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第8章第2节 三角恒等变换
题型1 三角函数恒等式的证明 题型2 两角和与差的三角函数
题型3 求两角和与差的三角函数值 题型4 两角和与差的三角函数的逆用
题型5 二倍角的三角函数 题型6 求二倍角的三角函数值
题型7 半角的三角函数 题型8 三角函数的恒等变换及化简求值
题型9 三角函数中的恒等变换应用
▉题型1 三角函数恒等式的证明
【知识点的认识】
三角函数恒等式：
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cosα，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．
公式五：sin（2π﹣α）＝﹣sinα，cos（2π﹣α）＝cosα．
公式六：sin（α）＝cosα，cos（α）═﹣sinα
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sinαcosα；
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α．
1．证明：
（1）cos4α+4cos2α+3＝8cos4α；
（2）；
（3）已知sinθ+cosθ＝2sinα，sinθcosθ＝sin2β，求证4cos22α＝cos22β．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）证明见解析．
【解答】证明：（1）由cos4α+4cos2α+3
＝2cos22α﹣1+4cos2α+3
＝2（cos2α+1）2
＝8cos4α，
可得：cos4α+4cos2α+3＝8cos4α．
（2）
由2cos（α+β），
所以．
（3）因为sin2θ+cos2θ＝1，可得（sinθ+cosθ）2＝1+2sinθcosθ，
把sinθ+cosθ＝2sinα，sinθ cosθ＝sin2β代入得4sin2α＝1+2sin2β，
即4（1﹣cos2α）＝1+2（1﹣cos2β），
整理得4cos2α＝1+2cos2β，所以4cos2α﹣2＝﹣1+2cos2β，
所以2cos2α＝cos2β，
两边平方可得4cos22α＝cos22β．
▉题型2 两角和与差的三角函数
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
2．若，则tanα＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵，
∴6tanα+6＝1﹣tanα，即7tanα＝﹣5，
解得：．
故选：B．
▉题型3 求两角和与差的三角函数值
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
3．若，则sin（α﹣β）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由tanα＝2tanβ，得，即sinαcosβ＝2cosαsinβ，
由sin（α+β）3cosαsinβ，
故，
则．
故选：B．
4．已知cosα﹣cosβ，sinα﹣sinβ，则cos（β﹣α）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：对两边平方，，
即①，
对两边平方，，
即②，
①+②得，cos2α+sin2α+cos2β+sin2β，
即1+1﹣2（cosαcosβ+sinαsinβ），即2﹣2（cosαcosβ+sinαsinβ），
则，解得．
故选：C．
5．已知α，β均为锐角，，，则sinβ＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：因为α，β均为锐角，则，又，
所以，
所以cos（α﹣β），cosα，
所以sinβ＝sin[α﹣（α﹣β）]＝sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）
．
故选：C．
6．cos87°sin33°+sin87°sin57°的值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为sin57°＝sin（90°﹣33°）＝cos33°，
所以cos87°sin33°+sin87°sin57°＝cos87°sin33°+sin87°cos33°
＝sin（87°+33°）＝sin120°＝sin60°．
故答案为：．
7．已知，，则tanβ＝ 　﹣1　 ．
【答案】﹣1．
【解答】解：因为β＝α﹣（α﹣β），
所以tanβ＝tan[α﹣（α﹣β）]1．
故答案为：﹣1．
8．已知θ∈（0，π），，则　﹣7　 ．
【答案】﹣7．
【解答】解：因为θ∈（0，π），，
所以sinθ，所以tanθ，
所以．
故答案为：﹣7．
9．如图所示，两直角三角形共斜边MN，且MN＝1，MB﹣MA，NA﹣NB，设∠AMN＝β，∠BMN＝α，则cos（β﹣α）＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：根据题意可知，两直角三角形共斜边MN，且MN＝1，MB﹣MA，NA﹣NB，
∠BMN＝α，∠AMN＝β，则MB＝cosα，NB＝sinα，MA＝cosβ，NA＝sinβ，因为则
两式平方相加可得，即，所以．
故答案为：．
（多选）10．下列判断正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】BD
【解答】解：因为，所以α的终边在一，二象限，
当α的终边在二象限时，，故A显然错误；
由，可得，所以，解得，故B正确；
，故C错误；
，故D正确．
故选：BD．
11．已知角α顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点．
（1）求；
（2）求的值；
（3）若角β是三角形内角，且，求sin（2α﹣β）的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）或1．
【解答】解：（1）点P到原点的距离为r＝1，
所以，；
（2）tanα＝﹣2，
所以，
；
（3）因为β是三角形内角，且，
所以，
由（1）知：，
所以，
当时，sin（2α﹣β）＝sin2αcosβ﹣cos2αsinβ，
；
当时，sin（2α﹣β）＝sin2αcosβ﹣cos2αsinβ，
．
12．已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调递增区间．
【答案】（1）2π；
（2）．
【解答】解：（1）由已知，，故最小正周期T＝2π；
（2）令，
解得，
所以f（x）的单调递增区间为．
13．已知tanα＝2．
（1）化简求值：；
（2）若α是第一象限角，，且，求cos（α﹣β）的值．
【答案】（1）；（2）．
【解答】解：（1）原式．
（2）由α为第一象限角，且tanα＝2，故：，
由于，又，，
故，
∵cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ．
14．已知．
（1）求tan2α的值；
（2）求sinβ的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）因为sinα，α∈（0，），可得cosα，
所以tanα；
所以tan2α；
（2）因为sin（α+β），
而β∈（，π），所以α+β∈（，），
所以cos（α+β），
由（1）可得cosα，
所以sinβ＝sin（α+β﹣α）＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα（）．
15．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边经过点P（1，﹣3）．
（1）求的值．
（2）若，，求的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）角α的终边经过点P（1，﹣3），则OP，
所以sin，cosα，tanα＝﹣3，
所以，，
得到；
（2）由，可得，
因为sin（），
所以，
所以
．
所以．
16．已知函数的一个零点是，且f（x）在上单调，则ω＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：，
则，，
所以，
f（x）在上单调，，则，
故，解得，
因为ω＞1，故1＜ω≤2，
故．
故选：B．
17．已知函数，且．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（3）若函数g（x）＝2f（2x）+a在区间上恰有3个零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），求a的取值范围和sin（x1+x2）的值．
【答案】（1）；
（2）T＝π，；
（3）．
【解答】解：（1）f（x）＝2sinφsinxcosx+2cosφsin2x﹣cosφ
＝sin2xsinφ+cosφ（2sin2x﹣1）
＝sin2xsinφ﹣cos2xcosφ
＝﹣cos（2x+φ），
由知，f（x）的图像关于点对称，
所以，k∈Z，得，k∈Z．
因为，所以，
即函数．
（2）因为，所以，
由，k∈Z得，k∈Z，
所以函数f（x）的单调递增区间是，k∈Z；
（3），
当时，．
函数在区间上恰有3个零点，
令，则2sint﹣a＝0在上有3个不相等的根．
即y＝a与y＝2sint在的图像上恰有3个交点，
作出y＝2sint与y＝a的图像，如图所示，
由图可知，，
且t2+t1＝π，
所以．
故a的取值范围为，sin（x1+x2）的值为．
▉题型4 两角和与差的三角函数的逆用
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
18．计算：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°
＝sin20°cos10°+cos20°sin10°
＝sin30°．
故选：A．
19．sin240°+cos270°+sin40°cos70°＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：由题意得cos270°＝cos2（40°+30°）＝（cos40°cos30°﹣sin40°sin30°）2
＝（cos40°sin40°）2cos240°sin40°cos40°sin240°，
sin40°cos70°＝sin40°cos（40°+30°）
＝sin40°（cos40°sin40°）sin40°cos40°sin240°，
所以原式＝sin240°+（cos240°sin40°cos40°sin240°）+（sin40°cos40°sin240°）
（sin240°+cos240°）．
故答案为：．
▉题型5 二倍角的三角函数
【知识点的认识】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
20．已知，则sin2α＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为，
所以sinαcosα（sinα+cosα），可得sinα+cosα，
两边平方，可得sin2α+cos2α+2sinαcosα＝1+sin2α，
则sin2α．
故选：A．
21．已知α是第四象限角，且，则cosα﹣sinα＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解∵，
∴，
∵α是第四象限角，
∴cosα＞0，sinα＜0，
∴cosα﹣sinα＞0，
∴．
故选：B．
22．已知，α是第三象限角，则（　　）
A．±2 B． C．﹣2 D．
【答案】C
【解答】解：因为，α是第三象限角，
所以cosα，
即2kπ+π＜α＜2kπ，k∈Z，
所以kπkπ，k∈Z，
所以tan0，
而sin2，cos2，
所以tan24，
所以tan2．
故选：C．
23．cos2sin2　　 ．
【答案】
【解答】解：cos2sin2cos（2）＝cos．
故答案为：．
（多选）24．下列各式中，值为的是（　　）
A．sin B．2sin 15°cos 15°
C．2cos215°﹣1 D．tan210°
【答案】ABD
【解答】解：对于A，sinsin，正确；
对于B，2sin 15°cos 15°＝sin30°，正确；
对于C，2cos215°﹣1＝cos30°，错误；
对于D，tan210°tan（180°+30°）tan30°，正确．
故选：ABD．
▉题型6 求二倍角的三角函数值
【知识点的认识】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
25．已知，则cos（x2﹣x1）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：根据cosx1＝cosx2，且﹣π＜x1＜x2＜π，可得x1＝﹣x2，即x2﹣x1＝2x2，
所以cos（x2﹣x1）＝cos2x2＝2cos2x2﹣1．
故选：D．
26．人们把最能引起美感的比例称为黄金分割．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为称为黄金分割比．人们称底与腰之比为黄金分割比的三角形为最美三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形，由此我们可得sin738°＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：如图，△ABC为最美三角形，∠BAC＝36°，则∠ABC＝∠BCA＝72°，
易知，取BC的中点为D，如下图所示：
则在Rt△ADC中，易知，
所以．
故选：A．
27．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：，
则
．
故选：A．
28．若tanθ＝﹣3，则sin2θ＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为tanθ＝﹣3，
则sin2θ．
故答案为：．
（多选）29．已知sinα＜0，cosα＞0，则下列各式的值一定为正数的是（　　）
A．sin（π+α） B．
C．tan（π﹣α） D．sin2α
【答案】AC
【解答】解：因为sinα＜0，cosα＞0，
所以tanα0，
所以sin（π+α）＝﹣sinα＞0，A正确；
，B错误；
tan（π﹣α）＝﹣tanα＞0，C正确；
sin2α＝2sinαcosα＜0，D错误．
故选：AC．
30．已知．
（1）求tanθ的值；
（2）求tan2θ和的值．
【答案】（1）tanθ＝3；
（2），．
【解答】解：（1）由题意可得tanθ＝﹣3，
故tanθ＝3；
（2）由（1）已得tanθ＝3，
所以，．
即，．
31．（1）已知α、β都是锐角，若，，求sinβ的值；
（2）已知，α∈（0，π），求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解答】解：（1）∵已知α、β都是锐角，且，
∴，0＜α+β＜π，
∵，
∴，
∴sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα；
（2）因为①，
所以，即，所以，
又α∈（0，π），所以sinα＞0，cosα＞0，故，
故，所以②，
由①②解得，
所以，，
故．
32．若sinα+2cosα＝0，则sin2α+cos2α＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为sinα+2cosα＝0，所以tanα＝﹣2，
．
故答案为：．
▉题型7 半角的三角函数
【知识点的认识】
半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系（正余弦的半角关系其实就是二倍角关系），其公式为：①tan；②tan．
33．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵，∴，
，则．
故选：B．
▉题型8 三角函数的恒等变换及化简求值
【知识点的认识】
三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．
公式
①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（x）＝sin（x）＝cosx
②余弦函数有y＝cos（2kπ+x）＝cosx，cos（x）＝sinx
③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（x）＝cotx，
④余切函数有y＝cot（x）＝tanx，cot（kπ+x）＝cotx．
34．（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】D
【解答】解：原式
＝2．
故选：D．
35．若，则（　　）
A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1
【答案】A
【解答】解：因为，
所以可得tanα＝2，
所以
＝4．
故选：A．
36．若函数在上只有一个零点，则ω的取值范围为　　 ．
【答案】．
【解答】解：，
所以，
令f（x）＝0，可得，
所以，k∈Z，
所以，k∈Z，又ω＞0，
所以将函数的正零点按从小到大的顺序排列可得
，，，…，
因为函数y＝f（x）在上只有一个零点，ω＞0，
所以，，
所以，
所以ω的取值范围为．
故答案为：．
（多选）37．下列各式的值正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解答】解：对于A选项，，故A选项不正确；
对于B选项，，故B选项正确；
对于C选项，，故C选项不正确；
对于D选项，，故D选项正确．
故选：BD．
38．已知，．
（1）求tanαtanβ的值；
（2）已知α﹣β，α+β均为第一象限角，求sin2α﹣sin2β的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）由题意，①
，②
有①，②整理得，
则；
（2）∵sin2α﹣sin2β
＝sin2α﹣sin2αsin2β﹣sin2β+sin2αsin2β
＝sin2αcos2β﹣cos2αsin2β
＝（sinαcosβ+cosαsinβ）（sinαcosβ﹣cosαsinβ）
＝sin（α+β）sin（α﹣β），
∵α﹣β，α+β均为第一象限角，
∴，
，
∴．
39．已知函数，，
（1）求a的值以及f（x）的对称轴；
（2）将函数f（x）图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g（x）的图象，若，求x的取值范围；
（3）已知，求cosθ的值．
【答案】（1）a＝0；对称轴方程为（k∈Z）；（2）x的取值范围为[]（k∈Z）；（3）．
【解答】解：（1）函数cos（2x）+a，
由于，
解得a＝0．
令（k∈Z），整理得（k∈Z）．
故函数的对称轴方程为（k∈Z）．
（2）将函数f（x）图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象，
若，故（k∈Z），
整理得：（k∈Z），
故x的取值范围为[]（k∈Z）．
（3）已知，
故
∴．
40．若且，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由，得，得﹣sin2α＝tanβ，
则，
因为，
因为，所以tanα＞0，故，
当且仅当，即时，等号成立，
故，
所以，所以的最小值是．
故选：B．
41．“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：由“”可得“”，
反之，由“”，得“或”．
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
42．已知，
（1）求tanθ的值；
（2）求．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由已知，
化简得3sinθ﹣3cosθ＝sinθ+cosθ，
整理得sinθ＝2cosθ，
∴tanθ＝2；
（2），
又∵sin2θ+cos2θ＝1，
∴上式可化简为．
43．若a、b是小于180的正整数，且满足．则满足条件的数对（a，b）共有（　　）
A．2对 B．6对 C．8对 D．12对
【答案】D
【解答】解：设a+b＝α，b＝β，则原式为，
∴sinαsinβ＝sin（α﹣β）sin（α+β）＝sin2α﹣sin2β，
∴ ，
∵sin18°，sin54°，sin18°sin54°，
∵a，b是小于180的正整数，故分两种情况，
（1）若2sin54°，
①b＝30° sin（α+30）°＝sin54° a＝24或a＝96，
②b＝150° sin（α+150）°＝sin54° a无解，
③b＝36° sin（α+36）°＝sin72° a＝36或a＝72，
④b＝144° sin（α+144）°＝sin72° a无解，
⑤b＝18° sin（α+18）°＝sin30° a＝12或a＝132，
⑥b＝162° sin（α+162）°＝sin30° a无解，
（2）若2sin18°，
①b＝30° sin（α+30）°＝﹣sin18° a＝168，
②b＝150° sin（α+150）°＝﹣sin18° a＝48，
③b＝72° sin（α+72）°＝﹣sin36° a＝144，
④b＝108° sin（α+108）°＝﹣sin36° a＝108，
⑤b＝54° sin（α+54）°＝﹣sin30° a＝156，
⑥b＝126° sin（α+126）°＝﹣sin30° a＝84，
故选：D．
▉题型9 三角函数中的恒等变换应用
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．
公式五：sin（α）＝cosα，cos（α）＝sin α，tan（α）＝cotα．
公式六：sin（α）＝cosα，cos（α）＝﹣sinα，tan（α）＝﹣cotα．
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sinαcosα；
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α．
44．如图，在扇形ABC中，半径AB＝2，圆心角∠CAB＝60°，P是扇形弧上的动点，过P作PQ⊥AB于Q，作PR⊥AC于R，记∠PAB＝θ，RQ＝f（θ），则f（θ）（　　）
A．在上单调递增
B．在上单调递增
C．是定值
D．是定值1
【答案】C
【解答】解：由题意AQ＝2cosθ，AR＝2cos（60°﹣θ），
由余弦定理得
，0°＜θ＜60°；
选项C正确．
故选：C．
（多选）45．已知函数，则（　　）
A．f（x）在区间单调递减
B．f（x）的图象关于直线对称
C．当时，f（x）的值域为
D．f（x）的图象可由g（x）＝2sin2x的图象向左平移个单位长度得到
【答案】AB
【解答】解：因为．
对于选项A：因为，则，
又y＝sinx在内单调递减，
所以f（x）在区间单调递减，故A正确；
对于选项B：因为f（）＝2sin2为最小值，
所以f（x）的图象关于直线对称，故B正确；
对于选项C：因为，则，
可得，即，故C错误；
对于选项D：g（x）＝2sin2x的图象向左平移个单位长度，可得，故D错误．
故选：AB．
46．设函数．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当时，，求cos2x的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）由题意得，
由，解得，所以f（x）的单调递增区间是．
（2）根据，解得，
由，得，结合，可知，
所以，可得．
47．设函数．
（1）若，求φ的值．
（2）已知f（x）在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f（x）存在，求ω，φ的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：f（x）在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）．
（2）条件①不能使函数f（x）存在；条件②或条件③可解得ω＝1，．
【解答】解：（1）因为，
所以，
因为，所以；
（2）因为，
所以，
所以f（x）的最大值为1，最小值为﹣1；
若选条件①：因为f（x）＝sin（ωx+φ）的最大值为1，最小值为﹣1，所以无解，
故条件①不能使函数f（x）存在；
若选条件②：因为f（x）在上单调递增，且，，
所以，所以T＝2π，，
所以f（x）＝sin（x+φ），
又因为，所以，
所以，
所以，因为，所以，
所以ω＝1，；
若选条件③：因为f（x）在上单调递增，在上单调递减，
所以f（x）在处取得最小值﹣1，即．
所以，所以T＝2π，，
所以f（x）＝sin（x+φ），
又因为，所以，
所以，
所以，因为，所以，
所以ω＝1，．
48．已知O为坐标原点，对于函数f（x）＝asinx+bcosx，称向量为函数f（x）的相伴特征向量，同时称函数f（x）为向量的相伴函数．
（1）记向量的相伴函数为f（x），若当f（x）＝3且时，求x的值；
（2）设，试求函数g（x）的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量；
（3）已知为函数h（x）的相伴特征向量，若在△ABC中，AB＝2，，若点G为该△ABC的外心，求的最大值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）O为坐标原点，对于函数f（x）＝asinx+bcosx，
称向量为函数f（x）的相伴特征向量，同时称函数f（x）为向量的相伴函数．
向量的相伴函数为f（x），当f（x）＝3且时，
根据题意知，向量的相伴函数为：
，
当时，，
又，则，
∴，故；
（2）∵，
∴函数g（x）的相伴特征向量，
与同向的单位向量为；
（3）为函数h（x）的相伴特征向量，
在△ABC中，AB＝2，，点G为该△ABC的外心，
由题意得，h（x）＝cosx，
在△ABC中，AB＝2，，∴，
设△ABC外接圆半径为R，根据正弦定理，，∴R＝2，
∴，
，
，
代入得，
∴当∠AGC＝π时，的最大值为6+8＝14．
49．已知函数．
（1）若ω＝1，求f（x）的对称轴方程；
（2）若f（x）在x∈[0，2π]上恰取得一次最大值和一次最小值，求ω的取值范围；
（3）若f（x）在y轴右侧的第一个零点为，令，且g（x）在（0，4π）内恰有6个零点，求实数m．
【答案】（1）x；
（2）；
（3）m∈{﹣1，1}．
【解答】解：（1）由题意可得，f（x）
，
因为ω＝1，所以，
，k∈Z，
则x；
（2）因为x∈[0，2π}，ω＞0，所以，
又因函数y＝f（x）在x∈[0，2π]上恰有1个最大值和1个最小值，
所以，
解得，所以；
（3）由题知，k∈Z，所以，
又因，所以，
所以ω＝2，
又因，
即﹣2sin2x+msinx+1＝0在（0，4π）内有6个根，
令t＝sinx，则有﹣2t2+mt+1＝0，
显然△＞0，所以﹣2t2+mt+1＝0有两不等实根，不妨设为t1，t2，
则有，显然t1，t2异号，
不妨设﹣1≤t1＜0，0＜t2≤1，
①若t1＝﹣1，易知，m＝﹣1，
结合正弦函数的性质可知，sinx＝﹣1在（0，4π）上有2个根，在（0，4π）上有4个根
所以m＝﹣1符合题目要求；
②若﹣1＜t1＜0，结合正弦函数的性质可知，sinx＝t1在（0，4π）上有4个根，
故需sinx＝t2在（0，4π）上有2个根，易知此时t2＝1，
代入方程得，m＝1，
综上所述，m∈{﹣1，1}．
50．已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）若方程f（x）＝a在区间上有两个解，求实数a的取值范围．
【答案】（1）最小正周期为π，递减区间为；
（2）（﹣1，]．
【解答】解：（1）由题意得f（x）sin2xcos2x＝sin2xcoscos2xsinsin（2x），
所以f（x）的最小正周期，
令，k∈Z，可解得f（x）的递减区间为；
（2）当x∈时，，
对于y＝sint在上单调递减，对应值域为；
在上单调递增，对应值域为；
所以当方程f（x）＝a在区间上有两个解时，a的取值范围是（﹣1，]．
51．已知函数f（x）＝2asinxcosx+2cos2x，其中a＞0，且f（x）的最大值为3．
（1）求a的值；
（2）求函数y＝f（x）在区间上的最值；
（3）将函数y＝f（x）的图象向右平移φ（φ＞0）个长度单位，得到函数y＝g（x）的图象．若f（x）+g（x）为定值，求φ的最小值．
【答案】（1）；
（2）f（x）min＝0，f（x）max＝3；
（3）．
【解答】解：（1）f（x）＝2asinxcosx+2cos2x＝asin2x+cos2x+1sin（2x+θ）+1，
其中tanθ，θ∈（0，）．
因为f（x）的最大值为3，所以1＝3，所以a2＝3．
因为a＞0，所以a．
（2）由（1）知，f（x）＝2sin（2x+θ）+1．
因为tanθ，θ∈（0，），所以θ．
所以f（x）＝2sin（2x）+1．
因为x∈[0，]，所以2x∈[，]，
当2x，即x时，f（x）min＝2×（）+1＝0，
当2x，即x时，f（x）max＝2+1＝3；
（3）依题意，g（x）＝f（x﹣φ）＝2sin[2（x﹣φ）]+1＝2sin（2x2φ），
设H（x）＝f（x）+g（x），
则H（x）＝2sin（2x）+2sin（2x2φ）+2
＝2sin（2x）+2sin（2x）cos2φ﹣2cos（2x）sin2φ+2
＝2sin（2x）（1+cos2φ）﹣2cos（2x）sin2φ+2
＝4sin（2x）cos2φ﹣4cos（2x）sinφcosφ+2
＝4cosφ[sin（2x）cosφ﹣cos（2x）sinφ]+2
＝4cosφsin（2xφ）+2．
若cosφ≠0，取x1，x2，
H（x1）＝2cosφ+2，H（x2）＝4cosφ+2，
则H（x2）﹣H（x1）＝2cosφ≠0，即H（x2）≠H（x1）．
所以，当cosφ≠0时，f（x）+g（x）不为定值．
当cosφ＝0，即φ＝kπ，k∈Z时，H（x）＝2．
此时，f（x）+g（x）为定值2．
因为φ＞0，
所以，φ的最小值为．
52．已知函数．
（1）将f（x）化成f（x）＝Acos（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的形式；
（2）求f（x）的对称中心及单调递减区间．
【答案】（1）；
（2）对称中心为，k∈Z，单调递减区间为，k∈Z．
【解答】解：（1）函数，
由题意， ，
（2）令，k∈Z，解得，k∈Z，
所以f（x）的对称中心为，k∈Z，
令，k∈Z，解得，k∈Z，
所以f（x）的单调递减区间为．第8章第2节 三角恒等变换
题型1 三角函数恒等式的证明 题型2 两角和与差的三角函数
题型3 求两角和与差的三角函数值 题型4 两角和与差的三角函数的逆用
题型5 二倍角的三角函数 题型6 求二倍角的三角函数值
题型7 半角的三角函数 题型8 三角函数的恒等变换及化简求值
题型9 三角函数中的恒等变换应用
▉题型1 三角函数恒等式的证明
【知识点的认识】
三角函数恒等式：
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cosα，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．
公式五：sin（2π﹣α）＝﹣sinα，cos（2π﹣α）＝cosα．
公式六：sin（α）＝cosα，cos（α）═﹣sinα
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sinαcosα；
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α．
1．证明：
（1）cos4α+4cos2α+3＝8cos4α；
（2）；
（3）已知sinθ+cosθ＝2sinα，sinθcosθ＝sin2β，求证4cos22α＝cos22β．
▉题型2 两角和与差的三角函数
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
2．若，则tanα＝（　　）
A． B． C． D．
▉题型3 求两角和与差的三角函数值
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
3．若，则sin（α﹣β）＝（　　）
A． B． C． D．
4．已知cosα﹣cosβ，sinα﹣sinβ，则cos（β﹣α）＝（　　）
A． B． C． D．
5．已知α，β均为锐角，，，则sinβ＝（　　）
A． B． C． D．
6．cos87°sin33°+sin87°sin57°的值为 　 ．
7．已知，，则tanβ＝ 　 　 ．
8．已知θ∈（0，π），，则　 　 ．
9．如图所示，两直角三角形共斜边MN，且MN＝1，MB﹣MA，NA﹣NB，设∠AMN＝β，∠BMN＝α，则cos（β﹣α）＝ ．
（多选）10．下列判断正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
11．已知角α顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点．
（1）求；
（2）求的值；
（3）若角β是三角形内角，且，求sin（2α﹣β）的值．
12．已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调递增区间．
13．已知tanα＝2．
（1）化简求值：；
（2）若α是第一象限角，，且，求cos（α﹣β）的值．
14．已知．
（1）求tan2α的值；
（2）求sinβ的值．
15．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边经过点P（1，﹣3）．
（1）求的值．
（2）若，，求的值．
16．已知函数的一个零点是，且f（x）在上单调，则ω＝（　　）
A． B． C． D．
17．已知函数，且．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（3）若函数g（x）＝2f（2x）+a在区间上恰有3个零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），求a的取值范围和sin（x1+x2）的值．
▉题型4 两角和与差的三角函数的逆用
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
18．计算：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝（　　）
A． B． C． D．
19．sin240°+cos270°+sin40°cos70°＝ ．
▉题型5 二倍角的三角函数
【知识点的认识】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
20．已知，则sin2α＝（　　）
A． B． C． D．
21．已知α是第四象限角，且，则cosα﹣sinα＝（　　）
A． B． C． D．
22．已知，α是第三象限角，则（　　）
A．±2 B． C．﹣2 D．
23．cos2sin2 　 ．
（多选）24．下列各式中，值为的是（　　）
A．sin B．2sin 15°cos 15°
C．2cos215°﹣1 D．tan210°
▉题型6 求二倍角的三角函数值
【知识点的认识】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
25．已知，则cos（x2﹣x1）＝（　　）
A． B． C． D．
26．人们把最能引起美感的比例称为黄金分割．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为称为黄金分割比．人们称底与腰之比为黄金分割比的三角形为最美三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形，由此我们可得sin738°＝（　　）
A． B． C． D．
27．已知，则（　　）
A． B． C． D．
28．若tanθ＝﹣3，则sin2θ＝ 　 ．
（多选）29．已知sinα＜0，cosα＞0，则下列各式的值一定为正数的是（　　）
A．sin（π+α） B．
C．tan（π﹣α） D．sin2α
30．已知．
（1）求tanθ的值；
（2）求tan2θ和的值．
31．（1）已知α、β都是锐角，若，，求sinβ的值；
（2）已知，α∈（0，π），求的值．
32．若sinα+2cosα＝0，则sin2α+cos2α＝ ．
▉题型7 半角的三角函数
【知识点的认识】
半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系（正余弦的半角关系其实就是二倍角关系），其公式为：①tan；②tan．
33．已知，则（　　）
A． B． C． D．
▉题型8 三角函数的恒等变换及化简求值
【知识点的认识】
三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．
公式
①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（x）＝sin（x）＝cosx
②余弦函数有y＝cos（2kπ+x）＝cosx，cos（x）＝sinx
③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（x）＝cotx，
④余切函数有y＝cot（x）＝tanx，cot（kπ+x）＝cotx．
34．（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
35．若，则（　　）
A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1
36．若函数在上只有一个零点，则ω的取值范围为　　 ．
（多选）37．下列各式的值正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
38．已知，．
（1）求tanαtanβ的值；
（2）已知α﹣β，α+β均为第一象限角，求sin2α﹣sin2β的值．
39．已知函数，，
（1）求a的值以及f（x）的对称轴；
（2）将函数f（x）图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g（x）的图象，若，求x的取值范围；
（3）已知，求cosθ的值．
40．若且，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
41．“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
42．已知，
（1）求tanθ的值；
（2）求．
43．若a、b是小于180的正整数，且满足．则满足条件的数对（a，b）共有（　　）
A．2对 B．6对 C．8对 D．12对
▉题型9 三角函数中的恒等变换应用
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．
公式五：sin（α）＝cosα，cos（α）＝sin α，tan（α）＝cotα．
公式六：sin（α）＝cosα，cos（α）＝﹣sinα，tan（α）＝﹣cotα．
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sinαcosα；
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α．
44．如图，在扇形ABC中，半径AB＝2，圆心角∠CAB＝60°，P是扇形弧上的动点，过P作PQ⊥AB于Q，作PR⊥AC于R，记∠PAB＝θ，RQ＝f（θ），则f（θ）（　　）
A．在上单调递增
B．在上单调递增
C．是定值
D．是定值1
（多选）45．已知函数，则（　　）
A．f（x）在区间单调递减
B．f（x）的图象关于直线对称
C．当时，f（x）的值域为
D．f（x）的图象可由g（x）＝2sin2x的图象向左平移个单位长度得到
46．设函数．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当时，，求cos2x的值．
47．设函数．
（1）若，求φ的值．
（2）已知f（x）在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f（x）存在，求ω，φ的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：f（x）在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
48．已知O为坐标原点，对于函数f（x）＝asinx+bcosx，称向量为函数f（x）的相伴特征向量，同时称函数f（x）为向量的相伴函数．
（1）记向量的相伴函数为f（x），若当f（x）＝3且时，求x的值；
（2）设，试求函数g（x）的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量；
（3）已知为函数h（x）的相伴特征向量，若在△ABC中，AB＝2，，若点G为该△ABC的外心，求的最大值．
49．已知函数．
（1）若ω＝1，求f（x）的对称轴方程；
（2）若f（x）在x∈[0，2π]上恰取得一次最大值和一次最小值，求ω的取值范围；
（3）若f（x）在y轴右侧的第一个零点为，令，且g（x）在（0，4π）内恰有6个零点，求实数m．
50．已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）若方程f（x）＝a在区间上有两个解，求实数a的取值范围．
51．已知函数f（x）＝2asinxcosx+2cos2x，其中a＞0，且f（x）的最大值为3．
（1）求a的值；
（2）求函数y＝f（x）在区间上的最值；
（3）将函数y＝f（x）的图象向右平移φ（φ＞0）个长度单位，得到函数y＝g（x）的图象．若f（x）+g（x）为定值，求φ的最小值．
52．已知函数．
（1）将f（x）化成f（x）＝Acos（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的形式；
（2）求f（x）的对称中心及单调递减区间．

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