资源简介

第8章第1节 向量的数量积
题型1 平面向量数量积的含义与物理意义 题型2 平面向量数量积的性质及其运算
题型3 平面向量的投影向量 题型4 平面向量数量积的坐标运算
题型5 数量积表示两个平面向量的夹角 题型6 数量积判断两个平面向量的垂直关系
▉题型1 平面向量数量积的含义与物理意义
【知识点的认识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量，如果以O为起点，作，，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||cosθ叫做与的数量积，记做
即：||||cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即： 0．
注意：
① 表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定；
②符号“ ”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一个数量||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若（x1，y1），（x2，y2），则x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积．
1．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小赵同学在练习冰球的过程中，以力（6，24）作用于冰球，使冰球从点A（﹣1，﹣1）移动到点B（1，﹣1），则F对冰球所做的功为（　　）
A．﹣18 B．18 C．﹣12 D．12
【答案】D
【解答】解：因为A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），所以（2，0），
又因为（6，24），
所以力对冰球所做的功为W 2×6+0×24＝12．
故选：D．
▉题型2 平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
2．已知向量与的夹角为60°，，，若，则实数λ＝（　　）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【解答】解：由，可得，
因为，，
所以，所以，
故．
故选：D．
3．如图，在△ABC中，为CD上一点，且满足，若AC＝4，AB＝6，则的值为（　　）
A．8 B． C．4 D．
【答案】C
【解答】解：因为，所以，所以，
所以，又，
．
故选：C．
4．已知向量，满足，，，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：根据题意，设与的夹角为θ，
若，，，则（） 2 1﹣2cosθ＝0，
变形可得cosθ，
又由0≤θ≤π，则θ．
故选：C．
5．已知向量和的夹角为60°，||＝3，||＝4，则（2） 等于（　　）
A．15 B．12 C．6 D．3
【答案】B
【解答】解：∵向量和的夹角为60°，||＝3，||＝4，
∴（2） 2×32﹣3×4×cos60°
12．
故选：B．
6．一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东．一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距的码头C处卸货．若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，小货船航行速度为（　　）
A．km/h B．km/h C．km/h D．km/h
【答案】B
【解答】解：如图所示：因为河宽250m，即AB＝250m＝0.25km，，
，
设合速度为，小货船航行速度为，水流的速度为，，
则有，
所以有．
故选：B．
7．若向量在向量上的投影向量为，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：若向量在向量上的投影向量为，
则根据投影向量公式可得，所以，
又，两边平方可得，
即，即，
所以，所以，
根据两向量的夹角公式可得．
故选：A．
8．已知点P是菱形ABCD所在平面内的一点，若菱形的边长为定值，且的最小值为﹣9，则该菱形的边长为（　　）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【解答】解：因为四边形ABCD为菱形，
所以AC⊥BD，设BD＝2a，AC＝2b，
建立如图所示的平面直角坐标系，设P（x，y），
则B（﹣a，0），D（a，0），A（0，b），C（0，﹣b），
所以，，
，，
则，，
所以
＝（a﹣2x）（﹣a﹣2x）+（b﹣2y）（﹣b﹣2y）
＝4x2+4y2﹣a2﹣b2
≥﹣a2﹣b2＝﹣AB2，当且仅当x＝y＝0时，
即点P为坐标原点时，等号成立．
此时﹣AB2＝﹣9，解得AB＝3．
故选：D．
9．已知向量（2，﹣1），（1，m），则（　　）
A．的充要条件是m＝2
B．的充要条件是
C．与垂直的充要条件是
D．若与的夹角为锐角，则m的取值范围是（﹣∞，2）
【答案】B
【解答】解：已知向量（2，﹣1），（1，m），
对于A，，
则m＝2或m＝﹣2，
A错误；
对于B， 2m＝﹣1 m，
B正确；
对于C，，
C错误；
对于D，由与的夹角为锐角，
得且与不共线，
由选项B知，，
D错误．
故选：B．
10．平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，，点P在边CD上，则的最大值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：已知平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，，点P在边CD上，
则，
即，
在平行四边形ABCD中，0°＜∠DAB＜180°，
所以∠DAB＝45°．
以A为原点建坐标系，
则，
点P在边CD上，设，
则，
则，
又，
所以．
故选：A．
11．如图，在△ABC中，，D是AB上的一点，P为CD上一点，且，若，，则的值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：已知在△ABC中，，D是AB上的一点，P为CD上一点，且，
又P、C、D三点共线，
则，
所以，
所以，
所以，
又，，，
则，
所以．
故答案为：．
12．直角梯形中，AB＝BC＝2，，CD＝1，点O，E为AB，BC的中点，F在BC边上运动（包含端点），则的取值范围为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：根据题意建立平面直角坐标系，如下图所示：
则可以得到A（0，0），B（2，0），，，
因为点O，E为AB，BC的中点，所以O（1，0），，
，，，
设，
所以，
所以，
所以，
因为0≤λ≤1，所以，
所以的取值范围为．
故答案为：．
13．在△ABC中，BC＝1，∠A＝60°，，，记，，用表示 　　 ；若，则的最大值为 　　 ．
【答案】；
【解答】解：设AB＝m，AC＝n，
因为△ABC中，BC＝1，∠A＝60°，
所以根据余弦定理可得1＝m2+n2﹣mn，
所以，当且仅当m＝m＝1时，等号成立，
所以m2+n2≤2，
又，，记，，
则，，
所以；
，
所以
，
当且仅当m＝n＝1时，等号成立，
所以的最大值为．
故答案为：；．
14．乾坤八卦由乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八个卦象组成，分别代表天、地、雷、风、水、火、山、泽八种自然现象．如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA＝2，则下列命题：
①；
②；
③在上的投影向量为；
④若点P为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4．
其中正确命题的序号是 　②③④　 ．
【答案】②③④．
【解答】解：乾坤八卦由乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八个卦象组成，分别代表天、地、雷、风、水、火、山、泽八种自然现象，
如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA＝2，
由题意，正八边形每个边所对的角都是45°，中心到各顶点的距离都是2，
有OC⊥OA，OC⊥OE，
如图，以O为原点，OC所在直线为x轴，OE所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
因为OA＝2，所以由正八边形性质得OA＝OB＝OE＝OF＝2，
则O（0，0），，E（0，2），A（0，﹣2），C（2，0），，
对于①，易得，，
根据平面向量数量积的坐标公式可得，故①错误；
对于②，易得，，，
根据平面向量加法的坐标运算可得，，
满足，故②正确；
对于③，根据平面向量数量积的坐标公式易得，
根据向量的模长公式可得，
由投影向量公式得在上的投影向量为，故③正确；
对于④，若点P为正八边形边上的一个动点，
易得，且设的夹角为θ，
而，则，
根据平面向量数量积的坐标公式易得，故AB⊥CD，
如图，延长DC交AB的延长线于M，连接AC，此时在上的投影为，
当点P在线段CD上时，此时在上的投影最大，
易得△OAC是等腰直角三角形，，则，
由勾股定理得，在直角三角形CAM中，，
在等腰三角形OAB中，，
则的最大值为，故④正确．
故答案为：②③④．
15．在平行四边形ABCD中，AB＝3AD，，点E，F分别在AB和BC上，且，，线段AF和DE相交于点P，则cos∠EPF＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：设，则，
而，，
因为，，所以，
又因为，所以△ADE为等边三角形，所以，
，
，
故，
故答案为：．
16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b＝4，c＝6，△ABC的面积S满足（b+c）2，点O为△ABC的外心，则 　10　 ；△ABC的面积S＝ 　6　 ．
【答案】10；6．
【解答】解：因为点O为△ABC的外心，作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足为E，F，
则E，F为AB，AC的中点，
则
；
由题意知，
即，
即，而b＝4，c＝6，
故，即，
故，
即，
解得或cosA＝﹣1，
由于A∈（0，π），故，所以，
故．
故答案为：10；6．
▉题型3 平面向量的投影向量
【知识点的认识】
投影向量是指一个向量在另一个向量上的投影．投影向量可以用来求两个向量之间的夹角，也可以用来求一个向量在另一个向量上的分解．
设，是两个非零向量，，，考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称上述变换为向量向向量投影，A1B1叫做向量在向量上的投影向量．
向量在向量上的投影向量是．
17．已知向量与的夹角为，且||||，则2在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：，
则，
所以在上的投影向量为．
故选：D．
18．已知向量满足，且向量在向量方向上的投影数量为3，则向量与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：设向量与的夹角为θ，
因为向量在向量方向上的投影数量为3，
所以，
所以，解得．
故选：A．
19．已知向量，的夹角为，且||＝2，（1，1），则在上投影向量的坐标为（　　）
A．（，） B．（，） C．（，） D．（1，1）
【答案】A
【解答】解：向量，的夹角为，且||＝2，（1，1），
则，，
故．
故选：A．
▉题型4 平面向量数量积的坐标运算
【知识点的认识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量，如果以O为起点，作，，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||cosθ叫做与的数量积，记做
即：||||cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即： 0．
注意：
① 表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定；
②符号“ ”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一个数量||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若（x1，y1），（x2，y2），则x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积．
20．已知平面向量，且，则λ的值为（　　）
A．﹣2 B． C．2 D．6
【答案】A
【解答】解：因为，所以，
又因为，
所以5λ+10＝0，解得λ＝﹣2．
故选：A．
21．已知（2，﹣1），，则等于（　　）
A．10 B．﹣10 C．3 D．﹣3
【答案】B
【解答】解：∵，
∴．
故选：B．
22．已知向量，，若，则x＝ 　6　 ．
【答案】6．
【解答】解：由题意，，解得x＝6．
故答案为：6．
23．北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形ABCDEF（图②）．已知这个正六边形的边长为1，且P是其内部一点（包含边界），则的最大值是　3　 ．
【答案】3．
【解答】解：因为正六边形ABCDEF的边长为1，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示：
根据正六边形的性质得：B（1，0），C（，），F（，），
根据向量坐标运算得：（（），）＝（2，0）；
因为P是正六边形内部一点（包含边界），设P（x，y），则（x，y）；
所以 2x+0×y＝2x；
由正六边形的性质知，点P在正六边形内部（包含边界），x的最大值在点C处取得，此时xmax，
代入，可得的最大值为23．
故答案为：3．
24．已知向量，，，且（23）⊥，则实数m＝ 　6　 ．
【答案】6．
【解答】解：232（m，3）﹣3（2，3）＝（2m﹣6，﹣3），
因为（23）⊥，所以（2m﹣6，﹣3） （1，2）＝2m﹣6﹣6＝0，解得m＝6．
故答案为：6．
（多选）25．已知向量，，满足（1，1），（﹣1，2），（2m，n﹣1），则（　　）
A．
B．当时，4m+n＝1
C．当时，m+2n＝2
D．在上的投影向量的坐标为
【答案】BC
【解答】解：对于A，由，，
可得，所以，故A错误；
对于B，，，
当时，可得﹣n+1＝4m，即4m+n＝1，故B正确；
对于C，，由，
可得m+2n＝2，故C正确；
对于D，在上的投影向量为，故D错误．
故选：BC．
26．O为坐标原点，设平面向量．
（1）若，求的值；
（2）若是直线OM上的一个动点，当取最小值时，求的坐标．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：O为坐标原点，．
（1）因为，
可得，
，
所以；
（2）由是直线OM上的一个动点，
可设，
，
，
则，
所以，当k＝1时，最小，此时，．
27．已知平面向量，，||＝1，且与的夹角为．
（1）求；
（2）求||；
（3）若与2（λ∈R）垂直，求λ的值．
【答案】（1）1；（2）2；（3）﹣4．
【解答】解：（1）∵，||＝1，且与的夹角为．
∴．
（2）∵，
∴．
（3）若与垂直，
则，
即，
∴8+2λ+4+λ＝0，即12+3λ＝0，
∴λ＝﹣4．
▉题型5 数量积表示两个平面向量的夹角
【知识点的认识】
我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量与不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：cosθ．通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了．
28．若，且，则与的夹角是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由，且，
可得，
所以cos，，
因，故．
故选：B．
29．若||＝1，||＝2，||，则与的夹角θ的余弦值为（　　）
A． B．
C． D．以上都不对
【答案】B
【解答】解：||＝1，||＝2，与的夹角θ，
∴||27，
∴12+2×1×2×cosθ+22＝7，
解得cosθ
故选：B．
30．先后两次抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，得到的点数分别为m，n，设平面向量，，则“”的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为，，所以0，
所以m＞2n，由题意可知基本事件总数为6×6＝36，
当n＝1时，m＝3，4，5，6，共四种情况；
当n＝2时，m＝5，6，共两种情况．
所以满足m＞2n的基本事件个数为4+2＝6，
因此，“”的概率．
故选：A．
31．已知向量与的夹角为，，，则（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【解答】解：因为向量与的夹角为，，，
则，
解得．
故选：C．
32．已知，且关于x的方程无实根，则向量与的夹角的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：因为，且关于x的方程无实根，
所以40，
设向量与的夹角为α，
则||2﹣4||||cosα＜0，
所以cosα，
因为0≤α≤π，
所以0．
故选：D．
33．已知向量满足，则向量与的夹角为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为，
所以，
设向量与的夹角为θ，
则，
又θ∈[0，π]，所以．
故答案为：．
（多选）34．已知点A（1，2），B（3，1），C（4，m+1）（m∈R），则下列说法正确的是（　　）
A．
B．若，则m＝﹣2
C．若，则
D．若与的夹角为锐角，则m＞2
【答案】ACD
【解答】解：因为A（1，2），B（3，1），C（4，m+1），
所以，
对于A，可得||，故A正确；
对于B，由，可得2×1﹣m＝0，解得m＝2，故B错误；
对于C，由，可得2m＝﹣1×1，解得，故C正确；
对于D，由与的夹角为锐角，则0且向量与不共线，
则满足且，解得m＞2，故D正确．
故选：ACD．
35．已知向量，且与的夹角为．
（1）求m及；
（2）若与所成的角是锐角，求实数λ的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）因为，且与的夹角为，
所以，解得m＝﹣1，
则，
所以；
（2）因为，
所以，
由于与所成的角是锐角，
所以，，
解得且λ≠2，
所以实数λ的取值范围为．
36．已知向量，，．
（1）求的最小值；
（2）若与共线，求与的夹角．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）由题意可知，，
则，
故当时，取得最小值，即时，取得最小值．
（2）向量，，，则，
由与共线可得t＝2（5﹣2t），解得t＝2，
则，，，，
设与的夹角为θ，所以，
因为0≤θ≤π，所以．
37．如图，在△ABC中，，，点O为AD和CE的交点，设，．
（1）若xy，求x，y的值；
（2）若||＝2，||＝3，与的夹角为，求△BOD的面积；
（3）若F在AC上，OF⊥AC，且||＝2||＝10，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）如图，在△ABC中，，，点O为AD和CE的交点，
设，，
设，
根据向量的减法法则可得，
所以，
所以由平面向量基本定理可得：，解得，
所以，
又因为，所以；
（2）若||＝2，||＝3，与的夹角为，，
则BDBC＝1，
根据三角形的面积公式可得，
由（1）知，，所以，
所以△BOD的面积；
（3）若F在AC上，OF⊥AC，且||＝2||＝10，
由（1）知，，
根据向量的减法法则可得，
因为C、F、A三点共线，所以设与的夹角为θ，其中θ∈（0，π），
根据向量的加法和减法法则可得
，
根据向量减法法则可得，
因为OF⊥AC，根据平面向量数量积运算可得，
即，
根据平面向量数量积公式可得，所以，
因为两向量夹角θ的范围∈（0，π），所以cosθ∈（﹣1，1），所以，解得，
所以的取值范围为．
38．如图，在直角△ABC中，点D为斜边BC的靠近点B的三等分点，点E为AD的中点，，．
（1）用，表示和；
（2）求向量与夹角的正弦值．
【答案】（1），．
（2）．
【解答】解：（1）以A为原点，AC、AB所在直线分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A（0，0），B（0，3），C（6，0），D（2，2），E（1，1）．
∴（0，3），（6，0），（2，2），（﹣1，2），
设mn，则（2，2）＝（6n，3m），解得m，n，∴，
设λμ，则（﹣1，2）＝（6μ，3λ），解得λ，μ，∴．
（2）由（1）知，（﹣1，2），（1，1）．
∴cos，．
故sin，．
故向量与夹角的正弦值为．
39．已知向量为非零向量，向量之间夹角为θ，p：θ为钝角，，则p是q的（　　）条件．
A．充要 B．必要不充分
C．充分不必要 D．既非充分也非必要
【答案】C
【解答】解：若，即，则q不能推出p；
若θ为钝角，则，即p能推出q；
所以p是q的充分不必要条件．
故选：C．
▉题型6 数量积判断两个平面向量的垂直关系
【知识点的认识】
向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如（1，0，1），（2，0，﹣2），那么与垂直，有 1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它们的乘积为0．
40．已知平面向量，则　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为，
所以，解得，
则，可得，
所以．
故答案为：．
41．已知向量，若，则k＝　﹣2　 ．
【答案】﹣2．
【解答】解：因为，
所以，
所以，解得k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
42．向量（4，2），（﹣1，2）．
（1）求向量的模长；
（2）若向量（3，﹣1），且（k）⊥，求实数k的值．
【答案】（1）5；（2）2．
【解答】解：（1）∵，，
∴，则；
（2）∵，，
∴，又，且，
∴3（4﹣k）﹣（2+2k）＝0，解得k＝2．
43．已知△ABC中，∠C是直角，CA＝CB，点D是CB的中点，E为AB一点．
（1）设，，当，请用，来表示，；
（2）当时，求证：AD⊥CE．
【答案】（1）2，；（2）证明见解析．
【解答】（1）解：22，
（2）；
（2）证明：2时，，
（2），
所以 （） （） 0＝0，
所以⊥，即AD⊥CE．
44．已知向量（sinα，2），（1，﹣cosα），若⊥，则tanα＝（　　）
A． B．﹣2 C． D．2
【答案】D
【解答】解：向量（sinα，2），（1，﹣cosα），⊥，
则，
故tanα2．
故选：D．
（多选）45．已知单位向量共面，则下列说法中正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】BD
【解答】解：由，可得，即，
化简得，所以，选项A错误，B正确；
由单位向量的定义知，，
又因为，所以，
所以，即，
解得，所以，
又因为两向量的夹角范围是[0，π]，所以，选项C错误；
由，可得，则，
解得，所以，
因为两向量的夹角范围是[0，π]，所以，选项D正确．
故选：BD．第8章第1节 向量的数量积
题型1 平面向量数量积的含义与物理意义 题型2 平面向量数量积的性质及其运算
题型3 平面向量的投影向量 题型4 平面向量数量积的坐标运算
题型5 数量积表示两个平面向量的夹角 题型6 数量积判断两个平面向量的垂直关系
▉题型1 平面向量数量积的含义与物理意义
【知识点的认识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量，如果以O为起点，作，，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||cosθ叫做与的数量积，记做
即：||||cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即： 0．
注意：
① 表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定；
②符号“ ”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一个数量||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若（x1，y1），（x2，y2），则x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积．
1．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小赵同学在练习冰球的过程中，以力（6，24）作用于冰球，使冰球从点A（﹣1，﹣1）移动到点B（1，﹣1），则F对冰球所做的功为（　　）
A．﹣18 B．18 C．﹣12 D．12
▉题型2 平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
2．已知向量与的夹角为60°，，，若，则实数λ＝（　　）
A．2 B．1 C． D．
3．如图，在△ABC中，为CD上一点，且满足，若AC＝4，AB＝6，则的值为（　　）
A．8 B． C．4 D．
4．已知向量，满足，，，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
5．已知向量和的夹角为60°，||＝3，||＝4，则（2） 等于（　　）
A．15 B．12 C．6 D．3
6．一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东．一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距的码头C处卸货．若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，小货船航行速度为（　　）
A．km/h B．km/h C．km/h D．km/h
7．若向量在向量上的投影向量为，且，则（　　）
A． B． C． D．
8．已知点P是菱形ABCD所在平面内的一点，若菱形的边长为定值，且的最小值为﹣9，则该菱形的边长为（　　）
A． B． C．2 D．3
9．已知向量（2，﹣1），（1，m），则（　　）
A．的充要条件是m＝2
B．的充要条件是
C．与垂直的充要条件是
D．若与的夹角为锐角，则m的取值范围是（﹣∞，2）
10．平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，，点P在边CD上，则的最大值是（　　）
A． B． C． D．
11．如图，在△ABC中，，D是AB上的一点，P为CD上一点，且，若，，则的值为 　 ．
12．直角梯形中，AB＝BC＝2，，CD＝1，点O，E为AB，BC的中点，F在BC边上运动（包含端点），则的取值范围为 　 ．
13．在△ABC中，BC＝1，∠A＝60°，，，记，，用表示 　　 ；若，则的最大值为 　 ．
14．乾坤八卦由乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八个卦象组成，分别代表天、地、雷、风、水、火、山、泽八种自然现象．如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA＝2，则下列命题：
①；
②；
③在上的投影向量为；
④若点P为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4．
其中正确命题的序号是 　 　 ．
15．在平行四边形ABCD中，AB＝3AD，，点E，F分别在AB和BC上，且，，线段AF和DE相交于点P，则cos∠EPF＝ 　 ．
16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b＝4，c＝6，△ABC的面积S满足（b+c）2，点O为△ABC的外心，则 　 ；△ABC的面积S＝ 　 ．
▉题型3 平面向量的投影向量
【知识点的认识】
投影向量是指一个向量在另一个向量上的投影．投影向量可以用来求两个向量之间的夹角，也可以用来求一个向量在另一个向量上的分解．
设，是两个非零向量，，，考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称上述变换为向量向向量投影，A1B1叫做向量在向量上的投影向量．
向量在向量上的投影向量是．
17．已知向量与的夹角为，且||||，则2在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
18．已知向量满足，且向量在向量方向上的投影数量为3，则向量与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
19．已知向量，的夹角为，且||＝2，（1，1），则在上投影向量的坐标为（　　）
A．（，） B．（，） C．（，） D．（1，1）
▉题型4 平面向量数量积的坐标运算
【知识点的认识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量，如果以O为起点，作，，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||cosθ叫做与的数量积，记做
即：||||cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即： 0．
注意：
① 表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定；
②符号“ ”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一个数量||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若（x1，y1），（x2，y2），则x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积．
20．已知平面向量，且，则λ的值为（　　）
A．﹣2 B． C．2 D．6
21．已知（2，﹣1），，则等于（　　）
A．10 B．﹣10 C．3 D．﹣3
22．已知向量，，若，则x＝ 　 ．
23．北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形ABCDEF（图②）．已知这个正六边形的边长为1，且P是其内部一点（包含边界），则的最大值是　 ．
24．已知向量，，，且（23）⊥，则实数m＝ 　　 ．
（多选）25．已知向量，，满足（1，1），（﹣1，2），（2m，n﹣1），则（　　）
A．
B．当时，4m+n＝1
C．当时，m+2n＝2
D．在上的投影向量的坐标为
26．O为坐标原点，设平面向量．
（1）若，求的值；
（2）若是直线OM上的一个动点，当取最小值时，求的坐标．
27．已知平面向量，，||＝1，且与的夹角为．
（1）求；
（2）求||；
（3）若与2（λ∈R）垂直，求λ的值．
▉题型5 数量积表示两个平面向量的夹角
【知识点的认识】
我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量与不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：cosθ．通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了．
28．若，且，则与的夹角是（　　）
A． B． C． D．
29．若||＝1，||＝2，||，则与的夹角θ的余弦值为（　　）
A． B．
C． D．以上都不对
30．先后两次抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，得到的点数分别为m，n，设平面向量，，则“”的概率为（　　）
A． B． C． D．
31．已知向量与的夹角为，，，则（　　）
A．1 B． C．2 D．
32．已知，且关于x的方程无实根，则向量与的夹角的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
33．已知向量满足，则向量与的夹角为　 ．
（多选）34．已知点A（1，2），B（3，1），C（4，m+1）（m∈R），则下列说法正确的是（　　）
A．
B．若，则m＝﹣2
C．若，则
D．若与的夹角为锐角，则m＞2
35．已知向量，且与的夹角为．
（1）求m及；
（2）若与所成的角是锐角，求实数λ的取值范围．
36．已知向量，，．
（1）求的最小值；
（2）若与共线，求与的夹角．
37．如图，在△ABC中，，，点O为AD和CE的交点，设，．
（1）若xy，求x，y的值；
（2）若||＝2，||＝3，与的夹角为，求△BOD的面积；
（3）若F在AC上，OF⊥AC，且||＝2||＝10，求的取值范围．
38．如图，在直角△ABC中，点D为斜边BC的靠近点B的三等分点，点E为AD的中点，，．
（1）用，表示和；
（2）求向量与夹角的正弦值．
39．已知向量为非零向量，向量之间夹角为θ，p：θ为钝角，，则p是q的（　　）条件．
A．充要 B．必要不充分
C．充分不必要 D．既非充分也非必要
▉题型6 数量积判断两个平面向量的垂直关系
【知识点的认识】
向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如（1，0，1），（2，0，﹣2），那么与垂直，有 1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它们的乘积为0．
40．已知平面向量，则　　 ．
41．已知向量，若，则k＝　　 ．
42．向量（4，2），（﹣1，2）．
（1）求向量的模长；
（2）若向量（3，﹣1），且（k）⊥，求实数k的值．
43．已知△ABC中，∠C是直角，CA＝CB，点D是CB的中点，E为AB一点．
（1）设，，当，请用，来表示，；
（2）当时，求证：AD⊥CE．
44．已知向量（sinα，2），（1，﹣cosα），若⊥，则tanα＝（　　）
A． B．﹣2 C． D．2
（多选）45．已知单位向量共面，则下列说法中正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则

展开更多......

收起↑