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第7章第4节 数学建模活动：周期现象的描述
题型1 三角函数的周期性 题型2 三角函数应用
▉题型1 三角函数的周期性
【知识点的认识】
周期性
①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．
③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T．
1．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上单调递增的是（　　）
A．y＝|sinx| B．y＝|cosx| C．y＝cos2x D．
2．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（，π）上单调递减的是（　　）
A．y＝|sinx| B．y＝cosx C．y＝tanx D．y＝cos
（多选）3．已知函数相邻两个最高点之间的距离为π，则以下正确的是（　　）
A．f（x）的最小正周期为π
B．是奇函数
C．f（x）的图象关于直线对称
D．f（x）在上单调递增
4．已知函数，且．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期；
（3）若锐角α满足，求sinα的值．
5．已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当时，若f（x）的最大值为3，求a的值．
6．下列函数中，在上递增，且周期为π的偶函数是（　　）
A．y＝sinx B．y＝cos2x C．y＝tanx D．y＝|sinx|
7．下列函数f（x）的最小正周期为2π的是（　　）
A．f（x）＝sinxcosx
B．
C．
D．
8．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（　　）
A．y＝sinx B．y＝sin2x C．y＝cosx D．y＝cos2x
9．设k为正数，若函数的最小正周期为，则k＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为f的基音的同时，其各部分如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如2f，3f，4f等．这些音叫谐音，因为其振幅较小，一般不易单独听出来，所以我们听到的声音的函数为．则函数的周期为（　　）
A．π B．2π C． D．
（多选）11．已知函数，则（　　）
A．f（x）是周期为π的函数
B．f（x）与函数是同一函数
C．是f（x）的一条对称轴
D．f（x）在区间上的取值范围是
12．已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期和对称轴；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）当x∈[0，π]时，求f（x）的最大值和最小值．
13．已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期与对称中心的坐标；
（2）若f（θ）＝0，求的值．
14．函数的最小正周期是（　　）
A．6π B．3π C． D．
15．下列函数中，周期为π的奇函数为（　　）
A．y＝sinxcosx B．y＝sin2x
C．y＝tan2x D．y＝sin2x+cos2x
16．函数f（x）＝2sinx﹣sin2x是（　　）
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为2π的偶函数
17．函数的最小正周期为 　 　 ．
18．若函数的最小正周期为π，则ω的值为 　 ．
19．已知函数的最小正周期为π．
（1）求的值；
（2）求f（x）在上的值域．
20．函数的最小正周期是 　 ；定义域是 　 　 ．
（多选）21．对于函数给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（　　）
A．该函数是以π为最小正周期的周期函数
B．当且仅当x＝π+kπ（k∈Z）时，该函数取得最小值﹣1
C．该函数的图象关于直线对称
D．当且仅当时，
22．已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当，求f（x）的最大值．
▉题型2 三角函数应用
【知识点的认识】
1．三角函数模型的简单应用：1）在生活中的应用；2）；在建筑学中的应用；3）在航海中的应用；4）在物理学中的应用．
2．解三角函数应用题的一般步骤：
（1）阅读理解材料：将文字语言转化为符号语言；
（2）建立变量关系：抽象成数学问题，建立变量关系；
（3）讨论变量性质：根据函数性质讨论变量性质；
（4）作出结论．
23．随着冬天的到来，越来越多的旅客从全国各地来到“尔滨”赏冰乐雪，今年冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，一睹冰雕雪雕风采的同时还能体验各种冰上项目，如抽索，大滑梯，摩天轮等．如图所示，某地摩天轮最高点离地面高度128m，最低点离地面高度8m，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转，转一周的时间约为24min，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面高度为hm，下列说法正确的是（　　）
A．摩天轮的轮盘直径为60m
B．h关于t的函数解析式为
C．h关于t的函数解析式为
D．在游客乘坐一周的过程中，游客有16min时间距地面高度超过38m
24．如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与圭面成角也就是太阳高度角．圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，投影点为冬至线．日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线．已知景德镇冬至正午太阳高度角为，夏至正午太阳高度角为θ°，表高42厘米，圭面上冬至线与夏至线之间的距离为50厘米，则sin（θ﹣36.9°）的值为（　　）
A． B． C． D．
25．受潮汐影响，某港口一天的水深f（t）（单位：m）与时刻t的部分记录如下表：
时刻t 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00
水深f（t） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
若该天从0：00～24：00，f（t）与t的关系可近似地用函数f（t）＝Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|）来表示，则下列结论正确的是（　　）
A．B＝3
B．
C．13：00时的水深约为6.25m
D．一天中水深低于3.75m的时间为4小时
26．水车在古代是进行灌溉的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图，一个半径为6米的水车逆时针匀速转动，水车圆心O在水面以上距离水面3米，已知水车每60秒转动一图，如果水车上一点P从水中浮现时（图中P0）开始计时，经时t秒后，水车旋转到P点，则下列说法错误的是（　　）
A．P点第一次到达最高点需要的时间为20秒
B．第30秒和第70秒时，P点在水面以上且距离水面的高度相同
C．在转动一圈内，P点在水面以上且距离水面米以上的持续时间为10秒
D．当t∈[0，15]时，P点距离水面的最大高度为6米
27．石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁中轴结构，风格现代简约．“梦想之星”摩天轮直径约为86米，总高约100米，匀速旋转一周时间为18分钟，配有42个球形全透视360度全景座舱．如果不考虑座舱高度等其它因素，该摩天轮的示意图如图所示，游客从离地面最近的位置进入座舱，旋转一周后出舱，甲、乙两名同学通过即时交流工具发现，他们两人进入各自座舱的时间相差6分钟，这两名同学在摩天轮上游玩的过程中，他们所在的高度之和的最大值约为（　　）
A．79米 B．157米 C．113米 D．189米
28．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为R的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当t＝0时，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点P（x，y），点P的纵坐标满足，则当筒车旋转90秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为 ．
29．如图，一艘船以每小时20km的速度向东航行，船在A处观测灯塔C在北偏东45°方向，行驶2h后，船到达B处，观测个灯塔C在北偏东15°方向，此时船与灯塔C的距离为　 km．
30．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为10m，转盘半径为50m，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min．在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，则H关于t的函数解析式为 ．
31．人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份．在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．
若二维空间有两个点A（x1，y1），B（x2，y2），则曼哈顿距离为：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|
余弦相似度为：cos（A，B）
余弦距离为1﹣cos（A，B）
（1）若A（﹣1，2），B（，），求A，B之间的曼哈顿距离d（A，B）和余弦距离；
（2）已知M（sinα，cosα），N（sinβ，cosβ），Q（sinβ，﹣cosβ），若cos（M，N），cos（M，Q），求tanαtanβ的值．
32．双曲函数是工程数学中一类重要的函数，也是一类最重要的初等函数，在数学与物理等众多领域有着丰富的实际应用．其中双曲正弦函数解析式为，双曲余弦函数解析式为，双曲正切函数．
（1）判断函数f（x）＝tanhx的单调性并说明（无需严格证明），并求其值域；
（2）求函数g（x）＝cosh2x﹣coshx的最小值；
（3） x∈[1，2]，比较cosh（sinx2）与sinh（cosx2）的大小．
33．如图，已知AOB是半径为1，圆心角为θ的扇形，P是扇形弧上的动点，记∠AOP＝α，
（1）请用θ，α来表示平行四边形OCPQ的面积；
（2）若．
①求平行四边形OCPQ面积的最大值，以及面积最大时角α的值；
②记（其中x，y∈R），求x+2y的取值范围．
34．已知海面上A，B两点处置有距离为海里的两个灯塔，游船在P点时，与A，B两点处灯塔的距离均为2海里．游船航行一段距离后，从两灯塔间穿过并抵达Q点，此时在B点处灯塔测得．
（1）若P，Q两点的距离为海里，求BQ的长度；
（2）求P，Q两点距离的取值范围．
35．近年来，为丰富市民的娱乐生活，各地都建设了不少摩天轮供市民游玩，保山市青华海湿地公园旁就屹立着一座名为“保山之星”的摩天轮．如图3，若该摩天轮的转盘直径为80m，摩天轮支柱塔基高为50m，摩天轮做匀速转动，每20min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处．
（1）已知在时刻t（单位：min）时点P距离地面的高度f（t）＝Asin（ωt+φ）+h（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π），求函数f（t）的解析式及25min时点P距离地面的高度；
（2）当点P距离地面70m及以上时，可以看到青华海湿地公园的全貌，求摩天轮转一圈中，游客有多长时间可以看到公园的全貌（精确到小数点后一位数字）．
36．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，转一周需要30min．
（1）求游客甲在开始转动7.5min后距离地面的高度；
（2）求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；
（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差h的最大值（答案可用表达式）．
37．某港口水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下面是水深数据：
t（小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y（米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
据上述数据描成的曲线如图所示，该曲线可近似的看成函数y＝Asinωt+b的图象．
（1）试根据数据表和曲线，求y＝Asinωt+b的解析式；
（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？
38．如图，圆心角为45°的扇形AOB的半径为2，C是弧AB上一点，作矩形CDEF，且点D在半径OB上，点E，F在半径OA上．记∠AOC＝α．
（1）用α表示四边形CDEF的面积．
（2）当四边形CDEF的面积取得最大值时，角α得取值是多少？最大面积是多少？
39．行列式在数学中是一个函数，无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用．将形如||的符号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下：||＝a11a22﹣a12a21，设函数f（x）（x∈R）．
（1）求f（x）的对称轴方程及单调递增区间；
（2）在锐角△ABC中，已知f（A），cosB，求sinC．
40．如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心O到水面的距离为1m，筒车的半径是3m，盛水筒的初始位置为P0，OP0与水平正方向的夹角为．若筒车以角速度2rad/min沿逆时针方向转动，t为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点P1所需的时间（单位：min），则（　　）
A． B．
C． D．
41．某景区的平面图如图所示，其中AB，AC为两条公路，∠BAC＝120°，M，N为公路上的两个景点，测得AM＝2km，AN＝1km，为了拓展旅游业务，拟在景区内建一个观景台P，为了获得最佳观景效果，要求P对M，N的视角∠MPN＝60°．现需要从观景台P到M，N建造两条观光路线PM，PN，则观光线路PM+PN的取值范围为 　 ．
42．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在t（单位：s）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度h（单位：cm）由关系式确定，其中A＞0，ω＞0，t∈[0，+∞）．在振动中，小球两次到达最高点的最短时间间隔为1s．且最高点与最低点间的距离为10cm．
（1）求小球相对平衡位置的高度h和时间t之间的函数关系；
（2）若小球在t0s内经过最高点的次数恰为25次，求t0的取值范围．
43．某农户有一块半径为20米的圆形菜地，为防止菜地被小鸟破坏，准备在菜地中扎两个稻草人．设该圆形菜地的圆心为O，A，B两点为稻草人，C为该圆形菜地边缘上任意一点，要求O为AB的中点．
（1）若，求OA；
（2）设y＝CA2+CB2，OA＝a，试将y表示为a的函数；
（3）若同时要求该农户在该菜地边缘上任意一点C处观察稻草人时，观察角度∠ACB的最大值不小于，试求A，B两个稻草人之间的距离的最小值．
44．如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在圆周上．记梯形ABCD的周长为y，∠CAB＝θ．
（1）将y表示成θ的函数；
（2）求梯形ABCD周长的最大值．
45．用下面两个条件中的一个补全如下函数：
__，回答相关问题．
条件①：；条件②：．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）将函数y＝f（x）图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，求函数g（x）的对称轴方程．
注：如果两个条件都作答，则按第一个条件计分．
46．如图为大型观览车在直角坐标平面内的示意图．O为观览车的轮轴中心，点O距离地面的高度为32m，观览车转轮的半径为30m，其逆时针旋转的角速度为1rad/s．点P0表示观览车上某座椅的初始位置，且，此时座椅距地面的高度为
　 m；当转轮逆时针转动ts后，点P0到达点P的位置，则点P的纵坐标y与时间t（单位：s）的函数关系为 （t≥0）．第7章第4节 数学建模活动：周期现象的描述
题型1 三角函数的周期性 题型2 三角函数应用
▉题型1 三角函数的周期性
【知识点的认识】
周期性
①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．
③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T．
1．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上单调递增的是（　　）
A．y＝|sinx| B．y＝|cosx| C．y＝cos2x D．
【答案】A
【解答】解：A．y＝|sinx|的最小正周期为π，在区间上单调递增，故A正确；
B．y＝|cosx|的最小正周期为π，在区间上单调递减，故B错误；
C．y＝cos2x的最小正周期为π，在区间上单调递减，故C错误；
D.的最小正周期为2π，在区间上单调递增，故D错误；
故选：A．
2．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（，π）上单调递减的是（　　）
A．y＝|sinx| B．y＝cosx C．y＝tanx D．y＝cos
【答案】A
【解答】解：对于A：y＝|sinx|，将y＝sinx的图象x轴翻折到上方，可知周期T＝π，在区间（，π）上单调递减，所以A对；
对于B：y＝cosx的周期T＝2π，所以B不对．
对于C：y＝tanx的周期T＝π，在定义域内都是单调递增，所以C不对；
对于D：y＝cos的周期T，所以D不对．
故选：A．
（多选）3．已知函数相邻两个最高点之间的距离为π，则以下正确的是（　　）
A．f（x）的最小正周期为π
B．是奇函数
C．f（x）的图象关于直线对称
D．f（x）在上单调递增
【答案】ABD
【解答】解：函数相邻两个最高点之间的距离为π，
∴函数f（x）的周期为Tπ，A正确；
∵ω＞0，∴ω＝2，f（x）sin（2x），
∴f（x）sin[2（x）]sin2x是奇函数，B正确；
当x时，f（）sin0＝0≠±，f（x）的图象不关于直线x对称，C错误；
∵x∈，2x∈[，]，
∴f（x）在上单调递增，D正确．
故选：ABD．
4．已知函数，且．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期；
（3）若锐角α满足，求sinα的值．
【答案】（1）a＝1，b＝2；
（2）π；
（3）．
【解答】解：（1）因为函数，且，
所以，，
可得a＝1，b＝2；
（2）由（1）可得，
由，
可得f（x）的最小正周期为π；
（3）因为，可得，可得，
又由于，可得，
可得，可得，
当时，可得，
由，
所以sinα＞0，矛盾，
当时，可得，
所以．
5．已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当时，若f（x）的最大值为3，求a的值．
【答案】（1）π；
（2）1．
【解答】解：（1）f（x）＝2sinxcosx+sin（2x）+asin2x+cos2x+a＝2sin（2x）+a，
所以函数f（x）的最小正周期为Tπ；
（2）当时，，
所以当时，函数f（x）的最大值为2sina＝2+a＝3，解得a＝1．
6．下列函数中，在上递增，且周期为π的偶函数是（　　）
A．y＝sinx B．y＝cos2x C．y＝tanx D．y＝|sinx|
【答案】D
【解答】解：对于A，y＝sinx为奇函数，不符合题意；
对于B，y＝cos2x为偶函数，周期Tπ，但在[0，]上递减，不符合题意；
对于C，y＝tanx为奇函数，不符合题意；
对于D，y＝|sinx|为偶函数，周期T＝π，当x∈[0，]时，y＝sinx为增函数，符合题意．
故选：D．
7．下列函数f（x）的最小正周期为2π的是（　　）
A．f（x）＝sinxcosx
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：对于A，f（x）＝sinxcosxsin2x的最小正周期为π，A错误；
对于B，f（π+x）f（x），即π是f（x）的周期，B错误；
对于C，f（x）＝﹣2sinsinxsinx的最小正周期为2π，C正确；
对于D，f（x）＝2（sin2xcos2x）＝2sin（2x），其最小正周期为π，D错误．
故选：C．
8．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（　　）
A．y＝sinx B．y＝sin2x C．y＝cosx D．y＝cos2x
【答案】B
【解答】解：函数y＝sinx、y＝cosx的最小正周期为2π，AC不正确；
函数y＝cos2x是偶函数，D不正确，y＝sin2x是奇函数，且最小正周期为π，B正确．
故选：B．
9．设k为正数，若函数的最小正周期为，则k＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：由于函数的最小正周期为，
所以，且k＞0，解得k＝3．
故选：C．
10．我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为f的基音的同时，其各部分如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如2f，3f，4f等．这些音叫谐音，因为其振幅较小，一般不易单独听出来，所以我们听到的声音的函数为．则函数的周期为（　　）
A．π B．2π C． D．
【答案】B
【解答】解：对于A：sinxsin2xsin3x≠f（x），故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：f（x），故C错误；
对于D：cosxsin2xcos3x≠f（x），故D错误．
故选：B．
（多选）11．已知函数，则（　　）
A．f（x）是周期为π的函数
B．f（x）与函数是同一函数
C．是f（x）的一条对称轴
D．f（x）在区间上的取值范围是
【答案】AD
【解答】解：根据题意可知，，故A正确；
，故B错误；
因为，
所以不是f（x）的一条对称轴，故C错误；
当时，，则，
则，
即f（x）在区间上的取值范围是，故D正确．
故选：AD．
12．已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期和对称轴；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）当x∈[0，π]时，求f（x）的最大值和最小值．
【答案】（1）4π，x＝2kπ，k∈Z；
（2），，k∈Z；
（3）最大值为2，最小值为1．
【解答】解：（1）由题意，知，所以f（x）的最小正周期．
kπ，k∈Z，x＝2kπ，k∈Z，则f（x）的对称轴为x＝2kπ，k∈Z；
（2）由，得，k∈Z，
所以f（x）的单调递增区间为，，k∈Z；
（3）因为0≤x≤π，所以，所以 ，
所以，所以，所以f（x）的最大值为2，最小值为1．
13．已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期与对称中心的坐标；
（2）若f（θ）＝0，求的值．
【答案】（1）T＝π；，k∈Z；
（2）．
【解答】解：（1）由题意得f（x）＝sinxcosxcos2x
sin2x（1+cos2x），
所以f（x）的最小正周期，
令，k∈Z，解得，k∈Z，
可得f（x）图象的对称中心坐标为，k∈Z．
（2）由（1）得f（θ）＝sin（2θ）0，解得，
所以，
因为cos（4θ）＝cos[（4θ）]，
所以cos（4θ）．
14．函数的最小正周期是（　　）
A．6π B．3π C． D．
【答案】A
【解答】解：∵sin（），
∴f（x）的最小正周期是6π．
故选：A．
15．下列函数中，周期为π的奇函数为（　　）
A．y＝sinxcosx B．y＝sin2x
C．y＝tan2x D．y＝sin2x+cos2x
【答案】A
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A、y＝sinxcosxsin2x，为奇函数，且其周期为π，符合题意；
对于B、y＝sin2x，为偶函数，周期为π，不符合题意；
对于C、y＝tan2x，为奇函数，其周期为，不符合题意；
对于D、y＝sin2x+cos2xsin（2x），为非奇非偶函数，不符合题意．
故选：A．
16．函数f（x）＝2sinx﹣sin2x是（　　）
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为2π的偶函数
【答案】B
【解答】解：∵f（﹣x）＝2sin（﹣x）﹣sin（﹣2x）＝﹣2sinx+sin2x＝﹣f（x），
∴函数f（x）为奇函数；
又y＝sinx，y＝sin2x的最小正周期分别为2π，π，
∴f（x）＝2sinx﹣sin2x的最小正周期为2π．
故选：B．
17．函数的最小正周期为 　4　 ．
【答案】4
【解答】解：根据正弦型函数的最小正周期的计算公式，可得：
函数的最小正周期为．
故答案为：4．
18．若函数的最小正周期为π，则ω的值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由题意可得，解得．
故答案为：．
19．已知函数的最小正周期为π．
（1）求的值；
（2）求f（x）在上的值域．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）因为f（x）最小正周期为π且ω＞0，
由可得ω＝2，
故，
则．
（2）由（1）知，
当时，，则，
故，
，
故f（x）在上的值域为．
20．函数的最小正周期是 　π　 ；定义域是 　[kπ，kπ]（k∈Z）　 ．
【答案】π；[kπ，kπ]（k∈Z）．
【解答】解：因为，
所以Tπ；
由cos2x≥0，可得2kπ≤2x2kπ，k∈Z，
解得kπ≤xkπ，k∈Z，
所以函数f（x）的定义域为[kπ，kπ]（k∈Z）．
故答案为：π；[kπ，kπ]（k∈Z）．
（多选）21．对于函数给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（　　）
A．该函数是以π为最小正周期的周期函数
B．当且仅当x＝π+kπ（k∈Z）时，该函数取得最小值﹣1
C．该函数的图象关于直线对称
D．当且仅当时，
【答案】CD
【解答】解：因为，
所以当2kπx≤2kπ，k∈Z时，f（x）＝cosx；
当2kπx＜2kπ，k∈Z时，f（x）＝sinx；
则f（x）的最小正周期为2π，故A错误；
画出f（x）在一个周期内的图象，
当x＝2kπ+π或x＝2kπ，k∈z时，f（x）取得最小值﹣1，故B错误；
由图可知f（x）的图象关于直线对称，故C正确；
当且仅当2kπ＜x＜2kπ（k∈Z）时，f（x）＞0，
f（x）的最大值为f（），可得，故D正确．
故选：CD．
22．已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当，求f（x）的最大值．
【答案】（1）π；
（2）．
【解答】解：（1），
所以周期为；
（2）当时，，所以，
所以，
故f（x）值域为，最大值为．
▉题型2 三角函数应用
【知识点的认识】
1．三角函数模型的简单应用：1）在生活中的应用；2）；在建筑学中的应用；3）在航海中的应用；4）在物理学中的应用．
2．解三角函数应用题的一般步骤：
（1）阅读理解材料：将文字语言转化为符号语言；
（2）建立变量关系：抽象成数学问题，建立变量关系；
（3）讨论变量性质：根据函数性质讨论变量性质；
（4）作出结论．
23．随着冬天的到来，越来越多的旅客从全国各地来到“尔滨”赏冰乐雪，今年冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，一睹冰雕雪雕风采的同时还能体验各种冰上项目，如抽索，大滑梯，摩天轮等．如图所示，某地摩天轮最高点离地面高度128m，最低点离地面高度8m，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转，转一周的时间约为24min，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面高度为hm，下列说法正确的是（　　）
A．摩天轮的轮盘直径为60m
B．h关于t的函数解析式为
C．h关于t的函数解析式为
D．在游客乘坐一周的过程中，游客有16min时间距地面高度超过38m
【答案】D
【解答】解：对于A，因为摩天轮最高点离地面高度128m，最低点离地面高度8m，
所以摩天轮的轮盘直径为128﹣8＝120m，故A错误；
对于B，设h＝Asin（ωt+φ）+B，（ω＞0，|φ|），
则，
令t＝0时，则sinφ＝﹣1，φ，
又，解得，
所以h＝60sin（t）+68＝﹣60cost+68，t∈[0，24]，故B，C错误；
对于D．，t∈[0，24]，
当距地面高度超过38m时，即，即，
即，
解得4+24k＜t＜20+24k，k∈Z，
又因为t∈[0，24]，
所以4＜t＜20，
所以游客有16min时间距地面高度超过38m，故D正确．
故选：D．
24．如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与圭面成角也就是太阳高度角．圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，投影点为冬至线．日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线．已知景德镇冬至正午太阳高度角为，夏至正午太阳高度角为θ°，表高42厘米，圭面上冬至线与夏至线之间的距离为50厘米，则sin（θ﹣36.9°）的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：如图，tan∠ABC＝tan36.9°，AC＝42，所以BC＝56．
又BD＝50，所以CD＝6，
根据勾股定理得，．
在△ABD中，根据正弦定理得，，
即，
解得．
故选：C．
25．受潮汐影响，某港口一天的水深f（t）（单位：m）与时刻t的部分记录如下表：
时刻t 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00
水深f（t） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
若该天从0：00～24：00，f（t）与t的关系可近似地用函数f（t）＝Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|）来表示，则下列结论正确的是（　　）
A．B＝3
B．
C．13：00时的水深约为6.25m
D．一天中水深低于3.75m的时间为4小时
【答案】C
【解答】解：根据题目：若该天从0：00～24：00，
f（t）与t的关系可近似地用函数f（t）＝Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|），
由数据知f（t）max＝A+B＝7.5，f（t）min＝﹣A+B＝2.5，所以A＝2.5，B＝5，A错误；
，故B错误；
由f（3）＝7.5，
得，故C正确；
由f（t）＜3.75，得，或19＜t＜23，故水深低于3.75的时间为8小时，故D错误．
故选：C．
26．水车在古代是进行灌溉的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图，一个半径为6米的水车逆时针匀速转动，水车圆心O在水面以上距离水面3米，已知水车每60秒转动一图，如果水车上一点P从水中浮现时（图中P0）开始计时，经时t秒后，水车旋转到P点，则下列说法错误的是（　　）
A．P点第一次到达最高点需要的时间为20秒
B．第30秒和第70秒时，P点在水面以上且距离水面的高度相同
C．在转动一圈内，P点在水面以上且距离水面米以上的持续时间为10秒
D．当t∈[0，15]时，P点距离水面的最大高度为6米
【答案】D
【解答】解：如图所示：
由题意可知，
设角是以Ox为始边，OP0为终边的角，
则点P距离水面的高度h关于时间t的函数为h（t）＝Asin（ωt+φ）+B，
即，解得，
故高度，
当t＝0时，h（t）＝0，6sinφ+3＝0，，
得，
所以．
对于A，当h（t）＝9时，即，
解得t＝20+60k，k∈Z，
当k＝0时，t＝20，
所以P点第一次到达最高点需要的时间为20秒，故A正确；
对于B，当t＝30时，，
当t＝70时，，故B正确；
对于C，当时，
即，
则，
即，k∈Z，
解得60k+15≤t≤25+60k，k∈Z，
当k＝0时，15≤t≤25，满足条件，故C正确；
对于D，当t∈[0，15]时，则，
所以，
即，
则P点距离水面的最大高度为，故D错误．
故选：D．
27．石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁中轴结构，风格现代简约．“梦想之星”摩天轮直径约为86米，总高约100米，匀速旋转一周时间为18分钟，配有42个球形全透视360度全景座舱．如果不考虑座舱高度等其它因素，该摩天轮的示意图如图所示，游客从离地面最近的位置进入座舱，旋转一周后出舱，甲、乙两名同学通过即时交流工具发现，他们两人进入各自座舱的时间相差6分钟，这两名同学在摩天轮上游玩的过程中，他们所在的高度之和的最大值约为（　　）
A．79米 B．157米 C．113米 D．189米
【答案】B
【解答】解：因为摩天轮匀速旋转一周时间为18分钟，
所以摩天轮的角速度为，
又因为甲乙两人进入各自座舱的时间相差6分钟，
所以两人相差的角度为，
设第二个人进仓后转动θ角时对应的高度为h，
因为摩天轮直径约为86米，总高约100米，
所以摩天轮底部距离地面高度为14米，摩天轮半径约为43米，
所以h＝（r+14）﹣rcosθ＝57﹣43cosθ，
因为甲乙两人相差的角度为，
所以甲乙两人所在的高度之和为：，
所以，
所以，
化简可得，
又根据题意可知，
所以，
所以当时，即时，h1+h2取得最大值114+43＝157．
故选：B．
28．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为R的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当t＝0时，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点P（x，y），点P的纵坐标满足，则当筒车旋转90秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为 　﹣2　 ．
【答案】﹣2．
【解答】解：因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，所以，
得，所以，因为当t＝0时，盛水筒M位于点，
所以R4，
所以f（t）＝4sin（t+φ），
因为，即4sinφ＝﹣2，
得，因为，所以，
即有f（t）＝4sin（t），
所以f（90）＝4sin（90）＝4sin（）＝﹣42．
所以当筒车旋转90秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为﹣2．
故答案为：﹣2．
29．如图，一艘船以每小时20km的速度向东航行，船在A处观测灯塔C在北偏东45°方向，行驶2h后，船到达B处，观测个灯塔C在北偏东15°方向，此时船与灯塔C的距离为　40　 km．
【答案】40．
【解答】解：由题意知，△ABC中，AB＝20×2＝40，∠C＝180°﹣45°﹣15°﹣90°＝30°，
由正弦定理得，，
解得BC40（km），
即船与灯塔C的距离为40km．
故答案为：．
30．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为10m，转盘半径为50m，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min．在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，则H关于t的函数解析式为 H＝﹣50cost+60　 ．
【答案】H＝﹣50cost+60．
【解答】解；根据题意，设H关于t的函数解析式为H＝Asin（ωt+φ）+b，其中A＞0，b＞0，ω＞0，|φ|；
由转盘半径为50m，得A＝50，由最低点距离地面高度为10m，得b﹣A＝10，解得b＝60．
由转一周大约需要30min，得T＝30，解得ω，
当t＝0时，H＝10，即sinφ＝﹣1，由|φ|，得φ，
所以H＝50sin（t）+60＝﹣50cost+60．
故答案为：H＝﹣50cost+60．
31．人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份．在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．
若二维空间有两个点A（x1，y1），B（x2，y2），则曼哈顿距离为：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|
余弦相似度为：cos（A，B）
余弦距离为1﹣cos（A，B）
（1）若A（﹣1，2），B（，），求A，B之间的曼哈顿距离d（A，B）和余弦距离；
（2）已知M（sinα，cosα），N（sinβ，cosβ），Q（sinβ，﹣cosβ），若cos（M，N），cos（M，Q），求tanαtanβ的值．
【答案】（1）；1；（2）﹣3．
【解答】解：（1）由于A（﹣1，2），B（，），
所以A，B之间的曼哈顿距离d（A，B）；
由于；
故余弦距离为；1﹣cos（A，B）．
（2）由于M（sinα，cosα），N（sinβ，cosβ），Q（sinβ，﹣cosβ），
所以cos（M，N），整理得cos，①，
cos（M，Q），整理得，②，
由①②得：，．
故tan．
32．双曲函数是工程数学中一类重要的函数，也是一类最重要的初等函数，在数学与物理等众多领域有着丰富的实际应用．其中双曲正弦函数解析式为，双曲余弦函数解析式为，双曲正切函数．
（1）判断函数f（x）＝tanhx的单调性并说明（无需严格证明），并求其值域；
（2）求函数g（x）＝cosh2x﹣coshx的最小值；
（3） x∈[1，2]，比较cosh（sinx2）与sinh（cosx2）的大小．
【答案】（1）在R上单调递增，值域为（﹣1，1）；
（2）0；
（3）cosh（sinx2）＞sinh（cosx2）．
【解答】解：（1）由题意得，可知y＝tanhx的定义域为R，
因为，y＝e﹣2x＞0且在R上单调递减，
所以y＝tanhx在R上单调递增，
因为y＝e﹣2x∈（0，+∞），所以，即，
可得y＝tanhx的值域为（﹣1，1）．
（2）因为，
所以g（x）＝cosh2x﹣coshx＝2cosh2x﹣1﹣coshx＝2（coshx）2，
结合，当且仅当ex＝e﹣x，即x＝0时，等号成立，
可知当coshx＝1时，g（x）min＝0．
（3）设h（x）＝cosh（sinx2）﹣sinh（cosx2）
，
因为x∈[1，2]，所以x2∈[1，4]，
当时，sinx2≥cosx2，则，可得h（x）＞0；
当时，cosx2＜0，则﹣cosx2＞cosx2，则，故h（x）＞0．
综上所述，对任意x∈[1，2]，总有cosh（sinx2）＞sinh（cosx2）成立．
33．如图，已知AOB是半径为1，圆心角为θ的扇形，P是扇形弧上的动点，记∠AOP＝α，
（1）请用θ，α来表示平行四边形OCPQ的面积；
（2）若．
①求平行四边形OCPQ面积的最大值，以及面积最大时角α的值；
②记（其中x，y∈R），求x+2y的取值范围．
【答案】（1）；
（2）①，；②x+2y∈（1，2）．
【解答】解：（1）过点P作OA的垂线，垂足为D，
在Rt△PDO中，|PD|＝sinα，|OD|＝cosα，
在Rt△PDC中，|PD|＝|CD|tanθ，
则，
所以，
所以；
（2）①若，由题意可得，
所以平行四边形OCPQ的面积
，
由于，
故当时，即时，S（α）取得最大值为；
②根据题意，建立如图所示的坐标系，
则，即，
又∠POC＝α，
则，
因，即，
则，，
解得：，，
所以，
由点P是弧上一动点，则，
则，
所以，即x+2y∈（1，2），
所以x+2y的取值范围为（1，2）．
34．已知海面上A，B两点处置有距离为海里的两个灯塔，游船在P点时，与A，B两点处灯塔的距离均为2海里．游船航行一段距离后，从两灯塔间穿过并抵达Q点，此时在B点处灯塔测得．
（1）若P，Q两点的距离为海里，求BQ的长度；
（2）求P，Q两点距离的取值范围．
【答案】（1）；
（2）[，4+2）．
【解答】解：（1）由题意知，，PA＝PB＝2，
故△PAB为以P为直角顶点的等腰直角三角形，
故，
又因为，
且由题意得P，Q分布于直线AB两侧，
所以∠PBQ＝75°，
有，
由余弦定理可得，
解得（海里）；
（2）由题意知点Q始终位于以B为起点的射线上，记该射线为l，
由（1）的条件下BQ2+PQ2＝BP2，
故此时，即PQ⊥l，
所以此时PQ的长度即为P，Q两点距离的最小值；
由于游船从两灯塔间穿过，
即PQ与AB存在异于端点的交点，设为点M．
由正弦定理得，在△BPQ 中，，
即BP sin∠PBQ＝PQ sin∠BQP，
其中为定值，
故PQ增大时，sin∠BQP减小，
又因为∠BQP＝π﹣∠QBP﹣∠BPQ，
因为sin∠BPQ＝sin∠BPM，，
所以，
故，
因为，
所以，
故（海里）．
35．近年来，为丰富市民的娱乐生活，各地都建设了不少摩天轮供市民游玩，保山市青华海湿地公园旁就屹立着一座名为“保山之星”的摩天轮．如图3，若该摩天轮的转盘直径为80m，摩天轮支柱塔基高为50m，摩天轮做匀速转动，每20min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处．
（1）已知在时刻t（单位：min）时点P距离地面的高度f（t）＝Asin（ωt+φ）+h（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π），求函数f（t）的解析式及25min时点P距离地面的高度；
（2）当点P距离地面70m及以上时，可以看到青华海湿地公园的全貌，求摩天轮转一圈中，游客有多长时间可以看到公园的全貌（精确到小数点后一位数字）．
【答案】（1）50；
（2）6.7min．
【解答】解：（1）依题意，A＝40，h＝50，T＝20，则，
由于点P的起始位置在最低点处，则可取，
摩天轮做匀速转动，则点P旋转tmin所得的角为，
因此，
于是，
所以25min时点P距离地面的高度为50m；
（2）由（1）知，令f（t）＞70，
即，整理得，
三角不等式的解为：，（k∈Z），
令，取k＝0（即一个周期内），
，
时长为：，
所以转动一圈过程中，有6.7min时间可以看到公园全貌．
36．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，转一周需要30min．
（1）求游客甲在开始转动7.5min后距离地面的高度；
（2）求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；
（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差h的最大值（答案可用表达式）．
【答案】（1）65m；
（2），0≤t≤30；
（3），米．
【解答】解：（1）当t＝7.5min时，游客甲转了圆周．
摩天轮最高点距离地面高度为120m，摩天轮最低点距离地面高度为10m，
则甲的高度刚好为65m；
（2）设，
则，
令t＝0，sinφ＝﹣1，，
又，
所以，t∈[0.30]；
（3）如图，甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，
则，
经过tmin后甲距离地面的高度为，
点B相对于点A始终落后，
此时乙距离地面的高度为．
则甲、乙距离地面的高度差，
，0≤t≤30，
当或，
即或时，h的最大值为，
所以甲乙两人距离地面的高度差最大值为米．
37．某港口水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下面是水深数据：
t（小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y（米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
据上述数据描成的曲线如图所示，该曲线可近似的看成函数y＝Asinωt+b的图象．
（1）试根据数据表和曲线，求y＝Asinωt+b的解析式；
（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？
【答案】（1）；（2）1：00至5：00或13：00至17：00．
【解答】解：（1）根据题意可知b＝10，振幅A＝13﹣10＝3，
又T＝15﹣3＝12，
所以ω，
所以；
（2）根据题意可知水深y 4.5+7，0≤t≤24，
所以，0≤t≤24，
所以，，k＝0，1，
所以t∈[1，5]或t∈[13，17]，
所以该船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全进港．
38．如图，圆心角为45°的扇形AOB的半径为2，C是弧AB上一点，作矩形CDEF，且点D在半径OB上，点E，F在半径OA上．记∠AOC＝α．
（1）用α表示四边形CDEF的面积．
（2）当四边形CDEF的面积取得最大值时，角α得取值是多少？最大面积是多少？
【答案】（1）S＝4（sinαcosα﹣sin2α）
（2）最大值22，．
【解答】解：（1）Rt△OCF中，CF＝OCsinα＝2sinα，OF＝OCcosα＝2cosα，
ED＝CF，tan45°，所以EF＝OF﹣OE＝2cosα﹣2sinα，
所以矩形CDEF的面积为：
S＝DE EF＝2（cosα﹣sinα） 2sinα＝4（sinαcosα﹣sin2α）；
（2）由（1）知，S＝2（2sinαcosα﹣2sin2α）
＝2[sin2α﹣（1﹣cos2α）]
＝2（sin2α+cos2α﹣1）
＝2sin（2α）﹣2，
因为0＜α，所以2α，
所以当2α，即α，
即C为AB弧的中点时，S取最大值22，此时∠AOC．
39．行列式在数学中是一个函数，无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用．将形如||的符号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下：||＝a11a22﹣a12a21，设函数f（x）（x∈R）．
（1）求f（x）的对称轴方程及单调递增区间；
（2）在锐角△ABC中，已知f（A），cosB，求sinC．
【答案】（1）对称轴为，单调递增区间为；
（2）．
【解答】解：（1）f（x）
，
由，k∈Z，得，k∈Z，
所以f（x）的对称轴为．
由，k∈Z，
所以单调递增区间为．
（2）由（1）知，，
则，
由，得，
则，解得，
因为在△ABC中，，则B为锐角，
所以，
因为，A+B+C＝π，
所以，
所以．
40．如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心O到水面的距离为1m，筒车的半径是3m，盛水筒的初始位置为P0，OP0与水平正方向的夹角为．若筒车以角速度2rad/min沿逆时针方向转动，t为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点P1所需的时间（单位：min），则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：设盛水桶在转动中到水面的距离为d，时间为t，
由题意可得，盛水桶到水面的距离d与时间t的函数关系如下：
，
令d＝0，即，解得，
又，可得，
∴，
∴cos2t＝cos[（2t）]
＝cos（2t）cossin（2t）sin
，故C正确；
∵0＜t，0＜2t＜π，
∴，故D错误；
又cos2t＝1﹣2sin2t，解得，故B错误；
cos2t＝2cos2t﹣1，解得，故A错误．
故选：C．
41．某景区的平面图如图所示，其中AB，AC为两条公路，∠BAC＝120°，M，N为公路上的两个景点，测得AM＝2km，AN＝1km，为了拓展旅游业务，拟在景区内建一个观景台P，为了获得最佳观景效果，要求P对M，N的视角∠MPN＝60°．现需要从观景台P到M，N建造两条观光路线PM，PN，则观光线路PM+PN的取值范围为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：在△AMN中，由余弦定理得，
在△PMN中，设∠PMN＝θ（0°＜θ＜120°），
由正弦定理得，，
则，
于是
，
而30°＜θ+30°＜150°，
因此，
即PM+PN长的取值范围是（单位：km）．
故答案为：．
42．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在t（单位：s）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度h（单位：cm）由关系式确定，其中A＞0，ω＞0，t∈[0，+∞）．在振动中，小球两次到达最高点的最短时间间隔为1s．且最高点与最低点间的距离为10cm．
（1）求小球相对平衡位置的高度h和时间t之间的函数关系；
（2）若小球在t0s内经过最高点的次数恰为25次，求t0的取值范围．
【答案】（1），t≥0；
（2）．
【解答】解：（1）因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为10cm，所以，
因为在振动中，小球两次到达最高点的最短时间间隔为1s，所以周期为1，
即，所以ω＝2π．所以，t≥0；
（2）由题意，当时，小球第一次到达最高点，
以后每经过一个周期都出现一次最高点，
因为小球在t0s内经过最高点的次数恰为25次，所以，
因为T＝1，所以，所以t0的取值范围为．
43．某农户有一块半径为20米的圆形菜地，为防止菜地被小鸟破坏，准备在菜地中扎两个稻草人．设该圆形菜地的圆心为O，A，B两点为稻草人，C为该圆形菜地边缘上任意一点，要求O为AB的中点．
（1）若，求OA；
（2）设y＝CA2+CB2，OA＝a，试将y表示为a的函数；
（3）若同时要求该农户在该菜地边缘上任意一点C处观察稻草人时，观察角度∠ACB的最大值不小于，试求A，B两个稻草人之间的距离的最小值．
【答案】（1）10米；
（2）y＝800+2a2，a∈（0，20）；
（3）米．
【解答】解：（1）在△OBC中，由正弦定理得，
则，
所以OA＝OB＝10米；
（2）在△AOC中，由余弦定理得CA2＝400+a2﹣40a cos∠AOC，
在△BOC中，由余弦定理得CB2＝400+a2﹣40a cos∠BOC，
因为∠AOC＝π﹣∠BOC，
所以CA2+CB2＝800+2a2，即y＝800+2a2，
故所求关系式为y＝800+2a2，a∈（0，20）；
（3）当观察角度∠ACB最大时，cos∠ACB取得最小值，
在△ABC中，由余弦定理可得，
因为∠ACB的最大值不小于，
所以，解得，
即，
故A，B两个稻草人之间的距离的最小值为米．
44．如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在圆周上．记梯形ABCD的周长为y，∠CAB＝θ．
（1）将y表示成θ的函数；
（2）求梯形ABCD周长的最大值．
【答案】（1）；
（2）10．
【解答】解：（1）因为有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在圆周上，
即AB是直径，
所以AC⊥BC，
所以AD＝BC＝ABsin∠CAB＝4sinθ，
过O作OE⊥CD交CD于E，连接CO，
则，
所以CD＝2CE＝2OCsin∠EOC＝4cos2θ，
所以y＝AB+BC+CD+DA
＝2AD+CD+AB
；
（2）由（1）可得y，
设，
则y＝﹣8t2+8t+8，对称轴，
所以当时，y有最大值10．
45．用下面两个条件中的一个补全如下函数：
sinxcosx+_____，回答相关问题．
条件①：；条件②：．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）将函数y＝f（x）图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，求函数g（x）的对称轴方程．
注：如果两个条件都作答，则按第一个条件计分．
【答案】选择①，（1）最小正周期为π，递减区间为[kπ，kπ]（k∈Z）；
（2）g（x）的对称轴方程为x，k∈Z．
选择②，（1）最小正周期为π，递减区间为[kπ，kπ]（k∈Z）；
（2）g（x）的对称轴方程为x，k∈Z．
【解答】解：若选择条件①，
（1）f（x）sinxcosx+cossin（2x）sin2xcos2x＝sin（2x），
其最小正周期Tπ，
2kπ2x2kπ，k∈Z，解可得kπx≤kπ，k∈Z
故函数的递减区间为[kπ，kπ]（k∈Z）；
（2）由（1）的结论，f（x）＝sin（2x），
将函数y＝f（x）图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，
则g（x）＝f（x）＝sin（2x）＝sin（2x），
令2xkπ，变形可得x，k∈Z，
故g（x）的对称轴方程为x，k∈Z．
若选择条件②，
（1）f（x）sinxcosx+cos2xsin2xcos2x＝sin（2x），
其最小正周期Tπ，
2kπ2x2kπ，k∈Z，解可得kπx≤kπ，k∈Z
故函数的递减区间为[kπ，kπ]（k∈Z）；
（2）由（1）的结论，f（x）＝sin（2x），
将函数y＝f（x）图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，
则g（x）＝f（x）＝sin（2x）＝sin（2x），
令2xkπ，变形可得x，k∈Z，
故g（x）的对称轴方程为x，k∈Z．
46．如图为大型观览车在直角坐标平面内的示意图．O为观览车的轮轴中心，点O距离地面的高度为32m，观览车转轮的半径为30m，其逆时针旋转的角速度为1rad/s．点P0表示观览车上某座椅的初始位置，且，此时座椅距地面的高度为 　47　 m；当转轮逆时针转动ts后，点P0到达点P的位置，则点P的纵坐标y与时间t（单位：s）的函数关系为 　　 （t≥0）．
【答案】47；．
【解答】解：①点P0到x轴的距离为m，所以此座椅距离底面的高度为32+15＝47m．
②设观览车转动时，点P纵坐标y与时间t之间的函数关系式为：y＝Asin（ωt+φ），
∵旋转的角速度为1rad/s，∴T＝2π，ω＝1，
又观览车的半径为30m，即A＝30，
当t＝0时，，所以，
则．
故答案为：47；．

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