】解：（1）由2xkπ，k∈Z，得，
即函数的对称轴方程为．
（2）若，则2x∈[，]，所以2x∈[﹣π，]，
则当2x时，f（x）取得最大值，最大值为2sin2，
当2x时，f（x）取得最小值，最小值为2sin（）＝﹣2，
即函数的值域为．
25．已知偶函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，φ＜π）的图象的相邻两条对称轴间的距离为，则f（）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为偶函数，∴φ，
∵函数图象的相邻两条对称轴间的距离为，∴，T＝π，∴ω＝2，f（x）＝2cos2x，
∴f（）＝2cos．
故选：B．
▉题型6 余弦函数的图象
【知识点的认识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R k∈Z
值域 [﹣1，1] [﹣1，1] R
单调性 递增区间： （k∈Z）； 递减区间： （k∈Z） 递增区间： [2kπ﹣π，2kπ] （k∈Z）； 递减区间： [2kπ，2kπ+π] （k∈Z） 递增区间： （k∈Z）
最　值 x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ﹣（k∈Z）时， ymin＝﹣1 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ+π（k∈Z） 时， ymin＝﹣1 无最值
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ+，k∈Z 对称中心：（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（k∈Z） 无对称轴
周期 2π 2π π
26．已知函数在（0，π）上恰有5个零点，则ω的取值范围是 　　 ．
【答案】．
【解答】解：当x∈（0，π）时，∈（，ωπ），
若f（x）在（0，π）上恰有5个零点，
则，解得，故ω的取值范围为．
故答案为：．
（多选）27．已知函数在区间[0，π]上有且仅有3个对称中心，则下列正确的是（　　）
A．ω的值可能是3
B．f（x）的最小正周期可能是
C．f（x）在区间上单调递减
D．f（x）图象的对称轴可能是
【答案】ABC
【解答】解：因为函数在区间[0，π]上有且仅有3个对称中心，
且当0≤x≤π时，，
所以，，解得，A对；
因为，则函数f（x）的最小正周期为，
且，B对；
当时，，
因为，则，
所以，函数f（x）在区间上单调递减，C对；
，所以，f（x）图象的对称轴不可能是，D错．
故选：ABC．
28．已知f（x）＝cos（2x+φ）（0≤φ＜π），且f（0）．
（1）求φ的值；
（2）设g（x）＝f（x）+f（x），求g（x）的值域和单调区间．
【答案】（1）；
（2）值域：，递增区间[），递减区间[kπ），k∈Z．
【解答】解：f（x）＝cos（2x+φ）（0≤φ＜π），且f（0），
（1）由已知得，结合0≤φ＜π，
所以φ；
（2）由（1）知：，所以f（x）＝cos2x，
所以g（x）＝ f（x）+f（x）＝cos2xcossin2xsincos2x
cos（2x），
显然g（x）的值域为[，]，因为y＝cosx在[﹣π+2kπ，2kπ]上递增，在[2kπ，2kπ+π]上递减，k∈Z，
所以令，解得g（x）的递增区间为[kπ，kπ），k∈Z，
再令2kπ≤2x2kπ+π，解得g（x）的递减区间为[kπ，kπ），k∈Z．
29．已知函数图象的相邻对称轴之间的距离为，且．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若对任意，都有2f（x）≥2c2﹣3c成立，求实数c的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）函数图象的相邻对称轴之间的距离为，由函数f（x）图象的相邻对称轴之间的距离为，可得，
∴，可得ω＝2，
又，可得，∵，
∴解得，
∴f（x）的解析式为．
（2）当时，，
∴，
∵对任意，都有2f（x）≥2c2﹣3c成立，
∴，即2c2﹣3c≤﹣1，解得．
∴实数c的取值范围为．
30．当x∈（0，2π）时，函数f（x）＝sinx与g（x）＝|cosx|的图象所有交点横坐标之和为（　　）
A．π B．2π C．3π D．4π
【答案】A
【解答】解：由f（x）＝g（x），可得sinx＝|cosx|，
显然不是图象的交点的横坐标，
当0＜x时，由题意得sinx＝cosx，则x，
当时，sinx＞0，cosx＜0，由题意得sinx＝cosx，x，
当时，由题意得sinx＝﹣cosx，x不存在，
当时，由题意得sinx＝cosx，此时x不存在，
故π．
故选：A．
▉题型7 余弦函数的定义域和值域
【知识点的认识】
三角函数的定义域和值域的规律方法
1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法．
（1）形如y＝asin x+bcos x+c的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；
（2）形如y＝asin2x+bsin x+c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；
（3）形如y＝asin xcos x+b（sin x±cos x）+c的三角函数，可设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求解．
31．设集合M＝{y|y＝2cosx，x∈[0，5]}，N＝{x|y＝log2（x﹣1）}，则M∩N＝　{x|1＜x≤2}　 ．
【答案】{x|1＜x≤2}．
【解答】解：由余弦型函数的性质，当x∈[0，5]时，可得y＝2cosx∈[﹣2，2]，即M＝{y|﹣2≤y≤2}，
又由函数y＝log2（x﹣1），则满足x﹣1＞0，解得x＞1，即N＝{x|x＞1}，
所以M∩N＝{x|1＜x≤2}．
故答案为：{x|1＜x≤2}．
▉题型8 余弦函数的单调性
【知识点的认识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
32．已知函数f（x）＝2cos（ωx）+2，（ω＞0）在区间上单调递减，且在区间[0，π]上有且仅有1个零点，则ω的值可以为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由于，（k∈Z），整理得，（k∈Z），
由于函数在区间上单调递减，
故，由于k∈Z，且ω＞0，故当k＝0时，0＜ω≤1，
由于x∈[0，π]，故x，由于函数f（x）在区间[0，π]上有且仅有1个零点，
故，在区间[0，π]上有且仅有1个实数根，
所以，解得，
故．
故选：C．
▉题型9 余弦函数的对称性
【知识点的认识】
余弦函数的对称性
余弦函数y＝cosx是定义域为R的偶函数，也是周期函数，其对称轴为x＝kπ，k∈z．可以看出余弦函数在对称轴上的值为最值，也可以看做是y轴平移kπ个单位后依然还是对称轴．
（多选）33．已知函数f（x）＝cosx+cos2x，则（　　）
A．f（x）为周期函数
B．f（x）的最大值为2
C．存在t∈R，使得y＝f（x）的图象关于x＝t对称
D．存在m∈R，使得y＝f（x）的图象关于点（m，0）对称
【答案】ABC
【解答】解：对于A，根据f（x+2π）＝cos（x+2π）+cos（2x+4π）＝cosx+cos2x，
可得f（x+2π）＝f（x），所以f（x）是周期为2π的周期函数，故A项正确；
对于B，由余弦函数的性质，可知cosx≤1且cos2x≤1，
所以f（x）＝cosx+cos2x≤2，当x＝2kπ（k∈Z）时，等号成立．
所以函数f（x）的最大值为2，故B项正确；
对于C，因为f（﹣x）＝cos（﹣x）+cos（﹣2x）＝cosx+cos2x＝f（x），
所以f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，
所以存在t＝0，使y＝f（x）的图象关于x＝t对称，故C项正确；
对于D，f（x）＝cosx+cos2x＝2cos2x+cosx﹣1，可知对任意λ∈R，函数f（x+λ）都不是奇函数．
所以f（x）的图象不存在对称中心，
即不存在m∈R，使得y＝f（x）的图象关于点（m，0）对称，故D项不正确．
故选：ABC．
▉题型10 正切函数的定义域和值域
【知识点的认识】
三角函数的定义域和值域的规律方法
1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法．
（1）形如y＝asin x+bcos x+c的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；
（2）形如y＝asin2x+bsin x+c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；
（3）形如y＝asin xcos x+b（sin x±cos x）+c的三角函数，可设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求解．
正切函数的值域
正切函数的值域可以从他的表达式来求，是正弦函数也余弦函数的比值，所以它的值域为R．
34．函数的定义域为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：由xkπ，k∈Z，可得x≠kπ，k∈Z．
所以函数f（x）＝tan（x）的定义域为．
故选：A．
35．函数y＝tan（2x）的定义域是　{x|x，k∈Z}　 ．
【答案】{x|x，k∈Z}
【解答】解：由y＝tanx的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，
令2xkπ，则x，
则定义域为{x|x，k∈Z}，
故答案为：{x|x，k∈Z}．
▉题型11 正切函数的单调性和周期性
【知识点的认识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
正切函数的周期性
正切函数y＝tanx的最小正周期为π，即tan（kπ+x）＝tanx．
36．已知函数，则下列命题正确的有（　　）个．
①
②f（x）在上单调递增
③为f（x）的一个对称中心
④f（x）最小正周期为π
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解答】解：根据，可得，可知①错误；
当x∈时，2x∈（，），
根据正切函数在（，）上为增函数，可知f（x）在上单调递增，故②正确；
将代入f（x），可得，
所以为f（x）图象的一个对称中心，故③正确；
根据正切函数的周期为π，可知f（x）的最小正周期，故④错误．
综上所述，其中的正确命题有②③，共2个．
故选：C．
▉题型12 正切函数的奇偶性与对称性
【知识点的认识】
三角函数的奇偶性、周期性和对称性
1．判断三角函数的奇偶性和周期性时，一般先将三角函数式化为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解．
2．求三角函数的周期主要有三种方法：（1）周期定义；（2）利用正（余）弦型函数周期公式；（3）借助函数的图象．
37．“x0＝π”是“函数y＝tanx的一个对称中心是（x0，0）”的（　　）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【解答】解：根据题意可知，当x0＝π时，此时tanx0＝0，y＝tanx的图像关于（x0，0）中心对称，
当函数y＝tanx的图像关于（x0，0）中心对称时，，此时x0不一定为π，
所以“x0＝π”是“函数y＝tanx的图像关于（x0，0）中心对称”的充分不必要条件．
故选：A．
38．已知函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则ω＝　2　 ．
【答案】2．
【解答】解：由题意可得，即，则．
故答案为：2．
▉题型13 五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象
【知识点的认识】
1．五点法作y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的简图
找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点．其步骤为：
（1）先确定周期T，在一个周期内作出图象；
（2）令X＝ωx+φ，令X分别取0，，π，，2π，求出对应的x值，列表如下：
x
ωx+φ 0 π 2π
y＝Asin（ωx+φ） 0 A 0 ﹣A 0
由此可得五个关键点；
（3）描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到y＝Asin（ωx+φ）的简图．
2．振幅、周期、相位、初相
当函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），x∈（﹣∞，+∞）表示一个振动量时，则A叫做振幅，T叫做周期，f叫做频率，ωx+φ叫做相位，φ叫做初相．
函数y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝Atan （ωx+φ）的最小正周期为．
39．已知函数f（x）＝sinx﹣2|sinx|．
（Ⅰ）先补充下列表格，然后用五点法画出函数y＝f（x）在区间[0，2π]上的图象；
x 0 π 2π
sinx
f（x）＝sinx﹣2|sinx|
（Ⅱ）结合图象，写出函数的递减区间．
【答案】（Ⅰ）答案见解析；
（Ⅱ）递减区间为和．
【解答】解：（Ⅰ）由题意函数f（x）＝sinx﹣2|sinx|，
列表如下：
x 0 π 2π
sinx 0 1 0 ﹣1 0
f（x）＝sinx﹣2|sinx| 0 ﹣1 0 ﹣3 0
描点，连线，可得函数图象如下：
（Ⅱ）由（Ⅰ）中f（x）的图象知和，
解得和，
可得f（x）的递减区间为和．
40．已知函数：
（1）补全下列表格，用“五点法”画出f（x）在区间[0，π]的大致图象；
0 π 2π
x
f（x）
（2）若f（x）≥1，求x的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；
（2）．
【解答】解：（1）补全表格如下：
0 π 2π
x
f（x） 0 2 0 ﹣2 0
描点连线，可得函数图象如下：
（2）因为f（x）≥1，
所以，
可得，k∈Z，
所以，k∈Z，
可得不等式f（x）≥1的解集为．
41．已知函数．
（1）某同学利用五点法画函数f（x）在区间上的图象．他列出表格，并填入了部分数据，请你帮他把表格填写完整，并在坐标系中画出图象；
（2）已知函数g（x）＝f（ωx）（ω＞0）．
①若函数g（x）的最小正周期为，求g（x）的单调递增区间；
②若函数g（x）在上无零点，求ω的取值范围（直接写出结论）．
x _____
0 _____ π 2π
f（x） 0 2 0 _____ 0
【答案】（1）答案见详解；
（2）①； ②（0，1）．
【解答】解：（1）表格填写如下：
x
0 π 2π
f（x） 0 2 0 ﹣2 0
图象如下：
（2）①由题意，
因为，
所以ω＝3，
所以，
令，解得（k∈Z），
所以g（x）的单调递增区间为．
②，
因为时，，
又因为函数g（x）在上无零点，
所以，
解得0＜ω＜1，
所以ω的取值范围为（0，1）．
42．已知函数．
（1）用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数f（x）在[0，π]上的图像；
（2）先将函数y＝f（x）的图像向右平移个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图像，求g（x）在[0，2π]上的取值范围．
【答案】（1）作图如下：
（2）[﹣1，2]．
【解答】解：（1），
x 0 π
π 2π
y 1 2 0 ﹣2 0 1
作图如下：
（2）将函数y＝f（x）的图像向右平移个单位，得到，
再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到，
当0≤x≤2π时，，，，
所以g（x）在[0，2π]上的取值范围是[﹣1，2]．
43．已知函数f（x）＝sin2x+2cos2x．
（1）用“五点法”作出它在一个周期内的图象；
（2）已知函数g（x）＝f（ωx）（ω＞0）．
（i）若函数g（x）的最小正周期为，求g（x）的单调递增区间；
（ii）在（i）条件下求函数g（x）在[0，]范围内的最大值与最小值．
【答案】（1）图象见解析；（2）（i）[，]，k∈Z．（ii）最大值为，最小值为0．
【解答】解：（1）f（x）＝sin2x+2cos2x＝sin2x+cos2x+1sin（2x）+1，
由五个关键点列表如下：
x
2x 0 π 2π
f（x） 1 1 1 1
函数图象如下：
（2）函数g（x）＝f（ωx）sin（2ωx）+1，
（i）若函数g（x）的最小正周期为，
则，所以ω，
所以g（x）sin（3x）+1，
令3x∈[2kπ，]，k∈Z，
解得x∈[，]，k∈Z，
所以g（x）的单调递增区间为[，]，k∈Z．
（ii）因为x∈[0，]，
所以3x∈[，]，
所以sin（3x）∈[，1]，
所以sin（3x）+1∈[0，]，
所以g（x）的最大值为，最小值为0．
44．已知函数．
（1）请用“五点法”画出函数f（x）在一个周期上的简图；
（2）求函数f（x）的单调增区间，并说明f（x）是由g（x）＝sinx经过怎样变换得到的？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）“五点法”画出函数，在一个周期上的简图，
五点法取值列表如下：
x
0 π 2π
f（x） 0 1 0 ﹣1 0
建立平面直角坐标系，描点连线，可得函数图象如图示：
．
（2）先求函数f（x）的单调增区间，令，k∈Z，
解得：，
故f（x）的单调递增区间是；
先将g（x）的图像向右平移的单位长度得到，再将所得函数的图像上所有的点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到，即f（x）的图像．
▉题型14 函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换
【知识点的认识】
函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤
两种变换的差异
先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．
45．为了得到函数的图象，只需将函数y＝cos2x上所有的点（　　）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
【答案】A
【解答】解：对于选项A：把函数y＝cos2x上所有的点向左平移个单位长度可得的图象，选项A正确；
对于选项B：把函数y＝cos2x上所有的点向右平移个单位长度可得的图象，选项B错误；
对于选项C：把函数y＝cos2x上所有的点向左平移个单位长度可得的图象，选项C错误；
对于选项D：把函数y＝cos2x上所有的点向右平移个单位长度可得的图象，选项D错误．
故选：A．
46．已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期及f（x）的单调递增区间；
（2）将f（x）的图象向左平移个单位，向下平移1个单位，再把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到g（x）的图象，求g（x）的解析式及图象的对称中心；
（3）若函数g（x）在区间[0，n]上有5个零点，求n的取值范围．
【答案】（1）π，；（2），；（3）．
【解答】解：（1）函数．
依题意，，
函数f（x）的最小正周期，由，
解得，
所以f（x）的单调递增区间为．
（2）将f（x）的图象向左平移个单位，向下平移1个单位，得，
再把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，
得，由，得，
所以g（x）的解析式为，图象的对称中心为．
（3）由x∈[0，n]，得，由函数g（x）在区间[0，n]上有5个零点，
得，解得，
所以n的取值范围是．
47．已知函数f（x）＝tan（ωx﹣φ）（ω＞0，0＜φ＜π）与直线y＝a交于A，B两点，且线段AB长度的最小值为，若将函数f（x）的图象向左平移个单位后恰好关于原点对称，则φ的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意知，函数f（x）的最小正周期，则，得ω＝3，
所以f（x）＝tan（3x﹣φ），将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，
得到的图象，
因为该图象关于原点对称，则，所以，
当k＞0时，k∈Z，φ＜0，不合题意，当k＝0时，，
又0＜φ＜π，所以当k＝﹣1时，φ取，当k≤﹣2，﹣3， 时，，不合题意，
故φ最大值为．
故选：C．
48．把函数y＝cosx图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数y＝f（x）的图象，则f（x）＝（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：把函数y＝cosx图象上所有点的横坐标变为原来的倍可得y＝cos2x，
再将图象上所有的点向右平移个单位长度后的函数为．
故选：B．
49．已知将函数y＝sinωx+cosωx向右平移个长度单位，再将振幅缩小到原来的倍，得函数f（x），又知函数f（x）与的图象连续相邻的三个交点为A、B、C，若，则ω的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：向右平移，再将振幅缩小，
得f（x）＝sinωx，
又因为，
即，
所以函数f（x）和g（x）的周期，
因为A，B，C为连续三交点，（不妨设B在x轴下方），D为AC的中点，
由对称性知，△ABC是以AC为底边的等腰三角形，，
由，
整理得：，
所以，
设点A、B的纵坐标分别为yA，yB，则，即，
由，则，，
又∠BAC＝∠BCA，当且仅当，此时，
解得．
故选：A．
50．把函数f（x）＝sin2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，则g（x）的最小正周期为（　　）
A．2π B．π C． D．
【答案】A
【解答】解：函数f（x）＝sin2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，
则g（x）＝sinx+1，
故g（x）的最小正周期为．
故选：A．
51．智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线是y＝2cos3x，通过主动降噪芯片生成的声波曲线是y＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π），则φ＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：由于噪声的声波曲线是y＝2cos3x，通过主动降噪芯片生成的声波曲线是y＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π），则．
故答案为：．
▉题型15 由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【知识点的认识】
根据图象确定解析式的方法：
在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A，k，ω由周期T确定，即由T求出，φ由特殊点确定．
（多选）52．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图像如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．f（x）的图像关于点对称
B．f（x）的图像关于直线对称
C．将函数的图像向左平移个单位长度得到函数f（x）的图像
D．若方程f（x）＝m在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
【答案】ABD
【解答】解：由函数f（x）的图象可得A＝2，T，解得T＝π，所以ω2，
所以f（x）＝2sin（2x+φ），
又f（）＝2sin（2φ）＝2，即sin（φ）＝1，
所以φ2kπ，k∈Z，又|φ|，所以φ，所以f（x）＝2sin（2x）．
对于A，当x时，f（x）＝2sin（）＝0，选项A正确；
对于B，当x时，f（x）＝2sin（）＝﹣2为最小值，
所以f（x）的图像关于直线x对称，选项B正确；
对于C，将函数y＝2sin（2x）的图像向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin[2（x）]＝2sin（2x）的图像，选项C错误；
对于D，x∈[，0]时，2x∈[，]，
则当2x∈[，]，即x∈[，]时，f（x）单调递减；
当2x∈[，]，即x∈[，0]时，f（x）单调递增，
因为2sin（），2sin（）＝﹣2，2sin（）＝﹣2，2sin，
所以方程f（x）＝m在[，0]上有两个不相等的实数根时，
m的取值范围是（﹣2，]，选项D正确．
故选：ABD．
53．若函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图，则函数g（x）＝Acos（ωx+φ）图象的一条对称轴方程可能为（　　）
A．x＝﹣2 B．x＝1 C．x＝10 D．x＝13
【答案】A
【解答】解：由图知，A＝2，设函数的最小正周期T，
由图知6﹣（﹣2）＝8，ω＞0，
所以T＝16，可得ω，
又因为函数过（6，0），且函数在x＝6附近单调递增，
所以6φ＝0+2kπ，k∈Z，且|φ|＜π，
解得φ，
所以函数的解析式f（x）＝2sin（x），
所以g（x）＝2cos（x），
令xkπ，k∈Z，解得x＝6+8k，k∈Z，
再由当k＝﹣1时，x＝﹣2成立，其它都不成立．
故选：A．
54．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜π）的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；
（2）将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象．当时，求g（x）的取值范围．
【答案】（1）；
（2）g（x）∈[﹣1，2]．
【解答】解：（1）由图可得A＝2，
函数f（x）的最小正周期为，则，
故f（x）＝2sin（2x+φ），
由“五点作图法”得2φ＝0，
解得，
因此，；
（2）将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，
可得到函数，
再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，
则．
当时，，则，则﹣1≤g（x）≤2．
∴g（x）∈[﹣1，2]．
55．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[0，π]上的单调增区间；
（3）若，求的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）由图可知A＝2，可得，
所以，可得ω＝2，
由，得，
则，
由于0＜φ＜π，
所以，
可得；
（2）由于，
要使x∈[0，π]，则令k＝1，可得，
所以f（x）在[0，π]上的单调增区间是；
（3）由题意可得，可得，
所以
＝1﹣（）2
．
56．已知函数f（x）＝sin（ωx﹣φ）（ω＞0，|φ|）的部分图象如图所示，则下列说法正确的个数是（　　）
①函数f（x）最小正周期为3π；
②（，0）为函数f（x）的一个对称中心；
③f（0）；
④函数f（x）向右平移个单位后所得函数为偶函数．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：根据函数f（x）＝sin（ωx﹣φ）（ω＞0，|φ|）的部分图象，
可得π，∴ω，f（x）＝sin（x﹣φ）．
再根据五点法作图，可得π﹣φ，
可得φ，f（x）＝sin（x）．
故函数的最小正周期为3π，故①正确．
令x，可得f（x）＝sinsin0，可得（，0）不是函数f（x）的一个对称中心，故②错误．
根据f（0）＝sin（）＝﹣sin，故③正确．
把函数f（x）向右平移个单位后，所得函数为y＝sin[（x）]＝sin（x）＝﹣cos，
显然所得函数是偶函数，故④正确．
综上可得，说法正确的个数为3．
故选：C．
▉题型16 三角函数的恒等变换及化简求值
【知识点的认识】
三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．
公式
①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（x）＝sin（x）＝cosx
②余弦函数有y＝cos（2kπ+x）＝cosx，cos（x）＝sinx
③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（x）＝cotx，
④余切函数有y＝cot（x）＝tanx，cot（kπ+x）＝cotx．
57．（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】D
【解答】解：原式
＝2．
故选：D．
58．若函数在上只有一个零点，则ω的取值范围为　　 ．
【答案】．
【解答】解：，
所以，
令f（x）＝0，可得，
所以，k∈Z，
所以，k∈Z，又ω＞0，
所以将函数的正零点按从小到大的顺序排列可得
，，，…，
因为函数y＝f（x）在上只有一个零点，ω＞0，
所以，，
所以，
所以ω的取值范围为．
故答案为：．
59．已知函数，，
（1）求a的值以及f（x）的对称轴；
（2）将函数f（x）图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g（x）的图象，若，求x的取值范围；
（3）已知，求cosθ的值．
【答案】（1）a＝0；对称轴方程为（k∈Z）；（2）x的取值范围为[]（k∈Z）；（3）．
【解答】解：（1）函数cos（2x）+a，
由于，
解得a＝0．
令（k∈Z），整理得（k∈Z）．
故函数的对称轴方程为（k∈Z）．
（2）将函数f（x）图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象，
若，故（k∈Z），
整理得：（k∈Z），
故x的取值范围为[]（k∈Z）．
（3）已知，
故
∴．
（多选）60．下列各式中，值为的是（　　）
A．2sin15°cos15°
B．
C．
D．
【答案】AD
【解答】解：2sin15°cos15°＝sin30°，A正确；
21＝cos，B错误；
cos15°，C错误；
tan45°，D正确．
故选：AD．

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