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第3章第1节 排列与组合
题型1 分类加法计数原理 题型2 分步乘法计数原理
题型3 计数原理的应用 题型4 代数与函数中的计数问题
题型5 数字问题 题型6 染色问题
题型7 加法计数原理与乘法计数原理的综合应用 题型8 排列及排列数公式
题型9 排列数的化简计算及证明 题型10 简单排列问题
题型11 部分位置的元素有限制的排列问题 题型12 部分元素不相邻的排列问题
题型13 部分元素相邻的排列问题 题型14 组合及组合数公式
题型15 组合数的化简计算及证明 题型16 简单组合问题
题型17 人员及物品分配问题 题型18 从不同类别人员物品中进行挑选的组合问题
题型19 其他组合形式及计算 题型20 排列组合的综合应用
▉题型1 分类加法计数原理
【知识点的认识】
1．定义：完成一件事有两类不同方案：在第1类办法中有m种不同的方法，在第2类办法中有n种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m+n种不同的方法．
2．推广：完成一件事有n类不同方案：在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m1+m2+…+mn种不同的方法．
3．特点：
（1）完成一件事的n类方案相互独立；
（2）同一类方案中的各种方法相对独立．
（3）用任何一类方案中的任何一种方法均可独立完成这件事；
4．注意：与分步乘法计数原理区别
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 计算“完成一件事”的方法种数
不同点 分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘
每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）
注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整
1．电子设备中电平信号用电压的高与低来表示，高电压信号记为数字1，低电压信号记为数字0，一串由0和1组成的不同排列代表不同的电平信号，所用数字只有0和1，例如001100就是一个电平信号．某电平信号由6个数字构成，已知其中至少有4个0，则满足条件的电平信号种数为 　 　 ．
2．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．从书架上任取1本书，不同的取法有（　　）
A．3种 B．6种 C．9种 D．24种
3．已知A＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，a、b∈A，则|a|＜|b|的情况有 　 　 种．
▉题型2 分步乘法计数原理
【知识点的认识】
1．定义：完成一件事需要分成两个步骤：做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m×n种不同的方法．
2．推广：完成一件事需要分成n个步骤：做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
3．特点：完成一件事的n个步骤相互依存，必须依次完成n个步骤才能完成这件事；
4．注意：与分类加法计数原理区别
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 计算“完成一件事”的方法种数
不同点 分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘
每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）
注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整
4．用3种不同的颜色对图中两个区域涂色，要求两个区域的颜色不相同，则不同的涂法有（　　）
A．4种 B．5种 C．6种 D．9种
5．如图，用6种不同的颜色给图中A，B，C，D区域染色，要求相邻区域不能同色，则不同的染色方法共有（　　）
A．400种 B．460种 C．480种 D．496种
6．一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有（　　）
A．8种 B．48种 C．192种 D．384种
（多选）7．设从东、西、南、北四面通往山顶的路分别有2，3，3，4条，现要从一面上山，从剩余三面中的任意一面下山，则下列结论正确的是（　　）
A．从东面上山有20种走法
B．从西面上山有27种走法
C．从南面上山有30种走法
D．从北面上山有32种走法
8．某教育部门要安排3名骨干教师到2所薄弱学校去支教，每名教师都要去一所学校，每所学校至少有一名教师去支教，则不同的安排方法共有 　 种．
9．如图，现要用6种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有 　种不同的着色方法．
10．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书．
（1）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？
（2）从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？
▉题型3 计数原理的应用
【知识点的认识】
1．两个计数原理
（1）分类加法计数原理：N＝m1+m2+…+mn
（2）分步乘法计数原理：N＝m1×m2×…×mn
2．两个计数原理的比较
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
共同点 都是计数原理，即统计完成某件事不同方法种数的原理．
不同点 分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘
n类方案相互独立，且每类方案中的每种方法都能独立完成这件事 n个步骤相互依存，每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）
注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整
11．如图所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之间建有A，B，C，D，E五个水闸，若上游有充足水源但下游没有水，则这五个水闸打开或关闭的情况有（　　）
A．7种 B．15种 C．23种 D．26种
12．如图，要让电路从A处到B处接通，不同的路径条数为（　　）
A．5 B．7 C．8 D．12
13．设计一个五位的信息密码，每位数字均在0～9中选取，则含有数字1，6，8，且1，6，8都只出现一次的信息密码有 　 　 个，含有数字1，6，8，且1只出现一次，6与8不相邻的信息密码有 　　 个．
▉题型4 代数与函数中的计数问题
【知识点的认识】
﹣代数与函数中的计数问题通常涉及函数的不同组合情况、代数表达式的多种排列方法．例如：构造满足特定条件的多项式、确定多项式的根与系数的关系等．
﹣在某些情况下，需要计算多项式在不同取值下可能的表达式数量，或者函数图像的不同形态．
14．已知集合P＝{1，2，3，4，5}，若A，B是P的两个非空子集，则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（A，B）的个数为 　 ．
▉题型5 数字问题
【知识点的认识】
﹣数字问题涉及数字的排列组合、数字的特性以及数位的安排．例如：求解由数字构成的不同整数的数量、分析某一数字在特定数位上的可能性、或求解满足特定条件的整数个数．
﹣数字问题通常涉及到计数原理在数字排列中的应用，以及整数的分配与组合．
15．从0，1，2，3，4，5这6个数中任选2个偶数和1个奇数，组成没有重复数字的三位数的个数为（　　）
A．36 B．42 C．45 D．54
16．从1、3、5、7、9这五个数字中任取两个数字，从0、2、4、6这四个数字中任取两个数字．
（1）共可组成多少个没有重复数字的四位数？
（2）共可组成多少个没有重复数字的四位偶数？
（多选）17．用3，4，5，6，7，9这6个数组成没有重复数字的六位数，下列结论正确的有（　　）
A．这样的六位数共有720个
B．在这样的六位数中，偶数共有240个
C．在这样的六位数中，4，6不相邻的共有144个
D．在这样的六位数中，4个奇数数字从左到右、从小到大排序的共有30个
18．从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数中偶数的个数为（　　）
A．7200 B．2880 C．120 D．60
▉题型6 染色问题
【知识点的认识】
﹣染色问题是指在一个物体或一组物体上应用不同颜色的组合问题．典型的染色问题包括着色多边形、涂色图形、或为物体表面染色．
﹣该问题通常要求满足某些条件（如相邻元素不能相同颜色）来确定染色方案的总数．
19．如图所示，将四棱锥S﹣ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种色可供使用，则不同的染色方法种数为（　　）
A．960 B．420 C．360 D．240
▉题型7 加法计数原理与乘法计数原理的综合应用
【知识点的认识】
﹣加法计数原理和乘法计数原理是计数原理中最基础的两种原理．加法原理用于不同情况的选择（互斥事件），乘法原理用于连续步骤的选择（独立事件）．
﹣这两种原理在解决多步选择问题、多条件限制问题中被广泛应用．
20．如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，则从甲地去丁地，共有 　 种不同的走法．
▉题型8 排列及排列数公式
【知识点的认识】
1．定义
（1）排列：一般地，从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）
（2）排列数：从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示．
2．相关定义：
（1）全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列．
（2）n的阶乘：正整数由1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示．（规定0!＝1）
3．排列数公式
（1）排列计算公式：．m，n∈N+，且m≤n．
（2）全排列公式：n （n﹣1） （n﹣2） … 3 2 1＝n!．
21．（　　）
A． B．3 C． D．
▉题型9 排列数的化简计算及证明
【知识点的认识】
﹣排列数表示从n个不同元素中选出r个元素，并对这r个元素进行排列的总数．其公式为．
﹣排列数的化简通常涉及阶乘的计算和分解，在某些情况下需要用排列数公式进行证明或化简．
22．若n为正整数，则乘积n（n+1）（n+2）…（n+21）＝（　　）
A． B． C． D．
（多选）23．已知n，m∈N+，n＞m，k∈N，0≤k≤n﹣1，则（　　）
A．
B．
C．
D．
（多选）24．已知，则n的值可能为（　　）
A．2 B．4 C．7 D．9
（多选）25．下列各式中与排列数相等的是（　　）
A． B．n（n﹣1）（n﹣2） （n﹣m）
C． D．
26．（1）计算；
（2）解方程．
▉题型10 简单排列问题
【知识点的认识】
﹣简单排列问题通常涉及无任何限制条件的排列情况．n个不同元素的全排列总数为．
﹣该类问题通常是排列问题的基础，强调对基本排列公式的理解与应用．
27．某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡．现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有（　　）
A．8种 B．10种 C．12种 D．14种
28．某旅游团3名导游和30名游客站成两排拍照留念，要求第一排站15人，第二排站18人，则3名导游站在一起且站在第一排的排法总数为（　　）
A．
B．
C．
D．
（多选）29．某学校高二年级数学课外活动小组中有男生5人，女生3人，则下列说法正确的是（　　）
A．从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有64种不同的选法
B．从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有15种不同的选法
C．将这8名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320种
D．8名学生排成一排，已知5名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有336种排法
30．数字波是由0和1组成的脉冲信号序列，某类信号序列包含有n个数字0和n个数字1，且每个数字0之前1的个数多于0的个数．当n＝4时，这样的信号序列有
　种．
▉题型11 部分位置的元素有限制的排列问题
【知识点的认识】
﹣部分位置的元素排列受限是指在排列问题中，某些元素只能出现在特定位置或区域．例如：特定元素只能出现在排列的前几位或某些位置．
﹣这种问题通常要求考生在处理排列时，先考虑限制条件，再进行一般排列．
31．为庆祝七一建党节，某党支部举办了建党节演出活动，该活动要安排3个歌舞类节目、2个情景类节目和2个朗诵类节目的演出顺序．若朗诵类节目不在第一个出场，情景类节目演出顺序不相邻，则不同的演出顺序的种数为（　　）
A．1560 B．2640 C．1360 D．2340
32．某单位的某部门周一到周六每天晚上需要安排1人值班，该部门共4名员工，若每名员工至少安排1天值班，至多安排2天值班，且安排2天值班的员工必须是相邻的两天，则不同的排班方案有 　 种．（用数字作答）
（多选）33．甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（　　）
A．5人站成一排，若甲、乙必须相邻，共有48种排法
B．5人站成一排，若甲、乙不能相邻，共有72种排法
C．5人站成一排，若甲不能站在两端，共有72种排法
D．5人站成两排，若甲、乙站前排，丙、丁、戊站后排，共有120种排法
34．艺术节晚会要安排3个歌舞类节目A1，A2，A3，2个小品类节目B1，B2和1个相声类节目C的演出顺序，根据要求解答下列问题：
（1）若两个小品类节目B1，B2不能排在第一位和最后一位，一共有多少种排法？
（2）若歌舞类节目A1，A2必须排在一起，A3和B1，B2排在一起，并且A3在B1，B2中间，一共有多少种排法？
（3）若同类节目不相邻，请问一共有多少种排法？
（答题要求：写上必要的文字说明，先列式，后计算）
▉题型12 部分元素不相邻的排列问题
【知识点的认识】
﹣部分元素不相邻的排列问题要求在排列过程中，特定元素必须保持不相邻．例如：在排列中，两个特定元素不能排在一起．
﹣这类问题通常通过排除法、间隔法或插空法来解决．
35．2024年4月26日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情．齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽．为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”．假设6人站成一排，要求三位“80后”相邻，两位“90后”不相邻，则不同的站法共有（　　）
A．32种 B．48种 C．64种 D．72种
36．某次志愿者活动需分配4名大学生（A、B、C、D）和2名老师（甲、乙）排成一列合影．要求大学生A与B必须相邻，两名老师不能相邻，则满足条件的排列方式共有
　 　种．
37．甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照．
（1）甲、乙两人不相邻的站法共有多少种？
（2）甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有多少种？
▉题型13 部分元素相邻的排列问题
【知识点的认识】
﹣部分元素相邻的排列问题要求在排列过程中，特定元素必须相邻排列．例如：在排列中，两个或多个元素必须排在一起．
﹣这类问题通常通过将相邻元素视为一个整体来简化排列．
38．有4辆车停放在5个并排车位上，客车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与客车甲相邻停放，则共有 　12　 种不同的停放方法．
39．3月11日，2024年广西“二月二”侗族大歌节在三江侗族自治县梅林乡梅林村榕江河畔举行，上万名群众欢聚一堂，以非遗巡游、千人侗族大歌、多耶等活动，尽展非遗多姿风采．某地计划在来年的侗族大歌节安排非遗巡游、千人侗族大歌、多耶、抢花炮、芦笙舞这5种活动的举办顺序．
（1）共有多少种不同的安排方案？
（2）若要求第一个举办的活动不能是千人侗族大歌，共有多少种不同的安排方案？
（3）若要求抢花炮、芦笙舞的举办顺序相邻，共有多少种不同的安排方案？
40．一个信息设备装有一排六只发光电子元件，每个电子元件被点亮时可发出红色光、蓝色光、绿色光中的一种光．若每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能同时被点亮，根据这三个被点亮的电子元件的不同位置以及发出的不同颜色的光来表示不同的信息，则这排电子元件能表示的信息种数共有（　　）
A．60种 B．68种 C．82种 D．108种
▉题型14 组合及组合数公式
【知识点的认识】
1．定义
（1）组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个元素中任取m个元素的一个组合．
（2）组合数：从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号表示．
2．组合数公式：．m，n∈N+，且m≤n．
3．组合数的性质：
性质1
性质2．
41．若，则的值为（　　）
A．83 B．119 C．164 D．219
42．已知，则x的值是（　　）
A．2 B．6 C． D．2或6
43．计算的值为（　　）
A．114 B．99 C．142 D．198
▉题型15 组合数的化简计算及证明
【知识点的认识】
﹣组合数表示从n个不同元素中选出r个元素的总数，其公式为．
﹣组合数的化简和证明通常涉及组合数公式的推导、递推关系的应用以及组合恒等式的证明．
44．计算 　 　 ．（用数字作答）
45．（1）已知，计算：；
（2）解方程：．
（3）解不等式：．
46．若组合数和排列数满足，则m＝ 　 ．
▉题型16 简单组合问题
【知识点的认识】
﹣简单组合问题涉及无任何特殊限制的组合情况．n个不同元素中选出r个元素的组合总数为．
﹣这类问题是组合问题的基础，强调对基本组合公式的理解与应用．
47．从包含甲、乙两人的7人中选出3人分别担任班长、团支书、学习委员，则甲、乙至多有1人被选中的不同选法有（　　）
A．60种 B．120种 C．180种 D．210种
48．已知下列问题：
①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组；
②从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动；
③从a，b，c，d中选出3个字母；
④从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数．
其中是排列问题的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
49．一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为x，y，z，当且仅当y＞x且y＞z时，称这样的数为“凸数”（如341），则从集合{1，2，3，4，5}中取出三个不相同的数组成的“凸数”个数为　 　　 ．
▉题型17 人员及物品分配问题
【知识点的认识】
﹣人员及物品分配问题涉及将不同人员或物品进行分配的组合问题．例如：将n个人分配到k个小组，或者将m个物品分配给p个人．
﹣这类问题通常涉及组合与排列的综合应用，以及对分配方案的合理性判断．
50．将5名同学分配到三个班，每班至少1名同学，则不同的分配方法有（　　）
A．60种 B．180种 C．150种 D．300种
▉题型18 从不同类别人员物品中进行挑选的组合问题
【知识点的认识】
﹣这类问题涉及从不同类别的人员或物品中进行挑选的组合问题．例如：从若干类别的物品中各选出一定数量的组合问题．
﹣这类问题通常涉及分类讨论与组合公式的综合应用．
（多选）51．现有6本不同的书《水浒传》、《西游记》、《红楼梦》、《三国演义》、《儒林外史》、《聊斋志异》，则下列说法正确的是（　　）
A．将全部的书放到7个不同的抽屉里，一个抽屉可放多本书，有67种放法
B．将全部的书放在同一层书架上，要求《水浒传》和《西游记》相邻，有种放法
C．将书分给3位不同的学生，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种分法
D．将书平均分成三份，每份2本，有种分法
52．某地区发生了重大交通事故，某医院从9名医疗专家中抽调6名奔赴事故现场抢救伤员，其中这9名医疗专家中有4名是外科专家．（要求：列出排列组合算式，并写出详细过程）
（1）抽调6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？
（2）至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？
（3）至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
▉题型19 其他组合形式及计算
【知识点的认识】
﹣其他组合形式包括多重组合、环形组合、特殊排列组合等．例如：考虑相同元素或重复元素的组合，或者在特殊条件下的组合问题．
﹣这些问题通常需要综合运用组合数、排列数以及递推公式进行计算．
53．把20个相同的小球放到三个编号为1、2、3的盒子里，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有 　 种放法．
54．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（　　）种
A．240 B．320 C．180 D．120
▉题型20 排列组合的综合应用
【知识点的认识】
1、排列组合问题的一些解题技巧：
①特殊元素优先安排；
②合理分类与准确分步；
③排列、组合混合问题先选后排；
④相邻问题捆绑处理；
⑤不相邻问题插空处理；
⑥定序问题除法处理；
⑦分排问题直排处理；
⑧“小集团”排列问题先整体后局部；
⑨构造模型；
⑩正难则反、等价转化．
对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．
2、排列、组合问题几大解题方法：
（1）直接法；
（2）排除法；
（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；
（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；
（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；
（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；
（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；
（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；
（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；
（10）指定元素排列组合问题：
①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；
②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；
③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．
55．某大学食堂备有4种荤菜、8种素菜、2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（　　）
A．14 B．64 C．72 D．80
（多选）56．现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（　　）
A．从中选出2个球，正好一红一黄，有9种不同的选法
B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法
C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法
57．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的排节目单的方法种数：
（1）一个唱歌节目开头，另一个压台；
（2）两个唱歌节目不相邻；
（3）两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．
58．某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一种果树，则共有 　种不同的方法．
59．用数字0、2、5、7四个数可以组成 　 　　 个无重复数字的三位数．
60．已知安排3名男生和2名女生参加A，B，C三项不同的公益活动，每人只能参加1项公益活动，每项公益活动至少有1人参加．
（1）求不同安排方案的种数（用数字作答）；
（2）若每项活动都必须安排1名男生，求不同安排方案的种数（用数字作答）；
（3）若公益活动A需要1人，公益活动B和C都需要2人，求不同安排方案的种数（用数字作答）．第3章第1节 排列与组合
题型1 分类加法计数原理 题型2 分步乘法计数原理
题型3 计数原理的应用 题型4 代数与函数中的计数问题
题型5 数字问题 题型6 染色问题
题型7 加法计数原理与乘法计数原理的综合应用 题型8 排列及排列数公式
题型9 排列数的化简计算及证明 题型10 简单排列问题
题型11 部分位置的元素有限制的排列问题 题型12 部分元素不相邻的排列问题
题型13 部分元素相邻的排列问题 题型14 组合及组合数公式
题型15 组合数的化简计算及证明 题型16 简单组合问题
题型17 人员及物品分配问题 题型18 从不同类别人员物品中进行挑选的组合问题
题型19 其他组合形式及计算 题型20 排列组合的综合应用
▉题型1 分类加法计数原理
【知识点的认识】
1．定义：完成一件事有两类不同方案：在第1类办法中有m种不同的方法，在第2类办法中有n种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m+n种不同的方法．
2．推广：完成一件事有n类不同方案：在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m1+m2+…+mn种不同的方法．
3．特点：
（1）完成一件事的n类方案相互独立；
（2）同一类方案中的各种方法相对独立．
（3）用任何一类方案中的任何一种方法均可独立完成这件事；
4．注意：与分步乘法计数原理区别
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 计算“完成一件事”的方法种数
不同点 分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘
每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）
注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整
1．电子设备中电平信号用电压的高与低来表示，高电压信号记为数字1，低电压信号记为数字0，一串由0和1组成的不同排列代表不同的电平信号，所用数字只有0和1，例如001100就是一个电平信号．某电平信号由6个数字构成，已知其中至少有4个0，则满足条件的电平信号种数为 　22　 ．
【答案】22．
【解答】解：依据题意，办法有3类，若6个数字中有4个0，故有种，若6个数字中有4个0，故有种，
若6个数字中有6个0，故有种，由分类加法计数原理得共有15+6+1＝22种．
故选：22．
2．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．从书架上任取1本书，不同的取法有（　　）
A．3种 B．6种 C．9种 D．24种
【答案】C
【解答】解：从书架的第1、2、3层取1本书，可以分成3个类型，
根据分类加法计数原理，不同取法的种数是4+3+2＝9；
故选：C．
3．已知A＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，a、b∈A，则|a|＜|b|的情况有 　18　 种．
【答案】18
【解答】解：当a＝﹣3，0种，
当a＝﹣2，2种，
当a＝﹣1，4种；
当a＝0，6种，
当a＝1，4种；
当a＝2，2种，
当a＝3，0种，
故共有：2+4+6+4+2＝18．
故答案为：18．
▉题型2 分步乘法计数原理
【知识点的认识】
1．定义：完成一件事需要分成两个步骤：做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m×n种不同的方法．
2．推广：完成一件事需要分成n个步骤：做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
3．特点：完成一件事的n个步骤相互依存，必须依次完成n个步骤才能完成这件事；
4．注意：与分类加法计数原理区别
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 计算“完成一件事”的方法种数
不同点 分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘
每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）
注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整
4．用3种不同的颜色对图中两个区域涂色，要求两个区域的颜色不相同，则不同的涂法有（　　）
A．4种 B．5种 C．6种 D．9种
【答案】C
【解答】解：用3种不同的颜色对图中两个区域涂色，要求两个区域的颜色不相同，
先涂区域1，有3种涂法；再涂区域2，有2种涂法．
故不同的涂法有3×2＝6种．
故选：C．
5．如图，用6种不同的颜色给图中A，B，C，D区域染色，要求相邻区域不能同色，则不同的染色方法共有（　　）
A．400种 B．460种 C．480种 D．496种
【答案】C
【解答】解：用6种不同的颜色给图中A，B，C，D区域染色，要求相邻区域不能同色，
按A→B→C→D的顺序涂色，
共有：6×5×4×4＝480种．
故选：C．
6．一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有（　　）
A．8种 B．48种 C．192种 D．384种
【答案】D
【解答】解：根据题意且结合图形可得，从中心点进入，
第一次有4个区域可选，第二次有3个区域可选，第三次有2个区域可选，第四次有1个区域可选，共有4×3×2×1＝24种选法，
而每个区域都有2条路线可选，则共有24＝16种选择，
则不同的参观路线共有24×16＝384种．
故选：D．
（多选）7．设从东、西、南、北四面通往山顶的路分别有2，3，3，4条，现要从一面上山，从剩余三面中的任意一面下山，则下列结论正确的是（　　）
A．从东面上山有20种走法
B．从西面上山有27种走法
C．从南面上山有30种走法
D．从北面上山有32种走法
【答案】ABD
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若从东面上山，上山的路2条，下山的路有3+3+4＝10条，则有2×10＝20条，A正确；
对于B，若从西面上山，上山的路3条，下山的路有2+3+4＝9条，则有3×9＝27条，B正确；
对于C，若从南面上山，上山的路3条，下山的路有2+3+4＝9条，则有3×9＝27条，C错误；
对于D，若从北面上山，上山的路4条，下山的路有2+3+3＝8条，则有4×8＝32条，D正确；
故选：ABD．
8．某教育部门要安排3名骨干教师到2所薄弱学校去支教，每名教师都要去一所学校，每所学校至少有一名教师去支教，则不同的安排方法共有　6　 种．
【答案】6．
【解答】解：完成这件事，需要2个步骤，首先将3名教师分为两组，共有3种方法，
然后将两组教师分配到2所学校，共有2种方法，
一共有3×2＝6种．
故答案为：6．
9．如图，现要用6种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有 　480　 种不同的着色方法．
【答案】480．
【解答】解：由题意可知，先给I地区涂色有6种，再给Ⅱ地区涂色有5种，再给Ⅲ地区涂色有4种，再给Ⅳ地区涂色有4种，
由分步乘法计数原理，不同的着色方法共有6×5×4×4＝480种．
故答案为：480．
10．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书．
（1）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？
（2）从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：
第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法，
第2步从第2层取1本文艺书，有3种方法，
第3步从第3层取1本体育书，有2种方法，
根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是4×3×2＝24；
（2）第1类方法是4本不同的计算机书和3本不同的文艺书中各选取1本，有4×3种方法，
第2类方法是4本不同的计算机书和2本不同的体育书各选取1本，有4×2种方法，
第3类方法是3本不同的计算机书和2本不同的体育书各选取1本，有3×2种方法，
根据分类加法计数原理，不同取法的种数是4×3+4×2+3×2＝26．
▉题型3 计数原理的应用
【知识点的认识】
1．两个计数原理
（1）分类加法计数原理：N＝m1+m2+…+mn
（2）分步乘法计数原理：N＝m1×m2×…×mn
2．两个计数原理的比较
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
共同点 都是计数原理，即统计完成某件事不同方法种数的原理．
不同点 分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘
n类方案相互独立，且每类方案中的每种方法都能独立完成这件事 n个步骤相互依存，每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）
注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整
11．如图所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之间建有A，B，C，D，E五个水闸，若上游有充足水源但下游没有水，则这五个水闸打开或关闭的情况有（　　）
A．7种 B．15种 C．23种 D．26种
【答案】C
【解答】解：每个水闸有打开或关闭两种情况，五个水闸的打开或关闭不同结果有25种，
水闸A打开，水闸B，C至少打开一个，水闸D，E至少打开一个，下游有水，
水闸B，C至少打开一个有（22﹣1）种，水闸D，E至少打开一个（22﹣1）种，
由分步乘法计数原理得下游有水的不同结果有1×（22﹣1）×（22﹣1）＝9种，
所以所求五个水闸打开或关闭的情况有25﹣9＝23种．
故选：C．
12．如图，要让电路从A处到B处接通，不同的路径条数为（　　）
A．5 B．7 C．8 D．12
【答案】C
【解答】解：要让电路从A处到B处接通，不同的路径条数为2×1+2×3＝8．
故选：C．
13．设计一个五位的信息密码，每位数字均在0～9中选取，则含有数字1，6，8，且1，6，8都只出现一次的信息密码有 　2940　 个，含有数字1，6，8，且1只出现一次，6与8不相邻的信息密码有 　2022　 个．
【答案】2940；2022．
【解答】解：第一空：含有数字1，6，8，且1，6，8都只出现一次，
先从五个位置中选三个放置1，6，8，有60种排法，
剩下两个位置从0，2，3，4，5，7，9中选择，允许重复，有72＝49种排法，
所以密码共有60×49＝2940个；
第二空：含有数字1，6，8，且1只出现一次，6与8不相邻，
当信息密码含有2个6，2个8时，有66188，88166，共2个，
当信息密码含有1个6，1个8时，6与8不相邻的信息密码有个，
当信息密码含有3个6，1个8或3个8，1个6时，有81666，66618，61888，88816，共4个，
当信息密码含有2个6，1个8或2个8，1个6时，6与8不相邻的信息密码有个，
综上，含有数字1，6，8，且1只出现一次，6与8不相邻的信息密码有2+1764+4+252＝2022个．
故答案为：2940；2022．
▉题型4 代数与函数中的计数问题
【知识点的认识】
﹣代数与函数中的计数问题通常涉及函数的不同组合情况、代数表达式的多种排列方法．例如：构造满足特定条件的多项式、确定多项式的根与系数的关系等．
﹣在某些情况下，需要计算多项式在不同取值下可能的表达式数量，或者函数图像的不同形态．
14．已知集合P＝{1，2，3，4，5}，若A，B是P的两个非空子集，则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（A，B）的个数为 　49　 ．
【答案】49
【解答】解：根据题意，分4种情况讨论：
当A中的最大数为1，即A＝{1}时，B＝{2}，{3}，{4}，{5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，{2，3，4，5}，即{2，3，4，5}的非空子集的个数为24﹣1＝15个；
当A中的最大数为2，即A＝{2}，{1，2}时，B＝{3}，{4}，{5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}，{3，4，5}，即2×（23﹣1）＝14个；
当A中的最大数为3，即A＝{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}时，B＝{4}，{5}，{4，5}，即4×3＝12个；
当A中的最大数为4，即A＝{4}，{1，4}，{2，4}，{3，4}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{1，2，3，4}时，B＝{5}，即{1，2，3}的子集的个数为23＝8个；
所以总共个数为15+14+12+8＝49个；
故答案为：49．
▉题型5 数字问题
【知识点的认识】
﹣数字问题涉及数字的排列组合、数字的特性以及数位的安排．例如：求解由数字构成的不同整数的数量、分析某一数字在特定数位上的可能性、或求解满足特定条件的整数个数．
﹣数字问题通常涉及到计数原理在数字排列中的应用，以及整数的分配与组合．
15．从0，1，2，3，4，5这6个数中任选2个偶数和1个奇数，组成没有重复数字的三位数的个数为（　　）
A．36 B．42 C．45 D．54
【答案】B
【解答】解：当任选2个偶数中含有0时，0可以放在个位或十位，共2种情况，
再从3个奇数中选一个，2个偶数中选一个，放在剩余的数位上，共种选择，
此时共2×12＝24种情况，
当任选2个偶数中不含有0时，从3个奇数中选一个，并和2，4进行全排列，共种情况，
综上，组成没有重复数字的三位数个数为24+18＝42．
故选：B．
16．从1、3、5、7、9这五个数字中任取两个数字，从0、2、4、6这四个数字中任取两个数字．
（1）共可组成多少个没有重复数字的四位数？
（2）共可组成多少个没有重复数字的四位偶数？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）当构成的四位数不含0时有个，
当构成的四位数含0时有个，
故符合条件的四位数共有个；
（2）因为组成四位偶数的个位数字只能时0，2，4，6中的一个，
当四位偶数不含数字0时，有个，
含有数字0时，分为两种，0在个位和0不在个位，有个，
故符合条件的四位偶数共有个．
（多选）17．用3，4，5，6，7，9这6个数组成没有重复数字的六位数，下列结论正确的有（　　）
A．这样的六位数共有720个
B．在这样的六位数中，偶数共有240个
C．在这样的六位数中，4，6不相邻的共有144个
D．在这样的六位数中，4个奇数数字从左到右、从小到大排序的共有30个
【答案】ABD
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，符合题意的六位数有720个，A正确；
对于B，若六位数为偶数，其个位数字为4或6，有2种情况，其他数位没有限制，
则有2240个，B正确；
对于C，将其他4个数字全排列，再将4、6安排在空位中，有A480个4，
6不相邻的六位数，C错误；
对于D，4个奇数数字从左到右、从小到大的顺序排好，
将4、6依次插入到空位中，有5×6＝30个符合题意的六位数，D正确；
故选：ABD．
18．从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数中偶数的个数为（　　）
A．7200 B．2880 C．120 D．60
【答案】B
【解答】解：根据题意，分3步进行分析：
①，从1，3，5，7，9中任取3个数字，有C53＝10种选法，从2，4，6，8中任取2个数字，有C42＝6种选法，
则5个数字的选法有10×6＝60种，
②，在选出的2个偶数数字中任选1个，安排在个位，有2种情况，
③，将剩下的4个数字全排列，安排在前4个数位，有A44＝24种情况，
则组成的五位数中偶数的个数为60×2×24＝2880；
故选：B．
▉题型6 染色问题
【知识点的认识】
﹣染色问题是指在一个物体或一组物体上应用不同颜色的组合问题．典型的染色问题包括着色多边形、涂色图形、或为物体表面染色．
﹣该问题通常要求满足某些条件（如相邻元素不能相同颜色）来确定染色方案的总数．
19．如图所示，将四棱锥S﹣ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种色可供使用，则不同的染色方法种数为（　　）
A．960 B．420 C．360 D．240
【答案】B
【解答】解：由题设，四棱锥S﹣ABCD的顶点S，A、B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60种染色方法，
设5种颜色为l，2，3，4，5，
当S，A、B染好时，不妨设其颜色分别为1，2，3，
若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；
若C染4，则D可染3或5，有2种染法，
若C染5，则D可染3或4，有2种染法，
可见，当S，A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有60×7＝420种．
故选：B．
▉题型7 加法计数原理与乘法计数原理的综合应用
【知识点的认识】
﹣加法计数原理和乘法计数原理是计数原理中最基础的两种原理．加法原理用于不同情况的选择（互斥事件），乘法原理用于连续步骤的选择（独立事件）．
﹣这两种原理在解决多步选择问题、多条件限制问题中被广泛应用．
20．如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，则从甲地去丁地，共有 　14　 种不同的走法．
【答案】14．
【解答】解：分两类，第一类，从甲到乙再到丁，共有2×3＝6种，
第二类，从甲到丙再到丁，共有4×2＝8种，
根据分类计数原理可得，共有6+8＝14种，
故从甲地到丁地共有14条不同的路线．
故答案为：14．
▉题型8 排列及排列数公式
【知识点的认识】
1．定义
（1）排列：一般地，从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）
（2）排列数：从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示．
2．相关定义：
（1）全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列．
（2）n的阶乘：正整数由1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示．（规定0!＝1）
3．排列数公式
（1）排列计算公式：．m，n∈N+，且m≤n．
（2）全排列公式：n （n﹣1） （n﹣2） … 3 2 1＝n!．
21．（　　）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【解答】解：原式3．
故选：B．
▉题型9 排列数的化简计算及证明
【知识点的认识】
﹣排列数表示从n个不同元素中选出r个元素，并对这r个元素进行排列的总数．其公式为．
﹣排列数的化简通常涉及阶乘的计算和分解，在某些情况下需要用排列数公式进行证明或化简．
22．若n为正整数，则乘积n（n+1）（n+2）…（n+21）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：n（n+1）（n+2）…（n+21）．
故选：D．
（多选）23．已知n，m∈N+，n＞m，k∈N，0≤k≤n﹣1，则（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解答】解：已知n，m∈N+，n＞m，k∈N，0≤k≤n﹣1，
对A：根据排列数公式可得，故A正确；
对B：根据组合数公式得，
，
所以，故B正确；
对C：，
而，
显然此时n＞m≥1，n!≠（n﹣1） （n﹣1）!，故C错误；
对D：
，
而，所以，故D正确．
故选：ABD．
（多选）24．已知，则n的值可能为（　　）
A．2 B．4 C．7 D．9
【答案】BC
【解答】解：由于，
且，
所以，
所以n＝4或4+n＝11，
解得n＝4或n＝7．
故选：BC．
（多选）25．下列各式中与排列数相等的是（　　）
A． B．n（n﹣1）（n﹣2） （n﹣m）
C． D．
【答案】AD
【解答】解：对于A，由排列数公式知，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确．
故选：AD．
26．（1）计算；
（2）解方程．
【答案】（1）120，
（2）x＝3．
【解答】解：（1）6×5×4＝120，
（2）5，
∴56，
x2﹣11x+24＝0，
x＝8（舍去）或 x＝3
故方程的解为x＝3．
▉题型10 简单排列问题
【知识点的认识】
﹣简单排列问题通常涉及无任何限制条件的排列情况．n个不同元素的全排列总数为．
﹣该类问题通常是排列问题的基础，强调对基本排列公式的理解与应用．
27．某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡．现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有（　　）
A．8种 B．10种 C．12种 D．14种
【答案】B
【解答】解：已知包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，
则不同的参赛方案有10种．
故选：B．
28．某旅游团3名导游和30名游客站成两排拍照留念，要求第一排站15人，第二排站18人，则3名导游站在一起且站在第一排的排法总数为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解答】解：旅游团3名导游和30名游客站成两排拍照留念，要求第一排站15人，第二排站18人，
又3名导游站在一起且站在第一排，则
先排第一排，将3名导游捆绑有种，再从30人中选12人与3名导游的整体进行全排列，
则共有种，
再排第二排，有种，
则3名导游站在一起且站在第一排的排法总数有种．
故选：D．
（多选）29．某学校高二年级数学课外活动小组中有男生5人，女生3人，则下列说法正确的是（　　）
A．从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有64种不同的选法
B．从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有15种不同的选法
C．将这8名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320种
D．8名学生排成一排，已知5名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有336种排法
【答案】BCD
【解答】解：选项A：从8个人中选2人，1人做正组长，1人做副组长选法共有种，故A错误；
选项B：从8个人中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人选法共有种，故B正确；
选项C：选排3位女生有种情况，再把3位女生看成1个人与5个男生一起排列有种情况，
共有种情况，故C正确；
选项D：8名学生排成一排，已知5名男生已排好，
先排第一个女生可以排5个男生中间的4个空或2头，有6种情况，
再排第二个女生可以排到排好的6个人中间的5个空或2头，有7种情况，
最后排第三个女生可以排到排好的7个人中间的6个空或2头，有8种情况，
共有6×7×8＝336种情况，故D正确．
故选：BCD．
30．数字波是由0和1组成的脉冲信号序列，某类信号序列包含有n个数字0和n个数字1，且每个数字0之前1的个数多于0的个数．当n＝4时，这样的信号序列有 　14　 种．
【答案】14．
【解答】解：根据题意可知第一位只能是1，最后一位只能是0，
符合题意的序列分别为：
11011000；11010100；11010010；11001100；11001010；
10111000；10101100；10110100；10101010；10110010；
11101000；11100100；11100010；11110000，共计14个，
故答案为：14．
▉题型11 部分位置的元素有限制的排列问题
【知识点的认识】
﹣部分位置的元素排列受限是指在排列问题中，某些元素只能出现在特定位置或区域．例如：特定元素只能出现在排列的前几位或某些位置．
﹣这种问题通常要求考生在处理排列时，先考虑限制条件，再进行一般排列．
31．为庆祝七一建党节，某党支部举办了建党节演出活动，该活动要安排3个歌舞类节目、2个情景类节目和2个朗诵类节目的演出顺序．若朗诵类节目不在第一个出场，情景类节目演出顺序不相邻，则不同的演出顺序的种数为（　　）
A．1560 B．2640 C．1360 D．2340
【答案】B
【解答】解：已知某党支部举办了建党节演出活动，该活动要安排3个歌舞类节目、2个情景类节目和2个朗诵类节目的演出顺序，
要求朗诵类节目不在第一个出场，情景类节目演出顺序不相邻，
若情景类节目第一个出场，有种，再安排3个歌舞类节目和2个朗诵类节目的演出顺序，
有种，最后再利用插空法安排一个情景类节目，有种，
则共有种演出顺序．
若歌舞类节目第一个出场，有种，再安排余下的2个歌舞类节目和2个朗诵类节目的演出顺序，
有种，最后再利用插空法安排2个情景类节目，有种，
则共有种演出顺序．
故不同的演出顺序的种数为1200+1440＝2640．
故选：B．
32．某单位的某部门周一到周六每天晚上需要安排1人值班，该部门共4名员工，若每名员工至少安排1天值班，至多安排2天值班，且安排2天值班的员工必须是相邻的两天，则不同的排班方案有 　144　 种．（用数字作答）
【答案】144．
【解答】解：若每名员工至少安排1天值班，至多安排2天值班，且安排2天值班的员工必须是相邻的两天，
有2名员工安排1天值班，另外2名员工安排2天值班．
先考虑哪几天由值班1天的员工值班，有6种情况，
分别为（周一，周二），（周一，周六），（周五，周六），（周一，周四），（周三，周四），（周三，周六）．
确定了哪几天由值班1天的员工值班，即可确定哪几天由值班2天的员工值班，
再进行排列，可以得到不同的排班方案，有种．
故答案为：144．
（多选）33．甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（　　）
A．5人站成一排，若甲、乙必须相邻，共有48种排法
B．5人站成一排，若甲、乙不能相邻，共有72种排法
C．5人站成一排，若甲不能站在两端，共有72种排法
D．5人站成两排，若甲、乙站前排，丙、丁、戊站后排，共有120种排法
【答案】ABC
【解答】解：甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，5人站成一排，若甲、乙必须相邻，
安排方法：48种，所以A正确；
5人站成一排，若甲、乙不能相邻，共有72种排法．所以B正确；
5人站成一排，若甲不能站在两端，共有72种排法，所以C正确；
5人站成两排，若甲、乙站前排，丙、丁、戊站后排，共有12种排法，所以D不正确．
故选：ABC．
34．艺术节晚会要安排3个歌舞类节目A1，A2，A3，2个小品类节目B1，B2和1个相声类节目C的演出顺序，根据要求解答下列问题：
（1）若两个小品类节目B1，B2不能排在第一位和最后一位，一共有多少种排法？
（2）若歌舞类节目A1，A2必须排在一起，A3和B1，B2排在一起，并且A3在B1，B2中间，一共有多少种排法？
（3）若同类节目不相邻，请问一共有多少种排法？
（答题要求：写上必要的文字说明，先列式，后计算）
【答案】（1）288；
（2）24；
（3）120．
【解答】解：（1）因为总共有六个位置，两个小品类节目B1，B2不能排在第一位和最后一位，
先将B1，B2排好，
则有种排法，
剩下四个节目四个位置，
则有种排法，
故共有种排法．
（2）先将六个节目分成三组，且这三组个数分别为1，2，3，并排列，
故有种排法，
A1，A2必须排在一起共有种排法，A3在B1，B2中间共有种排法，
故共有种排法．
（3）分两步完成：第一步，先安排3个歌舞类节目A1，A2，A3，
则有种排法；
第二步，再用插空法安排2小品节目B1，B2和1个相声节目C：
①若2小品节目B1，B2和1个相声节目C互不相邻，则有种排法；
②若C与B1，B2中的其中一个相邻，
则有种排法．
故共有种排法．
▉题型12 部分元素不相邻的排列问题
【知识点的认识】
﹣部分元素不相邻的排列问题要求在排列过程中，特定元素必须保持不相邻．例如：在排列中，两个特定元素不能排在一起．
﹣这类问题通常通过排除法、间隔法或插空法来解决．
35．2024年4月26日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情．齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽．为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”．假设6人站成一排，要求三位“80后”相邻，两位“90后”不相邻，则不同的站法共有（　　）
A．32种 B．48种 C．64种 D．72种
【答案】D
【解答】解：6人站成一排，要求三位“80后”相邻，两位“90后”不相邻，
因三位“80后”相邻，可将其看作一个整体，
再将这三位“80后”和“70后”蔡旭哲先进行排列，有种排法，
在其前后会留下3个空位，再将剩下的两位“90后”插入这3个空位中，有种插法，
因此不同的站法共有种．
故选：D．
36．某次志愿者活动需分配4名大学生（A、B、C、D）和2名老师（甲、乙）排成一列合影．要求大学生A与B必须相邻，两名老师不能相邻，则满足条件的排列方式共有　144　 种．
【答案】144．
【解答】解：把学生A与B进去捆绑有种，AB与C、D进行全排，有种，
把2名老师插入4个空中，有种，所以共有．
故答案为：144．
37．甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照．
（1）甲、乙两人不相邻的站法共有多少种？
（2）甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有多少种？
【答案】见试题解答内容
【解答】解（1）根据题意，先排丙、丁、戊，有种站法，
再将甲、乙安排在三人的空位中，有种站法．
故甲、乙两人不相邻的站法共有6×12＝72种．
（2）根据题意，分2种情况讨论：
若乙站在排头或排尾，则有种站法；
若甲、乙都不站排头或排尾，则有种站法；
故甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有12+24＝36种．
▉题型13 部分元素相邻的排列问题
【知识点的认识】
﹣部分元素相邻的排列问题要求在排列过程中，特定元素必须相邻排列．例如：在排列中，两个或多个元素必须排在一起．
﹣这类问题通常通过将相邻元素视为一个整体来简化排列．
38．有4辆车停放在5个并排车位上，客车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与客车甲相邻停放，则共有 　12　 种不同的停放方法．
【答案】12
【解答】解：根据题意，若乙车与客车甲相邻停放，则可将甲乙捆绑共2种排法，
则将剩余2辆车与甲乙捆绑的整体进行全排列，共有种排法，
则共有2×6＝12种排法．
故答案为：12．
39．3月11日，2024年广西“二月二”侗族大歌节在三江侗族自治县梅林乡梅林村榕江河畔举行，上万名群众欢聚一堂，以非遗巡游、千人侗族大歌、多耶等活动，尽展非遗多姿风采．某地计划在来年的侗族大歌节安排非遗巡游、千人侗族大歌、多耶、抢花炮、芦笙舞这5种活动的举办顺序．
（1）共有多少种不同的安排方案？
（2）若要求第一个举办的活动不能是千人侗族大歌，共有多少种不同的安排方案？
（3）若要求抢花炮、芦笙舞的举办顺序相邻，共有多少种不同的安排方案？
【答案】（1）120；
（2）96；
（3）48．
【解答】解：（1）安排非遗巡游、千人侗族大歌、多耶、抢花炮、芦笙舞这5种活动的举办顺序，
共有种不同的安排方案；
（2）若要求第一个举办的活动不能是千人侗族大歌，则从其余四个活动项目中选一个排在第一个举行，
则共有种不同的安排方案；
（3）若要求抢花炮、芦笙舞的举办顺序相邻，则将这两项活动捆绑，看作一项活动，
内部全排列，然后和其余活动全排列，
则共有种不同的安排方案．
40．一个信息设备装有一排六只发光电子元件，每个电子元件被点亮时可发出红色光、蓝色光、绿色光中的一种光．若每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能同时被点亮，根据这三个被点亮的电子元件的不同位置以及发出的不同颜色的光来表示不同的信息，则这排电子元件能表示的信息种数共有（　　）
A．60种 B．68种 C．82种 D．108种
【答案】D
【解答】解：一个信息设备装有一排六只发光电子元件，每个电子元件被点亮时可发出红色光、蓝色光、绿色光中的一种光．若每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能同时被点亮，根据这三个被点亮的电子元件的不同位置以及发出的不同颜色的光来表示不同的信息，
则这排电子元件能表示的信息种数共有3×3×3＝108种．
故选：D．
▉题型14 组合及组合数公式
【知识点的认识】
1．定义
（1）组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个元素中任取m个元素的一个组合．
（2）组合数：从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号表示．
2．组合数公式：．m，n∈N+，且m≤n．
3．组合数的性质：
性质1
性质2．
41．若，则的值为（　　）
A．83 B．119 C．164 D．219
【答案】D
【解答】解：由题意，m+m+2＝24，解得m＝11，
则......1...11＝219．
故选：D．
42．已知，则x的值是（　　）
A．2 B．6 C． D．2或6
【答案】D
【解答】解：根据题意，若，则x﹣2＝2x﹣4或（x﹣2）+（2x﹣4）＝12，
解可得x＝2或x＝6，
故选：D．
43．计算的值为（　　）
A．114 B．99 C．142 D．198
【答案】A
【解答】解：由题意可知，．
故选：A．
▉题型15 组合数的化简计算及证明
【知识点的认识】
﹣组合数表示从n个不同元素中选出r个元素的总数，其公式为．
﹣组合数的化简和证明通常涉及组合数公式的推导、递推关系的应用以及组合恒等式的证明．
44．计算 　32　 ．（用数字作答）
【答案】32．
【解答】解：由题意可知，43×4+4×1＝4+12+12+4＝32．
故答案为：32．
45．（1）已知，计算：；
（2）解方程：．
（3）解不等式：．
【答案】（1）126；（2）x＝11；（3）{3，4，5}．
【解答】解：（1）由题意，m+3m﹣2＝6或m＝3m﹣2（舍），解得m＝2，经验证符合，
所以；
（2）由题意，，即（x﹣3）（x﹣6）＝40，
由，知x≥7，x∈N*，
解得x＝11，所以原方程的解为x＝11；
（3）由题意，，化简可得，
解得x∈{3，4，5}，
所以不等式解集为{3，4，5}．
46．若组合数和排列数满足，则m＝　8　 ．
【答案】8．
【解答】解：因为，
所以，且m≥3，
解得m＝8．
故答案为：8．
▉题型16 简单组合问题
【知识点的认识】
﹣简单组合问题涉及无任何特殊限制的组合情况．n个不同元素中选出r个元素的组合总数为．
﹣这类问题是组合问题的基础，强调对基本组合公式的理解与应用．
47．从包含甲、乙两人的7人中选出3人分别担任班长、团支书、学习委员，则甲、乙至多有1人被选中的不同选法有（　　）
A．60种 B．120种 C．180种 D．210种
【答案】C
【解答】解：根据题意，从7人中选出3人分别担任三个职务，不同的选法种数为种，
若甲、乙两人都被选中，则有种，
则甲、乙至多有1人被选中的不同选法有210﹣30＝180种．
故选：C．
48．已知下列问题：
①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组；
②从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动；
③从a，b，c，d中选出3个字母；
④从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数．
其中是排列问题的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：对于①，从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组，
先选出两名同学参加，然后确定由谁参加数学、物理兴趣小组，
即①为排列问题；
对于②，从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动，
只需选人，不需排列，
即②为组合问题；
对于③，从a，b，c，d中选出3个字母，
只需选取字母，不需排列，
即③为组合问题；
对于④，从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数，
先取数，再排列，
即④为排列问题．
故选：B．
49．一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为x，y，z，当且仅当y＞x且y＞z时，称这样的数为“凸数”（如341），则从集合{1，2，3，4，5}中取出三个不相同的数组成的“凸数”个数为　20　 ．
【答案】20．
【解答】解：从{1，2，3，4，5}的5个整数中任取3个不同的数，将最大的放在十位上，
剩余的2个数字分别放在百、个位上就构成一个“凸数”，
故“凸数”有C53×2＝20种情况．
故答案为：20．
▉题型17 人员及物品分配问题
【知识点的认识】
﹣人员及物品分配问题涉及将不同人员或物品进行分配的组合问题．例如：将n个人分配到k个小组，或者将m个物品分配给p个人．
﹣这类问题通常涉及组合与排列的综合应用，以及对分配方案的合理性判断．
50．将5名同学分配到三个班，每班至少1名同学，则不同的分配方法有（　　）
A．60种 B．180种 C．150种 D．300种
【答案】C
【解答】解：将5名同学分配到三个班，每班至少1名同学，
则可将5名同学分为1，2，2或1，1，3三组，再分到三个班，
则不同的分配方法有（）150种．
故选：C．
▉题型18 从不同类别人员物品中进行挑选的组合问题
【知识点的认识】
﹣这类问题涉及从不同类别的人员或物品中进行挑选的组合问题．例如：从若干类别的物品中各选出一定数量的组合问题．
﹣这类问题通常涉及分类讨论与组合公式的综合应用．
（多选）51．现有6本不同的书《水浒传》、《西游记》、《红楼梦》、《三国演义》、《儒林外史》、《聊斋志异》，则下列说法正确的是（　　）
A．将全部的书放到7个不同的抽屉里，一个抽屉可放多本书，有67种放法
B．将全部的书放在同一层书架上，要求《水浒传》和《西游记》相邻，有种放法
C．将书分给3位不同的学生，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种分法
D．将书平均分成三份，每份2本，有种分法
【答案】BC
【解答】解：对于A，将全部的书放到7个不同的抽屉里，有76种放法，故A错误；
对于B，将全部的书放在同一层书架上，要求《水浒传》和《西游记》相邻，则利用捆绑法，共有种方法，故B正确；
对于C，将书分给3位不同的学生，其中一人1本，一人2本，一人3本，可先把书选出来，再进行排列，有种分法，故C正确；
对于D，将书平均分成三份，每份2本，有种方法，故D错误．
故选：BC．
52．某地区发生了重大交通事故，某医院从9名医疗专家中抽调6名奔赴事故现场抢救伤员，其中这9名医疗专家中有4名是外科专家．（要求：列出排列组合算式，并写出详细过程）
（1）抽调6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？
（2）至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？
（3）至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
【答案】（1）30；
（2）80；
（3）34．
【解答】解：已知医院从9名医疗专家中抽调6名奔赴事故现场抢救伤员，其中这9名医疗专家中有4名是外科专家，
（1）若抽调6名专家中恰有2名是外科专家，
第一步从4名外科专家中抽取2名，第二步从其他5名专家中抽取2名，由分步乘法原理可得方法数为：；
（2）至少有2名外科专家可分为三类：2名外科专家4名其他专家，或者3名外科专家3名其他专家，或者4名外科专家2名其他专家，
所以方法数为；
（3）至多有2名外科专家可分两类：2名外科专家4名其他专家，或者1名外科专家5名其他专家，
方法数为：．
▉题型19 其他组合形式及计算
【知识点的认识】
﹣其他组合形式包括多重组合、环形组合、特殊排列组合等．例如：考虑相同元素或重复元素的组合，或者在特殊条件下的组合问题．
﹣这些问题通常需要综合运用组合数、排列数以及递推公式进行计算．
53．把20个相同的小球放到三个编号为1、2、3的盒子里，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有 　78　 种放法．
【答案】78．
【解答】解：根据题意，20个相同的小球放到三个编号为1，2，3的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，
先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球，则原问题可以转化为将剩下的14个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，
将剩下的14个球排成一排，有13个空位，在13个空位中任选2个，插入挡板，有78种不同的放法．
故答案为：78．
54．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（　　）种
A．240 B．320 C．180 D．120
【答案】C
【解答】解：因为若要求每组至少3人，
所以有3，5和4，4两种，
若人数为3，5，则有（1） 110种；
人数为4，4，则有 种；
共有110+70＝180，
故选：C．
▉题型20 排列组合的综合应用
【知识点的认识】
1、排列组合问题的一些解题技巧：
①特殊元素优先安排；
②合理分类与准确分步；
③排列、组合混合问题先选后排；
④相邻问题捆绑处理；
⑤不相邻问题插空处理；
⑥定序问题除法处理；
⑦分排问题直排处理；
⑧“小集团”排列问题先整体后局部；
⑨构造模型；
⑩正难则反、等价转化．
对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．
2、排列、组合问题几大解题方法：
（1）直接法；
（2）排除法；
（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；
（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；
（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；
（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；
（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；
（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；
（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；
（10）指定元素排列组合问题：
①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；
②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；
③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．
55．某大学食堂备有4种荤菜、8种素菜、2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（　　）
A．14 B．64 C．72 D．80
【答案】B
【解答】解：因为备有4种素菜，8种荤菜，2种汤，
所以素菜有4种选法，荤菜有8种选法，汤菜有2种选法，
所以要配成一荤一素一汤的套餐，可以配制出不同的套餐有4×8×2＝64种．
故选：B．
（多选）56．现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（　　）
A．从中选出2个球，正好一红一黄，有9种不同的选法
B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法
C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法
【答案】BD
【解答】解：对A．从中选出2个球，正好一红一黄，有4×5＝20种不同的选法，所以该选项错误：
对B．若每种颜色选出1个球，有4×5×6＝120种不同的选法，所以该选项正确；
对C．若要选出不同颜色的2个球，有4×5+5×6+4×6＝74种不同的选法，所以该选项错误；
对D．若要不放回地依次选出2个球，有15×14＝210种不同的选法，所以该选项正确．
故选：BD．
57．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的排节目单的方法种数：
（1）一个唱歌节目开头，另一个压台；
（2）两个唱歌节目不相邻；
（3）两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）先排歌曲节目有种排法，再排其他节目有种排法，所以共有1440种排法．
（2）先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目，有种排法，再从其中7个空（包括两端）中选2个排歌曲节目，有种插入方法，所以共有30240种排法．
（3）两个唱歌节目相邻，用捆绑法，3个舞蹈节目不相邻，利用插空法，共有2880种．
58．某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一种果树，则共有 　420　 种不同的方法．
【答案】420．
【解答】解：分两类情况：
第一类：2与4种同一种果树，
第一步种1区域，有5种方法；
第二步种2与4区域，有4种方法；
第三步种3区域，有3种方法；
最后一步种5区域，有3种方法，
由分步计数原理共有5×4×3×3＝180种方法；
第二类：2与4种不同果树，
第一步在1234四个区域，从5种不同的果树中选出4种果树种上，
是排列问题，共有种方法；
第二步种5号区域，有2种方法，
由分步计数原理共有120×2＝240种方法．
再由分类计数原理，共有180+240＝420种不同的方法．
故答案为：420．
59．用数字0、2、5、7四个数可以组成 　18　 个无重复数字的三位数．
【答案】18．
【解答】解：依题意，由数字0、2、5、7组成无重复数字的三位数可分为两类：
第一类：包含0，有个；第二类：不含0，有个；
由分类加法计数原理，可得所求三位数有6+12＝18个．
故答案为：18．
60．已知安排3名男生和2名女生参加A，B，C三项不同的公益活动，每人只能参加1项公益活动，每项公益活动至少有1人参加．
（1）求不同安排方案的种数（用数字作答）；
（2）若每项活动都必须安排1名男生，求不同安排方案的种数（用数字作答）；
（3）若公益活动A需要1人，公益活动B和C都需要2人，求不同安排方案的种数（用数字作答）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）先将5人分为3组，有3，1，1型；和2，2，1型，有种分组方法，
将分好的三组安排到三个项目，有种情况，
则不同安排方案的种数为．
（2）先将3名男生分到三项公益活动，有种方案，
2名女生有32＝9种方案，
∴不同安排方案的种数为．
（3）不同安排方案的种数为．

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